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Fonction réciproque — Résumé (Leçon 1)
Cette fiche résume les propriétés essentielles de la fonction réciproque : existence, formule de transformation, continuité, dérivabilité, monotonie et lien graphique avec la fonction de départ.
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I. Existence de la fonction réciproque
Si $f$ est une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle $I$, alors $f$ admet une fonction réciproque définie sur l'intervalle $J = f(I)$, et on la note $f^{-1}$ :
$$f^{-1} : J = f(I) \to I$$
II. Propriétés de base
Pour tout $x \in I$ et tout $y \in f(I)$ :
$$(f^{-1} \circ f)(x) = x \quad \text{et} \quad (f \circ f^{-1})(y) = y$$
Autrement dit : $f^{-1}(f(x)) = x$ et $f(f^{-1}(y)) = y$.
Règle de transformation : soit $x \in f(I)$ et $y \in I$.
Pour déterminer $f^{-1}(x)$, on utilise l'équivalence :
$$y = f^{-1}(x) \iff x = f(y)$$
On cherche donc $y$ en fonction de $x$, ce qui donne l'expression de $f^{-1}(x)$.
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III. Continuité de la fonction réciproque
Si $f$ est une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle $I$, alors sa fonction réciproque $f^{-1}$ est continue sur l'intervalle $J = f(I)$.
IV. Dérivabilité de la fonction réciproque
1. Dérivabilité en un point $x_0$
Soit $f$ une fonction continue et strictement monotone sur $I$. Soit $x_0 \in f(I)$.
Si $f$ est dérivable en $y_0 = f^{-1}(x_0)$ et si $f'(y_0) \neq 0$, alors $f^{-1}$ est dérivable en $x_0$ et :
$$(f^{-1})'(x_0) = \frac{1}{f'(y_0)} = \frac{1}{f'\big(f^{-1}(x_0)\big)}$$
2. Dérivabilité sur un intervalle
Soit $f$ une fonction continue et strictement monotone sur $I$.
Si $f$ est dérivable sur $I$ et si sa dérivée $f'$ ne s'annule pas sur $I$, alors $f^{-1}$ est dérivable sur $J = f(I)$ et :
$$(\forall x \in f(I)) : \quad (f^{-1})'(x) = \frac{1}{f'\big(f^{-1}(x)\big)}$$
3. Formule récapitulative
$$(\forall x \in f(I)) : \quad (f^{-1})'(x) = \frac{1}{f'\big(f^{-1}(x)\big)}$$
V. Monotonie de la fonction réciproque
Si $f$ est continue et strictement monotone sur $I$, alors $f^{-1}$ a la même monotonie que $f$ sur $J = f(I)$ :
- Si $f$ est strictement croissante sur $I$, alors $f^{-1}$ est strictement croissante sur $J$.
- Si $f$ est strictement décroissante sur $I$, alors $f^{-1}$ est strictement décroissante sur $J$.
VI. Représentation graphique
Dans un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$, les courbes $(C_f)$ et $(C_{f^{-1}})$ sont symétriques l'une de l'autre par rapport à la droite d'équation $y = x$ (la première bissectrice du repère).
Conséquence pratique : pour tracer $(C_{f^{-1}})$, on peut :
- Soit tracer $(C_f)$ puis effectuer la symétrie par rapport à $y = x$.
- Soit calculer directement $f^{-1}(x)$ et tracer sa courbe.
VII. Correspondance entre les éléments de $(C_f)$ et $(C_{f^{-1}})$
| Élément de $(C_f)$ | Élément correspondant de $(C_{f^{-1}})$ |
|---|---|
| Point $A(a, b)$ sur $(C_f)$ | Point $A'(b, a)$ sur $(C_{f^{-1}})$ |
| Asymptote verticale $x = a$ | Asymptote horizontale $y = a$ |
| Asymptote horizontale $y = b$ | Asymptote verticale $x = b$ |
| Asymptote oblique $y = ax + b$ | Asymptote oblique $y = \dfrac{1}{a}(x - b) = \dfrac{x - b}{a}$ |
| Tangente verticale en $A$ | Tangente horizontale en $A'$ |
| Tangente horizontale en $A$ | Tangente verticale en $A'$ |
Méthode pour trouver l'équation de l'asymptote oblique de $f^{-1}$ :
Si $y = ax + b$ est asymptote oblique à $(C_f)$, alors la relation entre $x$ et $y$ est $y = ax + b$.
En inversant : $x = ay + b$, soit $y = \dfrac{1}{a}(x - b)$.
Donc l'asymptote oblique de $(C_{f^{-1}})$ a pour équation : $y = \dfrac{x - b}{a}$.
Exercices corrigés
Soit $f(x) = x^2$ sur $I = [0, +\infty[$. Déterminer $f^{-1}$ sur $J = [0, +\infty[$.
Soit $y \in [0, +\infty[$ et $x \in [0, +\infty[$ tels que $y = f^{-1}(x)$.
Par la règle de transformation : $x = f(y) = y^2$.
Comme $y \geq 0$ : $y = \sqrt{x}$.
Donc $f^{-1}(x) = \sqrt{x}$ pour $x \in [0, +\infty[$.
Soit $f(x) = 2x + 3$ sur $\mathbb{R}$. Montrer que $f$ admet une fonction réciproque, puis déterminer $f^{-1}$.
$f$ est continue sur $\mathbb{R}$ et $f'(x) = 2 > 0$, donc $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
D'après le théorème, $f$ admet une fonction réciproque $f^{-1}$ définie sur $f(\mathbb{R}) = \mathbb{R}$.
Soit $y \in \mathbb{R}$ : $x = f(y) = 2y + 3 \iff 2y = x - 3 \iff y = \dfrac{x - 3}{2}$.
Donc $f^{-1}(x) = \dfrac{x - 3}{2}$.
Soit $f(x) = x^3$ sur $\mathbb{R}$. Calculer $(f^{-1})'(8)$.
$f^{-1}(x) = \sqrt[3]{x}$. Donc $f^{-1}(8) = 2$.
$f'(x) = 3x^2$, donc $f'(2) = 12$.
$(f^{-1})'(8) = \dfrac{1}{f'(2)} = \dfrac{1}{12}$.
Soit $f(x) = x + 2 + \dfrac{1}{x - 1}$ sur $]1, +\infty[$. Déterminer l'asymptote oblique de $(C_{f^{-1}})$.
$(C_f)$ admet l'asymptote oblique $y = x + 2$ en $+\infty$.
Ici $a = 1$ et $b = 2$.
Donc l'asymptote oblique de $(C_{f^{-1}})$ a pour équation : $y = \dfrac{x - 2}{1} = x - 2$.
QCM
Pour que $f$ admette une fonction réciproque sur $I$, il faut que $f$ soit :
- A. Dérivable seulement
- B. Continue et strictement monotone
- C. Bornée
- D. Périodique
Réponse : B. Continuité + stricte monotonie sur $I$.
Si $f$ est croissante sur $I$, alors $f^{-1}$ est :
- A. Croissante sur $f(I)$
- B. Décroissante sur $f(I)$
- C. Constante sur $f(I)$
- D. Non monotone sur $f(I)$
Réponse : A. $f^{-1}$ a la même monotonie que $f$.
$(f^{-1})'(x)$ est égale à :
- A. $f'(x)$
- B. $\dfrac{1}{f'(f^{-1}(x))}$
- C. $-f'(x)$
- D. $f'(f(x))$
Réponse : B. Formule de la dérivée de la fonction réciproque.
Les courbes $(C_f)$ et $(C_{f^{-1}})$ sont symétriques par rapport à :
- A. L'axe $(Ox)$
- B. L'axe $(Oy)$
- C. La droite $y = x$
- D. L'origine $O$
Réponse : C. La première bissectrice $y = x$.
Tableau récapitulatif
| Propriété | Énoncé |
|---|---|
| Existence | $f$ continue + strictement monotone sur $I$ ⟹ $f^{-1}$ existe sur $f(I)$ |
| Composition | $f^{-1}(f(x)) = x$ et $f(f^{-1}(y)) = y$ |
| Transformation | $y = f^{-1}(x) \iff x = f(y)$ |
| Continuité | $f$ continue ⟹ $f^{-1}$ continue sur $f(I)$ |
| Dérivabilité | $(f^{-1})'(x) = \dfrac{1}{f'(f^{-1}(x))}$ |
| Monotonie | $f^{-1}$ a la même monotonie que $f$ |
| Symétrie | $(C_f)$ et $(C_{f^{-1}})$ symétriques par rapport à $y = x$ |
| Point correspondant | $A(a, b) \in (C_f) \iff A'(b, a) \in (C_{f^{-1}})$ |
| Asymptote verticale $x = a$ | Asymptote horizontale $y = a$ de $(C_{f^{-1}})$ |
| Asymptote horizontale $y = b$ | Asymptote verticale $x = b$ de $(C_{f^{-1}})$ |
| Asymptote oblique $y = ax + b$ | Asymptote oblique $y = \dfrac{x - b}{a}$ de $(C_{f^{-1}})$ |
| Tangente horizontale | Tangente verticale de $(C_{f^{-1}})$ |
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