Branches infinies — Schéma complet (Leçon 2)

Cette fiche présente le schéma complet permettant de déterminer la nature des branches infinies d'une courbe $(C_f)$ à partir des limites en $+\infty$, $-\infty$ ou en un point $a$.

Le schéma permet de distinguer clairement les cas : asymptote horizontale, asymptote verticale, branche parabolique de direction $(Ox)$, $(Oy)$ ou $y = ax$, et asymptote oblique.

I. Schéma complet de classification

On part des trois cas de limites possibles et on applique la méthode en cascade :

II. Les trois cas de base

1. $\lim_{x \to \infty} f(x) = a$

Si $\displaystyle\lim_{x \to \infty} f(x) = a$ (où $a$ est un réel), alors la droite d'équation $y = a$ est une asymptote horizontale à $(C_f)$ au voisinage de $\infty$.

2. $\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty$

Si $\displaystyle\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty$, il faut étudier plus en détail. On calcule $\displaystyle\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}$, puis selon le résultat :

3. $\lim_{x \to a} f(x) = \infty$

Si $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = \infty$, alors la droite d'équation $x = a$ est une asymptote verticale à $(C_f)$.

III. Étude détaillée du cas $\lim f(x) = \infty$

Lorsque $\displaystyle\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty$, on calcule $\displaystyle\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}$ :

Cas A — $\displaystyle\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = 0$

La courbe $(C_f)$ admet une branche parabolique de direction $(Ox)$ au voisinage de $\infty$.

Cas B — $\displaystyle\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \infty$

La courbe $(C_f)$ admet une branche parabolique de direction $(Oy)$ au voisinage de $\infty$.

Cas C — $\displaystyle\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = a$ (avec $a \neq 0$)

Dans ce cas, on calcule $\displaystyle\lim_{x \to \infty} \big[f(x) - ax\big]$ :

Si $\displaystyle\lim_{x \to \infty} \big[f(x) - ax\big] = b$ (avec $b$ réel), alors la droite $y = ax + b$ est une asymptote oblique à $(C_f)$.
Si $\displaystyle\lim_{x \to \infty} \big[f(x) - ax\big] = \infty$, alors $(C_f)$ admet une branche parabolique de direction $y = ax$.

IV. Tableau de synthèse

Limite initiale	Calcul intermédiaire	Conclusion
$\lim_{x \to a} f(x) = \infty$	—	Asymptote verticale $x = a$
$\lim_{x \to \infty} f(x) = a$	—	Asymptote horizontale $y = a$
$\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty$	$\lim \dfrac{f(x)}{x} = 0$	Branche parabolique $(Ox)$
	$\lim \dfrac{f(x)}{x} = \infty$	Branche parabolique $(Oy)$
	$\lim \dfrac{f(x)}{x} = a \neq 0$	$\lim [f(x) - ax] = b$
		→ asymptote oblique $y = ax + b$
		$\lim [f(x) - ax] = \infty$
		→ branche parabolique $y = ax$

V. Méthode pratique

Étape 1 : calculer $\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} f(x)$ (ou $\lim_{x \to a} f(x)$).

Étape 2 : selon le résultat, appliquer la branche correspondante du schéma.

Étape 3 : en cas de branche parabolique ou d'asymptote oblique, calculer $\displaystyle\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}$ puis $\displaystyle\lim_{x \to \infty} [f(x) - ax]$.

Étape 4 : conclure sur la nature exacte de la branche infinie.

Exercices corrigés

Exercice 1 — Asymptote verticale

Soit $f(x) = \dfrac{1}{x - 3}$. Déterminer les branches infinies de $(C_f)$.

$\displaystyle\lim_{x \to 3^+} f(x) = +\infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to 3^-} f(x) = -\infty$.

Donc la droite $x = 3$ est une asymptote verticale à $(C_f)$.

De plus, $\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = 0$, donc $y = 0$ est une asymptote horizontale au voisinage de $\pm\infty$.

Exercice 2 — Branche parabolique $(Oy)$

Soit $f(x) = x^2 + 3x$. Déterminer la nature de la branche infinie en $+\infty$.

$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$.

$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} (x + 3) = +\infty$.

Donc $(C_f)$ admet une branche parabolique de direction $(Oy)$ en $+\infty$.

Exercice 3 — Asymptote oblique

Soit $f(x) = 2x + 1 + \dfrac{1}{x}$. Montrer que $y = 2x + 1$ est asymptote oblique.

$\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \left(2 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}\right) = 2$.

$\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} [f(x) - 2x] = \lim_{x \to \pm\infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right) = 1$.

Donc $y = 2x + 1$ est asymptote oblique à $(C_f)$ au voisinage de $\pm\infty$.

Exercice 4 — Branche parabolique $y = ax$

Soit $f(x) = x + \sqrt{x}$. Déterminer la nature de la branche infinie en $+\infty$.

$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$.

$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \left(1 + \frac{1}{\sqrt{x}}\right) = 1$.

$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} [f(x) - x] = \lim_{x \to +\infty} \sqrt{x} = +\infty$.

Donc $(C_f)$ admet une branche parabolique de direction $y = x$.

QCM

Question 1

Si $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = \infty$, alors :

A. Asymptote horizontale $y = a$
B. Asymptote verticale $x = a$
C. Branche parabolique
D. Asymptote oblique

Réponse : B. La droite $x = a$ est asymptote verticale.

Question 2

Si $\displaystyle\lim_{x \to \infty} f(x) = a$, alors :

A. Asymptote verticale $x = a$
B. Asymptote horizontale $y = a$
C. Branche parabolique $(Ox)$
D. Branche parabolique $(Oy)$

Réponse : B. La droite $y = a$ est asymptote horizontale.

Question 3

Si $\displaystyle\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \infty$, alors :

A. Asymptote horizontale
B. Branche parabolique $(Ox)$
C. Branche parabolique $(Oy)$
D. Asymptote oblique

Réponse : C. Branche parabolique de direction $(Oy)$.

Question 4

Si $\displaystyle\lim \frac{f(x)}{x} = a \neq 0$ et $\displaystyle\lim [f(x) - ax] = b$, alors :

A. Branche parabolique $y = ax$
B. Asymptote oblique $y = ax + b$
C. Asymptote verticale
D. Aucune de ces réponses

Réponse : B. $y = ax + b$ est asymptote oblique.

Tableau récapitulatif

Limite	Branche infinie	Équation
$\lim_{x \to a} f(x) = \infty$	Asymptote verticale	$x = a$
$\lim_{x \to \infty} f(x) = a$	Asymptote horizontale	$y = a$
$\lim \dfrac{f(x)}{x} = 0$	Branche parabolique	Direction $(Ox)$
$\lim \dfrac{f(x)}{x} = \infty$	Branche parabolique	Direction $(Oy)$
$\lim \dfrac{f(x)}{x} = a \neq 0$ et $\lim [f(x) - ax] = b$	Asymptote oblique	$y = ax + b$
$\lim \dfrac{f(x)}{x} = a \neq 0$ et $\lim [f(x) - ax] = \infty$	Branche parabolique	Direction $y = ax$

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