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Cours de Mathématiques : Fonctions logarithmiques — 2e BAC SM
| Niveau | 2e année du baccalauréat |
| Filière | Sciences Mathématiques (SM) |
| Matière | Mathématiques |
| Chapitre | Fonctions logarithmiques (Chapitre 6) |
| Type | Cours complet |
| Programme | Programme officiel marocain |
Fonctions logarithmiques
Découvrez la fonction logarithme népérien, ses propriétés algébriques, son étude complète et ses limites de croissance comparée.
Table des matières
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Rejoindre la chaîne WhatsAppÀ propos de ce cours : La fonction logarithme népérien est définie comme la primitive de la fonction inverse qui s'annule en 1. Ce chapitre couvre ses propriétés fondamentales (algébriques et analytiques), son étude complète (dérivée, variations, limites) et les limites de croissance comparée. Ces notions sont indispensables pour aborder les fonctions exponentielles et le calcul intégral.
Illustration du cours
Le cours complet
2BAC-SM-MATH-C061. Logarithme népérien
La fonction \(x \mapsto \frac{1}{x}\) est continue sur l'intervalle \(]0, +\infty[\) : elle y admet donc des primitives (chapitre des primitives).
On appelle fonction logarithme népérien, notée \(\ln\), la primitive de la fonction \(x \mapsto \frac{1}{x}\) sur \(]0, +\infty[\) qui s'annule en \(1\). Elle est unique : sur un intervalle, deux primitives d'une même fonction diffèrent d'une constante, et la condition \(\ln(1) = 0\) fixe cette constante.
\[ \ln : ]0, +\infty[ \to \mathbb{R} \qquad ; \qquad (\ln x)' = \frac{1}{x} \qquad ; \qquad \ln(1) = 0 \]
Conséquences :
- \(\ln\) est définie, continue et dérivable sur \(]0, +\infty[\) ;
- pour tout \(x > 0\), \(\frac{1}{x} > 0\), donc \(\ln\) est strictement croissante sur \(]0, +\infty[\).
Le nombre \(e\) : il existe un unique réel, noté \(e\), tel que \(\ln(e) = 1\) ; on a \(e \approx 2{,}718\). L'unicité vient de la stricte croissance de \(\ln\) ; l'existence découle de la continuité de \(\ln\) et de sa limite \(+\infty\) en \(+\infty\).
- \(\ln(1) = 0\)
- \(\ln(e) = 1\)
- \(\ln(x) = 0 \iff x = 1\)
- \(\ln(x) = 1 \iff x = e\)
- \(\ln(x) > 0 \iff x > 1\)
- \(\ln(x) < 0 \iff 0 < x < 1\)
2. Propriétés algébriques
Pour tout \(a > 0\) et \(b > 0\) :
\[ \ln(ab) = \ln(a) + \ln(b) \]
\[ \ln\left(\frac{a}{b}\right) = \ln(a) - \ln(b) \]
\[ \ln\left(\frac{1}{b}\right) = -\ln(b) \]
\[ \ln(a^n) = n\ln(a) \quad (n \in \mathbb{Z}) \]
\[ \ln(\sqrt{a}) = \frac{1}{2}\ln(a) \]
Plus généralement : \(\ln(a^r) = r\ln(a)\) pour tout \(r \in \mathbb{Q}\).
En particulier, puisque \(\ln(e) = 1\) : \(\ln(e^r) = r\) pour tout \(r \in \mathbb{Q}\) (par exemple \(\ln(e^2) = 2\) et \(\ln(\sqrt{e}) = \frac{1}{2}\)).
Simplifier les expressions suivantes :
a) \(A = \ln(12) - 2\ln(2) + \ln(3)\)
b) \(B = \ln\left(\frac{e^3 \sqrt{e}}{e^2}\right)\)
Afficher la solution
a) \(A = \ln(12) - \ln(2^2) + \ln(3) = \ln(12) - \ln(4) + \ln(3)\)
\(= \ln\left(\frac{12}{4}\right) + \ln(3) = \ln(3) + \ln(3) = 2\ln(3)\)
b) \(B = \ln(e^3) + \ln(\sqrt{e}) - \ln(e^2) = 3 + \frac{1}{2} - 2 = \frac{3}{2}\)
3. Étude de la fonction \(\ln\)
Par définition, la fonction \(\ln\) est dérivable sur \(]0, +\infty[\) et :
\[ (\ln x)' = \frac{1}{x} \]
Plus généralement, si \(u\) est dérivable et \(u(x) > 0\) :
\[ (\ln(u(x)))' = \frac{u'(x)}{u(x)} \]
Puisque \(\frac{1}{x} > 0\) pour tout \(x > 0\), la fonction \(\ln\) est strictement croissante sur \(]0, +\infty[\).
Conséquence : \(\ln(a) = \ln(b) \iff a = b\) et \(\ln(a) < \ln(b) \iff a < b\) (pour \(a, b > 0\)).
\[ \lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty \qquad ; \qquad \lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty \]
La courbe de \(\ln\) passe par les points \((1, 0)\) et \((e, 1)\).
La droite \(x = 0\) (axe des ordonnées) est asymptote verticale.
Au chapitre des fonctions exponentielles, la fonction \(\exp\) sera définie comme la fonction réciproque de \(\ln\) ; sa courbe sera alors la symétrique de celle de \(\ln\) par rapport à la droite \(y = x\).
4. Limites de croissance comparée
Au voisinage de \(+\infty\), le logarithme croît moins vite que toute puissance :
\[ \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x} = 0 \]
Plus généralement, pour tout \(n \in \mathbb{N}^*\) :
\[ \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x^n} = 0 \]
\(\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x^2} = 0\).
On peut aussi noter que \(\lim_{x \to 0^+} x\ln(x) = 0\), qui est une autre forme de croissance comparée.
Questions fréquentes
Quelle est la différence entre \(\ln(x)\) et \(\log(x)\) ?
\(\ln(x)\) est le logarithme népérien (base \(e \approx 2.718\)). \(\log(x)\) est le logarithme décimal (base \(10\)). En mathématiques, on utilise généralement \(\ln\).
Pourquoi la fonction \(\ln\) n'est-elle définie que sur \(]0, +\infty[\) ?
Parce que \(\ln\) est définie comme la primitive de \(1/x\), et \(1/x\) n'est pas défini en \(0\). De plus, la fonction logarithme n'est définie que pour des arguments strictement positifs.
Comment dériver une fonction de la forme \(\ln(u(x))\) ?
La dérivée est \(\frac{u'(x)}{u(x)}\), à condition que \(u(x) > 0\). Par exemple, la dérivée de \(\ln(3x^2 + 1)\) est \(\frac{6x}{3x^2 + 1}\).
Résumé final
La fonction logarithme népérien est un outil fondamental en analyse. En maîtrisant ses propriétés algébriques (transformation des produits en sommes), son étude complète (dérivée, variations, limites) et les limites de croissance comparée, vous disposez des bases nécessaires pour aborder les fonctions exponentielles et le calcul intégral. N'oubliez pas de vérifier le domaine de définition (arguments strictement positifs) avant d'utiliser les formules.
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Cours préparé par Sif Elarab Ayyoub — EduMaroc
Source : edumaroc.org
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