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Calcul des limites et branches infinies — Résumé (Leçon 1)
Cette fiche résume les règles essentielles du calcul des limites (polynômes, fractions, formes indéterminées, limites usuelles) ainsi que les différentes branches infinies d'une courbe avec leur interprétation graphique.
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I. Règles de calcul des limites
1. Limites des polynômes
La limite d'un polynôme en $\pm\infty$ est égale à la limite de son terme de plus haut degré.
Autrement dit : si $P(x) = a_n x^n + \cdots + a_1 x + a_0$ avec $a_n \neq 0$, alors :
$$\lim_{x \to \pm\infty} P(x) = \lim_{x \to \pm\infty} a_n x^n$$
| Expression | Limite |
|---|---|
| $\lim_{x \to +\infty} x^2$ | $+\infty$ |
| $\lim_{x \to +\infty} x^3$ | $+\infty$ |
| $\lim_{x \to -\infty} x^3$ | $-\infty$ |
| $\lim_{x \to \pm\infty} a x^n$ ($n$ pair, $a > 0$) | $+\infty$ |
| $\lim_{x \to \pm\infty} a x^n$ ($n$ impair, $a > 0$) | $\pm\infty$ (selon signe de $x$) |
2. Limites des fractions rationnelles
En $\pm\infty$, la limite d'une fraction rationnelle est égale à la limite du quotient des termes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur.
$$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{a_n x^n}{b_p x^p} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{a_n}{b_p} \cdot x^{n-p}$$
Au voisinage de $0^+$ :
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{a}{x^n} = +\infty \quad (a > 0)$$
Au voisinage de $\pm\infty$ :
$$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{a}{x^n} = 0$$
3. Formes indéterminées
Lorsque le calcul direct conduit à une forme indéterminée, on doit transformer l'expression (factorisation, conjugué, développement limité, etc.) avant de conclure.
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II. Limites usuelles importantes
1. Limites de la fonction exponentielle
| Limite | Résultat |
|---|---|
| $\lim_{x \to +\infty} e^x$ | $+\infty$ |
| $\lim_{x \to -\infty} e^x$ | $0^+$ |
| $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{e^x}{x}$ | $+\infty$ |
| $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{e^x}{x^n}$ | $+\infty$ |
| $\lim_{x \to -\infty} x e^x$ | $0^-$ |
| $\lim_{x \to 0} \dfrac{e^x - 1}{x}$ | $1$ |
2. Limites de la fonction logarithme népérien
| Limite | Résultat |
|---|---|
| $\lim_{x \to +\infty} \ln x$ | $+\infty$ |
| $\lim_{x \to 0^+} \ln x$ | $-\infty$ |
| $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x}$ | $0^+$ |
| $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x^n}$ | $0^+$ |
| $\lim_{x \to 0^+} x \ln x$ | $0^-$ |
| $\lim_{x \to 1} \dfrac{\ln x}{x - 1}$ | $1$ |
III. Branches infinies
Le but de l'étude des branches infinies est de décrire le comportement de la courbe $(C_f)$ lorsque $x$ ou $y$ tend vers l'infini. On résume cela par le schéma suivant.
1. Interprétation directe
Si $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = \pm\infty$ :
La droite d'équation $x = a$ est une asymptote verticale à $(C_f)$.
Si $\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = b$ :
La droite d'équation $y = b$ est une asymptote horizontale à $(C_f)$ au voisinage de $\pm\infty$.
2. Interprétation indirecte
Lorsque $\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \pm\infty$, on calcule la limite de $\dfrac{f(x)}{x}$ :
- Si $\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = 0$ : $(C_f)$ admet une branche parabolique de direction $(Ox)$.
- Si $\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = \pm\infty$ : $(C_f)$ admet une branche parabolique de direction $(Oy)$.
- Si $\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = a \neq 0$ : on calcule alors $\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} \big[f(x) - ax\big]$ :
- Si cette limite est $\pm\infty$ : branche parabolique de direction $y = ax$.
- Si cette limite est $b$ (réel) : asymptote oblique $y = ax + b$.
3. Méthode pratique
Pour prouver que la droite $y = ax + b$ est asymptote oblique :
On calcule $\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} \big[f(x) - y\big]$. Si le résultat vaut $0$, alors $y = ax + b$ est asymptote oblique.
Pour prouver qu'il s'agit d'une branche parabolique de direction $y = ax$ :
On calcule $\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} \big[f(x) - y\big]$. Si le résultat vaut $\pm\infty$, alors la branche est parabolique de direction $y = ax$.
Exercices corrigés
Calculer $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \big(2x^3 - x^2 + x - 1\big)$.
La limite d'un polynôme en $+\infty$ est celle de son terme de plus haut degré.
$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} 2x^3 = +\infty$, donc la limite cherchée est $+\infty$.
Calculer $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 - 1}{x + 2}$.
On factorise par $x$ : $\dfrac{x^2 - 1}{x + 2} = \dfrac{x^2 (1 - 1/x^2)}{x (1 + 2/x)} = x \cdot \dfrac{1 - 1/x^2}{1 + 2/x}$.
Quand $x \to +\infty$ : $\dfrac{1 - 1/x^2}{1 + 2/x} \to 1$ et $x \to +\infty$.
Donc la limite est $+\infty$.
Calculer $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x - x}{e^x + 1}$.
On factorise par $e^x$ : $\dfrac{e^x (1 - x e^{-x})}{e^x (1 + e^{-x})} = \dfrac{1 - x e^{-x}}{1 + e^{-x}}$.
$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} x e^{-x} = 0$ et $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} e^{-x} = 0$.
Donc la limite est $\dfrac{1 - 0}{1 + 0} = 1$.
Soit $f(x) = x^2 + x$. Étudier la branche infinie en $+\infty$.
$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$.
$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} (x + 1) = +\infty$.
Donc $(C_f)$ admet une branche parabolique de direction $(Oy)$ au voisinage de $+\infty$.
Soit $f(x) = x + 2 + \dfrac{3}{x - 1}$. Montrer que la droite $y = x + 2$ est asymptote oblique à $(C_f)$.
$f(x) - (x + 2) = \dfrac{3}{x - 1}$.
$\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} \dfrac{3}{x - 1} = 0$.
Donc la droite $y = x + 2$ est bien une asymptote oblique à $(C_f)$ au voisinage de $\pm\infty$.
QCM
$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{e^x}{x}$ est égale à :
- A. $0$
- B. $1$
- C. $+\infty$
- D. $-\infty$
Réponse : C. Croissance comparée : $e^x$ croît plus vite que $x$.
$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x}$ est égale à :
- A. $0$
- B. $1$
- C. $+\infty$
- D. $-\infty$
Réponse : A. $\ln x$ croît plus lentement que $x$.
Si $\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} \dfrac{f(x)}{x} = 0$, alors :
- A. Asymptote verticale
- B. Asymptote horizontale
- C. Branche parabolique de direction $(Ox)$
- D. Asymptote oblique
Réponse : C. Branche parabolique de direction $(Ox)$.
Pour montrer que la droite $y = ax + b$ est asymptote oblique à $(C_f)$, on calcule :
- A. $\lim f(x)$
- B. $\lim \dfrac{f(x)}{x}$
- C. $\lim \big[f(x) - (ax + b)\big]$ et on trouve $0$
- D. $\lim f(x) - x$
Réponse : C. On calcule $\lim [f(x) - (ax + b)]$ et on doit trouver $0$.
Tableau récapitulatif
| Situation | Condition | Conclusion |
|---|---|---|
| Limite finie en $a$ | $\lim_{x \to a} f(x) = \ell$ | Pas de branche infinie |
| Limite infinie en $a$ | $\lim_{x \to a} f(x) = \pm\infty$ | Asymptote verticale $x = a$ |
| Limite finie en $\pm\infty$ | $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = b$ | Asymptote horizontale $y = b$ |
| Branche parabolique $(Ox)$ | $\lim \dfrac{f(x)}{x} = 0$ | Direction $(Ox)$ |
| Branche parabolique $(Oy)$ | $\lim \dfrac{f(x)}{x} = \pm\infty$ | Direction $(Oy)$ |
| Branche parabolique $y = ax$ | $\lim \dfrac{f(x)}{x} = a \neq 0$ et $\lim [f(x) - ax] = \pm\infty$ | Direction $y = ax$ |
| Asymptote oblique | $\lim \dfrac{f(x)}{x} = a \neq 0$ et $\lim [f(x) - ax] = b$ | Droite $y = ax + b$ |
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