Branches infinies — Schéma visuel (Leçon 3)

Cette fiche présente la خطاطة (خطاطة توضيحية) complète des branches infinies. Elle permet, à partir des limites de $f$ et de $\dfrac{f(x)}{x}$, de déterminer rapidement la nature exacte de la branche infinie : asymptote verticale, horizontale, oblique ou branche parabolique.

I. Point de départ

Toute étude de branche infinie commence par le calcul des limites de $f$. Trois situations peuvent se présenter :

Situation 1 : $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = \infty$ (limite infinie en un point $a$).
Situation 2 : $\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \alpha$ (limite finie à l'infini).
Situation 3 : $\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \infty$ (limite infinie à l'infini).

II. Schéma complet de la classification

Ce schéma reprend l'organigramme complet du PDF. Il illustre les chemins à suivre selon les résultats des limites successives.

III. Détail des cas

Cas 1 — Asymptote verticale

Condition : $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = \infty$.

Conclusion : la droite d'équation $x = a$ est une asymptote verticale à $(C_f)$.

Cas 2 — Asymptote horizontale

Condition : $\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \alpha$ (avec $\alpha \in \mathbb{R}$).

Conclusion : la droite d'équation $y = \alpha$ est une asymptote horizontale à $(C_f)$ au voisinage de $\pm\infty$.

Cas 3 — Limite infinie à l'infini

Condition : $\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \infty$.

Dans ce cas, on calcule $\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x}$ :

Sous-cas 3.1 : si $\displaystyle\lim \frac{f(x)}{x} = 0$, alors $(C_f)$ admet une branche parabolique de direction l'axe des abscisses $(Ox)$.
Sous-cas 3.2 : si $\displaystyle\lim \frac{f(x)}{x} = \pm\infty$, alors $(C_f)$ admet une branche parabolique de direction l'axe des ordonnées $(Oy)$.
Sous-cas 3.3 : si $\displaystyle\lim \frac{f(x)}{x} = a$ (avec $a \neq 0$), on calcule alors $\displaystyle\lim \big[f(x) - ax\big]$ :
- Si cette limite vaut $\pm\infty$ : branche parabolique de direction $y = ax$.
- Si cette limite vaut $b$ (réel) : asymptote oblique $y = ax + b$.

IV. Tableau de synthèse

$\lim f$	$\lim f(x)/x$	$\lim [f(x) - ax]$	Conclusion
$\lim_{x \to a} f = \infty$	—	—	Asymptote verticale $x = a$
$\lim_{x \to \infty} f = \alpha$	—	—	Asymptote horizontale $y = \alpha$
$\lim_{x \to \infty} f = \infty$	$0$	—	Branche parabolique $(Ox)$
	$\infty$	—	Branche parabolique $(Oy)$
	$a \neq 0$	$\infty$	Branche parabolique $y = ax$
	$a \neq 0$	$b$ réel	Asymptote oblique $y = ax + b$

Exercices corrigés

Exercice 1 — Cas 1

Soit $f(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 1}$. Déterminer la nature de la branche infinie au voisinage de $1$.

$\displaystyle\lim_{x \to 1^+} f(x) = +\infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to 1^-} f(x) = -\infty$.

Donc la droite d'équation $x = 1$ est une asymptote verticale à $(C_f)$.

Exercice 2 — Cas 2

Soit $f(x) = \dfrac{3x + 2}{x + 1}$. Déterminer la nature de la branche infinie en $\pm\infty$.

$\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = 3$.

Donc la droite d'équation $y = 3$ est une asymptote horizontale à $(C_f)$ en $\pm\infty$.

Exercice 3 — Cas 3.1

Soit $f(x) = \ln(x)$. Déterminer la nature de la branche infinie en $+\infty$.

$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty$.

$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x} = 0$.

Donc $(C_f)$ admet une branche parabolique de direction $(Ox)$ en $+\infty$.

Exercice 4 — Cas 3.2

Soit $f(x) = x^2 + x$. Déterminer la nature de la branche infinie en $+\infty$.

$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$.

$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} (x + 1) = +\infty$.

Donc $(C_f)$ admet une branche parabolique de direction $(Oy)$.

Exercice 5 — Cas 3.3 (asymptote oblique)

Soit $f(x) = x + 3 + \dfrac{2}{x - 1}$. Déterminer la nature de la branche infinie en $\pm\infty$.

$\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \pm\infty$.

$\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = 1$.

$\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} [f(x) - x] = \lim_{x \to \pm\infty} \left(3 + \frac{2}{x - 1}\right) = 3$.

Donc la droite $y = x + 3$ est une asymptote oblique à $(C_f)$ en $\pm\infty$.

Exercice 6 — Cas 3.3 (branche parabolique $y = ax$)

Soit $f(x) = x + \sqrt{x}$. Déterminer la nature de la branche infinie en $+\infty$.

$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$.

$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = 1$.

$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} [f(x) - x] = \lim_{x \to +\infty} \sqrt{x} = +\infty$.

Donc $(C_f)$ admet une branche parabolique de direction $y = x$.

QCM

Question 1

Dans le schéma, si $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = \infty$, alors :

A. $y = a$ asymptote horizontale
B. $x = a$ asymptote verticale
C. Branche parabolique $(Ox)$
D. Branche parabolique $(Oy)$

Réponse : B. Le schéma indique directement l'asymptote verticale $x = a$.

Question 2

Si $\displaystyle\lim_{x \to \infty} f(x) = \alpha$, alors :

A. Branche parabolique
B. Asymptote verticale $x = \alpha$
C. Asymptote horizontale $y = \alpha$
D. Asymptote oblique

Réponse : C. Asymptote horizontale $y = \alpha$.

Question 3

Dans le cas où $\displaystyle\lim \frac{f(x)}{x} = 0$, la courbe admet :

A. Asymptote horizontale
B. Branche parabolique $(Ox)$
C. Branche parabolique $(Oy)$
D. Asymptote oblique

Réponse : B. Branche parabolique de direction $(Ox)$.

Question 4

Si $\displaystyle\lim \frac{f(x)}{x} = a \neq 0$ et $\displaystyle\lim [f(x) - ax] = b$, alors :

A. Branche parabolique $y = ax$
B. Asymptote oblique $y = ax + b$
C. Asymptote verticale
D. Aucune de ces réponses

Réponse : B. Asymptote oblique $y = ax + b$.

Tableau récapitulatif

N°	Situation	Résultat
1	$\lim_{x \to a} f(x) = \infty$	Asymptote verticale $x = a$
2	$\lim_{x \to \infty} f(x) = \alpha$	Asymptote horizontale $y = \alpha$
3.1	$\lim f(x)/x = 0$	Branche parabolique $(Ox)$
3.2	$\lim f(x)/x = \pm\infty$	Branche parabolique $(Oy)$
3.3.a	$\lim f(x)/x = a \neq 0$ et $\lim [f(x) - ax] = \infty$	Branche parabolique $y = ax$
3.3.b	$\lim f(x)/x = a \neq 0$ et $\lim [f(x) - ax] = b$	Asymptote oblique $y = ax + b$

Rejoignez notre chaîne WhatsApp

Recevez les nouveaux cours, séries et résumés dès leur publication.

Rejoindre

Contribuez à EduMaroc

Partagez vos cours, exercices ou sujets d'examen pour aider les élèves marocains.

Participer