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Cours de Mathématiques : Limites et continuité — 2e BAC PC et SVT 2025-2026
| Niveau | 2e année du baccalauréat |
| Filière | PC et SVT |
| Matière | Mathématiques |
| Chapitre | Limites et continuité |
| Sous-chapitre | Continuité des fonctions d'une variable réelle |
| Programme | Programme officiel marocain — 2025-2026 |
| Durée indicative d'étude | 6 heures |
| Dernière mise à jour | 05 novembre 2025 |
Le chapitre « Limites et continuité » occupe une place centrale dans le programme de mathématiques de la deuxième année du baccalauréat, filières PC et SVT. Il prolonge naturellement l'étude des limites abordée en première année et prépare à des notions plus avancées comme la dérivation, les fonctions réciproques et l'analyse des variations. Ce cours vous propose une approche complète et progressive de la continuité : définitions, propriétés, théorèmes fondamentaux, méthodes de résolution et exercices corrigés.
La continuité est un outil indispensable pour l'étude des fonctions. Elle intervient dans le théorème des valeurs intermédiaires, dans la recherche de solutions d'équations, dans l'étude des fonctions réciproques et dans de nombreux exercices d'examen national. Maîtriser ce chapitre vous permettra non seulement de gagner des points précieux au baccalauréat, mais aussi de consolider votre raisonnement mathématique et votre rigueur dans la rédaction des réponses.
Vous trouverez dans cet article : le cours complet avec toutes les définitions et démonstrations, des méthodes détaillées pas à pas, les erreurs classiques à éviter, des exercices intégrés avec corrections entièrement rédigées, une fiche de révision express, un quiz d'autoévaluation et une FAQ. Un bouton d'impression vous permet de générer une version propre, sans publicité, avec toutes les solutions visibles.
Table des matières
Prérequis
Avant d'aborder ce chapitre, vous devez maîtriser un certain nombre de notions vues en première année et au début de la deuxième année. Voici la liste des prérequis indispensables :
- La notion de limite d'une fonction en un point et à l'infini.
- Les techniques de calcul de limites (factorisation, conjugué, comparaison).
- Les limites des fonctions usuelles : polynômes, fonctions rationnelles, racines carrées, sinus et cosinus.
- La dérivation et le lien entre dérivée et monotonie.
- La résolution d'équations et d'inéquations du premier et du second degré.
- La manipulation des valeurs absolues et des racines n-ièmes.
Objectifs pédagogiques
À la fin de ce cours, vous serez capable de :
- Définir la continuité d'une fonction en un point et sur un intervalle.
- Étudier la continuité à droite et à gauche d'une fonction en un point.
- Démontrer qu'une fonction est continue en utilisant les théorèmes généraux.
- Déterminer les paramètres pour qu'une fonction définie par morceaux soit continue.
- Appliquer le théorème des valeurs intermédiaires pour justifier l'existence de solutions.
- Montrer qu'une fonction continue et strictement monotone admet une fonction réciproque.
- Déterminer l'expression de la fonction réciproque dans des cas simples.
- Utiliser les propriétés des racines n-ièmes et des puissances rationnelles.
Le cours complet
I. Continuité en un point
1. Définition
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle ouvert $I$ contenant $x_0$. On dit que $f$ est continue au point $x_0$ si et seulement si :
$$\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0).$$
Cette égalité signifie que la limite de $f$ en $x_0$ existe et qu'elle est égale à la valeur de $f$ en $x_0$. Autrement dit, on peut faire tendre $x$ vers $x_0$ sans que $f(x)$ ne s'éloigne de $f(x_0)$.
2. Continuité à droite et à gauche
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $[x_0, x_0 + r[$ avec $r > 0$. On dit que $f$ est continue à droite de $x_0$ si :
$$\lim_{x \to x_0^+} f(x) = f(x_0).$$
De même, si $f$ est définie sur $]x_0 - r, x_0]$, on dit que $f$ est continue à gauche de $x_0$ si :
$$\lim_{x \to x_0^-} f(x) = f(x_0).$$
3. Propriété fondamentale
Une fonction $f$ est continue au point $x_0$ si et seulement si elle est continue à droite et à gauche de $x_0$. Autrement dit :
$$f \text{ continue en } x_0 \iff \lim_{x \to x_0^+} f(x) = \lim_{x \to x_0^-} f(x) = f(x_0).$$
Cette propriété est très utile pour étudier la continuité des fonctions définies par morceaux.
II. Continuité sur un intervalle
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$. On dit que $f$ est continue sur $I$ si elle est continue en tout point de $I$. Selon la nature de l'intervalle, on distingue plusieurs situations :
- $f$ est continue sur l'intervalle ouvert $]a,b[$ si elle est continue en tout point de $]a,b[$.
- $f$ est continue sur $[a,b]$ si elle est continue sur $]a,b[$, continue à droite de $a$ et continue à gauche de $b$.
- $f$ est continue sur $[a,b[$ si elle est continue sur $]a,b[$ et continue à droite de $a$.
- $f$ est continue sur $]a,b]$ si elle est continue sur $]a,b[$ et continue à gauche de $b$.
III. Opérations sur les fonctions continues
Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur un intervalle $I$, et $\alpha$ un réel. Alors :
- La fonction $f + g$ est continue sur $I$.
- La fonction $\alpha f$ est continue sur $I$.
- La fonction $f \times g$ est continue sur $I$.
- Si $g(x) \neq 0$ pour tout $x \in I$, alors $\frac{1}{g}$ et $\frac{f}{g}$ sont continues sur $I$.
De plus, la composée de deux fonctions continues est continue : si $f$ est continue en $x_0$ et $g$ est continue en $f(x_0)$, alors $g \circ f$ est continue en $x_0$.
IV. Continuité des fonctions usuelles
Les fonctions usuelles suivantes sont continues sur leur domaine de définition :
- Toute fonction polynôme est continue sur $\mathbb{R}$.
- Toute fonction rationnelle est continue sur son domaine de définition.
- Les fonctions $x \mapsto \sin x$ et $x \mapsto \cos x$ sont continues sur $\mathbb{R}$.
- La fonction $x \mapsto \tan x$ est continue sur $\mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z} \right\}$.
- La fonction $x \mapsto \sqrt{x}$ est continue sur $[0, +\infty[$.
V. Image d'un intervalle par une fonction continue
L'image d'un segment $[a,b]$ par une fonction continue $f$ est un segment $[m,M]$, où $m$ est la plus petite valeur de $f$ sur $[a,b]$ et $M$ la plus grande. On note :
$$f([a,b]) = [m,M].$$
Plus généralement, l'image d'un intervalle $I$ par une fonction continue est un intervalle $J = f(I)$.
VI. Théorème des valeurs intermédiaires
Soit $f$ une fonction continue sur un segment $[a,b]$. Pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe au moins un réel $c$ dans $[a,b]$ tel que $f(c) = k$.
Une conséquence importante est la suivante : si $f$ est continue sur $[a,b]$ et si $f(a) \times f(b) < 0$, alors l'équation $f(x) = 0$ admet au moins une solution dans $]a,b[$.
Si de plus $f$ est strictement monotone sur $[a,b]$, alors cette solution est unique.
VII. Fonction réciproque d'une fonction continue et strictement monotone
Soit $f$ une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle $I$. Alors $f$ réalise une bijection de $I$ sur $J = f(I)$. On peut donc définir sa fonction réciproque $f^{-1}$ de $J$ vers $I$ par :
$$f^{-1}(y) = x \iff f(x) = y.$$
La fonction $f^{-1}$ est continue sur $J$ et varie dans le même sens que $f$. Les courbes de $f$ et $f^{-1}$ sont symétriques par rapport à la droite d'équation $y = x$.
VIII. Fonction racine n-ième
Pour tout entier $n \geq 2$, la fonction $x \mapsto x^n$ est continue et strictement croissante sur $[0, +\infty[$. Elle admet donc une fonction réciproque notée $x \mapsto \sqrt[n]{x}$, définie sur $[0, +\infty[$. On a :
$$\sqrt[n]{x^n} = x \quad \text{et} \quad \left(\sqrt[n]{x}\right)^n = x.$$
IX. Puissance rationnelle d'un nombre réel positif
Pour $x > 0$, $n \in \mathbb{N}^*$ et $m \in \mathbb{Z}$, on pose :
$$x^{m/n} = \sqrt[n]{x^m}.$$
Cette définition prolonge la notion de puissance aux exposants rationnels. Les propriétés algébriques des puissances restent valables : $x^r \times x^s = x^{r+s}$, $(x^r)^s = x^{rs}$, etc.
Méthodes et exemples corrigés
Méthode 1 : Montrer qu'une fonction est continue en un point
Pour montrer que $f$ est continue en $x_0$, on calcule la limite de $f$ en $x_0$ et on vérifie qu'elle est égale à $f(x_0)$. Voici un exemple détaillé.
Exemple : Soit $f$ définie par $f(x) = \frac{x^2 - |x|}{|x| - 1}$ pour $x \in \mathbb{R} \setminus \{-1,1\}$ et $f(1) = 1$. Étudier la continuité de $f$ en $1$.
Étape 1 : Calculer la limite en $1$.
Pour $x$ proche de $1$ et différent de $1$, on a $|x| = x$. Donc :
$$f(x) = \frac{x^2 - x}{x - 1} = \frac{x(x-1)}{x-1} = x.$$
Ainsi, $\lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} x = 1$.
Étape 2 : Comparer avec $f(1)$.
On a $f(1) = 1$. Donc $\lim_{x \to 1} f(x) = f(1)$.
Conclusion : $f$ est continue au point $1$.
Méthode 2 : Déterminer des paramètres pour assurer la continuité
Lorsqu'une fonction est définie par morceaux avec des paramètres, on impose la continuité aux points de raccordement en égalant les limites à droite et à gauche.
Exemple : Soit $f$ définie par :
$$f(x) = \begin{cases} x + a\sqrt{x^2+x+1} & \text{si } x \leq 0 \\ x^2 - x & \text{si } 0 < x \leq 1 \\ bx - \frac{x-1}{\sqrt{x^2+3}-2} & \text{si } x > 1 \end{cases}$$
Déterminer $a$ et $b$ pour que $f$ soit continue en $0$ et en $1$.
Continuité en 0 :
$f(0) = 0 + a\sqrt{1} = a$.
$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (x^2 - x) = 0$.
$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \left(x + a\sqrt{x^2+x+1}\right) = a$.
Pour que $f$ soit continue en $0$, il faut $a = 0$.
Continuité en 1 :
$f(1) = 1^2 - 1 = 0$.
$\lim_{x \to 1^-} f(x) = 0$.
$\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} \left(bx - \frac{x-1}{\sqrt{x^2+3}-2}\right)$.
On multiplie par le conjugué :
$$\frac{x-1}{\sqrt{x^2+3}-2} = \frac{(x-1)(\sqrt{x^2+3}+2)}{(x^2+3)-4} = \frac{(x-1)(\sqrt{x^2+3}+2)}{x^2-1} = \frac{\sqrt{x^2+3}+2}{x+1}.$$
Quand $x \to 1$, cette expression tend vers $\frac{\sqrt{4}+2}{2} = 2$.
Donc $\lim_{x \to 1^+} f(x) = b - 2$.
Pour que $f$ soit continue en $1$, il faut $b - 2 = 0$, soit $b = 2$.
Conclusion : $a = 0$ et $b = 2$.
Méthode 3 : Utiliser le théorème des valeurs intermédiaires
Pour montrer qu'une équation admet une solution, on applique le TVI à une fonction continue sur un intervalle fermé en vérifiant que les valeurs aux bornes sont de signes contraires.
Exemple : Montrer que l'équation $x^3 + 2x - 1 = 0$ admet une unique solution dans $[0,1]$.
Soit $f(x) = x^3 + 2x - 1$. $f$ est continue sur $[0,1]$ car c'est une fonction polynôme.
$f(0) = -1$ et $f(1) = 1 + 2 - 1 = 2$.
Comme $f(0) \times f(1) = -2 < 0$, le TVI garantit l'existence d'au moins une solution $c \in ]0,1[$ telle que $f(c) = 0$.
De plus, $f'(x) = 3x^2 + 2 > 0$ pour tout $x \in [0,1]$, donc $f$ est strictement croissante sur $[0,1]$. La solution est donc unique.
Erreurs fréquentes et pièges
Erreur 1 : Confondre continuité et dérivabilité. Une fonction dérivable est continue, mais la réciproque est fausse. Par exemple, $f(x) = |x|$ est continue en $0$ mais non dérivable en $0$.
Erreur 2 : Oublier de vérifier la continuité à droite et à gauche pour une fonction définie par morceaux. Il faut toujours calculer les deux limites et les comparer à la valeur de la fonction au point de raccordement.
Erreur 3 : Appliquer le TVI sans vérifier la continuité sur le segment. Le théorème exige que $f$ soit continue sur $[a,b]$.
Erreur 4 : Conclure à l'unicité de la solution sans justifier la stricte monotonie. Le TVI donne l'existence, pas l'unicité.
Erreur 5 : Écrire $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$ sans vérifier que $f(x_0)$ est bien définie. La continuité en un point suppose que la fonction est définie en ce point.
Exercices et examens nationaux
Les exercices suivants sont intégrés avec leurs corrections détaillées. Ils couvrent les notions essentielles du chapitre et vous préparent aux épreuves de l'examen national.
| Exercice | Type | Année / Session | Niveau |
|---|---|---|---|
| Exercice 1 — Continuité et valeur absolue | Application directe | — | Facile |
| Exercice 2 — Détermination de paramètres | Raisonnement et calcul | — | Moyen |
| Exercice 3 — Ensembles de définition et de continuité | Application directe | — | Facile |
| Exercice 4 — Fonction réciproque | Synthèse | — | Moyen |
| Exercice 5 — Théorème des valeurs intermédiaires | Type BAC | — | Moyen |
Tous les exercices et sujets corrigés
Consultez la liste complète des exercices d'application, exercices corrigés et examens nationaux classés par chapitre et par filière.
Voir tous les exercicesExercice 1 — Continuité et valeur absolue
Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = \frac{x^2 - |x|}{|x| - 1}$ pour $x \in \mathbb{R} \setminus \{-1,1\}$ et $f(1) = 1$. Montrer que $f$ est continue au point $x_0 = 1$.
Correction détaillée
Pour $x$ proche de $1$ et $x \neq 1$, on a $|x| = x$. Donc :
$$f(x) = \frac{x^2 - x}{x - 1} = \frac{x(x-1)}{x-1} = x.$$
Ainsi, $\lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} x = 1$.
Or $f(1) = 1$. On a donc $\lim_{x \to 1} f(x) = f(1)$.
Conclusion : $f$ est continue au point $1$.
Exercice 2 — Détermination de paramètres
Soit $f$ définie par :
$$f(x) = \begin{cases} x + a\sqrt{x^2+x+1} & \text{si } x \leq 0 \\ x^2 - x & \text{si } 0 < x \leq 1 \\ bx - \frac{x-1}{\sqrt{x^2+3}-2} & \text{si } x > 1 \end{cases}$$
Déterminer $a$ et $b$ pour que $f$ soit continue en $0$ et en $1$.
Correction détaillée
Continuité en 0 :
$f(0) = a$.
$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (x^2 - x) = 0$.
$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (x + a\sqrt{x^2+x+1}) = a$.
Pour que $f$ soit continue en $0$, il faut $a = 0$.
Continuité en 1 :
$f(1) = 0$.
$\lim_{x \to 1^-} f(x) = 0$.
$\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} \left(bx - \frac{x-1}{\sqrt{x^2+3}-2}\right)$.
On écrit :
$$\frac{x-1}{\sqrt{x^2+3}-2} = \frac{(x-1)(\sqrt{x^2+3}+2)}{x^2-1} = \frac{\sqrt{x^2+3}+2}{x+1}.$$
Quand $x \to 1$, cette quantité tend vers $2$.
Donc $\lim_{x \to 1^+} f(x) = b - 2$.
Pour que $f$ soit continue en $1$, il faut $b - 2 = 0$, soit $b = 2$.
Conclusion : $a = 0$ et $b = 2$.
Exercice 3 — Ensembles de définition et de continuité
Déterminer l'ensemble de définition et l'ensemble de continuité des fonctions suivantes :
1) $f(x) = (x^2 + 3x - 2)\sqrt{x}$
2) $g(x) = \frac{2x+1}{x-1} + \cos x$
Correction détaillée
1) $f(x) = (x^2 + 3x - 2)\sqrt{x}$
La fonction polynôme $x \mapsto x^2 + 3x - 2$ est définie et continue sur $\mathbb{R}$.
La fonction $x \mapsto \sqrt{x}$ est définie et continue sur $[0, +\infty[$.
Par produit, $f$ est définie et continue sur $[0, +\infty[$.
2) $g(x) = \frac{2x+1}{x-1} + \cos x$
La fonction $x \mapsto \frac{2x+1}{x-1}$ est définie et continue sur $\mathbb{R} \setminus \{1\}$.
La fonction $x \mapsto \cos x$ est définie et continue sur $\mathbb{R}$.
Par somme, $g$ est définie et continue sur $\mathbb{R} \setminus \{1\}$.
Exercice 4 — Fonction réciproque
Soit $f$ définie sur $[0,3]$ par $f(x) = x^2$. Montrer que $f$ admet une fonction réciproque $f^{-1}$ et déterminer son expression.
Correction détaillée
$f$ est continue sur $[0,3]$ car c'est une fonction polynôme.
$f'(x) = 2x > 0$ pour $x \in ]0,3]$, donc $f$ est strictement croissante sur $[0,3]$.
Ainsi, $f$ réalise une bijection de $[0,3]$ sur $f([0,3]) = [0,9]$.
La fonction réciproque $f^{-1}$ est définie sur $[0,9]$ par $f^{-1}(x) = \sqrt{x}$.
En effet, pour $y \in [0,9]$, l'unique $x \in [0,3]$ tel que $x^2 = y$ est $x = \sqrt{y}$.
Exercice 5 — Théorème des valeurs intermédiaires
Soit $f(x) = x^3 + 2x - 1$. Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution dans $[0,1]$.
Correction détaillée
$f$ est continue sur $[0,1]$ car c'est une fonction polynôme.
$f(0) = -1$ et $f(1) = 2$.
Comme $f(0) \times f(1) < 0$, le théorème des valeurs intermédiaires garantit l'existence d'au moins un $c \in ]0,1[$ tel que $f(c) = 0$.
De plus, $f'(x) = 3x^2 + 2 > 0$ pour tout $x \in [0,1]$, donc $f$ est strictement croissante sur $[0,1]$.
Par conséquent, la solution est unique.
Fiche de révision express
| Notion | Formule / Propriété |
|---|---|
| Continuité en $x_0$ | $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$ |
| Continuité à droite | $\lim_{x \to x_0^+} f(x) = f(x_0)$ |
| Continuité à gauche | $\lim_{x \to x_0^-} f(x) = f(x_0)$ |
| Opérations | Somme, produit, quotient et composée de fonctions continues sont continus |
| Fonctions usuelles | Polynômes, rationnelles, $\sin$, $\cos$, $\sqrt{x}$ sont continus sur leur domaine |
| TVI | Si $f$ continue sur $[a,b]$ et $f(a)f(b) < 0$, alors $f(x)=0$ admet une solution dans $]a,b[$ |
| Unicité | Si $f$ est de plus strictement monotone, la solution est unique |
| Fonction réciproque | $f^{-1}(y) = x \iff f(x) = y$ |
| Racine n-ième | $\sqrt[n]{x^n} = x$ et $(\sqrt[n]{x})^n = x$ |
| Puissance rationnelle | $x^{m/n} = \sqrt[n]{x^m}$ pour $x > 0$ |
Quiz d'autoévaluation
Question 1 : Une fonction dérivable en $x_0$ est-elle toujours continue en $x_0$ ?
Oui. La dérivabilité entraîne la continuité. En revanche, la réciproque est fausse : $f(x) = |x|$ est continue en $0$ mais non dérivable en $0$.
Question 2 : Que dit le théorème des valeurs intermédiaires ?
Si $f$ est continue sur $[a,b]$, alors pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe au moins un $c \in [a,b]$ tel que $f(c) = k$.
Question 3 : Comment montrer qu'une fonction définie par morceaux est continue en un point de raccordement ?
On calcule la limite à droite et la limite à gauche en ce point, puis on vérifie qu'elles sont égales à la valeur de la fonction en ce point.
Question 4 : Une fonction continue et strictement monotone sur $I$ admet-elle toujours une fonction réciproque ?
Oui. Elle réalise une bijection de $I$ sur $f(I)$, ce qui permet de définir sa fonction réciproque sur $f(I)$.
Questions fréquentes
Qu'est-ce qu'une fonction continue en un point ?
Une fonction $f$ est continue en $x_0$ si $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$. Cela signifie que la limite de $f$ en $x_0$ existe et est égale à la valeur de $f$ en $x_0$.
Quelle est la différence entre continuité et dérivabilité ?
La dérivabilité est une condition plus forte que la continuité. Toute fonction dérivable en un point est continue en ce point, mais l'inverse est faux. Par exemple, la fonction valeur absolue est continue en $0$ mais non dérivable en $0$.
Comment appliquer le théorème des valeurs intermédiaires ?
Il faut d'abord vérifier que la fonction est continue sur le segment $[a,b]$. Ensuite, on calcule $f(a)$ et $f(b)$. Si $f(a)$ et $f(b)$ sont de signes contraires, alors l'équation $f(x)=0$ admet au moins une solution dans $]a,b[$. Si de plus la fonction est strictement monotone, la solution est unique.
Comment déterminer la fonction réciproque d'une fonction ?
On part de l'équation $y = f(x)$ et on résout pour exprimer $x$ en fonction de $y$. La fonction obtenue $x = f^{-1}(y)$ est la réciproque. On échange ensuite les noms des variables pour écrire $f^{-1}(x)$.
Quelles sont les fonctions usuelles continues sur leur domaine ?
Les polynômes, les fonctions rationnelles, les fonctions sinus et cosinus, la fonction racine carrée, la fonction tangente (sur son domaine) et les fonctions exponentielles sont continues sur leur domaine de définition.
Comment montrer qu'une fonction admet une fonction réciproque ?
Il suffit de montrer que la fonction est continue et strictement monotone sur un intervalle $I$. Elle réalise alors une bijection de $I$ sur $f(I)$, ce qui garantit l'existence de sa fonction réciproque.
Résumé final
La continuité est une notion clé de l'analyse mathématique. Elle permet de relier les limites aux valeurs des fonctions et constitue le fondement de nombreux théorèmes. Retenez les définitions de la continuité en un point et sur un intervalle, les propriétés des opérations sur les fonctions continues, le théorème des valeurs intermédiaires et la caractérisation des fonctions réciproques. Entraînez-vous régulièrement avec les exercices corrigés et n'hésitez pas à revoir les méthodes détaillées. Avec de la rigueur et de la pratique, vous maîtriserez ce chapitre et aborderez sereinement l'examen national.
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