Signe d'une fonction numérique — Résumé (Leçon 1)

L'étude du signe d'une expression est une étape fondamentale dans l'analyse d'une fonction. Elle permet de déterminer les intervalles où la fonction est positive, négative ou nulle.

Cette fiche récapitule les méthodes pour étudier le signe d'un polynôme du 1er et du 2nd degré, d'un logarithme, puis d'une fonction quelconque (méthode par variations ou par extrema).

I. Signes de référence à connaître

Avant toute étude de signe, il faut garder en tête les résultats suivants :

$(\forall x \in \mathbb{R}) : \quad e^x > 0$
$(\forall x \in \mathbb{R}^*) : \quad \dfrac{1}{x^2} > 0$
$(\forall x \in [0, +\infty[) : \quad \sqrt{x} \geq 0$
$(\forall x \in \mathbb{R}) : \quad x^2 \geq 0$

Ces expressions ne changent jamais de signe. Elles sont soit strictement positives, soit positives ou nulles.

Signe du logarithme népérien

$x$	$0$		$1$		$+\infty$
$\ln x$	non défini	$-$	$0$	$+$

Conclusion :

$\ln x < 0 \iff 0 < x < 1$
$\ln x = 0 \iff x = 1$
$\ln x > 0 \iff x > 1$

II. Signe d'un polynôme du 1er degré

Règle

Soit $P(x) = ax + b$ avec $a \neq 0$.

La racine est $x_1 = -\dfrac{b}{a}$.

Le signe : le polynôme est du signe opposé à $a$ avant la racine, et du signe de $a$ après la racine.

$x$	$-\infty$		$x_1$		$+\infty$
$ax + b$		signe opposé à $a$	$0$	signe de $a$

III. Signe d'un polynôme du 2nd degré

Règle

Soit $P(x) = ax^2 + bx + c$ avec $a \neq 0$ et $\Delta = b^2 - 4ac$.

Pour étudier le signe de $P$, on cherche d'abord ses racines, puis on applique la règle du signe du trinôme.

Cas 1 — $\Delta > 0$ (deux racines distinctes $x_1 < x_2$)

$x$	$-\infty$		$x_1$		$x_2$		$+\infty$
$ax^2 + bx + c$		signe de $a$	$0$	opposé à $a$	$0$	signe de $a$

Cas 2 — $\Delta = 0$ (racine double $x_1$)

$x$	$-\infty$		$x_1$		$+\infty$
$ax^2 + bx + c$		signe de $a$	$0$	signe de $a$

Cas 3 — $\Delta < 0$ (aucune racine réelle)

$x$	$-\infty$		$+\infty$
$ax^2 + bx + c$		signe de $a$

Règle générale : le trinôme est du signe de $a$ à l'extérieur des racines (ou partout s'il n'y en a pas), et du signe opposé à $a$ entre les racines (si elles existent et sont distinctes).

IV. Signe d'une fonction quelconque

Pour étudier le signe d'une fonction $g$ quelconque, on distingue deux cas selon sa monotonie :

Cas 1 — $g$ est monotone

Si $g$ est monotone sur un intervalle $I$, on peut déterminer son signe en cherchant sa racine (si elle existe) puis en utilisant la monotonie.

Méthode :

On encadre $g(x)$ à l'aide de la monotonie.
On résout $g(x) = 0$ pour trouver la racine éventuelle.
On en déduit le signe de $g$ à partir de la position de la racine.

Cas 2 — $g$ n'est pas monotone

Si $g$ n'est pas monotone, on utilise le tableau de variations pour identifier les extremums (minimum et maximum) et en déduire le signe.

Méthode générale :

Calculer $g'(x)$.
Étudier le signe de $g'(x)$.
Dresser le tableau de variations de $g$.
Repérer les valeurs extrêmes de $g$ (minimum local, maximum local).
En déduire le signe de $g$ sur son domaine de définition.

Schéma de la méthode :

$g \longrightarrow$ calculer $g'$ $\longrightarrow$ étudier le signe de $g'$ $\longrightarrow$ tableau de variations de $g$ $\longrightarrow$ signe de $g$

Exercices corrigés

Exercice 1 — Polynôme du 1er degré

Étudier le signe de $P(x) = 2x - 6$.

Racine : $2x - 6 = 0 \iff x = 3$.

Comme $a = 2 > 0$, le polynôme est du signe opposé avant la racine et du signe de $a$ après.

$x$	$-\infty$		$3$		$+\infty$
$2x - 6$		$-$	$0$	$+$

Donc $P(x) < 0$ sur $]-\infty, 3[$ et $P(x) > 0$ sur $]3, +\infty[$.

Exercice 2 — Polynôme du 2nd degré ($\Delta > 0$)

Étudier le signe de $P(x) = x^2 - 5x + 6$.

$\Delta = 25 - 24 = 1 > 0$, donc deux racines :

$x_1 = \dfrac{5 - 1}{2} = 2$ et $x_2 = \dfrac{5 + 1}{2} = 3$.

$a = 1 > 0$, donc le trinôme est positif à l'extérieur des racines et négatif entre elles.

$x$	$-\infty$		$2$		$3$		$+\infty$
$P(x)$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$

$P(x) > 0$ sur $]-\infty, 2[ \cup ]3, +\infty[$ et $P(x) < 0$ sur $]2, 3[$.

Exercice 3 — Polynôme du 2nd degré ($\Delta < 0$)

Étudier le signe de $P(x) = x^2 + x + 1$.

$\Delta = 1 - 4 = -3 < 0$, donc aucune racine réelle.

$a = 1 > 0$, donc le trinôme est du signe de $a$ partout.

Donc $P(x) > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.

Exercice 4 — Fonction avec logarithme

Étudier le signe de $f(x) = \ln(x) - 1$ sur $]0, +\infty[$.

$f(x) = 0 \iff \ln(x) = 1 \iff x = e$.

La fonction $\ln$ est strictement croissante, donc :

$f(x) < 0$ sur $]0, e[$
$f(x) = 0$ en $x = e$
$f(x) > 0$ sur $]e, +\infty[$

Exercice 5 — Fonction avec tableau de variations

Étudier le signe de $g(x) = x^3 - 3x + 2$ sur $\mathbb{R}$.

$g'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x - 1)(x + 1)$.

Tableau de variations :

$x$	$-\infty$		$-1$		$1$		$+\infty$
$g'(x)$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$g(x)$	$-\infty$	↗	$4$	↘	$0$	↗	$+\infty$

$g(-1) = -1 + 3 + 2 = 4$ et $g(1) = 1 - 3 + 2 = 0$.

Étude du signe :

$g(x) < 0$ sur $]-\infty, -2[$ (avant la première racine)
$g(-2) = 0$ (racine)
$g(x) > 0$ sur $]-2, 1[$
$g(1) = 0$ (racine double)
$g(x) > 0$ sur $]1, +\infty[$

Donc $g(x) \geq 0$ sur $[-2, +\infty[$ et $g(x) < 0$ sur $]-\infty, -2[$.

QCM

Question 1

Pour un polynôme $P(x) = ax + b$ avec $a > 0$, le signe est :

A. Positif avant la racine, négatif après
B. Négatif avant la racine, positif après
C. Toujours positif
D. Toujours négatif

Réponse : B. Le polynôme est du signe opposé à $a$ avant la racine, du signe de $a$ après.

Question 2

Si $\Delta < 0$ et $a > 0$, alors $ax^2 + bx + c$ est :

A. Négatif partout
B. Positif partout
C. Change de signe
D. Nul en deux points

Réponse : B. $\Delta < 0$ et $a > 0$ : le trinôme est strictement positif sur $\mathbb{R}$.

Question 3

$\ln x$ est positif si :

A. $x < 1$
B. $x = 1$
C. $x > 1$
D. $x < 0$

Réponse : C. $\ln x > 0 \iff x > 1$.

Question 4

Pour étudier le signe d'une fonction non monotone, on utilise :

A. Sa dérivée première uniquement
B. Le tableau de variations
C. Sa limite à l'infini
D. Son domaine de définition

Réponse : B. Le tableau de variations permet d'identifier les extremums et d'en déduire le signe.

Tableau récapitulatif

Expression	Méthode de détermination du signe
$e^x$	Strictement positif sur $\mathbb{R}$
$\dfrac{1}{x^2}$	Strictement positif sur $\mathbb{R}^*$
$\sqrt{x}$	Positif sur $[0, +\infty[$
$x^2$	Positif sur $\mathbb{R}$
$\ln x$	Négatif sur $]0, 1[$, nul en $1$, positif sur $]1, +\infty[$
$ax + b$	Signe opposé à $a$ avant la racine, signe de $a$ après
$ax^2 + bx + c$ ($\Delta > 0$)	Signe de $a$ à l'extérieur, opposé à $a$ entre les racines
$ax^2 + bx + c$ ($\Delta = 0$)	Signe de $a$ partout (sauf en la racine)
$ax^2 + bx + c$ ($\Delta < 0$)	Signe de $a$ partout
Fonction monotone	Utiliser la monotonie pour encadrer $g(x)$
Fonction non monotone	Utiliser le tableau de variations (extremums)

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