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Cours de Mathématiques : Limites et continuité — 2e BAC PC et SVT 2025-2026
| Niveau | 2e année du baccalauréat |
| Filière | PC et SVT |
| Matière | Mathématiques |
| Chapitre | Limites et continuité |
| Sous-chapitre | Limites, continuité, TVI, fonctions réciproques |
| Programme | Programme officiel marocain — 2025-2026 |
| Durée indicative d'étude | 7 heures |
| Dernière mise à jour | 05 novembre 2025 |
Le chapitre « Limites et continuité » constitue le socle de l'analyse en deuxième année du baccalauréat, filières PC et SVT. Il prolonge l'étude des limites amorcée en première année et introduit la notion de continuité, indispensable pour comprendre les fonctions réciproques, le théorème des valeurs intermédiaires et l'étude complète des variations. Ce cours reprend l'ensemble des notions du programme officiel avec des explications claires, des démonstrations et des exercices corrigés.
Ce chapitre pèse lourd à l'examen national : les exercices sur les limites, la continuité et le TVI reviennent presque chaque année. Savoir calculer une limite, étudier la continuité en un point, déterminer des paramètres pour assurer la continuité ou justifier l'existence d'une solution sont des compétences attendues. Maîtriser ce chapitre vous permet aussi d'aborder plus sereinement la dérivation, les fonctions réciproques et les racines n-ièmes.
Vous trouverez ici un cours complet et structuré : définitions, propriétés, théorèmes, méthodes pas à pas, erreurs classiques, exercices intégrés avec corrections détaillées, fiche de révision, quiz et FAQ. Un bouton d'impression génère une version propre, sans publicité, avec toutes les solutions visibles et le copyright de l'article.
Table des matières
Prérequis
Avant de commencer ce chapitre, assurez-vous de maîtriser les notions suivantes :
- La notion de limite d'une fonction en un point et à l'infini.
- Les techniques de calcul de limites : factorisation, conjugué, comparaison.
- Les limites des fonctions usuelles : polynômes, rationnelles, racines, sinus et cosinus.
- La dérivation et le lien entre le signe de la dérivée et la monotonie.
- La résolution d'équations et d'inéquations du premier et du second degré.
- La manipulation des valeurs absolues et des racines n-ièmes.
Objectifs pédagogiques
À la fin de ce cours, vous serez capable de :
- Calculer une limite en utilisant les opérations sur les limites et lever les formes indéterminées.
- Définir et reconnaître la continuité d'une fonction en un point et sur un intervalle.
- Étudier la continuité à droite et à gauche d'une fonction en un point.
- Déterminer des paramètres pour qu'une fonction définie par morceaux soit continue.
- Déterminer l'image d'un intervalle par une fonction continue.
- Appliquer le théorème des valeurs intermédiaires et ses corollaires.
- Montrer qu'une fonction continue et strictement monotone admet une fonction réciproque et la déterminer.
- Utiliser les racines n-ièmes, les expressions conjuguées d'ordre 3 et 4 et les puissances rationnelles.
Le cours complet
I. Limite d'une fonction
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle pointé de centre $a$, et $l$ un réel. On dit que $f$ tend vers $l$ quand $x$ tend vers $a$ si :
$$(\forall \varepsilon > 0)(\exists \alpha > 0)(\forall x \in D_f)(0 < |x-a| < \alpha \Rightarrow |f(x)-l| < \varepsilon).$$
On note $\lim_{x \to a} f(x) = l$. Cette définition formelle garantit que $f(x)$ reste aussi proche que l'on veut de $l$ dès que $x$ est suffisamment proche de $a$.
1. Opérations sur les limites
Les tableaux suivants résument les règles de calcul. Ils sont valables que $x$ tende vers $a^+$, $a^-$, $+\infty$ ou $-\infty$.
| $\lim f$ | $\lim g$ | $\lim (f+g)$ |
|---|---|---|
| $l$ | $l'$ | $l+l'$ |
| $l$ | $+\infty$ | $+\infty$ |
| $-\infty$ | $-\infty$ | $-\infty$ |
| $+\infty$ | $-\infty$ | Forme indéterminée |
Pour le produit, si $\lim f = l$ et $\lim g = l'$, alors $\lim (f \times g) = l \times l'$. Les cas avec $0 \times \infty$ ou $\infty \times \infty$ doivent être étudiés séparément. Pour le quotient, si $\lim g = l' \neq 0$, alors $\lim \frac{f}{g} = \frac{l}{l'}$. Si $\lim g = 0^+$ et $\lim f = l > 0$, alors $\lim \frac{f}{g} = +\infty$.
Une forme indéterminée est une expression comme $\infty - \infty$, $0 \times \infty$, $\frac{0}{0}$ ou $\frac{\infty}{\infty}$. Elle signifie que le calcul direct ne permet pas de conclure : il faut transformer l'expression (factorisation, conjugué, comparaison) pour lever l'indétermination.
2. Exemples de calcul
Pour $\lim_{x \to +\infty} (x^2 - x + 7)$, on factorise par le terme dominant :
$$\lim_{x \to +\infty} x^2\left(1 - \frac{1}{x} + \frac{7}{x^2}\right) = +\infty.$$
Pour $\lim_{x \to 1^+} \frac{3x+1}{x^2+x-2}$, on a $\lim_{x \to 1^+} (3x+1) = 4$ et $\lim_{x \to 1^+} (x^2+x-2) = 0^+$, donc le quotient tend vers $+\infty$.
Évitez d'écrire $\frac{2}{0^+}$ ou $\frac{2}{0^-}$ : ces écritures n'ont pas de sens mathématique. De même, $+\infty$ et $-\infty$ ne sont pas des réels : on ne les utilise pas dans les opérations habituelles.
II. Continuité en un point
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle de centre $a$. On dit que $f$ est continue en $a$ si $f$ admet une limite finie en $a$ et si :
$$\lim_{x \to a} f(x) = f(a).$$
Autrement dit :
$$(\forall \varepsilon > 0)(\exists \alpha > 0)(\forall x \in D_f)(0 \leq |x-a| < \alpha \Rightarrow |f(x)-f(a)| < \varepsilon).$$
Graphiquement, cela signifie que la courbe de $f$ ne présente pas de « trou » en $a$ : on peut la tracer sans lever le crayon au voisinage de $a$.
III. Continuité à droite et à gauche
Soit $f$ définie sur $[a, a+r[$ avec $r > 0$. On dit que $f$ est continue à droite de $a$ si :
$$\lim_{x \to a^+} f(x) = f(a).$$
De même, si $f$ est définie sur $]a-r, a]$, on dit que $f$ est continue à gauche de $a$ si :
$$\lim_{x \to a^-} f(x) = f(a).$$
Théorème : une fonction est continue en $a$ si et seulement si elle est continue à droite et à gauche de $a$. Autrement dit :
$$f \text{ continue en } a \iff \lim_{x \to a^+} f(x) = \lim_{x \to a^-} f(x) = f(a).$$
Ce théorème est très utile pour les fonctions définies par morceaux.
IV. Continuité sur un intervalle
Soit $f$ définie sur un intervalle $I$. On dit que $f$ est continue sur $I$ si elle est continue en tout point de $I$. Selon la nature de l'intervalle :
- $f$ est continue sur $]a,b[$ si elle est continue en tout point de $]a,b[$.
- $f$ est continue sur $[a,b]$ si elle est continue sur $]a,b[$, continue à droite de $a$ et continue à gauche de $b$.
- $f$ est continue sur $[a,b[$ si elle est continue sur $]a,b[$ et continue à droite de $a$.
- $f$ est continue sur $]a,b]$ si elle est continue sur $]a,b[$ et continue à gauche de $b$.
Si $f$ est continue sur $[a,b]$ et sur $[b,c]$, alors elle est continue sur $[a,c]$. En revanche, la continuité sur $[a,b]$ et sur $[b,c]$ ne suffit pas toujours pour être continue sur $[a,c]$ si $f$ n'est pas définie de façon cohérente en $b$.
V. Opérations sur les fonctions continues
Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues en $a$. Alors :
- $f+g$ est continue en $a$.
- $f \times g$ est continue en $a$.
- $|f|$ est continue en $a$.
- Si $g(a) \neq 0$, alors $\frac{1}{g}$ et $\frac{f}{g}$ sont continues en $a$.
- Si $f(a) \geq 0$, alors $\sqrt{f}$ est continue en $a$.
Ces propriétés restent vraies à droite et à gauche de $a$, ainsi que sur tout intervalle $I$.
Fonctions usuelles : toute fonction polynôme est continue sur $\mathbb{R}$ ; toute fonction rationnelle est continue sur son domaine de définition ; les fonctions $\sin$ et $\cos$ sont continues sur $\mathbb{R}$ ; la fonction $\tan$ est continue sur chaque intervalle de la forme $\left]-\frac{\pi}{2}+k\pi, \frac{\pi}{2}+k\pi\right[$ avec $k \in \mathbb{Z}$.
VI. Image d'un intervalle par une fonction continue
Théorème : l'image d'un segment $[a,b]$ par une fonction continue $f$ est le segment $[m,M]$, où $m$ est le minimum de $f$ sur $[a,b]$ et $M$ son maximum :
$$f([a,b]) = [m,M].$$
Plus généralement, l'image d'un intervalle $I$ par une fonction continue est un intervalle $f(I)$.
Si $f$ est continue et strictement croissante sur $[a,b]$, alors $f([a,b]) = [f(a),f(b)]$. Si $f$ est continue et strictement décroissante, alors $f([a,b]) = [f(b),f(a)]$.
VII. Théorème des valeurs intermédiaires
Théorème (TVI) : soit $f$ une fonction continue sur $[a,b]$. Pour tout réel $\lambda$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe au moins un $c \in [a,b]$ tel que $f(c) = \lambda$.
Corollaire 1 : si $f$ est continue sur $[a,b]$ et si $f(a) \times f(b) < 0$, alors il existe au moins un $c \in ]a,b[$ tel que $f(c) = 0$.
Corollaire 2 : si $f$ est continue et strictement monotone sur $[a,b]$ et si $f(a) \times f(b) < 0$, alors il existe un et un seul $c \in ]a,b[$ tel que $f(c) = 0$.
Le TVI garantit l'existence d'une solution. Pour l'unicité, il faut ajouter la stricte monotonie.
VIII. Composition et fonctions réciproques
Soient $f$ définie sur $I$ et $g$ définie sur $J$ avec $f(I) \subset J$. Si $f$ est continue en $x_0$ et $g$ continue en $f(x_0)$, alors $g \circ f$ est continue en $x_0$. Si $f$ est continue sur $I$ et $g$ continue sur $f(I)$, alors $g \circ f$ est continue sur $I$.
Théorème : soit $f$ une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle $I$. Alors $f$ réalise une bijection de $I$ sur $J = f(I)$ et admet une fonction réciproque $f^{-1}$ définie sur $J$ par :
$$f^{-1}(y) = x \iff f(x) = y.$$
La fonction $f^{-1}$ est continue sur $J$ et varie dans le même sens que $f$. Les courbes de $f$ et $f^{-1}$ sont symétriques par rapport à la droite d'équation $y = x$.
IX. Fonction racine n-ième
Pour $n \in \mathbb{N}^*$, la fonction $x \mapsto x^n$ est continue et strictement croissante sur $\mathbb{R}^+$. Elle admet une fonction réciproque notée $x \mapsto \sqrt[n]{x}$, définie sur $\mathbb{R}^+$. On a :
$$\left(\sqrt[n]{x}\right)^n = \sqrt[n]{x^n} = x.$$
Règles de calcul pour $x, y \in \mathbb{R}^+$ :
$$\sqrt[n]{xy} = \sqrt[n]{x}\,\sqrt[n]{y}, \qquad \sqrt[n]{\frac{x}{y}} = \frac{\sqrt[n]{x}}{\sqrt[n]{y}} \ (y > 0), \qquad \sqrt[n]{\sqrt[p]{x}} = \sqrt[np]{x}.$$
De plus, $\lim_{x \to +\infty} \sqrt[n]{x} = +\infty$. Si $\lim u(x) = l \geq 0$, alors $\lim \sqrt[n]{u(x)} = \sqrt[n]{l}$.
X. Expression conjuguée d'ordre 3 et 4
Pour lever les indéterminations avec des racines cubiques, on utilise :
$$a-b = \frac{a^3-b^3}{a^2+ab+b^2}, \qquad a+b = \frac{a^3+b^3}{a^2-ab+b^2}.$$
Ainsi :
$$\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{y} = \frac{x-y}{\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{xy}+\sqrt[3]{y^2}}.$$
Pour les racines quatrièmes :
$$a-b = \frac{a^4-b^4}{a^3+a^2b+ab^2+b^3}.$$
XI. Puissance rationnelle
Pour $x \geq 0$ et $r = \frac{p}{q} \in \mathbb{Q}$ avec $p \in \mathbb{Z}$ et $q \in \mathbb{N}^*$, on pose :
$$x^r = x^{p/q} = \sqrt[q]{x^p} = \left(\sqrt[q]{x}\right)^p.$$
Les propriétés algébriques restent valables : $x^{r+r'} = x^r x^{r'}$, $(x^r)^{r'} = x^{rr'}$, $x^{-r} = \frac{1}{x^r}$, $(xy)^r = x^r y^r$.
Méthodes et exemples corrigés
Méthode 1 : Étudier la continuité en un point
Exemple : soit $f(x) = \frac{3x^2+x-4}{\sqrt{x^2+3}-2}$ pour $x \neq \pm 1$ et $f(1) = 14$. Étudier la continuité de $f$ en $1$.
Étape 1 : déterminer le domaine de définition. Le dénominateur s'annule lorsque $\sqrt{x^2+3} = 2$, c'est-à-dire $x^2 = 1$, donc $x = \pm 1$. Ainsi $D_f = \mathbb{R} \setminus \{-1,1\}$.
Étape 2 : calculer la limite en $1$. On multiplie par le conjugué :
$$f(x) = \frac{(3x^2+x-4)(\sqrt{x^2+3}+2)}{x^2-1}.$$
Or $3x^2+x-4 = (3x+4)(x-1)$ et $x^2-1 = (x-1)(x+1)$. Après simplification :
$$f(x) = \frac{(3x+4)(\sqrt{x^2+3}+2)}{x+1}.$$
En $x=1$, on obtient $\frac{7 \times 4}{2} = 14$.
Étape 3 : comparer avec $f(1) = 14$. On a $\lim_{x \to 1} f(x) = f(1)$, donc $f$ est continue en $1$.
Méthode 2 : Déterminer des paramètres pour assurer la continuité
Exemple : soit $g$ définie par :
$$g(x) = \begin{cases} \frac{x^2+x-6}{\sqrt{2x+12}-4} & \text{si } x > 2 \\ \frac{x^2+\alpha x-\alpha+1}{x-2} & \text{si } x < 2 \\ g(2) = l & \end{cases}$$
Existe-t-il $\alpha$ et $l$ pour que $g$ soit continue en $2$ ?
Limite à droite : $x^2+x-6 = (x-2)(x+3)$ et $\sqrt{2x+12}-4 = \frac{2(x-2)}{\sqrt{2x+12}+4}$. Donc :
$$g(x) = \frac{(x-2)(x+3)(\sqrt{2x+12}+4)}{2(x-2)} = \frac{(x+3)(\sqrt{2x+12}+4)}{2}.$$
En $x=2$, on obtient $\frac{5 \times 8}{2} = 20$.
Limite à gauche : le dénominateur tend vers $0$. Pour que la limite soit finie, il faut que le numérateur s'annule en $2$ : $4+2\alpha-\alpha+1 = 0$, soit $\alpha = -5$. Alors $x^2-5x+6 = (x-2)(x-3)$, et le quotient vaut $x-3$, qui tend vers $-1$.
Conclusion : la limite à droite vaut $20$ et la limite à gauche vaut $-1$. Elles ne sont pas égales, donc il n'existe pas de valeurs de $\alpha$ et $l$ rendant $g$ continue en $2$.
Méthode 3 : Appliquer le TVI
Exemple : montrer que l'équation $x^3+x-1=0$ admet une unique racine dans $[0,1]$.
Soit $f(x) = x^3+x-1$. $f$ est continue sur $[0,1]$ car c'est une fonction polynôme.
$f(0) = -1$ et $f(1) = 1$. Comme $f(0) \times f(1) < 0$, le TVI garantit l'existence d'au moins un $c \in ]0,1[$ tel que $f(c)=0$.
De plus, $f'(x) = 3x^2+1 > 0$ sur $[0,1]$, donc $f$ est strictement croissante. La solution est donc unique.
Méthode 4 : Déterminer une fonction réciproque
Exemple : soit $f(x) = 2x^2+x+1$ sur $[0,1]$. Montrer que $f$ admet une réciproque et la déterminer.
$f$ est continue et dérivable sur $[0,1]$, et $f'(x) = 4x+1 > 0$. Donc $f$ est strictement croissante sur $[0,1]$.
$f([0,1]) = [f(0),f(1)] = [1,4]$. Ainsi $f$ réalise une bijection de $[0,1]$ sur $[1,4]$.
Pour $y \in [1,4]$, on résout $2x^2+x+1 = y$, soit $2x^2+x+(1-y)=0$. Le discriminant vaut $\Delta = 1-8(1-y) = 8y-7$. La racine positive est :
$$x = \frac{-1+\sqrt{8y-7}}{4}.$$
Donc $f^{-1}(x) = \frac{-1+\sqrt{8x-7}}{4}$ pour $x \in [1,4]$.
Erreurs fréquentes et pièges
Erreur 1 : confondre continuité et dérivabilité. Toute fonction dérivable est continue, mais la réciproque est fausse : $f(x)=|x|$ est continue en $0$ mais non dérivable en $0$.
Erreur 2 : oublier de vérifier la continuité à droite et à gauche pour une fonction définie par morceaux. Il faut calculer les deux limites et les comparer à $f(a)$.
Erreur 3 : appliquer le TVI sans vérifier la continuité sur le segment $[a,b]$. Le théorème exige cette continuité.
Erreur 4 : conclure à l'unicité sans justifier la stricte monotonie. Le TVI donne l'existence, pas l'unicité.
Erreur 5 : écrire $\frac{2}{0^+}$ ou manipuler $+\infty$ comme un réel. Ces écritures sont interdites.
Erreur 6 : oublier le domaine de définition avant de calculer une limite ou d'étudier la continuité.
Exercices et examens nationaux
Les exercices suivants sont intégrés avec leurs corrections détaillées. Ils couvrent les limites, la continuité, le TVI, les fonctions réciproques et les racines n-ièmes.
| Exercice | Type | Année / Session | Niveau |
|---|---|---|---|
| Exercice 1 — Calcul de limites | Application directe | — | Facile |
| Exercice 2 — Continuité en un point | Application directe | — | Facile |
| Exercice 3 — Fonction par morceaux | Raisonnement | — | Moyen |
| Exercice 4 — Paramètres et continuité | Synthèse | — | Moyen |
| Exercice 5 — Continuité et encadrement | Type BAC | — | Moyen |
| Exercice 6 — Théorème des valeurs intermédiaires | Type BAC | — | Moyen |
| Exercice 7 — Fonction réciproque | Synthèse | — | Moyen |
| Exercice 8 — Racines n-ièmes | Application directe | — | Facile |
Tous les exercices et sujets corrigés
Consultez la liste complète des exercices d'application, exercices corrigés et examens nationaux classés par chapitre et par filière.
Voir tous les exercicesExercice 1 — Calcul de limites
Déterminer les limites suivantes :
1) $\lim_{x \to 1} \frac{3x^2-x}{2x^3+2x-4}$
2) $\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{4x+1}-3}{x^2-2x^3+2}$
3) $\lim_{x \to -1} \frac{\sqrt{4-5x}-3}{1-\sqrt{2+x}}$
4) $\lim_{x \to 0} \frac{2x^2+x}{|x^2+x|-2x}$
5) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 7x}{5x}$
Correction détaillée
1) Le numérateur tend vers $2$ et le dénominateur vers $0$. Or $2x^3+2x-4 = 2(x-1)(x^2+x+2)$. Au voisinage de $1$, le dénominateur est équivalent à $8(x-1)$. Donc la limite à droite vaut $+\infty$ et la limite à gauche vaut $-\infty$. Il n'y a pas de limite finie.
2) Le numérateur tend vers $0$ et le dénominateur vers $4-16+2=-10$. Donc la limite vaut $0$.
3) On pose $t = x+1$. Le numérateur vaut $\sqrt{9-5t}-3 \sim -\frac{5t}{6}$ et le dénominateur $1-\sqrt{1+t} \sim -\frac{t}{2}$. Le quotient tend vers $\frac{5}{3}$.
4) Pour $x>0$ petit, $|x^2+x| = x^2+x$, donc le dénominateur vaut $x^2-x \sim -x$ et le quotient tend vers $-1$. Pour $x<0$ petit, $|x^2+x| = -x^2-x$, le dénominateur vaut $-x^2-3x \sim -3x$ et le quotient tend vers $-\frac{1}{3}$. Les limites à droite et à gauche sont différentes : pas de limite.
5) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 7x}{5x} = \frac{7}{5}$.
Exercice 2 — Continuité en un point
Soit $f(x) = \frac{3x^2+x-4}{\sqrt{x^2+3}-2}$ pour $x \neq \pm 1$ et $f(1)=14$. Déterminer $D_f$, calculer $\lim_{x \to 1} f(x)$ et conclure sur la continuité en $1$.
Correction détaillée
$D_f = \mathbb{R} \setminus \{-1,1\}$ car le dénominateur s'annule pour $x = \pm 1$.
On multiplie par le conjugué :
$$f(x) = \frac{(3x^2+x-4)(\sqrt{x^2+3}+2)}{x^2-1} = \frac{(3x+4)(\sqrt{x^2+3}+2)}{x+1}.$$
En $x=1$, on obtient $\frac{7 \times 4}{2} = 14$. Donc $\lim_{x \to 1} f(x) = 14 = f(1)$ : $f$ est continue en $1$.
Exercice 3 — Fonction par morceaux
Soit $f$ définie par :
$$f(x) = \begin{cases} \frac{2x^3-x-14}{x^2-x-2} & \text{si } x > 2 \\ \frac{x-2}{2x^2+x-10} & \text{si } x < 2 \\ f(2) = \frac{1}{9} & \end{cases}$$
Étudier la continuité de $f$ en $2$.
Correction détaillée
Limite à droite : $2x^3-x-14 = (x-2)(2x^2+4x+7)$ et $x^2-x-2 = (x-2)(x+1)$. Donc le quotient vaut $\frac{2x^2+4x+7}{x+1}$, qui tend vers $\frac{23}{3}$ en $2$.
Limite à gauche : $2x^2+x-10 = (x-2)(2x+5)$, donc le quotient vaut $\frac{1}{2x+5}$, qui tend vers $\frac{1}{9}$.
On a $\lim_{x \to 2^-} f(x) = \frac{1}{9} = f(2)$, donc $f$ est continue à gauche de $2$. Mais $\lim_{x \to 2^+} f(x) = \frac{23}{3} \neq f(2)$, donc $f$ n'est pas continue à droite de $2$. $f$ n'est pas continue en $2$.
Exercice 4 — Paramètres et continuité
Soit $g$ définie par :
$$g(x) = \begin{cases} \frac{x^2+x-6}{\sqrt{2x+12}-4} & \text{si } x > 2 \\ \frac{x^2+\alpha x-\alpha+1}{x-2} & \text{si } x < 2 \\ g(2) = l & \end{cases}$$
Existe-t-il $\alpha$ et $l$ pour que $g$ soit continue en $2$ ?
Correction détaillée
Limite à droite : en factorisant, on trouve $20$.
Limite à gauche : pour que la limite soit finie, il faut $\alpha = -5$, ce qui donne une limite égale à $-1$.
Comme $20 \neq -1$, il n'existe pas de valeurs de $\alpha$ et $l$ rendant $g$ continue en $2$.
Exercice 5 — Continuité et encadrement
Soit $f(x) = x \sin\left(\frac{3}{x}\right)$ pour $x \neq 0$ et $f(0)=0$. Montrer que $f$ est continue en $0$.
Correction détaillée
Pour tout $x \neq 0$, on a $\left|\sin\left(\frac{3}{x}\right)\right| \leq 1$, donc $|f(x)| \leq |x|$.
Comme $\lim_{x \to 0} |x| = 0$, par encadrement $\lim_{x \to 0} f(x) = 0 = f(0)$.
Conclusion : $f$ est continue en $0$.
Exercice 6 — Théorème des valeurs intermédiaires
Montrer que l'équation $x^3+x-1=0$ admet une racine unique dans $[0,1]$, puis une racine unique dans $\mathbb{R}$.
Correction détaillée
Soit $f(x)=x^3+x-1$, continue sur $[0,1]$. $f(0)=-1$ et $f(1)=1$, donc $f(0)f(1)<0$ : il existe $c \in ]0,1[$ tel que $f(c)=0$.
$f'(x)=3x^2+1>0$ sur $\mathbb{R}$, donc $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$. La racine est donc unique dans $[0,1]$, et plus généralement unique dans $\mathbb{R}$ car $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$ et $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$.
Exercice 7 — Fonction réciproque
Soit $f(x)=2x^2+x+1$ définie sur $[0,1]$. Montrer que $f$ admet une fonction réciproque de $J=f([0,1])$ vers $[0,1]$ et déterminer $f^{-1}(x)$.
Correction détaillée
$f$ est continue et $f'(x)=4x+1>0$ sur $[0,1]$, donc $f$ est strictement croissante.
$J = [f(0),f(1)] = [1,4]$. $f$ réalise une bijection de $[0,1]$ sur $[1,4]$.
Pour $y \in [1,4]$, on résout $2x^2+x+1=y$. La racine positive est $x = \frac{-1+\sqrt{8y-7}}{4}$.
Donc $f^{-1}(x) = \frac{-1+\sqrt{8x-7}}{4}$ pour $x \in [1,4]$.
Exercice 8 — Racines n-ièmes
Résoudre dans $\mathbb{R}$ : 1) $x^4=16$ ; 2) $(x-1)^3=-27$.
Correction détaillée
1) $x^4=16 \iff x = \pm\sqrt[4]{16} = \pm 2$. Donc $S=\{-2,2\}$.
2) $(x-1)^3=-27 \iff x-1 = -\sqrt[3]{27} = -3$, donc $x=-2$. $S=\{-2\}$.
Fiche de révision express
| Notion | Formule / Propriété |
|---|---|
| Continuité en $a$ | $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ |
| Continuité à droite | $\lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)$ |
| Continuité à gauche | $\lim_{x \to a^-} f(x) = f(a)$ |
| Équivalence | $f$ continue en $a$ $\iff$ continue à droite et à gauche |
| Opérations | Somme, produit, quotient et composée de fonctions continues sont continus |
| Fonctions usuelles | Polynômes, rationnelles, $\sin$, $\cos$, $\sqrt{x}$ continus sur leur domaine |
| Image d'un segment | $f([a,b]) = [m,M]$ |
| TVI | Si $f$ continue sur $[a,b]$ et $f(a)f(b)<0$, alors $f(x)=0$ admet une solution dans $]a,b[$ |
| Unicité | Si $f$ est de plus strictement monotone, la solution est unique |
| Réciproque | $f^{-1}(y)=x \iff f(x)=y$ |
| Racine n-ième | $\left(\sqrt[n]{x}\right)^n = x$ |
| Puissance rationnelle | $x^{p/q} = \sqrt[q]{x^p}$ |
Quiz d'autoévaluation
Question 1 : Une fonction continue en $a$ est-elle nécessairement dérivable en $a$ ?
Non. La continuité n'implique pas la dérivabilité. Par exemple, $f(x)=|x|$ est continue en $0$ mais non dérivable en $0$.
Question 2 : Que signifie une forme indéterminée ?
C'est une expression comme $\infty-\infty$, $0 \times \infty$, $\frac{0}{0}$ ou $\frac{\infty}{\infty}$ pour laquelle le calcul direct ne permet pas de conclure. Il faut transformer l'expression.
Question 3 : Quand peut-on affirmer que l'équation $f(x)=0$ admet une solution unique dans $]a,b[$ ?
Lorsque $f$ est continue sur $[a,b]$, que $f(a)f(b)<0$ et que $f$ est strictement monotone sur $[a,b]$.
Question 4 : Comment montrer qu'une fonction admet une fonction réciproque ?
Il suffit de montrer qu'elle est continue et strictement monotone sur un intervalle $I$. Elle réalise alors une bijection de $I$ sur $f(I)$.
Questions fréquentes
Qu'est-ce qu'une fonction continue en un point ?
Une fonction $f$ est continue en $a$ si $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$. Cela signifie que la limite existe et qu'elle est égale à la valeur de la fonction en $a$.
Quelle est la différence entre continuité et dérivabilité ?
La dérivabilité est plus forte : toute fonction dérivable en un point est continue en ce point, mais l'inverse est faux. La fonction valeur absolue en est l'exemple classique.
Comment appliquer le théorème des valeurs intermédiaires ?
On vérifie que $f$ est continue sur $[a,b]$, on calcule $f(a)$ et $f(b)$, et si leurs signes sont contraires, alors l'équation $f(x)=0$ admet au moins une solution dans $]a,b[$. Pour l'unicité, on ajoute la stricte monotonie.
Comment déterminer la fonction réciproque d'une fonction ?
On part de $y=f(x)$ et on résout pour exprimer $x$ en fonction de $y$. La fonction obtenue $x=f^{-1}(y)$ est la réciproque. On échange ensuite les noms des variables.
Quelles sont les fonctions usuelles continues sur leur domaine ?
Les polynômes, les fonctions rationnelles, $\sin$, $\cos$, $\sqrt{x}$ et les fonctions exponentielles sont continus sur leur domaine de définition.
Comment lever une indétermination avec une racine cubique ?
On utilise l'expression conjuguée d'ordre 3 : $a-b = \frac{a^3-b^3}{a^2+ab+b^2}$. Cela permet de simplifier le quotient et de calculer la limite.
Résumé final
La maîtrise des limites et de la continuité est essentielle pour réussir l'épreuve de mathématiques du baccalauréat. Retenez les règles de calcul des limites, les définitions de la continuité en un point et sur un intervalle, le théorème des valeurs intermédiaires et la caractérisation des fonctions réciproques. Entraînez-vous régulièrement avec les exercices corrigés, vérifiez toujours la continuité avant d'appliquer le TVI et justifiez la stricte monotonie lorsque vous concluez à l'unicité. Avec de la rigueur et de la pratique, ce chapitre deviendra une force pour vous.
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