Limites, branches infinies et concavité — Résumé (Leçon 1)

Cette fiche résume les notions fondamentales nécessaires à l'étude d'une fonction : limites et branches infinies, concavité et points d'inflexion, puis centre et axe de symétrie.

Chaque point est présenté sous forme de schéma ou de propriété, pour une mémorisation rapide et efficace.

I. Limites et branches infinies

1. Asymptotes directes

Asymptote verticale : si $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = \pm\infty$, alors la droite $x = a$ est une asymptote verticale à $(C_f)$.

Asymptote horizontale : si $\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = b$, alors la droite $y = b$ est une asymptote horizontale à $(C_f)$.

Asymptote oblique : si $\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} \big[f(x) - (ax + b)\big] = 0$, alors la droite $y = ax + b$ est une asymptote oblique à $(C_f)$.

2. Schéma global des branches infinies

Ce schéma résume la méthode à suivre lorsqu'on étudie la limite de $f$ en $\pm\infty$ :

On calcule d'abord $\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} f(x)$.

Cas 1 : si $\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = b$, alors $(C_f)$ admet une asymptote horizontale $y = b$.

Cas 2 : si $\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \pm\infty$, on calcule $\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x}$ :

Si $\displaystyle\lim \frac{f(x)}{x} = 0$ : branche parabolique de direction $(Ox)$.
Si $\displaystyle\lim \frac{f(x)}{x} = \pm\infty$ : branche parabolique de direction $(Oy)$.
Si $\displaystyle\lim \frac{f(x)}{x} = a$ (avec $a \neq 0$) : on calcule $\displaystyle\lim \big[f(x) - ax\big]$ :
- Si $\lim \big[f(x) - ax\big] = \pm\infty$ : branche parabolique de direction $y = ax$.
- Si $\lim \big[f(x) - ax\big] = b$ : asymptote oblique $y = ax + b$.

II. Concavité et points d'inflexion

Concavité : soit $f$ deux fois dérivable sur un intervalle $I$.

Si $f''(x) \geq 0$ pour tout $x \in I$, alors $(C_f)$ est convexe sur $I$ (tournée vers le haut).
Si $f''(x) \leq 0$ pour tout $x \in I$, alors $(C_f)$ est concave sur $I$ (tournée vers le bas).

Point d'inflexion

Un point $I(x_0, f(x_0))$ est un point d'inflexion de $(C_f)$ si la courbe traverse sa tangente en ce point, c'est-à-dire si la concavité change de sens.

Condition : $f''(x_0) = 0$ et $f''$ change de signe en $x_0$.

Exemple

Soit $f(x) = x^3$. $f''(x) = 6x$, qui s'annule en $x = 0$ en changeant de signe. Donc $O(0, 0)$ est un point d'inflexion.

III. Centre et axe de symétrie

1. Axe de symétrie

Propriété

Dans un repère orthogonal, la droite $x = a$ est un axe de symétrie de $(C_f)$ si :

$$(\forall x \in D_f) : f(2a - x) = f(x)$$

Autrement dit, le point d'abscisse $2a - x$ a la même ordonnée que celui d'abscisse $x$.

2. Centre de symétrie

Propriété

Dans un repère orthogonal, le point $\Omega(a, b)$ est un centre de symétrie de $(C_f)$ si :

$$(\forall x \in D_f) : f(2a - x) = 2b - f(x)$$

Autrement dit : $f(2a - x) + f(x) = 2b$.

Exercices corrigés

Exercice 1 — Asymptote oblique

Soit $f(x) = \dfrac{x^2 + x - 1}{x}$. Déterminer les asymptotes de $(C_f)$.

Domaine : $D_f = \mathbb{R}^*$.

$\displaystyle\lim_{x \to 0^+} f(x) = -\infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to 0^-} f(x) = +\infty$, donc $x = 0$ est asymptote verticale.

On écrit $f(x) = x + 1 - \dfrac{1}{x}$.

$\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} \big[f(x) - (x + 1)\big] = \lim_{x \to \pm\infty} \left(-\dfrac{1}{x}\right) = 0$.

Donc $y = x + 1$ est une asymptote oblique au voisinage de $\pm\infty$.

Exercice 2 — Point d'inflexion

Soit $f(x) = x^3 - 3x^2 + 1$. Déterminer les points d'inflexion de $(C_f)$.

$f'(x) = 3x^2 - 6x$ et $f''(x) = 6x - 6 = 6(x - 1)$.

$f''(x) = 0 \iff x = 1$. En $x = 1$, $f''$ change de signe.

$f(1) = 1 - 3 + 1 = -1$. Donc $I(1, -1)$ est un point d'inflexion.

Exercice 3 — Centre de symétrie

Soit $f(x) = \dfrac{x + 2}{x - 1}$. Montrer que $\Omega(1, 1)$ est centre de symétrie de $(C_f)$.

On calcule $f(2 - x)$ :

$f(2 - x) = \dfrac{(2 - x) + 2}{(2 - x) - 1} = \dfrac{4 - x}{1 - x} = \dfrac{x - 4}{x - 1}$.

$f(2 - x) + f(x) = \dfrac{x - 4}{x - 1} + \dfrac{x + 2}{x - 1} = \dfrac{2x - 2}{x - 1} = 2$.

Donc $f(2 - x) + f(x) = 2 = 2 \cdot 1$. $\Omega(1, 1)$ est bien centre de symétrie.

Exercice 4 — Axe de symétrie

Soit $f(x) = (x - 2)^2$. Montrer que la droite $x = 2$ est axe de symétrie de $(C_f)$.

On calcule $f(4 - x)$ :

$f(4 - x) = (4 - x - 2)^2 = (2 - x)^2 = (x - 2)^2 = f(x)$.

Donc $f(4 - x) = f(x)$, ce qui prouve que $x = 2$ est axe de symétrie.

QCM

Question 1

Si $\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = 0$, la courbe admet :

A. Asymptote verticale
B. Asymptote horizontale
C. Branche parabolique de direction $(Ox)$
D. Asymptote oblique

Réponse : C. Si $\lim f(x)/x = 0$, la branche parabolique est de direction $(Ox)$.

Question 2

Une asymptote oblique à $(C_f)$ a pour équation :

A. $x = a$
B. $y = b$
C. $y = ax + b$ avec $a \neq 0$
D. $y = ax$ uniquement

Réponse : C. L'asymptote oblique a une équation de la forme $y = ax + b$ avec $a \neq 0$.

Question 3

Un point d'inflexion correspond à :

A. $f' = 0$
B. $f'' = 0$ uniquement
C. $f'' = 0$ avec changement de signe
D. $f = 0$

Réponse : C. Il faut que $f''$ s'annule ET change de signe en ce point.

Question 4

Le point $\Omega(a, b)$ est centre de symétrie de $(C_f)$ si :

A. $f(2a - x) = f(x)$
B. $f(2a - x) + f(x) = 2b$
C. $f(a - x) = f(x)$
D. $f(a) = b$

Réponse : B. Condition du centre de symétrie. La réponse A correspond à un axe de symétrie.

Tableau récapitulatif

Notion	Condition	Conclusion
Asymptote verticale	$\lim_{x \to a} f(x) = \pm\infty$	$x = a$
Asymptote horizontale	$\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = b$	$y = b$
Asymptote oblique	$\lim_{x \to \pm\infty} [f(x) - (ax + b)] = 0$	$y = ax + b$
Branche parabolique $(Ox)$	$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = 0$	Direction horizontale
Branche parabolique $(Oy)$	$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = \pm\infty$	Direction verticale
Branche parabolique $y = ax$	$\lim \frac{f(x)}{x} = a \neq 0$ et $\lim [f(x) - ax] = \pm\infty$	Direction oblique $y = ax$
Concavité	$f''(x) \geq 0$ (ou $\leq 0$)	Convexe (ou concave)
Point d'inflexion	$f''(x_0) = 0$ + changement de signe	$I(x_0, f(x_0))$
Axe de symétrie	$f(2a - x) = f(x)$	$x = a$
Centre de symétrie	$f(2a - x) + f(x) = 2b$	$\Omega(a, b)$

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