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Points importants d'une courbe — Résumé méthode
Cette fiche résume les points importants à déterminer lors de l'étude d'une fonction numérique : variations, concavité, position relative, points d'inflexion et points d'intersection.
Pour chaque notion, plusieurs méthodes sont présentées selon le contexte de l'énoncé.
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I. Vue d'ensemble du module
Ce document fait partie du module A. Étude des fonctions numériques, qui contient :
| Chapitre | Contenu |
|---|---|
| I. Limites et continuité | Notions de base |
| II. Calcul des limites et branches infinies | Asymptotes |
| III. Étude du signe | Signe d'une fonction |
| IV. Dérivée | Variations, concavité, position relative |
| VI. Points importants | Inflexion, intersections |
| VII. Résumé des règles $\ln x$ et $e^x$ | Rappels |
II. Variations d'une fonction $f$
Les variations se déduisent du signe de la dérivée première $f'(x)$.
- Si $f'(x) \geq 0$ sur un intervalle $I$, alors $f$ est croissante sur $I$.
- Si $f'(x) \leq 0$ sur un intervalle $I$, alors $f$ est décroissante sur $I$.
- Si $f'(x) = 0$ sur $I$, alors $f$ est constante sur $I$.
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III. Concavité de $(C_f)$
La concavité se déduit du signe de la dérivée seconde $f''(x)$.
- Si $f''(x) \geq 0$ sur $I$, alors $(C_f)$ est convexe (محدب) sur $I$.
- Si $f''(x) \leq 0$ sur $I$, alors $(C_f)$ est concave (مقعر) sur $I$.
IV. Position relative de $(C_f)$ et d'une droite
Pour étudier la position relative entre $(C_f)$ et une droite $(D) : y = ax + b$, on étudie le signe de $f(x) - y$.
- Si $f(x) - y \geq 0$ : $(C_f)$ est au-dessus de $(D)$.
- Si $f(x) - y \leq 0$ : $(C_f)$ est en dessous de $(D)$.
V. Points d'inflexion (نقطة انعطاف)
Cas 1 — Par la dérivée seconde
On peut déterminer un point d'inflexion en résolvant directement l'équation $f''(x) = 0$, à condition que $f''$ change de signe en ce point.
Exemple : $f(x) = x^3$, $f''(x) = 6x$, $f''(0) = 0$. En $0$, $f''$ change de signe. Donc $O(0, 0)$ est un point d'inflexion.
Cas 2 — À partir du tableau de concavité
On peut déterminer un point d'inflexion en utilisant le tableau de concavité de $f$ : le point d'inflexion correspond au $x_0$ où $f''$ s'annule et change de signe.
Cas 3 — À partir du tableau de variations
On peut déterminer un point d'inflexion en utilisant le tableau de variations de la fonction $f$ : on repère le point où $f'$ atteint un extremum local (changement de monotonie de $f'$).
VI. Points d'intersection de $(C_f)$ et d'une droite $y = ax + b$
Cas 1 — Résolution directe
On résout directement l'équation $f(x) - y = 0$, c'est-à-dire $f(x) = ax + b$.
Attention : avant de résoudre, il faut vérifier au préalable si les valeurs de $x$ candidates annulent bien $f(x) - y = 0$.
Cas 2 — À partir du tableau de position relative
On peut déterminer les points d'intersection en utilisant le tableau de position relative de la courbe par rapport à la droite : les points d'intersection correspondent aux $x_0$ où $f(x) - y = 0$.
VII. Points d'intersection avec les axes du repère
1. Intersection avec l'axe des abscisses
L'axe des abscisses est la droite d'équation $y = 0$.
Pour trouver les points d'intersection, on résout : $f(x) = 0$.
2. Intersection avec l'axe des ordonnées
L'axe des ordonnées est la droite d'équation $x = 0$.
Pour trouver le point d'intersection, on calcule : $f(0)$.
Exercices d'application
Soit $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$. Déterminer les points d'inflexion de $(C_f)$.
$f'(x) = 3x^2 - 6x$ et $f''(x) = 6x - 6 = 6(x - 1)$.
$f''(x) = 0 \iff x = 1$.
En $x = 1$, $f''$ change de signe (négative avant, positive après).
$f(1) = 1 - 3 + 2 = 0$. Donc $I(1, 0)$ est un point d'inflexion.
Soit $f(x) = x + \dfrac{1}{x}$. Étudier la position de $(C_f)$ par rapport à la droite $y = x$.
$f(x) - x = \dfrac{1}{x}$.
- Si $x > 0$ : $f(x) - x > 0$, donc $(C_f)$ est au-dessus de la droite $y = x$.
- Si $x < 0$ : $f(x) - x < 0$, donc $(C_f)$ est en dessous de la droite $y = x$.
Soit $f(x) = x^2 - 4$. Déterminer les points d'intersection de $(C_f)$ avec les axes du repère.
Avec $(Ox)$ : $f(x) = 0 \iff x^2 - 4 = 0 \iff x = 2$ ou $x = -2$.
Points : $A(-2, 0)$ et $B(2, 0)$.
Avec $(Oy)$ : $f(0) = -4$. Point : $C(0, -4)$.
Soit $f(x) = x^2$. Déterminer les points d'intersection de $(C_f)$ avec la droite $y = x + 2$.
On résout $f(x) = x + 2 \iff x^2 = x + 2 \iff x^2 - x - 2 = 0$.
$\Delta = 1 + 8 = 9$, donc $x_1 = \dfrac{1 + 3}{2} = 2$ et $x_2 = \dfrac{1 - 3}{2} = -1$.
Points : $A(-1, 1)$ et $B(2, 4)$.
QCM
Un point d'inflexion correspond à :
- A. $f' = 0$
- B. $f'' = 0$ uniquement
- C. $f'' = 0$ et change de signe
- D. $f = 0$
Réponse : C. Il faut que $f''$ s'annule ET change de signe.
Si $f''(x) \leq 0$ sur $I$, la courbe $(C_f)$ est :
- A. Convexe
- B. Concave
- C. Constante
- D. Linéaire
Réponse : B. $f'' \leq 0 \Rightarrow$ concave (مقعر).
Pour trouver les points d'intersection de $(C_f)$ avec $(Ox)$, on résout :
- A. $f(x) = x$
- B. $f(x) = 0$
- C. $f(0) = 0$
- D. $f'(x) = 0$
Réponse : B. L'axe $(Ox)$ a pour équation $y = 0$, donc on résout $f(x) = 0$.
Si $f(x) - y \geq 0$ sur $I$, alors $(C_f)$ est :
- A. En dessous de la droite
- B. Au-dessus de la droite
- C. Sécante à la droite
- D. Confondue avec la droite
Réponse : B. $f(x) - y \geq 0$ signifie que la courbe est au-dessus de la droite.
Tableau récapitulatif
| Notion | Méthode | Condition |
|---|---|---|
| Variations | Signe de $f'$ | $f' \geq 0$ : croissante, $f' \leq 0$ : décroissante |
| Concavité | Signe de $f''$ | $f'' \geq 0$ : convexe, $f'' \leq 0$ : concave |
| Point d'inflexion | $f''(x) = 0$ + changement de signe | $f''$ s'annule et change de signe |
| Position relative | Signe de $f(x) - y$ | $\geq 0$ : au-dessus, $\leq 0$ : en dessous |
| Intersection avec $(Ox)$ | Résoudre $f(x) = 0$ | $y = 0$ |
| Intersection avec $(Oy)$ | Calculer $f(0)$ | $x = 0$ |
| Intersection avec $y = ax + b$ | Résoudre $f(x) = ax + b$ | Égalité courbe/droite |
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