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Cours de Mathématiques : Limites et convergence des suites — 2e BAC SM
| Niveau | 2e année du baccalauréat |
| Filière | Sciences Mathématiques (SM) |
| Matière | Mathématiques |
| Chapitre | Limites et convergence des suites (Chapitre 6) |
| Type | Cours complet |
| Programme | Programme officiel marocain |
Limites et convergence des suites
Maîtrisez les limites finies et infinies, les théorèmes de convergence (gendarmes, monotonie, suites adjacentes) et les suites extraites.
Table des matières
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Rejoindre la chaîne WhatsAppÀ propos de ce cours : Ce chapitre est dédié à l'étude de la convergence des suites numériques. Vous apprendrez à calculer des limites (finies ou infinies) en utilisant les théorèmes classiques : le théorème des gendarmes (ou d'encadrement), le théorème de convergence monotone (croissante et majorée ou décroissante et minorée) et la notion de suites adjacentes. Enfin, les suites extraites vous permettront de prouver la divergence d'une suite ou de trouver sa limite par des sous-suites.
Illustration du cours
Le cours complet
2BAC-SM-MATH-C061. Limites finies
On dit que la suite \((u_n)\) converge vers un réel \(l\) (ou admet une limite finie \(l\)) si, pour tout \(\varepsilon > 0\), il existe un entier \(N\) tel que, pour tout \(n \geq N\), on ait \(|u_n - l| < \varepsilon\).
On note : \(\lim_{n \to +\infty} u_n = l\).
Si une suite admet une limite finie, cette limite est unique.
La suite \(u_n = \frac{1}{n}\) converge vers \(0\). En effet, pour tout \(\varepsilon > 0\), il suffit de choisir \(N\) tel que \(N > \frac{1}{\varepsilon}\). Alors pour \(n \geq N\), \(|u_n - 0| = \frac{1}{n} \leq \frac{1}{N} < \varepsilon\).
2. Limites infinies
On dit que la suite \((u_n)\) tend vers \(+\infty\) si, pour tout réel \(M > 0\), il existe un entier \(N\) tel que, pour tout \(n \geq N\), on ait \(u_n > M\). On note : \(\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty\).
Définition analogue pour \(-\infty\).
La suite \(u_n = n^2\) tend vers \(+\infty\).
La suite \(u_n = (-1)^n n\) n'admet pas de limite (elle oscille entre des valeurs positives et négatives de plus en plus grandes).
3. Opérations sur les limites
Si \(\lim u_n = l\) et \(\lim v_n = l'\) (avec \(l, l' \in \mathbb{R}\) ou \(\pm\infty\)), alors :
- \(\lim (u_n + v_n) = l + l'\) (sauf forme indéterminée \(\infty - \infty\))
- \(\lim (u_n \times v_n) = l \times l'\) (sauf forme indéterminée \(0 \times \infty\))
- \(\lim \left(\frac{u_n}{v_n}\right) = \frac{l}{l'}\) si \(l' \neq 0\) (sauf forme indéterminée \(\frac{0}{0}\) ou \(\frac{\infty}{\infty}\))
- \(\lim \sqrt{u_n} = \sqrt{l}\) si \(l \geq 0\)
Face à une forme indéterminée, il faut transformer l'expression (factorisation, conjugué, etc.) avant de conclure.
4. Théorèmes de convergence
Si, à partir d'un certain rang, on a \(v_n \leq u_n \leq w_n\) et si \(\lim v_n = \lim w_n = l\), alors \(\lim u_n = l\).
Soit \(u_n = \frac{\sin n}{n}\). On sait que \(-1 \leq \sin n \leq 1\), donc \(-\frac{1}{n} \leq \frac{\sin n}{n} \leq \frac{1}{n}\). Comme \(\lim \frac{1}{n} = 0\), par le théorème des gendarmes, \(\lim u_n = 0\).
Si une suite \((u_n)\) est croissante et majorée, alors elle converge.
Si une suite \((u_n)\) est décroissante et minorée, alors elle converge.
Soit la suite définie par \(u_0 = 1\) et \(u_{n+1} = \frac{1}{2}u_n + 1\). On peut montrer par récurrence que \((u_n)\) est croissante et majorée par 2. D'après le théorème de convergence monotone, elle converge. Sa limite \(l\) vérifie \(l = \frac{1}{2}l + 1\), donc \(l = 2\).
5. Suites adjacentes
Deux suites \((u_n)\) et \((v_n)\) sont dites adjacentes si :
- \((u_n)\) est croissante.
- \((v_n)\) est décroissante.
- \(\lim (v_n - u_n) = 0\).
Si deux suites sont adjacentes, alors elles convergent vers la même limite.
De plus, pour tout \(n\), on a \(u_n \leq l \leq v_n\) (encadrement de la limite).
6. Suites extraites
On appelle suite extraite (ou sous-suite) de \((u_n)\) toute suite de la forme \((u_{\phi(n)})\), où \(\phi\) est une application strictement croissante de \(\mathbb{N}\) dans \(\mathbb{N}\).
Si une suite \((u_n)\) converge vers \(l\), alors toute suite extraite converge vers \(l\).
Contraposée : si deux suites extraites convergent vers des limites différentes, alors la suite \((u_n)\) n'a pas de limite.
La suite \(u_n = (-1)^n\) n'a pas de limite. En effet, la suite extraite des termes pairs \((u_{2n}) = 1\) converge vers 1, tandis que la suite extraite des termes impairs \((u_{2n+1}) = -1\) converge vers -1. Les deux limites sont différentes, donc \((u_n)\) diverge.
Questions fréquentes
Qu'est-ce qu'une suite convergente ?
Une suite est convergente si elle admet une limite finie. Autrement dit, ses termes se rapprochent d'un nombre réel \(l\) à mesure que \(n\) augmente.
Que dit le théorème des gendarmes ?
Si une suite est encadrée par deux autres suites qui convergent vers la même limite \(l\), alors elle converge aussi vers \(l\).
Une suite croissante est-elle toujours convergente ?
Non, elle doit aussi être majorée. Par exemple, la suite \(u_n = n\) est croissante mais non majorée, donc elle diverge vers \(+\infty\).
À quoi servent les suites adjacentes ?
Elles permettent de prouver l'existence d'une limite et de l'encadrer. Si deux suites sont adjacentes, elles convergent vers la même limite \(l\) et on a \(u_n \leq l \leq v_n\) pour tout \(n\).
Qu'est-ce qu'une suite extraite ?
C'est une suite obtenue en sélectionnant une infinité de termes de la suite initiale, dans le même ordre. Si la suite initiale converge, toutes ses suites extraites convergent vers la même limite.
Comment montrer qu'une suite n'a pas de limite ?
Il suffit de trouver deux suites extraites qui convergent vers des limites différentes. C'est le cas par exemple de la suite \(u_n = (-1)^n\).
Résumé final
La convergence des suites est un chapitre clé de l'analyse en 2BAC SM. En maîtrisant les limites finies et infinies, les théorèmes de convergence (gendarmes et monotonie) et les suites adjacentes, vous pouvez étudier le comportement asymptotique de nombreuses suites. Les suites extraites offrent un outil puissant pour prouver la divergence ou trouver la limite. Entraînez-vous régulièrement sur des exercices variés pour bien assimiler ces notions.
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Cours préparé par Sif Elarab Ayyoub — EduMaroc
Source : edumaroc.org
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