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Cours de Mathématiques : Limites et continuité — 2e BAC PC et SVT 2025-2026
| Niveau | 2e année du baccalauréat |
| Filière | PC et SVT |
| Matière | Mathématiques |
| Chapitre | Limites et continuité |
| Sous-chapitre | Continuité, TVI, fonctions réciproques, racines n-ièmes |
| Programme | Programme officiel marocain — 2025-2026 |
| Durée indicative d'étude | 7 heures |
| Dernière mise à jour | 05 novembre 2025 |
Le chapitre « Limites et continuité » est un pilier du programme de mathématiques de la deuxième année du baccalauréat, filières PC et SVT. Il prolonge les limites étudiées en première année et installe la continuité, notion indispensable pour aborder le théorème des valeurs intermédiaires, les fonctions réciproques et les racines n-ièmes. Ce cours reprend l'ensemble des définitions et propriétés du programme officiel avec des explications claires, des exemples détaillés et des exercices corrigés.
Ce chapitre est régulièrement mobilisé à l'examen national : calcul de limites, étude de la continuité en un point ou sur un intervalle, détermination de paramètres, application du TVI, détermination d'une fonction réciproque et calcul de sa dérivée. Les questions posées demandent de la rigueur dans la rédaction et la justification. Maîtriser ce chapitre, c'est s'assurer des points précieux et préparer efficacement la dérivation, les fonctions logarithmes et exponentielles, et le calcul intégral.
Vous trouverez dans cet article un cours complet et structuré : définitions, propriétés, théorèmes, méthodes pas à pas, erreurs classiques, exercices intégrés avec corrections détaillées, fiche de révision, quiz et FAQ. Un bouton d'impression vous permet de générer une version propre, sans publicité, avec toutes les solutions visibles et le copyright de l'article.
Table des matières
Prérequis
Avant d'aborder ce chapitre, assurez-vous de maîtriser les notions suivantes :
- La notion de limite d'une fonction en un point et à l'infini.
- Les techniques de calcul de limites : factorisation, expression conjuguée, comparaison.
- Les limites usuelles : $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$, $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$, $\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$.
- La dérivation et le lien entre le signe de la dérivée et la monotonie.
- La résolution d'équations et d'inéquations du premier et du second degré.
- La manipulation des valeurs absolues et des encadrements.
Objectifs pédagogiques
À la fin de ce cours, vous serez capable de :
- Calculer une limite à droite, à gauche, et utiliser les opérations sur les limites.
- Définir et reconnaître la continuité d'une fonction en un point et sur un intervalle.
- Étudier la continuité à droite et à gauche d'une fonction en un point.
- Déterminer des paramètres pour qu'une fonction définie par morceaux soit continue.
- Utiliser le prolongement par continuité.
- Calculer la limite d'une fonction composée.
- Déterminer l'image d'un segment ou d'un intervalle par une fonction continue.
- Appliquer le théorème des valeurs intermédiaires et ses corollaires.
- Montrer qu'une fonction continue et strictement monotone admet une fonction réciproque et déterminer sa dérivée.
- Utiliser les propriétés des racines n-ièmes et des puissances rationnelles.
- Mettre en œuvre la méthode de dichotomie pour encadrer une solution.
Le cours complet
I. Limites : compléments
Les limites usuelles à connaître : pour $x_0 \in \mathbb{R}$ et $a \in \mathbb{R}^*$, on a $\lim_{x \to x_0} P(x) = P(x_0)$ pour tout polynôme $P$ ; $\lim_{x \to x_0} \frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{P(x_0)}{Q(x_0)}$ si $Q(x_0) \neq 0$ ; $\lim_{x \to x_0} \sin x = \sin x_0$ et $\lim_{x \to x_0} \cos x = \cos x_0$ ; $\lim_{x \to x_0} \tan x = \tan x_0$ si $x_0 \neq \frac{\pi}{2}+k\pi$ ; $\lim_{x \to x_0} \sqrt{x} = \sqrt{x_0}$ si $x_0 \geq 0$. De plus :
$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1, \qquad \lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1, \qquad \lim_{x \to 0} \frac{\sin ax}{x} = a, \qquad \lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x^2} = \frac{1}{2}.$$
Les opérations sur les limites (somme, produit, inverse, quotient) suivent les mêmes règles qu'en première année. Les formes indéterminées ($\infty - \infty$, $0 \times \infty$, $\frac{0}{0}$, $\frac{\infty}{\infty}$) doivent être levées par factorisation, expression conjuguée ou comparaison. Par exemple :
$$\lim_{x \to +\infty} \sqrt{x^2+x} - x = \lim_{x \to +\infty} \frac{x}{\sqrt{x^2+x}+x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x}}+1} = \frac{1}{2}.$$
II. Limites à droite et à gauche
Pour étudier une limite à droite ou à gauche, on restreint $x$ à un intervalle de la forme $]x_0, x_0+r[$ ou $]x_0-r, x_0[$. On note $\lim_{x \to x_0^+} f(x)$ pour la limite à droite et $\lim_{x \to x_0^-} f(x)$ pour la limite à gauche. Une fonction admet une limite en $x_0$ si et seulement si les limites à droite et à gauche existent et sont égales.
Exemple : soit $f(x) = \frac{(x+1)^2}{|x^2-1|}$. Étudier la limite en $-1$. Pour $-1 \lt x \lt 1$, $|x^2-1| = 1-x^2$, donc $f(x) = \frac{(x+1)^2}{-(x-1)(x+1)} = -\frac{x+1}{x-1}$, qui tend vers $0$. Pour $x \lt -1$, $|x^2-1| = x^2-1$, donc $f(x) = \frac{x+1}{x-1}$, qui tend vers $0$. Donc $\lim_{x \to -1} f(x) = 0$.
III. Continuité en un point
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle ouvert $I$ contenant $x_0$. On dit que $f$ est continue au point $x_0$ si :
$$\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0).$$
Si $f$ est définie en $x_0$ mais n'admet pas de limite finie en $x_0$, ou si la limite diffère de $f(x_0)$, on dit que $f$ est discontinue en $x_0$.
IV. Continuité à droite et à gauche
Soit $f$ définie sur $[x_0, x_0+r[$. On dit que $f$ est continue à droite de $x_0$ si $\lim_{x \to x_0^+} f(x) = f(x_0)$. De même, si $f$ est définie sur $]x_0-r, x_0]$, on dit que $f$ est continue à gauche de $x_0$ si $\lim_{x \to x_0^-} f(x) = f(x_0)$.
Théorème : une fonction est continue en $x_0$ si et seulement si elle est continue à droite et à gauche de $x_0$. Autrement dit :
$$f \text{ continue en } x_0 \iff \lim_{x \to x_0^+} f(x) = \lim_{x \to x_0^-} f(x) = f(x_0).$$
V. Prolongement par continuité
Soit $f$ une fonction définie sur $D_f$ et $a \notin D_f$ tel que $\lim_{x \to a} f(x) = l$ (finie). La fonction $\tilde{f}$ définie par $\tilde{f}(x) = f(x)$ si $x \neq a$ et $\tilde{f}(a) = l$ est continue en $a$. On dit que $\tilde{f}$ est le prolongement par continuité de $f$ en $a$.
VI. Continuité sur un intervalle
Soit $f$ définie sur un intervalle $I$. On dit que $f$ est continue sur $I$ si elle est continue en tout point de $I$. Selon la nature de l'intervalle :
- $f$ est continue sur $]a,b[$ si elle est continue en tout point de $]a,b[$.
- $f$ est continue sur $[a,b[$ si elle est continue sur $]a,b[$ et continue à droite de $a$.
- $f$ est continue sur $]a,b]$ si elle est continue sur $]a,b[$ et continue à gauche de $b$.
- $f$ est continue sur $[a,b]$ si elle est continue sur $]a,b[$, continue à droite de $a$ et continue à gauche de $b$.
VII. Opérations sur les fonctions continues
Si $f$ et $g$ sont continues en $a$, alors $f+g$, $f \times g$ et $|f|$ sont continues en $a$. Si de plus $g(a) \neq 0$, alors $\frac{1}{g}$ et $\frac{f}{g}$ sont continues en $a$. Si $f$ est continue en $a$ et $f(a) \geq 0$, alors $\sqrt{f}$ est continue en $a$.
Toute fonction polynôme est continue sur $\mathbb{R}$. Toute fonction rationnelle est continue sur chaque intervalle de son ensemble de définition. Les fonctions $\sin$ et $\cos$ sont continues sur $\mathbb{R}$. La fonction $\tan$ est continue sur chaque intervalle de la forme $\left]-\frac{\pi}{2}+k\pi, \frac{\pi}{2}+k\pi\right[$ avec $k \in \mathbb{Z}$.
VIII. Composition de fonctions continues
Théorème : soient $f$ définie sur $I$ et $g$ définie sur $J$ avec $f(I) \subset J$, et $x_0 \in I$. Si $f$ est continue en $x_0$ et $g$ continue en $f(x_0)$, alors $g \circ f$ est continue en $x_0$. Si $f$ est continue sur $I$ et $g$ continue sur $f(I)$, alors $g \circ f$ est continue sur $I$.
Limite de $v \circ u$ : soit $u$ définie sur un intervalle pointé de centre $x_0$ avec $\lim_{x \to x_0} u(x) = l$. Si $v$ est continue en $l$, alors :
$$\lim_{x \to x_0} v(u(x)) = v(l).$$
IX. Image d'un intervalle par une fonction continue
Théorème : l'image d'un intervalle par une fonction continue est un intervalle. L'image d'un segment $[a,b]$ par une fonction continue $f$ est le segment $[m,M]$ où $m$ est le minimum de $f$ sur $[a,b]$ et $M$ son maximum :
$$f([a,b]) = [m,M].$$
Si $f$ est continue et strictement croissante sur $[a,b]$, alors $f([a,b]) = [f(a),f(b)]$. Si $f$ est continue et strictement décroissante, alors $f([a,b]) = [f(b),f(a)]$. Pour les intervalles semi-ouverts ou infinis, on utilise les limites aux bornes.
X. Théorème des valeurs intermédiaires
Théorème (TVI) : soit $f$ une fonction continue sur $[a,b]$. Pour tout réel $\lambda$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe au moins un $c \in [a,b]$ tel que $f(c) = \lambda$.
Corollaire 1 (Bolzano) : si $f$ est continue sur $[a,b]$ et si $f(a) \times f(b) \lt 0$, alors il existe au moins un $c \in ]a,b[$ tel que $f(c) = 0$.
Corollaire 2 : si $f$ est continue et strictement monotone sur $[a,b]$ et si $f(a) \times f(b) \lt 0$, alors il existe un et un seul $c \in ]a,b[$ tel que $f(c) = 0$.
XI. Fonctions réciproques
Théorème : soit $f$ une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle $I$. Alors :
- $f(I)$ est un intervalle $J$ de même nature que $I$, dont les extrémités sont les limites de $f$ aux extrémités de $I$.
- $f$ réalise une bijection de $I$ sur $J = f(I)$ ; il existe une fonction réciproque $f^{-1}$ de $J$ vers $I$ telle que :
$$\left(x \in I,\ y = f(x)\right) \iff \left(y \in J,\ x = f^{-1}(y)\right).$$
- $f^{-1}$ est continue et strictement monotone sur $J$, de même sens que $f$.
- Si $f$ est dérivable en $x_0 \in I$ et si $f'(x_0) \neq 0$, alors $f^{-1}$ est dérivable en $y_0 = f(x_0)$ et :
$$\left(f^{-1}\right)'(y_0) = \frac{1}{f'(x_0)} = \frac{1}{f'\left(f^{-1}(y_0)\right)}.$$
Les courbes de $f$ et $f^{-1}$ sont symétriques par rapport à la droite $y = x$.
XII. Fonction racine n-ième
Pour $n \in \mathbb{N}^*$, la fonction $x \mapsto x^n$ est continue et strictement croissante sur $\mathbb{R}^+$. Elle admet une fonction réciproque notée $x \mapsto \sqrt[n]{x}$, définie sur $\mathbb{R}^+$. On a :
$$y = x^n \iff x = \sqrt[n]{y}.$$
Propriétés pour $a, b \in \mathbb{R}^+$ : $\sqrt[n]{0} = 0$, $\sqrt[n]{1} = 1$, $\left(\sqrt[n]{a}\right)^n = a$, $\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a}\,\sqrt[n]{b}$, $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$ pour $b \gt 0$, et $\sqrt[n]{a} = a^{1/n}$.
XIII. Expression conjuguée d'ordre 3 et 4
Pour lever les indéterminations avec des racines cubiques :
$$a-b = \frac{a^3-b^3}{a^2+ab+b^2}, \qquad a+b = \frac{a^3+b^3}{a^2-ab+b^2}.$$
Pour les racines quatrièmes :
$$a-b = \frac{a^4-b^4}{a^3+a^2b+ab^2+b^3}.$$
XIV. Puissance rationnelle
Pour $x \gt 0$ et $r = \frac{p}{q} \in \mathbb{Q}$ avec $p \in \mathbb{Z}$ et $q \in \mathbb{N}^*$, on pose :
$$x^r = x^{p/q} = \sqrt[q]{x^p} = \left(\sqrt[q]{x}\right)^p.$$
Les propriétés algébriques restent valables : $x^{r+r'} = x^r x^{r'}$, $(x^r)^{r'} = x^{rr'}$, $x^{-r} = \frac{1}{x^r}$, $(xy)^r = x^r y^r$, $\left(\frac{x}{y}\right)^r = \frac{x^r}{y^r}$.
XV. Méthode de dichotomie
La méthode de dichotomie permet d'encadrer une solution de $f(x)=0$ lorsque $f$ est continue sur $[a,b]$ et que $f(a)$ et $f(b)$ sont de signes contraires. On évalue $f$ au milieu de $[a,b]$ et on conserve le demi-intervalle où le signe change. La longueur de l'intervalle est divisée par deux à chaque étape. Après $n$ étapes, la longueur est $\frac{b-a}{2^n}$.
Méthodes et exemples corrigés
Méthode 1 : Étudier la continuité en un point
Exemple : soit $f(x) = \frac{x^2+x-12}{x-3}$ pour $x \neq 3$ et $f(3) = 7$. Étudier la continuité de $f$ en $3$.
Étape 1 : calculer la limite en $3$. On factorise : $x^2+x-12 = (x-3)(x+4)$, donc $f(x) = x+4$ pour $x \neq 3$.
$\lim_{x \to 3} f(x) = 7$.
Étape 2 : comparer avec $f(3) = 7$. On a bien $\lim_{x \to 3} f(x) = f(3)$.
Conclusion : $f$ est continue en $3$.
Méthode 2 : Continuité à droite et à gauche
Exemple : soit $f(x) = x^2$ si $x \leq 0$ et $f(x) = 2+x$ si $x \gt 0$. Étudier la continuité en $0$.
$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} x^2 = 0 = f(0)$, donc $f$ est continue à gauche de $0$.
$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (2+x) = 2 \neq f(0)$, donc $f$ n'est pas continue à droite de $0$.
Conclusion : $f$ n'est pas continue en $0$.
Méthode 3 : Prolongement par continuité
Exemple : soit $f(x) = \frac{1-\cos x}{x}$ pour $x \neq 0$. Peut-on prolonger $f$ par continuité en $0$ ?
On a $\frac{1-\cos x}{x} = \frac{1-\cos x}{x^2} \times x$. Comme $\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$ et $\lim_{x \to 0} x = 0$, on a $\lim_{x \to 0} f(x) = 0$.
On peut donc prolonger $f$ par continuité en $0$ en posant $\tilde{f}(0) = 0$.
Méthode 4 : Déterminer un paramètre pour assurer la continuité
Exemple : soit $f(x) = \frac{\sin(\pi x)}{x-1}$ pour $x \neq 1$ et $f(1) = m$. Déterminer $m$ pour que $f$ soit continue en $1$.
On pose $h = x-1$, donc $x = h+1$ et $h \to 0$ quand $x \to 1$.
$$\lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\sin(\pi(h+1))}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{-\sin(\pi h)}{h} = -\pi.$$
Pour que $f$ soit continue en $1$, il faut $m = -\pi$.
Méthode 5 : Limite d'une fonction composée
Exemple : calculer $\lim_{x \to 0} \sin\left(\frac{1-\cos x}{x^2}\right)$.
On sait que $\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$.
La fonction $\sin$ est continue sur $\mathbb{R}$, donc continue en $\frac{1}{2}$.
$$\lim_{x \to 0} \sin\left(\frac{1-\cos x}{x^2}\right) = \sin\left(\frac{1}{2}\right).$$
Méthode 6 : Appliquer le TVI
Exemple : montrer que l'équation $x^3+x-1=0$ admet une solution unique dans $]0,1[$.
Soit $f(x) = x^3+x-1$, continue sur $[0,1]$. $f(0) = -1$ et $f(1) = 1$, donc $f(0) \times f(1) \lt 0$ : il existe $c \in ]0,1[$ tel que $f(c)=0$.
$f'(x) = 3x^2+1 \gt 0$ sur $[0,1]$, donc $f$ est strictement croissante. La solution est unique.
Méthode 7 : Fonction réciproque et dérivée
Exemple : soit $f(x) = \frac{x-3}{x+2}$ sur $]-2,+\infty[$. Montrer que $f$ admet une réciproque et la déterminer.
$f'(x) = \frac{5}{(x+2)^2} \gt 0$, donc $f$ est strictement croissante et continue sur $]-2,+\infty[$.
$f(]-2,+\infty[) = ]-1,1[$. En effet, $\lim_{x \to -2^+} f(x) = -\infty$ et $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 1$.
Pour $y \in ]-\infty,1[$, on résout $y = \frac{x-3}{x+2}$, soit $x = \frac{2y+3}{1-y}$. Donc $f^{-1}(x) = \frac{2x+3}{1-x}$.
Méthode 8 : Dichotomie
Exemple : encadrer la solution de $x^3+x-1=0$ dans $[0,1]$ à $10^{-1}$ près.
$f(0) = -1$, $f(1) = 1$. On pose $a_0 = 0$, $b_0 = 1$.
$f(0{,}5) = -0{,}375 \lt 0$, donc $a_1 = 0{,}5$, $b_1 = 1$.
$f(0{,}75) \approx 0{,}17 \gt 0$, donc $a_2 = 0{,}5$, $b_2 = 0{,}75$.
$f(0{,}625) \approx -0{,}13 \lt 0$, donc $a_3 = 0{,}625$, $b_3 = 0{,}75$.
On obtient $0{,}6 \leq c \leq 0{,}8$, soit un encadrement à $10^{-1}$ près.
Erreurs fréquentes et pièges
Erreur 1 : confondre continuité et dérivabilité. Toute fonction dérivable est continue, mais la réciproque est fausse.
Erreur 2 : oublier de vérifier la continuité à droite et à gauche pour une fonction définie par morceaux. Il faut calculer les deux limites et les comparer à $f(a)$.
Erreur 3 : appliquer le TVI sans vérifier la continuité sur $[a,b]$.
Erreur 4 : conclure à l'unicité sans justifier la stricte monotonie.
Erreur 5 : écrire $\frac{2}{0^+}$ ou manipuler $+\infty$ comme un réel.
Erreur 6 : oublier de déterminer $J = f(I)$ avant de définir $f^{-1}$.
Exercices et examens nationaux
Les exercices suivants sont intégrés avec leurs corrections détaillées.
| Exercice | Type | Année / Session | Niveau |
|---|---|---|---|
| Exercice 1 — Continuité en un point | Application directe | — | Facile |
| Exercice 2 — Continuité et paramètre | Raisonnement | — | Moyen |
| Exercice 3 — Limite d'une composée | Application directe | — | Moyen |
| Exercice 4 — Image d'un intervalle | Synthèse | — | Moyen |
| Exercice 5 — TVI et unicité | Type BAC | — | Moyen |
| Exercice 6 — Fonction réciproque | Synthèse | — | Moyen |
| Exercice 7 — Racines n-ièmes | Application directe | — | Facile |
| Exercice 8 — Expression conjuguée d'ordre 3 | Type BAC | — | Moyen |
Tous les exercices et sujets corrigés
Consultez la liste complète des exercices d'application, exercices corrigés et examens nationaux classés par chapitre et par filière.
Voir tous les exercicesExercice 1 — Continuité en un point
Soit $f(x) = \frac{\sqrt{x+1}-1}{\tan x}$ pour $x \neq 0$ et $f(0) = \frac{1}{\sqrt{2}}$. Étudier la continuité de $f$ en $0$.
Correction détaillée
On multiplie par le conjugué :
$$\frac{\sqrt{x+1}-1}{\tan x} = \frac{x}{\tan x} \times \frac{1}{\sqrt{x+1}+1}.$$
Comme $\lim_{x \to 0} \frac{x}{\tan x} = 1$ et $\lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{x+1}+1} = \frac{1}{2}$, on a $\lim_{x \to 0} f(x) = \frac{1}{2}$.
Or $f(0) = \frac{1}{\sqrt{2}} \neq \frac{1}{2}$. Donc $f$ n'est pas continue en $0$.
Exercice 2 — Continuité et paramètre
Soit $f(x) = \frac{\sin(\pi x)}{x-1}$ pour $x \neq 1$ et $f(1) = m$. Déterminer $m$ pour que $f$ soit continue en $1$.
Correction détaillée
On pose $h = x-1$. Alors :
$$\lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\sin(\pi(h+1))}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{-\sin(\pi h)}{h} = -\pi.$$
Pour que $f$ soit continue en $1$, il faut $m = -\pi$.
Exercice 3 — Limite d'une composée
Calculer $\lim_{x \to 0} \cos\left(\frac{\pi \tan x}{3x}\right)$.
Correction détaillée
On a $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$, donc $\lim_{x \to 0} \frac{\pi \tan x}{3x} = \frac{\pi}{3}$.
La fonction $\cos$ est continue en $\frac{\pi}{3}$, donc :
$$\lim_{x \to 0} \cos\left(\frac{\pi \tan x}{3x}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}.$$
Exercice 4 — Image d'un intervalle
Soit $f(x) = \frac{2x-3}{x+1}$. Déterminer $f([0,1])$ et $f(]-1,1])$.
Correction détaillée
$f'(x) = \frac{5}{(x+1)^2} \gt 0$, donc $f$ est strictement croissante sur chaque intervalle de son domaine.
$f([0,1]) = [f(0),f(1)] = [-3,-\frac{1}{2}]$.
$f(]-1,1]) = \left]\lim_{x \to -1^+} f(x), f(1)\right] = ]-\infty,-\frac{1}{2}]$.
Exercice 5 — TVI et unicité
Montrer que $x^3+x+1=0$ admet une solution unique dans $]-1,0[$.
Correction détaillée
Soit $f(x) = x^3+x+1$, continue sur $[-1,0]$. $f(-1) = -1$ et $f(0) = 1$, donc $f(-1) \times f(0) \lt 0$ : il existe $c \in ]-1,0[$ tel que $f(c)=0$.
$f'(x) = 3x^2+1 \gt 0$ sur $]-1,0[$, donc $f$ est strictement croissante. La solution est unique.
Exercice 6 — Fonction réciproque
Soit $f(x) = \sqrt{2x-1}$ sur $[\frac{1}{2},+\infty[$. Montrer que $f$ admet une réciproque et la déterminer.
Correction détaillée
$f'(x) = \frac{1}{\sqrt{2x-1}} \gt 0$ sur $]\frac{1}{2},+\infty[$, donc $f$ est strictement croissante et continue.
$f\left(\left[\frac{1}{2},+\infty\right[\right) = [0,+\infty[$.
Pour $y \in [0,+\infty[$, on résout $\sqrt{2x-1} = y$, soit $2x-1 = y^2$ et $x = \frac{y^2+1}{2}$.
Donc $f^{-1}(x) = \frac{x^2+1}{2}$ sur $[0,+\infty[$.
Exercice 7 — Racines n-ièmes
Résoudre dans $\mathbb{R}$ : 1) $x^5 = 32$ ; 2) $x^6 = -8$.
Correction détaillée
1) $x^5 = 32 = 2^5$, donc $x = 2$. $S = \{2\}$.
2) $x^6 \geq 0$ pour tout réel $x$, et $-8 \lt 0$, donc $S = \varnothing$.
Exercice 8 — Expression conjuguée d'ordre 3
Calculer $\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{x+7}-2}{x-1}$.
Correction détaillée
On utilise l'expression conjuguée d'ordre 3 : $a-b = \frac{a^3-b^3}{a^2+ab+b^2}$ avec $a = \sqrt[3]{x+7}$ et $b = 2$.
$$\frac{\sqrt[3]{x+7}-2}{x-1} = \frac{(x+7)-8}{(x-1)\left(\sqrt[3]{(x+7)^2} + 2\sqrt[3]{x+7} + 4\right)}.$$
Comme $(x+7)-8 = x-1$, on simplifie :
$$\frac{1}{\sqrt[3]{(x+7)^2} + 2\sqrt[3]{x+7} + 4}.$$
En $x=1$, on obtient $\frac{1}{\sqrt[3]{64}+2\sqrt[3]{8}+4} = \frac{1}{4+4+4} = \frac{1}{12}$.
Fiche de révision express
| Notion | Formule / Propriété |
|---|---|
| Continuité en $x_0$ | $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$ |
| Continuité à droite | $\lim_{x \to x_0^+} f(x) = f(x_0)$ |
| Continuité à gauche | $\lim_{x \to x_0^-} f(x) = f(x_0)$ |
| Équivalence | $f$ continue en $x_0$ $\iff$ continue à droite et à gauche |
| Prolongement | Si $\lim_{x \to a} f(x) = l$, on pose $\tilde{f}(a)=l$ |
| Opérations | Somme, produit, quotient, composée continues |
| Fonctions usuelles | Polynômes, rationnelles, $\sin$, $\cos$, $\sqrt{x}$ continus |
| Image d'un segment | $f([a,b]) = [m,M]$ |
| TVI | $f$ continue sur $[a,b]$, $\lambda$ entre $f(a)$ et $f(b)$ $\Rightarrow$ $\exists c$, $f(c)=\lambda$ |
| Corollaire | $f$ continue et strictement monotone $\Rightarrow$ solution unique |
| Réciproque | $f^{-1}(y)=x \iff f(x)=y$ |
| Dérivée réciproque | $\left(f^{-1}\right)'(y_0) = \frac{1}{f'(x_0)}$ |
| Racine n-ième | $\sqrt[n]{a} = a^{1/n}$ |
| Dichotomie | Longueur de l'intervalle divisée par 2 à chaque étape |
Quiz d'autoévaluation
Question 1 : Une fonction continue en $x_0$ est-elle nécessairement dérivable en $x_0$ ?
Non. La continuité n'implique pas la dérivabilité. Par exemple, $f(x)=|x|$ est continue en $0$ mais non dérivable en $0$.
Question 2 : Que garantit le TVI ?
Il garantit l'existence d'au moins une solution $c \in [a,b]$ telle que $f(c)=\lambda$, pour $\lambda$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, sous réserve que $f$ soit continue sur $[a,b]$.
Question 3 : Quand peut-on conclure à l'unicité de la solution ?
Lorsque $f$ est continue et strictement monotone sur l'intervalle considéré.
Question 4 : Que permet la méthode de dichotomie ?
Elle permet d'encadrer une solution de $f(x)=0$ avec une précision arbitraire, à condition que $f$ soit continue et que $f(a)$, $f(b)$ soient de signes contraires.
Questions fréquentes
Qu'est-ce qu'une fonction continue en un point ?
Une fonction $f$ est continue en $x_0$ si $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$. La limite existe, est finie, et vaut la valeur de la fonction au point.
Quelle est la différence entre continuité et dérivabilité ?
La dérivabilité est plus forte : toute fonction dérivable est continue, mais l'inverse est faux. La fonction valeur absolue en est l'exemple classique.
Comment appliquer le théorème des valeurs intermédiaires ?
On vérifie la continuité sur $[a,b]$, on calcule $f(a)$ et $f(b)$, et si les signes sont contraires, l'équation $f(x)=0$ admet une solution dans $]a,b[$. Pour l'unicité, on ajoute la stricte monotonie.
Comment déterminer la fonction réciproque d'une fonction ?
On part de $y=f(x)$ et on résout pour exprimer $x$ en fonction de $y$. La fonction obtenue $x=f^{-1}(y)$ est la réciproque. On échange ensuite les noms des variables.
Quelles sont les fonctions usuelles continues sur leur domaine ?
Les polynômes, les fonctions rationnelles, $\sin$, $\cos$, $\sqrt{x}$ et les fonctions exponentielles sont continus sur leur domaine de définition.
Comment lever une indétermination avec une racine cubique ?
On utilise l'expression conjuguée d'ordre 3 : $a-b = \frac{a^3-b^3}{a^2+ab+b^2}$. Cela permet de simplifier le quotient et de calculer la limite.
Résumé final
La maîtrise des limites et de la continuité est essentielle pour réussir l'épreuve de mathématiques du baccalauréat. Retenez les règles de calcul des limites, la définition de la continuité en un point et sur un intervalle, le théorème des valeurs intermédiaires, la caractérisation des fonctions réciproques et la méthode de dichotomie. Entraînez-vous régulièrement avec les exercices corrigés, vérifiez toujours les hypothèses avant d'appliquer un théorème, et justifiez la stricte monotonie lorsque vous concluez à l'unicité. Avec de la rigueur et de la pratique, ce chapitre deviendra une force pour vous.
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