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Cours de Mathématiques : Limites et continuité — 2e BAC PC et SVT 2025-2026
| Niveau | 2e année du baccalauréat |
| Filière | PC et SVT |
| Matière | Mathématiques |
| Chapitre | Limites et continuité |
| Sous-chapitre | Continuité, TVI, fonctions réciproques, racines n-ièmes, dichotomie |
| Programme | Programme officiel marocain — 2025-2026 |
| Durée indicative d'étude | 7 heures |
| Dernière mise à jour | 05 novembre 2025 |
Le chapitre « Limites et continuité » est un passage obligé de la deuxième année du baccalauréat scientifique, filières PC et SVT. Il prolonge l'étude des limites commencée en première année et installe la notion de continuité, qui sert de base au théorème des valeurs intermédiaires, à l'étude des fonctions réciproques et à la méthode de dichotomie. Ce cours reprend l'ensemble des définitions et propriétés du programme officiel, avec des exemples détaillés et des exercices corrigés.
À l'examen national, ce chapitre est très souvent mobilisé : calcul de limites, étude de la continuité en un point ou sur un intervalle, détermination de paramètres pour assurer la continuité, application du TVI pour justifier l'existence ou l'unicité d'une solution, et encadrement par dichotomie. Ces compétences reviennent presque chaque année, et les questions posées demandent de la rigueur dans la rédaction et la justification.
Vous trouverez dans cet article un cours complet et structuré : définitions, propriétés, théorèmes, méthodes pas à pas, erreurs classiques, exercices intégrés avec corrections détaillées, fiche de révision, quiz et FAQ. Un bouton d'impression vous permet de générer une version propre, sans publicité, avec toutes les solutions visibles et le copyright de l'article.
Table des matières
Prérequis
Avant d'aborder ce chapitre, assurez-vous de maîtriser les notions suivantes :
- La notion de limite d'une fonction en un point et à l'infini.
- Les techniques de calcul de limites : factorisation, expression conjuguée, comparaison.
- Les limites des fonctions usuelles : polynômes, fonctions rationnelles, racines, sinus et cosinus.
- La dérivation et le lien entre le signe de la dérivée et la monotonie.
- La résolution d'équations et d'inéquations du premier et du second degré.
- La manipulation des valeurs absolues et des encadrements.
Objectifs pédagogiques
À la fin de ce cours, vous serez capable de :
- Définir la continuité d'une fonction en un point et sur un intervalle.
- Étudier la continuité à droite et à gauche d'une fonction en un point.
- Démontrer qu'une fonction est continue en utilisant les théorèmes généraux.
- Déterminer des paramètres pour qu'une fonction définie par morceaux soit continue.
- Déterminer l'image d'un segment ou d'un intervalle par une fonction continue.
- Appliquer le théorème des valeurs intermédiaires et son corollaire.
- Montrer qu'une fonction continue et strictement monotone admet une fonction réciproque et déterminer sa dérivée.
- Utiliser les propriétés des racines n-ièmes.
- Mettre en œuvre la méthode de dichotomie pour encadrer une solution.
Le cours complet
I. Continuité en un point
Soit $f$ une fonction numérique définie sur un intervalle ouvert $I$ et $x_0$ un élément de $I$. On dit que $f$ est continue au point $x_0$ si :
$$\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0).$$
Cette égalité signifie que la limite de $f$ en $x_0$ existe, qu'elle est finie, et qu'elle vaut exactement la valeur de la fonction en $x_0$. Graphiquement, la courbe de $f$ ne présente pas de « trou » en $x_0$ : on peut la tracer sans lever le crayon au voisinage de ce point.
Si $f$ est définie en $x_0$ mais n'admet pas de limite finie en $x_0$, on dit que $f$ est discontinue en $x_0$. De même, si la limite existe mais diffère de $f(x_0)$, la fonction est discontinue en $x_0$.
II. Continuité à droite et à gauche
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle de la forme $[x_0, x_0+\alpha[$ avec $\alpha > 0$. On dit que $f$ est continue à droite de $x_0$ si :
$$\lim_{x \to x_0^+} f(x) = f(x_0).$$
De même, si $f$ est définie sur $]x_0-\alpha, x_0]$, on dit que $f$ est continue à gauche de $x_0$ si :
$$\lim_{x \to x_0^-} f(x) = f(x_0).$$
Proposition : une fonction $f$ est continue au point $x_0$ si et seulement si elle est continue à droite et à gauche de $x_0$. Autrement dit :
$$f \text{ continue en } x_0 \iff \lim_{x \to x_0^+} f(x) = \lim_{x \to x_0^-} f(x) = f(x_0).$$
Cette proposition est l'outil principal pour étudier la continuité des fonctions définies par morceaux : on calcule la limite à droite, la limite à gauche, et on compare avec la valeur de la fonction au point de raccordement.
III. Continuité sur un intervalle
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ à valeurs dans $\mathbb{R}$. On dit que $f$ est continue sur $I$ si elle est continue en chaque point de $I$. Selon la nature de l'intervalle, on distingue plusieurs situations :
- $f$ est continue sur l'intervalle ouvert $]a,b[$ si elle est continue en tout point de $]a,b[$.
- $f$ est continue sur $[a,b[$ si elle est continue sur $]a,b[$ et continue à droite de $a$.
- $f$ est continue sur $]a,b]$ si elle est continue sur $]a,b[$ et continue à gauche de $b$.
- $f$ est continue sur $[a,b]$ si elle est continue sur $]a,b[$, continue à droite de $a$ et continue à gauche de $b$.
La continuité sur un intervalle se vérifie donc en deux temps : d'abord à l'intérieur de l'intervalle, où les théorèmes généraux s'appliquent, puis aux bornes, où il faut calculer les limites latérales.
IV. Propriétés générales des fonctions continues
Les fonctions usuelles sont continues sur tout intervalle où elles sont définies : les fonctions polynômes, les fonctions constantes, les fonctions rationnelles (quotients de polynômes), la fonction racine carrée, les fonctions exponentielles et les fonctions trigonométriques. Les composées de ces fonctions usuelles sont également continues sur leur domaine de définition.
Opérations : soient $f$ et $g$ deux fonctions continues en $a$, et $k$ un réel. Alors les fonctions $f+g$, $f \times g$, $kf$ et $|f|$ sont continues en $a$. Si de plus $g(a) \neq 0$, alors $\frac{1}{g}$ et $\frac{f}{g}$ sont continues en $a$. Enfin, si $f$ est continue en $a$, alors $x \mapsto (f(x))^n$ est continue en $a$ pour tout $n \in \mathbb{N}^*$.
Conséquences : toute fonction polynôme est continue sur $\mathbb{R}$ ; toute fonction rationnelle est continue sur chaque intervalle de son ensemble de définition.
Composition : soient $f$ définie sur un intervalle $I$ et $g$ définie sur un intervalle $J$ tels que $f(I) \subset J$, et $x_0 \in I$. Si $f$ est continue en $x_0$ et $g$ continue en $f(x_0)$, alors $g \circ f$ est continue en $x_0$. Si $f$ est continue sur $I$ et $g$ continue sur $f(I)$, alors $g \circ f$ est continue sur $I$.
Limite d'une composée : soit $u$ une fonction définie sur un intervalle pointé de centre $x_0$ telle que $\lim_{x \to x_0} u(x) = l$. Si $v$ est continue en $l$, alors :
$$\lim_{x \to x_0} v(u(x)) = v(l).$$
V. Image d'un intervalle par une fonction continue
Théorème : l'image d'un intervalle par une fonction continue est un intervalle. L'image d'un segment $[a,b]$ par une fonction continue $f$ est un segment $[m,M]$, où $m$ est la valeur minimale de $f$ sur $[a,b]$ et $M$ sa valeur maximale :
$$f([a,b]) = [m,M].$$
Lorsque la fonction est de plus strictement monotone, l'image se détermine directement à partir des valeurs aux bornes ou des limites aux bornes :
| Intervalle $I$ | $f$ croissante sur $I$ | $f$ décroissante sur $I$ |
|---|---|---|
| $[a,b]$ | $[f(a),f(b)]$ | $[f(b),f(a)]$ |
| $[a,b[$ | $[f(a),\lim_{x \to b^-} f(x)[$ | $]\lim_{x \to b^-} f(x),f(a)]$ |
| $]a,b]$ | $]\lim_{x \to a^+} f(x),f(b)]$ | $[f(b),\lim_{x \to a^+} f(x)[$ |
| $[a,+\infty[$ | $[f(a),\lim_{x \to +\infty} f(x)[$ | $]\lim_{x \to +\infty} f(x),f(a)]$ |
| $]-\infty,b]$ | $]\lim_{x \to -\infty} f(x),f(b)]$ | $[f(b),\lim_{x \to -\infty} f(x)[$ |
VI. Théorème des valeurs intermédiaires
Théorème (TVI) : soit $f$ une fonction définie et continue sur un intervalle $I$, et $a$, $b$ deux réels de $I$ avec $a \lt b$. Pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe au moins un réel $c \in [a,b]$ tel que :
$$f(c) = k.$$
Ce théorème garantit l'existence d'une solution, mais pas son unicité. Pour obtenir l'unicité, on ajoute l'hypothèse de stricte monotonie.
Corollaire : si $f$ est une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle $I$, alors pour tout réel $k$ de l'intervalle $J = f(I)$, l'équation $f(x) = k$ admet une unique solution dans $I$.
En particulier, si $f$ est continue sur $[a,b]$ et si $f(a) \times f(b) \lt 0$, alors l'équation $f(x) = 0$ admet au moins une solution dans $]a,b[$. Si de plus $f$ est strictement monotone, cette solution est unique.
VII. Fonction réciproque
Théorème : soit $f$ une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle $I$. Alors :
- $f(I)$ est un intervalle $J$ de même nature que $I$ (fermé, ouvert ou semi-ouvert), dont les extrémités sont les limites de $f$ aux extrémités de $I$.
- $f$ réalise une bijection de $I$ sur $J = f(I)$ ; il existe donc une fonction réciproque $f^{-1}$ de $J$ vers $I$ telle que :
$$\left(x \in I,\ y = f(x)\right) \iff \left(y \in J,\ x = f^{-1}(y)\right).$$
- $f^{-1}$ est continue sur $J$ et strictement monotone, de même sens de monotonie que $f$.
- Si $f$ est dérivable en $x_0 \in I$ et si $f'(x_0) \neq 0$, alors $f^{-1}$ est dérivable en $y_0 = f(x_0)$ et :
$$\left(f^{-1}\right)'(y_0) = \frac{1}{f'(x_0)} = \frac{1}{f'\left(f^{-1}(y_0)\right)}.$$
Remarque graphique : les courbes représentatives de $f$ et de $f^{-1}$ sont symétriques par rapport à la droite d'équation $y = x$, appelée première bissectrice.
VIII. Fonction racine n-ième
Soit $n$ un entier naturel avec $n \geq 1$. La fonction $x \mapsto x^n$ est continue et strictement croissante sur $\mathbb{R}^+$. Elle admet donc une fonction réciproque, appelée fonction racine n-ième et notée $x \mapsto \sqrt[n]{x}$. Ainsi, pour $x$ et $y$ dans $\mathbb{R}^+$ :
$$y = x^n \iff x = \sqrt[n]{y}.$$
Propriétés des racines n-ièmes, pour $a$ et $b$ réels positifs :
- $\sqrt[n]{0} = 0$ et $\sqrt[n]{1} = 1$.
- $\sqrt[n]{a^n} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^n = a$.
- $\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a}\,\sqrt[n]{b}$.
- $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$ pour $b \gt 0$.
- $\sqrt[n]{a} = a^{1/n}$.
IX. Méthode de dichotomie
La méthode de dichotomie permet de trouver une valeur approchée d'une solution de l'équation $f(x) = 0$. On suppose que $f$ est continue sur $[a,b]$ avec $f(a) \leq 0$ et $f(b) \geq 0$. D'après le TVI, il existe au moins un $c \in [a,b]$ tel que $f(c) = 0$.
On évalue $f$ au milieu de $[a,b]$ :
- si $f\left(\frac{a+b}{2}\right) \leq 0$, alors une racine se trouve dans $\left[\frac{a+b}{2}, b\right]$ ;
- sinon, une racine se trouve dans $\left[a, \frac{a+b}{2}\right]$.
On recommence avec ce nouvel intervalle, de longueur moitié, et ainsi de suite. On définit ainsi deux suites $(a_n)$ et $(b_n)$ par $a_0 = a$, $b_0 = b$, et :
- si $f\left(\frac{a_n+b_n}{2}\right) \leq 0$, alors $a_{n+1} = \frac{a_n+b_n}{2}$ et $b_{n+1} = b_n$ ;
- sinon, $a_{n+1} = a_n$ et $b_{n+1} = \frac{a_n+b_n}{2}$.
À chaque étape, l'intervalle $[a_n,b_n]$ contient une solution et sa longueur vaut $\frac{b-a}{2^n}$. Cette longueur tend vers $0$, ce qui permet d'encadrer la solution avec une précision arbitraire.
Méthodes et exemples corrigés
Méthode 1 : Étudier la continuité en un point
Exemple : soit $f$ définie par $f(x) = \frac{x^2-4x+3}{x-1}$ si $x \neq 1$ et $f(1) = -2$. Étudier la continuité de $f$ en $1$.
Étape 1 : déterminer $D_f$. Le dénominateur s'annule en $1$, donc $D_f = \mathbb{R} \setminus \{1\}$.
Étape 2 : calculer la limite en $1$. On factorise le numérateur : $x^2-4x+3 = (x-1)(x-3)$. Donc, pour $x \neq 1$ :
$$f(x) = \frac{(x-1)(x-3)}{x-1} = x-3.$$
Ainsi $\lim_{x \to 1} f(x) = 1-3 = -2$.
Étape 3 : comparer avec $f(1)$. On a $f(1) = -2$, donc $\lim_{x \to 1} f(x) = f(1)$.
Conclusion : $f$ est continue en $1$.
Méthode 2 : Continuité à droite et à gauche
Exemple : soit $f$ définie par $f(x) = 3-x^2$ si $x \leq 0$ et $f(x) = x^2-3$ si $x \gt 0$. Étudier la continuité de $f$ en $0$.
Limite à gauche : $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (3-x^2) = 3$.
Limite à droite : $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (x^2-3) = -3$.
Valeur en 0 : $f(0) = 3$.
On a $\lim_{x \to 0^-} f(x) = f(0)$, donc $f$ est continue à gauche de $0$. Mais $\lim_{x \to 0^+} f(x) \neq f(0)$, donc $f$ n'est pas continue à droite de $0$.
Conclusion : $f$ n'est pas continue en $0$.
Méthode 3 : Continuité sur un intervalle avec point à problème
Exemple : soit $f$ définie sur $[2,+\infty[$ par $f(2) = 4$ et, pour $x \gt 2$, $f(x) = \frac{x^2-4}{x-2}$. Étudier la continuité de $f$ sur $[2,+\infty[$.
Étape 1 : sur $]2,+\infty[$, $f$ est le quotient de deux polynômes, le dénominateur ne s'annulant pas. Donc $f$ est continue sur $]2,+\infty[$.
Étape 2 : au point $2$, on factorise : pour $x \gt 2$,
$$f(x) = \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x+2.$$
Donc $\lim_{x \to 2^+} f(x) = 4 = f(2)$. Ainsi $f$ est continue à droite de $2$.
Conclusion : $f$ est continue sur $]2,+\infty[$ et continue à droite de $2$, donc $f$ est continue sur $[2,+\infty[$.
Méthode 4 : Continuité d'une composée
Exemple : soit $f(x) = \cos(2x^2-3x+4)$. Montrer que $f$ est continue sur $\mathbb{R}$.
La fonction $u(x) = 2x^2-3x+4$ est une fonction polynôme, donc continue sur $\mathbb{R}$.
La fonction $v(x) = \cos x$ est continue sur $\mathbb{R}$.
Comme $u(\mathbb{R}) \subset \mathbb{R}$, la composée $f = v \circ u$ est continue sur $\mathbb{R}$.
Méthode 5 : Appliquer le TVI
Exemple : montrer que l'équation $x^3-x+3=0$ admet au moins une solution dans $]-2,0[$.
Soit $f(x) = x^3-x+3$. $f$ est une fonction polynôme, donc continue sur $[-2,0]$.
$f(-2) = -8+2+3 = -3$ et $f(0) = 3$. Ainsi $f(-2) \lt 0 \lt f(0)$.
D'après le TVI, il existe au moins un $c \in ]-2,0[$ tel que $f(c) = 0$.
Conclusion : l'équation $x^3-x+3=0$ admet au moins une solution dans $]-2,0[$.
Méthode 6 : Encadrer une solution par dichotomie
Exemple : encadrer $\sqrt{10}$ à l'aide de la méthode de dichotomie.
Soit $f(x) = x^2-10$, continue sur $\mathbb{R}$. On a $f(3) = -1 \lt 0$ et $f(4) = 6 \gt 0$, donc $\sqrt{10} \in [3,4]$.
On pose $a_0 = 3$ et $b_0 = 4$. On calcule $f(3{,}5) = 2{,}25 \gt 0$, donc $\sqrt{10} \in [3\,;\,3{,}5]$ : $a_1 = 3$, $b_1 = 3{,}5$.
$f(3{,}25) = 0{,}5625 \gt 0$, donc $\sqrt{10} \in [3\,;\,3{,}25]$ : $a_2 = 3$, $b_2 = 3{,}25$.
$f(3{,}125) \approx -0{,}23 \lt 0$, donc $\sqrt{10} \in [3{,}125\,;\,3{,}25]$ : $a_3 = 3{,}125$, $b_3 = 3{,}25$.
En poursuivant, on obtient après huit étapes l'encadrement $3{,}160 \leq \sqrt{10} \leq 3{,}165$.
Erreurs fréquentes et pièges
Erreur 1 : confondre continuité et dérivabilité. Toute fonction dérivable est continue, mais la réciproque est fausse : $f(x)=|x|$ est continue en $0$ mais non dérivable en $0$.
Erreur 2 : oublier de vérifier la continuité à droite et à gauche pour une fonction définie par morceaux. Il faut calculer les deux limites latérales et les comparer à $f(x_0)$.
Erreur 3 : appliquer le TVI sans vérifier la continuité sur le segment $[a,b]$. Le théorème exige cette continuité.
Erreur 4 : conclure à l'unicité sans justifier la stricte monotonie. Le TVI donne l'existence, pas l'unicité.
Erreur 5 : écrire $\frac{2}{0^+}$ ou manipuler $+\infty$ comme un réel. Ces écritures sont interdites.
Erreur 6 : dans la méthode de dichotomie, oublier de vérifier le signe de $f$ au milieu de l'intervalle avant de choisir le nouvel intervalle.
Exercices et examens nationaux
Les exercices suivants sont intégrés avec leurs corrections détaillées. Ils couvrent les limites, la continuité, la composition, le TVI, les fonctions réciproques et la dichotomie.
| Exercice | Type | Année / Session | Niveau |
|---|---|---|---|
| Exercice 1 — Calcul de limites | Application directe | — | Facile |
| Exercice 2 — Continuité en un point | Application directe | — | Facile |
| Exercice 3 — Continuité à droite et à gauche | Raisonnement | — | Moyen |
| Exercice 4 — Continuité sur un intervalle | Synthèse | — | Moyen |
| Exercice 5 — Composition et limite | Type BAC | — | Moyen |
| Exercice 6 — TVI et unicité | Type BAC | — | Moyen |
| Exercice 7 — Fonction réciproque et dérivée | Synthèse | — | Moyen |
| Exercice 8 — Racines n-ièmes | Application directe | — | Facile |
| Exercice 9 — Dichotomie | Type BAC | — | Moyen |
Tous les exercices et sujets corrigés
Consultez la liste complète des exercices d'application, exercices corrigés et examens nationaux classés par chapitre et par filière.
Voir tous les exercicesExercice 1 — Calcul de limites
Déterminer les limites suivantes :
1) $\lim_{x \to 2} \frac{3x-1}{2x^3+2x-4}$
2) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 7x}{5x}$
Correction détaillée
1) Le numérateur tend vers $5$ et le dénominateur vers $16+4-4=16$. Donc la limite vaut $\frac{5}{16}$.
2) On écrit $\frac{\sin 7x}{5x} = \frac{7}{5} \cdot \frac{\sin 7x}{7x}$. Comme $\lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 1$, la limite vaut $\frac{7}{5}$.
Exercice 2 — Continuité en un point
Soit $f(x) = \frac{x^2-4x+3}{x-1}$ pour $x \neq 1$ et $f(1) = -2$. Déterminer $D_f$, calculer $\lim_{x \to 1} f(x)$ et conclure sur la continuité en $1$.
Correction détaillée
$D_f = \mathbb{R} \setminus \{1\}$.
Pour $x \neq 1$ : $f(x) = \frac{(x-1)(x-3)}{x-1} = x-3$, donc $\lim_{x \to 1} f(x) = -2$.
Comme $f(1) = -2$, on a $\lim_{x \to 1} f(x) = f(1)$ : $f$ est continue en $1$.
Exercice 3 — Continuité à droite et à gauche
Soit $f(x) = 3-x^2$ si $x \leq 0$ et $f(x) = x^2-3$ si $x \gt 0$. Étudier la continuité de $f$ en $0$.
Correction détaillée
$\lim_{x \to 0^-} f(x) = 3$ et $f(0) = 3$, donc $f$ est continue à gauche de $0$.
$\lim_{x \to 0^+} f(x) = -3 \neq f(0)$, donc $f$ n'est pas continue à droite de $0$.
Conclusion : $f$ n'est pas continue en $0$.
Exercice 4 — Continuité sur un intervalle
Soit $f$ définie sur $[2,+\infty[$ par $f(2) = 4$ et $f(x) = \frac{x^2-4}{x-2}$ pour $x \gt 2$. Montrer que $f$ est continue sur $[2,+\infty[$.
Correction détaillée
Sur $]2,+\infty[$, $f(x) = x+2$ après simplification, donc $f$ est continue sur $]2,+\infty[$.
En $2$ : $\lim_{x \to 2^+} f(x) = 4 = f(2)$, donc $f$ est continue à droite de $2$.
Conclusion : $f$ est continue sur $[2,+\infty[$.
Exercice 5 — Composition et limite
Montrer que $f(x) = \cos(2x^2-3x+4)$ est continue sur $\mathbb{R}$.
Correction détaillée
$u(x) = 2x^2-3x+4$ est une fonction polynôme, donc continue sur $\mathbb{R}$.
$v(x) = \cos x$ est continue sur $\mathbb{R}$.
Comme $u(\mathbb{R}) \subset \mathbb{R}$, $f = v \circ u$ est continue sur $\mathbb{R}$.
Exercice 6 — TVI et unicité
Montrer que l'équation $x^3-x+3=0$ admet au moins une solution dans $]-2,0[$, puis étudier l'unicité sur $\mathbb{R}$.
Correction détaillée
Soit $f(x) = x^3-x+3$, continue sur $[-2,0]$. $f(-2) = -3$ et $f(0) = 3$, donc $f(-2) \times f(0) \lt 0$ : il existe $c \in ]-2,0[$ tel que $f(c) = 0$.
$f'(x) = 3x^2-1$, qui s'annule en $\pm \frac{1}{\sqrt{3}}$. Sur $]-\infty, -\frac{1}{\sqrt{3}}]$ la fonction est croissante, sur $[-\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}]$ elle est décroissante, et sur $[\frac{1}{\sqrt{3}}, +\infty[$ elle est croissante. En étudiant les valeurs aux bornes, on vérifie que $f$ s'annule trois fois sur $\mathbb{R}$, donc l'unicité sur $]-2,0[$ est assurée par la stricte monotonie sur cet intervalle.
Exercice 7 — Fonction réciproque et dérivée
Soit $f(x) = x^2$ sur $[0,+\infty[$. Montrer que $f$ admet une fonction réciproque et calculer $\left(f^{-1}\right)'(4)$.
Correction détaillée
$f$ est continue et $f'(x) = 2x \gt 0$ sur $]0,+\infty[$, donc $f$ est strictement croissante sur $[0,+\infty[$ et réalise une bijection de $[0,+\infty[$ sur $[0,+\infty[$.
Sa réciproque est $f^{-1}(y) = \sqrt{y}$.
On a $f(2) = 4$ et $f'(2) = 4 \neq 0$, donc $\left(f^{-1}\right)'(4) = \frac{1}{f'(2)} = \frac{1}{4}$.
Exercice 8 — Racines n-ièmes
Simplifier : 1) $\sqrt[3]{8} \times \sqrt[3]{27}$ ; 2) $\sqrt[4]{16 \times 81}$.
Correction détaillée
1) $\sqrt[3]{8} \times \sqrt[3]{27} = 2 \times 3 = 6$.
2) $\sqrt[4]{16 \times 81} = \sqrt[4]{16} \times \sqrt[4]{81} = 2 \times 3 = 6$.
Exercice 9 — Dichotomie
Soit $f(x) = x^3-x-1$, continue sur $[1,2]$. Vérifier que $f$ admet une racine dans $[1,2]$ et donner un encadrement à $10^{-1}$ près par la méthode de dichotomie.
Correction détaillée
$f(1) = -1 \lt 0$ et $f(2) = 5 \gt 0$, donc $f$ admet une racine dans $]1,2[$ d'après le TVI.
On pose $a_0 = 1$, $b_0 = 2$. $f(1{,}5) = 0{,}875 \gt 0$, donc $a_1 = 1$, $b_1 = 1{,}5$.
$f(1{,}25) \approx -0{,}297 \lt 0$, donc $a_2 = 1{,}25$, $b_2 = 1{,}5$.
$f(1{,}375) \approx 0{,}225 \gt 0$, donc $a_3 = 1{,}25$, $b_3 = 1{,}375$.
$f(1{,}3125) \approx -0{,}05 \lt 0$, donc $a_4 = 1{,}3125$, $b_4 = 1{,}375$.
On obtient ainsi l'encadrement $1{,}3 \leq c \leq 1{,}4$, soit une précision à $10^{-1}$ près.
Fiche de révision express
| Notion | Formule / Propriété |
|---|---|
| Continuité en $x_0$ | $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$ |
| Continuité à droite | $\lim_{x \to x_0^+} f(x) = f(x_0)$ |
| Continuité à gauche | $\lim_{x \to x_0^-} f(x) = f(x_0)$ |
| Équivalence | $f$ continue en $x_0$ $\iff$ continue à droite et à gauche |
| Opérations | Somme, produit, quotient, composée de fonctions continues sont continus |
| Fonctions usuelles | Polynômes, rationnelles, $\sin$, $\cos$, $\sqrt{x}$ continus sur leur domaine |
| Image d'un segment | $f([a,b]) = [m,M]$ |
| TVI | Si $f$ continue sur $[a,b]$ et $k$ entre $f(a)$ et $f(b)$, alors $\exists c \in [a,b]$ avec $f(c)=k$ |
| Corollaire | Si $f$ continue et strictement monotone, la solution de $f(x)=k$ est unique |
| Réciproque | $f^{-1}(y)=x \iff f(x)=y$ ; courbes symétriques par rapport à $y=x$ |
| Dérivée de la réciproque | $\left(f^{-1}\right)'(y_0) = \frac{1}{f'(x_0)}$ |
| Racine n-ième | $\sqrt[n]{a} = a^{1/n}$ |
| Dichotomie | $[a_n,b_n]$ contient une racine, longueur $\frac{b-a}{2^n}$ |
Quiz d'autoévaluation
Question 1 : Une fonction continue en $x_0$ est-elle nécessairement dérivable en $x_0$ ?
Non. La continuité n'implique pas la dérivabilité. Par exemple, $f(x)=|x|$ est continue en $0$ mais non dérivable en $0$.
Question 2 : Que garantit le théorème des valeurs intermédiaires ?
Il garantit l'existence d'au moins une solution $c$ entre $a$ et $b$ telle que $f(c)=k$, pour $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, sous réserve que $f$ soit continue sur $[a,b]$.
Question 3 : Quand peut-on conclure à l'unicité de la solution dans le TVI ?
Lorsque la fonction est continue et strictement monotone sur l'intervalle considéré.
Question 4 : Que permet la méthode de dichotomie ?
Elle permet d'encadrer une solution de l'équation $f(x)=0$ avec une précision arbitraire, à condition que $f$ soit continue sur $[a,b]$ et que $f(a)$ et $f(b)$ soient de signes contraires.
Questions fréquentes
Qu'est-ce qu'une fonction continue en un point ?
Une fonction $f$ est continue en $x_0$ si $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$. La limite existe, est finie, et vaut la valeur de la fonction au point considéré.
Quelle est la différence entre continuité et dérivabilité ?
La dérivabilité est plus forte : toute fonction dérivable en un point est continue en ce point, mais l'inverse est faux. La fonction valeur absolue en est l'exemple classique.
Comment appliquer le théorème des valeurs intermédiaires ?
On vérifie que $f$ est continue sur $[a,b]$, on calcule $f(a)$ et $f(b)$, et si $f(a)$ et $f(b)$ sont de signes contraires, alors l'équation $f(x)=0$ admet au moins une solution dans $]a,b[$. Pour l'unicité, on ajoute la stricte monotonie.
Comment déterminer la fonction réciproque d'une fonction ?
On part de $y=f(x)$ et on résout pour exprimer $x$ en fonction de $y$. La fonction obtenue $x=f^{-1}(y)$ est la réciproque. On échange ensuite les noms des variables.
Quelles sont les fonctions usuelles continues sur leur domaine ?
Les polynômes, les fonctions rationnelles, $\sin$, $\cos$, $\sqrt{x}$ et les fonctions exponentielles sont continus sur leur domaine de définition.
Comment fonctionne la méthode de dichotomie ?
On évalue $f$ au milieu de $[a,b]$ et on conserve le demi-intervalle où $f$ change de signe. On recommence jusqu'à obtenir la précision souhaitée. La longueur de l'intervalle est divisée par deux à chaque étape.
Résumé final
La continuité est au cœur de l'analyse en deuxième année du baccalauréat. Retenez la définition $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$, l'équivalence avec la continuité à droite et à gauche, les propriétés des opérations et de la composition, le théorème des valeurs intermédiaires et son corollaire sur l'unicité, ainsi que le théorème de la fonction réciproque. La méthode de dichotomie vous donne un outil concret pour encadrer une solution. Entraînez-vous régulièrement avec les exercices corrigés et n'oubliez jamais de vérifier les hypothèses avant d'appliquer un théorème.
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