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Cours de Mathématiques : Généralités sur les suites — 2e BAC SM
| Niveau | 2e année du baccalauréat |
| Filière | Sciences Mathématiques (SM) |
| Matière | Mathématiques |
| Chapitre | Généralités et suites particulières (Chapitre 5) |
| Type | Cours complet |
| Programme | Programme officiel marocain |
Généralités sur les suites
Découvrez la notion de suite numérique, apprenez à étudier sa monotonie et maîtrisez les suites arithmétiques, géométriques et arithmético-géométriques.
Table des matières
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Rejoindre la chaîne WhatsAppÀ propos de ce cours : Ce chapitre introduit l'étude des suites numériques, un outil fondamental en analyse. Vous apprendrez à définir une suite (forme explicite ou récurrente), à étudier son sens de variation et à déterminer si elle est bornée. Vous maîtriserez ensuite les deux suites particulières les plus importantes : les suites arithmétiques et géométriques, avec leurs formules de terme général et de somme. Enfin, vous découvrirez la méthode de résolution des suites arithmético-géométriques.
Illustration du cours
Le cours complet
2BAC-SM-MATH-C051. Définition
Une suite numérique est une application de \(\mathbb{N}\) (ou une partie de \(\mathbb{N}\)) dans \(\mathbb{R}\).
On la note \((u_n)_{n \in \mathbb{N}}\) ou simplement \((u_n)\). Le réel \(u_n\) est le terme général de la suite.
Une suite peut être définie de deux façons :
- Forme explicite : \(u_n = f(n)\), par exemple \(u_n = 2n + 1\).
- Forme récurrente : \(u_{n+1} = f(u_n)\) avec un premier terme \(u_0\), par exemple \(u_0 = 1\) et \(u_{n+1} = 2u_n + 3\).
2. Sens de variation d'une suite
- \((u_n)\) est croissante si pour tout \(n \in \mathbb{N}\) : \(u_{n+1} \geq u_n\).
- \((u_n)\) est décroissante si pour tout \(n \in \mathbb{N}\) : \(u_{n+1} \leq u_n\).
- \((u_n)\) est monotone si elle est croissante ou décroissante.
Méthode 1 : Étudier le signe de \(u_{n+1} - u_n\).
Méthode 2 : Si \(u_n > 0\), étudier \(\frac{u_{n+1}}{u_n}\) par rapport à \(1\).
Méthode 3 : Si \(u_n = f(n)\), étudier les variations de \(f\).
Étudier la monotonie de la suite \(u_n = n^2 - 3n\).
Afficher la solution
\(u_{n+1} - u_n = (n+1)^2 - 3(n+1) - (n^2 - 3n)\)
\(= n^2 + 2n + 1 - 3n - 3 - n^2 + 3n = 2n - 2\)
Pour \(n \geq 1\) : \(u_{n+1} - u_n = 2n - 2 \geq 0\).
Donc \((u_n)\) est croissante à partir du rang \(1\).
3. Suites majorées, minorées, bornées
- \((u_n)\) est majorée s'il existe \(M \in \mathbb{R}\) tel que \(u_n \leq M\) pour tout \(n\).
- \((u_n)\) est minorée s'il existe \(m \in \mathbb{R}\) tel que \(u_n \geq m\) pour tout \(n\).
- \((u_n)\) est bornée si elle est à la fois majorée et minorée, c'est-à-dire \(|u_n| \leq M\).
4. Suites arithmétiques
Une suite \((u_n)\) est arithmétique de raison \(r\) si pour tout \(n \in \mathbb{N}\) :
\[ u_{n+1} = u_n + r \]
Terme général :
\[ u_n = u_0 + nr \qquad \text{ou} \qquad u_n = u_p + (n-p)r \]
Somme des \(n\) premiers termes :
\[ S_n = u_0 + u_1 + \ldots + u_{n-1} = n \cdot \frac{u_0 + u_{n-1}}{2} \]
Plus généralement : \(\displaystyle\sum_{k=p}^{n} u_k = (n - p + 1) \cdot \frac{u_p + u_n}{2}\)
Somme des premiers entiers : \(1 + 2 + 3 + \ldots + n = \frac{n(n+1)}{2}\)
- Si \(r > 0\), la suite est strictement croissante.
- Si \(r < 0\), la suite est strictement décroissante.
- Si \(r = 0\), la suite est constante.
5. Suites géométriques
Une suite \((u_n)\) est géométrique de raison \(q\) (\(q \neq 0\)) si pour tout \(n \in \mathbb{N}\) :
\[ u_{n+1} = u_n \times q \]
Terme général :
\[ u_n = u_0 \cdot q^n \qquad \text{ou} \qquad u_n = u_p \cdot q^{n-p} \]
Somme des termes : Pour \(q \neq 1\) :
\[ S_n = u_0 + u_1 + \ldots + u_{n-1} = u_0 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q} \]
Plus généralement : \(\displaystyle\sum_{k=p}^{n} u_k = u_p \cdot \frac{1 - q^{n-p+1}}{1 - q}\)
Somme géométrique : \(1 + q + q^2 + \ldots + q^n = \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}\)
Pour \(u_0 > 0\) :
- Si \(q > 1\), la suite est strictement croissante.
- Si \(0 < q < 1\), la suite est strictement décroissante.
- Si \(q = 1\), la suite est constante.
Soit \((u_n)\) une suite géométrique de premier terme \(u_0 = 3\) et de raison \(q = 2\).
a) Exprimer \(u_n\) en fonction de \(n\).
b) Calculer \(S_5 = u_0 + u_1 + u_2 + u_3 + u_4\).
Afficher la solution
a) \(u_n = u_0 \cdot q^n = 3 \times 2^n\).
b) \(S_5 = u_0 \cdot \frac{1 - q^5}{1 - q} = 3 \cdot \frac{1 - 2^5}{1 - 2} = 3 \cdot \frac{1 - 32}{-1} = 3 \times 31 = 93\).
6. Suites arithmético-géométriques
Une suite \((u_n)\) est arithmético-géométrique si elle vérifie une relation de la forme :
\[ u_{n+1} = au_n + b \qquad (a \neq 1, \, a \neq 0) \]
Étape 1 : Trouver le point fixe \(\alpha\) solution de \(\alpha = a\alpha + b\), soit \(\alpha = \frac{b}{1-a}\).
Étape 2 : Poser \(v_n = u_n - \alpha\). La suite \((v_n)\) est géométrique de raison \(a\) :
\[ v_n = v_0 \cdot a^n = (u_0 - \alpha) \cdot a^n \]
Étape 3 : En déduire \(u_n = v_n + \alpha = (u_0 - \alpha) \cdot a^n + \alpha\).
Soit \((u_n)\) définie par \(u_0 = 5\) et \(u_{n+1} = 2u_n - 3\).
Exprimer \(u_n\) en fonction de \(n\).
Afficher la solution
Point fixe : \(\alpha = 2\alpha - 3 \implies \alpha = 3\).
Posons \(v_n = u_n - 3\). Alors \(v_{n+1} = u_{n+1} - 3 = 2u_n - 3 - 3 = 2(u_n - 3) = 2v_n\).
Donc \((v_n)\) est géométrique de raison \(2\) et \(v_0 = u_0 - 3 = 2\).
On a \(v_n = 2 \cdot 2^n = 2^{n+1}\). Puis \(u_n = v_n + 3 = 2^{n+1} + 3\).
Questions fréquentes
Quelle est la différence entre une suite explicite et une suite récurrente ?
Une suite explicite donne \(u_n\) directement en fonction de \(n\) (ex : \(u_n = 2n+1\)). Une suite récurrente donne \(u_{n+1}\) en fonction de \(u_n\) et nécessite un premier terme (ex : \(u_0=1\) et \(u_{n+1}=2u_n+3\)).
Pourquoi la formule de la somme des termes d'une suite géométrique n'est valable que si \(q \neq 1\) ?
Si \(q = 1\), le dénominateur \(1 - q\) s'annule, ce qui rend le calcul impossible. Dans ce cas, la suite est constante (\(u_n = u_0\)) et la somme de \(n\) termes vaut simplement \(n \times u_0\).
Résumé final
Ce chapitre pose les bases de l'étude des suites numériques. En maîtrisant les définitions de monotonie et de bornes, ainsi que les formules des suites arithmétiques et géométriques, vous disposez des outils nécessaires pour aborder les chapitres plus avancés (limites de suites, convergence). La méthode des suites arithmético-géométriques est particulièrement utile pour modéliser des phénomènes concrets et constitue un classique des examens.
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Cours préparé par Sif Elarab Ayyoub — EduMaroc
Source : edumaroc.org
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