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Dérivation et branches infinies — Résumé (Leçon 2)
Cette fiche résume les notions essentielles liées à la dérivation et aux branches infinies d'une courbe : dérivée de la fonction réciproque, dérivées usuelles, dérivabilité en un point, interprétation géométrique (tangentes), dérivée composée, classification des branches infinies, variations, concavité et symétries.
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I. Dérivée de la fonction réciproque
Si $f$ est dérivable et strictement monotone sur un intervalle $I$, et si $f^{-1}$ est dérivable sur $J = f(I)$, alors :
$$(\forall x \in I) : f'(x) \neq 0 \quad \text{et} \quad (\forall x \in J) : (f^{-1})'(x) = \frac{1}{f'\big(f^{-1}(x)\big)}$$
Conséquence pratique : cette formule permet de calculer la dérivée de la réciproque sans connaître explicitement son expression.
II. Dérivées des fonctions usuelles
Soient $f$ et $g$ deux fonctions dérivables, et $a \in \mathbb{R}$ :
- $(f + g)' = f' + g'$
- $(a)' = 0$ (fonction constante)
- $(a f)' = a f'$
- $(f \cdot g)' = f'g + fg'$
- $\left(\dfrac{f}{g}\right)' = \dfrac{f'g - g'f}{g^2}$ (avec $g \neq 0$)
Dérivées des fonctions trigonométriques
| Fonction | Dérivée |
|---|---|
| $\sin x$ | $\cos x$ |
| $\cos x$ | $-\sin x$ |
| $\tan x$ | $1 + \tan^2 x = \dfrac{1}{\cos^2 x}$ |
| $\sin(u(x))$ | $u'(x) \cos(u(x))$ |
| $\cos(u(x))$ | $-u'(x) \sin(u(x))$ |
| $\tan(u(x))$ | $u'(x) \big(1 + \tan^2(u(x))\big)$ |
Remarque importante
Soit $u$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$.
Si $u$ est strictement positive sur $I$, alors la fonction $x \mapsto \sqrt{u(x)}$ est dérivable sur $I$ et :
$$\left(\sqrt{u}\right)' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}$$
Attention : si $u$ s'annule en un point $x_0 \in I$, il faut étudier la dérivabilité de $f$ en $x_0$ en utilisant le taux de variation (limite du taux d'accroissement).
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III. Dérivabilité en un point — Définitions
1. Dérivabilité en $x_0$
$f$ est dérivable en $x_0$ si la limite suivante existe et est finie :
$$\lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = \ell \in \mathbb{R}$$
On note alors $f'(x_0) = \ell$.
2. Dérivabilité à droite en $x_0$
$f$ est dérivable à droite en $x_0$ si :
$$\lim_{x \to x_0^+} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = \ell \in \mathbb{R}$$
On note $f'_d(x_0) = \ell$.
3. Dérivabilité à gauche en $x_0$
$f$ est dérivable à gauche en $x_0$ si :
$$\lim_{x \to x_0^-} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = \ell \in \mathbb{R}$$
On note $f'_g(x_0) = \ell$.
4. Condition de dérivabilité
$f$ est dérivable en $x_0$ si et seulement si elle est dérivable à droite et à gauche en $x_0$, avec :
$$f'_d(x_0) = f'_g(x_0) = f'(x_0)$$
IV. Interprétation géométrique
1. Tangente — cas général
Si $f$ est dérivable en $x_0$, alors $(C_f)$ admet une tangente au point $M(x_0, f(x_0))$ d'équation :
$$(T) : y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)$$
2. Demi-tangentes
Si $f$ est dérivable à droite (ou à gauche) en $x_0$, alors $(C_f)$ admet une demi-tangente à droite (ou à gauche) d'équation :
$$(T_d) : y = f'_d(x_0)(x - x_0) + f(x_0)$$
$$(T_g) : y = f'_g(x_0)(x - x_0) + f(x_0)$$
3. Tangente verticale
Si $\displaystyle\lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = +\infty$, alors $(C_f)$ admet une demi-tangente verticale en $x_0$ dirigée vers le haut (à droite de $M$).
Si la limite vaut $-\infty$, la demi-tangente verticale est dirigée vers le bas.
4. Point anguleux
Si $f'_d(x_0) \neq f'_g(x_0)$, alors $(C_f)$ admet deux demi-tangentes différentes en $M(x_0, f(x_0))$. Le point $M$ est appelé point anguleux.
V. Dérivée d'une fonction composée
Si $g$ est dérivable sur un intervalle $J$ et si $f$ est dérivable sur un intervalle $I$ tel que $f(I) \subset J$, alors $g \circ f$ est dérivable sur $I$ et :
$$(\forall x \in I) \quad (g \circ f)'(x) = g'\big(f(x)\big) \cdot f'(x)$$
VI. Branches infinies
1. Asymptote verticale
Si $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = \pm\infty$, alors la droite d'équation $x = a$ est une asymptote verticale à $(C_f)$ au voisinage de $a$.
2. Asymptote horizontale
Si $\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = b$ (avec $b \in \mathbb{R}$), alors la droite $y = b$ est une asymptote horizontale à $(C_f)$ au voisinage de $\pm\infty$.
3. Asymptote oblique
La droite d'équation $y = ax + b$ ($a \neq 0$) est une asymptote oblique à $(C_f)$ au voisinage de $\pm\infty$ si :
$$\lim_{x \to \pm\infty} \big[f(x) - (ax + b)\big] = 0$$
Méthode : on calcule $\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = a$, puis $\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} \big[f(x) - ax\big] = b$.
4. Branches paraboliques
| Condition | Nature de la branche |
|---|---|
| $\lim_{x \to \pm\infty} \dfrac{f(x)}{x} = 0$ | Branche parabolique de direction $(Ox)$ |
| $\lim_{x \to \pm\infty} \dfrac{f(x)}{x} = \pm\infty$ | Branche parabolique de direction $(Oy)$ |
| $\lim \dfrac{f(x)}{x} = a \neq 0$ et $\lim [f(x) - ax] = \pm\infty$ | Branche parabolique de direction $y = ax$ |
| $\lim \dfrac{f(x)}{x} = a \neq 0$ et $\lim [f(x) - ax] = b$ | Asymptote oblique $y = ax + b$ |
Méthode pratique pour prouver qu'une droite $y = ax + b$ est asymptote oblique :
- Calculer $\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} \big[f(x) - y\big]$.
- Si cette limite vaut $0$, alors $y = ax + b$ est bien une asymptote oblique.
- Si cette limite vaut $\pm\infty$, c'est une branche parabolique de direction $y = ax$.
VII. Variations, concavité et symétries
1. Variations et extremums
- Si $f' \geq 0$ sur $I$ : $f$ est croissante sur $I$.
- Si $f' \leq 0$ sur $I$ : $f$ est décroissante sur $I$.
- Si $f' = 0$ sur $I$ : $f$ est constante sur $I$.
- $f$ admet un extremum en $x_0$ si $f'$ s'annule et change de signe en $x_0$.
2. Concavité
- Si $f'' \geq 0$ sur $I$ : $(C_f)$ est convexe (محدب).
- Si $f'' \leq 0$ sur $I$ : $(C_f)$ est concave (مقعر).
3. Point d'inflexion
$I(x_0, f(x_0))$ est un point d'inflexion de $(C_f)$ si $f''$ s'annule et change de signe en $x_0$.
4. Axe de symétrie
La droite d'équation $x = a$ est un axe de symétrie de $(C_f)$ si :
$$(\forall x \in D_f) : f(2a - x) = f(x)$$
5. Centre de symétrie
Le point $\Omega(a, b)$ est un centre de symétrie de $(C_f)$ si :
$$(\forall x \in D_f) : f(2a - x) + f(x) = 2b$$
Exercices corrigés
Soit $f(x) = x^2$ sur $[0, +\infty[$. Calculer $(f^{-1})'(4)$.
$f^{-1}(x) = \sqrt{x}$. On cherche $(f^{-1})'(4)$.
Méthode 1 : $(f^{-1})'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$, donc $(f^{-1})'(4) = \dfrac{1}{4}$.
Méthode 2 (via la formule) : on cherche $y$ tel que $f(y) = 4 \Rightarrow y = 2$ et $f'(2) = 4$.
$(f^{-1})'(4) = \dfrac{1}{f'(2)} = \dfrac{1}{4}$.
Soit $f(x) = |x|$. Étudier la dérivabilité en $0$.
$\displaystyle\lim_{x \to 0^+} \frac{|x| - 0}{x - 0} = \lim_{x \to 0^+} \frac{x}{x} = 1$, donc $f'_d(0) = 1$.
$\displaystyle\lim_{x \to 0^-} \frac{|x| - 0}{x - 0} = \lim_{x \to 0^-} \frac{-x}{x} = -1$, donc $f'_g(0) = -1$.
$f'_d(0) \neq f'_g(0)$, donc $f$ n'est pas dérivable en $0$. Le point $O(0,0)$ est un point anguleux.
Soit $f(x) = \dfrac{x^2 + 1}{x}$. Montrer que la droite $y = x$ est une asymptote oblique.
$f(x) - x = \dfrac{x^2 + 1}{x} - x = \dfrac{x^2 + 1 - x^2}{x} = \dfrac{1}{x}$.
$\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} \dfrac{1}{x} = 0$.
Donc $y = x$ est une asymptote oblique à $(C_f)$ au voisinage de $\pm\infty$.
Soit $f(x) = x^3 - 3x^2 + 3x - 1$. Montrer que $\Omega(1, 0)$ est un centre de symétrie de $(C_f)$.
On remarque que $f(x) = (x - 1)^3$. Posons $X = x - 1$, alors $f(x) = X^3$.
La fonction $g(X) = X^3$ est impaire, donc sa courbe admet l'origine comme centre de symétrie.
Dans le repère d'origine $\Omega(1, 0)$, la courbe de $f$ admet $\Omega$ comme centre de symétrie.
Vérification directe : $f(2 - x) + f(x) = (1 - x)^3 + (x - 1)^3 = 0 = 2 \cdot 0$.
Donc $\Omega(1, 0)$ est bien un centre de symétrie.
QCM
Si $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = \pm\infty$, alors la droite $x = a$ est :
- A. Asymptote horizontale
- B. Asymptote verticale
- C. Asymptote oblique
- D. Branche parabolique
Réponse : B. Définition de l'asymptote verticale.
$f$ est dérivable en $x_0$ si et seulement si :
- A. $f'_g(x_0) = f'_d(x_0)$
- B. $f'(x_0) = 0$
- C. $f$ est continue en $x_0$
- D. $f$ est positive en $x_0$
Réponse : A. La dérivabilité à droite et à gauche avec égalité entraîne la dérivabilité.
Une branche parabolique de direction $(Ox)$ correspond à :
- A. $\lim \frac{f(x)}{x} = \pm\infty$
- B. $\lim \frac{f(x)}{x} = 0$
- C. $\lim \frac{f(x)}{x} = a \neq 0$
- D. $\lim f(x) = \pm\infty$ seulement
Réponse : B. Si $\lim f(x)/x = 0$, la branche parabolique est de direction $(Ox)$.
$(f^{-1})'(x)$ est égale à :
- A. $f'(x)$
- B. $\dfrac{1}{f'(f^{-1}(x))}$
- C. $-f'(x)$
- D. $f'(f(x))$
Réponse : B. Formule de la dérivée de la fonction réciproque.
Tableau récapitulatif
| Notion | Condition / Formule |
|---|---|
| Dérivée de $f^{-1}$ | $(f^{-1})'(x) = \dfrac{1}{f'(f^{-1}(x))}$ |
| Produit | $(f \cdot g)' = f'g + fg'$ |
| Quotient | $\left(\dfrac{f}{g}\right)' = \dfrac{f'g - g'f}{g^2}$ |
| Composée | $(g \circ f)' = (g' \circ f) \cdot f'$ |
| Dérivable en $x_0$ | $f'_d(x_0) = f'_g(x_0)$ |
| Tangente en $x_0$ | $y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)$ |
| Asymptote verticale | $\lim_{x \to a} f(x) = \pm\infty \Rightarrow x = a$ |
| Asymptote horizontale | $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = b \Rightarrow y = b$ |
| Asymptote oblique | $\lim_{x \to \pm\infty} [f(x) - (ax + b)] = 0 \Rightarrow y = ax + b$ |
| Branche parabolique $(Ox)$ | $\lim \dfrac{f(x)}{x} = 0$ |
| Branche parabolique $(Oy)$ | $\lim \dfrac{f(x)}{x} = \pm\infty$ |
| Branche parabolique $y = ax$ | $\lim \dfrac{f(x)}{x} = a \neq 0$ et $\lim [f(x) - ax] = \pm\infty$ |
| Point d'inflexion | $f'' = 0$ et change de signe |
| Axe de symétrie $x = a$ | $f(2a - x) = f(x)$ |
| Centre de symétrie $\Omega(a, b)$ | $f(2a - x) + f(x) = 2b$ |
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