Symétries, concavité et point d'inflexion

Cette fiche récapitule trois notions essentielles dans l'étude d'une courbe : l'axe de symétrie, le centre de symétrie, ainsi que la concavité et les points d'inflexion.

Ces outils permettent de simplifier l'étude d'une fonction et de tracer sa courbe avec précision.

I. Axe de symétrie

Définition

Le point $M(x, y)$ est symétrique du point $M'(x', y')$ par rapport à la droite d'équation $x = a$ si et seulement si :

$$x' = 2a - x \quad \text{et} \quad y' = y$$

Condition pour qu'une droite soit axe de symétrie

La droite d'équation $x = a$ est un axe de symétrie de la courbe $(C_f)$ si et seulement si les deux conditions suivantes sont vérifiées :

$$(\forall x \in D_f) : \quad (2a - x) \in D_f$$

$$(\forall x \in D_f) : \quad f(2a - x) = f(x)$$

Application : si $f(a + h) = f(a - h)$ pour tout $h$ tel que $a + h, a - h \in D_f$, alors la droite $x = a$ est un axe de symétrie.

II. Centre de symétrie

Définition

Le point $M(x, y)$ est symétrique du point $M'(x', y')$ par rapport au point $\Omega(a, b)$ si et seulement si :

$$x' = 2a - x \quad \text{et} \quad y' = 2b - y$$

Condition pour qu'un point soit centre de symétrie

Le point $\Omega(a, b)$ est un centre de symétrie de la courbe $(C_f)$ si et seulement si les deux conditions suivantes sont vérifiées :

$$(\forall x \in D_f) : \quad (2a - x) \in D_f$$

$$(\forall x \in D_f) : \quad f(2a - x) + f(x) = 2b$$

Application : si $f(a + h) + f(a - h) = 2b$ pour tout $h$ tel que $a + h, a - h \in D_f$, alors le point $\Omega(a, b)$ est un centre de symétrie.

III. Concavité et convexité

Définition intuitive

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$.

Le graphe $(C_f)$ est convexe (محدب) sur $I$ s'il est situé au-dessus de toutes ses tangentes sur $I$.
Le graphe $(C_f)$ est concave (مقعر) sur $I$ s'il est situé en dessous de toutes ses tangentes sur $I$.

Caractérisation par la dérivée seconde

Soit $f$ deux fois dérivable sur un intervalle $I$.

Si $f''(x) \geq 0$ pour tout $x \in I$, alors $(C_f)$ est convexe sur $I$.
Si $f''(x) \leq 0$ pour tout $x \in I$, alors $(C_f)$ est concave sur $I$.

IV. Point d'inflexion

Définition

Un point d'inflexion est un point de la courbe où celle-ci traverse sa tangente (la concavité change de sens).

Condition d'existence

Un point $I(x_0, f(x_0))$ est un point d'inflexion de $(C_f)$ si :

$f''(x_0) = 0$
$f''$ change de signe en $x_0$ (c'est-à-dire que la concavité change en ce point)

Remarque importante : si $f''$ s'annule en $x_0$ sans changer de signe, alors le point $I(x_0, f(x_0))$ n'est pas un point d'inflexion.

V. Méthode pratique

Pour étudier la concavité et trouver les points d'inflexion :

Calculer la dérivée première $f'(x)$.
Calculer la dérivée seconde $f''(x)$.
Étudier le signe de $f''(x)$ sur $D_f$.
Dresser un tableau de signes de $f''$ et en déduire les intervalles de convexité et de concavité.
Repérer les valeurs $x_0$ où $f''$ s'annule en changeant de signe : ce sont les abscisses des points d'inflexion.

Exercices corrigés

Exercice 1 — Axe de symétrie

Montrer que la droite d'équation $x = 1$ est un axe de symétrie de la courbe de $f(x) = (x - 1)^2 + 2$.

On calcule $f(2 - x)$ :

$f(2 - x) = (2 - x - 1)^2 + 2 = (1 - x)^2 + 2 = (x - 1)^2 + 2 = f(x)$.

Donc $f(2 - x) = f(x)$. La droite $x = 1$ est bien un axe de symétrie.

Exercice 2 — Centre de symétrie

Montrer que le point $\Omega(2, 3)$ est un centre de symétrie de $f(x) = \dfrac{1}{x - 2} + 3$.

On calcule $f(4 - x)$ :

$f(4 - x) = \dfrac{1}{(4 - x) - 2} + 3 = \dfrac{1}{2 - x} + 3 = -\dfrac{1}{x - 2} + 3$.

$f(4 - x) + f(x) = -\dfrac{1}{x - 2} + 3 + \dfrac{1}{x - 2} + 3 = 6 = 2 \times 3$.

Donc $f(2a - x) + f(x) = 2b$ avec $a = 2$ et $b = 3$. Le point $\Omega(2, 3)$ est bien un centre de symétrie.

Exercice 3 — Concavité

Étudier la concavité de $f(x) = x^4 - 2x^2$.

$f'(x) = 4x^3 - 4x$ et $f''(x) = 12x^2 - 4 = 4(3x^2 - 1)$.

$f''(x) = 0 \iff x = \pm\dfrac{\sqrt{3}}{3}$.

Signe de $f''$ :

$f''(x) > 0$ sur $\left]-\infty, -\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right[ \cup \left]\dfrac{\sqrt{3}}{3}, +\infty\right[$ → $(C_f)$ convexe.
$f''(x) < 0$ sur $\left]-\dfrac{\sqrt{3}}{3}, \dfrac{\sqrt{3}}{3}\right[$ → $(C_f)$ concave.

Exercice 4 — Point d'inflexion

Déterminer les points d'inflexion de $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$.

$f'(x) = 3x^2 - 6x$ et $f''(x) = 6x - 6 = 6(x - 1)$.

$f''(x) = 0 \iff x = 1$. En $x = 1$, $f''$ change de signe ($-$ avant, $+$ après).

$f(1) = 1 - 3 + 2 = 0$.

Donc $I(1, 0)$ est un point d'inflexion de $(C_f)$.

QCM

Question 1

La droite $x = a$ est un axe de symétrie de $(C_f)$ si :

A. $f(a) = 0$
B. $f(2a - x) = f(x)$
C. $f(2a - x) + f(x) = 2b$
D. $f'(a) = 0$

Réponse : B. Condition de l'axe de symétrie.

Question 2

Le point $\Omega(a, b)$ est un centre de symétrie de $(C_f)$ si :

A. $f(2a - x) = f(x)$
B. $f(a) = b$
C. $f(2a - x) + f(x) = 2b$
D. $f'(a) = 0$

Réponse : C. Condition du centre de symétrie.

Question 3

Si $f''(x) \geq 0$ sur $I$, alors $(C_f)$ est :

A. Concave sur $I$
B. Convexe sur $I$
C. Constante sur $I$
D. Linéaire sur $I$

Réponse : B. $f'' \geq 0 \Rightarrow$ convexe.

Question 4

Un point d'inflexion est un point où :

A. $f' = 0$ uniquement
B. $f'' = 0$ uniquement
C. $f'' = 0$ et $f''$ change de signe
D. $f = 0$

Réponse : C. Il faut que $f''$ s'annule ET change de signe en ce point.

Tableau récapitulatif

Notion	Condition	Interprétation
Axe de symétrie	$f(2a - x) = f(x)$	Droite verticale $x = a$
Centre de symétrie	$f(2a - x) + f(x) = 2b$	Point $\Omega(a, b)$
Convexité	$f''(x) \geq 0$ sur $I$	Courbe au-dessus des tangentes
Concavité	$f''(x) \leq 0$ sur $I$	Courbe en dessous des tangentes
Point d'inflexion	$f''(x_0) = 0$ + changement de signe	La courbe traverse sa tangente

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