Étude d'une fonction numérique — Plan d'étude

Pour étudier une fonction numérique $f$ et tracer sa courbe $(C_f)$, il faut suivre une méthode structurée. Cette fiche présente le plan d'étude sous forme de schéma (خطاطة توضيحية), en partant du domaine de définition jusqu'au tracé de la courbe.

Chaque étape est détaillée et illustrée par des exemples. Ce document s'adresse aux élèves du 2ème Bac Sciences Physiques.

I. Schéma global de l'étude

Le schéma ci-dessous résume les étapes essentielles de l'étude d'une fonction numérique.

Lecture du schéma : on part du domaine de définition, puis on bifurque vers deux grandes branches :

Branche gauche : limites, branches infinies, continuité, dérivabilité, tangentes.
Branche droite : dérivées première et seconde, variations, concavité, points d'inflexion, position relative et points d'intersection.

II. Domaine de définition ($D_f$)

Étape 1

Le domaine de définition $D_f$ est l'ensemble des réels $x$ pour lesquels $f(x)$ existe.

On doit vérifier :

Les dénominateurs ne s'annulent pas.
Les expressions sous racine carrée sont positives.
Les expressions sous logarithme sont strictement positives.

Exemple : pour $f(x) = \dfrac{\sqrt{x - 1}}{x - 3}$ :

$x - 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq 1$
$x - 3 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3$
Donc $D_f = [1, 3[ \cup ]3, +\infty[$.

III. Limites et branches infinies

1. Calcul des limites

On calcule les limites de $f$ aux bornes de $D_f$ (y compris en $\pm\infty$).

Rappels de limites usuelles :

$\lim_{x \to +\infty} x^n = +\infty$, $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{1}{x^n} = 0$
$\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty$, $\lim_{x \to -\infty} e^x = 0$
$\lim_{x \to +\infty} \ln x = +\infty$, $\lim_{x \to 0^+} \ln x = -\infty$

2. Branches infinies (الفروع اللانهائية)

Selon la limite, on distingue différents cas :

Asymptote verticale $x = a$ si $\lim_{x \to a} f(x) = \pm\infty$.
Asymptote horizontale $y = b$ si $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = b$.
Asymptote oblique $y = ax + b$ si $\lim_{x \to \pm\infty} \left[f(x) - (ax + b)\right] = 0$.
Branche parabolique si $\lim_{x \to \pm\infty} \dfrac{f(x)}{x} = 0$ (direction $Ox$) ou $= \pm\infty$ (direction $Oy$).

IV. Continuité et dérivabilité

1. Continuité en un point

Définition

$f$ est continue en $a$ si $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$.

2. Continuité sur un intervalle

Définition

$f$ est continue sur un intervalle $I$ si elle est continue en tout point de $I$.

Théorème : toute fonction dérivable sur $I$ est continue sur $I$.

3. Dérivabilité en un point

Définition

$f$ est dérivable en $a$ si la limite $\lim_{x \to a} \dfrac{f(x) - f(a)}{x - a}$ existe et est finie.

Cette limite est le nombre dérivé de $f$ en $a$, noté $f'(a)$.

4. Interprétation géométrique — Tangentes

Si $f$ est dérivable en $a$, la courbe $(C_f)$ admet une tangente au point $A(a, f(a))$ d'équation :

$$y = f'(a)(x - a) + f(a)$$

Le coefficient directeur de cette tangente est $f'(a)$.

V. Dérivée première et variations

1. Tableau de variations (التغيرات)

L'étude du signe de $f'(x)$ permet de dresser le tableau de variations :

Si $f'(x) > 0$ sur $I$, alors $f$ est strictement croissante sur $I$.
Si $f'(x) < 0$ sur $I$, alors $f$ est strictement décroissante sur $I$.
Si $f'(x) = 0$ sur $I$, alors $f$ est constante sur $I$.

2. Extremums locaux

Si $f'$ s'annule en $x_0$ en changeant de signe, alors $f$ admet un extremum local en $x_0$ :

$+ \to -$ : maximum local.
$- \to +$ : minimum local.

VI. Dérivée seconde et concavité

1. Concavité et convexité (تقعر المنحنى)

Soit $f$ deux fois dérivable sur $I$ :

Si $f''(x) \geq 0$ sur $I$ : $(C_f)$ est convexe (محدب).
Si $f''(x) \leq 0$ sur $I$ : $(C_f)$ est concave (مقعر).

2. Points d'inflexion (نقطة انعطاف)

Définition

Un point d'inflexion est un point de la courbe où la concavité change (la courbe traverse sa tangente).

Condition : $f''(x_0) = 0$ et $f''$ change de signe en $x_0$.

VII. Position relative et points d'intersection

1. Position relative (الوضع النسبي)

Pour étudier la position de $(C_f)$ par rapport à une droite $y = ax + b$, on étudie le signe de $f(x) - (ax + b)$ :

$f(x) - (ax + b) \geq 0$ : courbe au-dessus de la droite.
$f(x) - (ax + b) \leq 0$ : courbe en dessous de la droite.

2. Points d'intersection (نقطة تقاطع)

Pour trouver les points d'intersection de $(C_f)$ avec :

L'axe $(Ox)$ : résoudre $f(x) = 0$.
L'axe $(Oy)$ : calculer $f(0)$.
Une droite $y = m$ : résoudre $f(x) = m$.
Une autre courbe $(C_g)$ : résoudre $f(x) = g(x)$.

VIII. Théorème des valeurs intermédiaires et fonction réciproque

1. Théorème des valeurs intermédiaires (TVI)

Théorème

Si $f$ est continue sur $[a, b]$ et si $k$ est compris entre $f(a)$ et $f(b)$, alors il existe au moins un $c \in [a, b]$ tel que $f(c) = k$.

Corollaire : si $f$ est continue et strictement monotone sur $[a, b]$ et si $f(a) \times f(b) < 0$, l'équation $f(x) = 0$ admet une solution unique dans $]a, b[$.

2. Fonction réciproque (الدالة العكسية)

Si $f$ est continue et strictement monotone sur un intervalle $I$, alors $f$ réalise une bijection de $I$ vers $f(I)$.

Sa bijection réciproque $f^{-1}$ est définie sur $f(I)$ et :

$$y = f^{-1}(x) \iff x = f(y)$$

Exercices d'application

Exercice 1 — Domaine de définition

Déterminer le domaine de définition de $f(x) = \dfrac{\sqrt{x + 2}}{x^2 - 1}$.

Conditions :

$x + 2 \geq 0 \Rightarrow x \geq -2$
$x^2 - 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1$ et $x \neq -1$

Donc $D_f = [-2, -1[ \cup ]-1, 1[ \cup ]1, +\infty[$.

Exercice 2 — Limites

Calculer $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{2x^2 - 3x + 1}{x^2 + 5}$.

On factorise par $x^2$ au numérateur et au dénominateur :

$\dfrac{2 - \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2}}{1 + \frac{5}{x^2}}$.

Comme $\lim \dfrac{1}{x} = 0$ et $\lim \dfrac{1}{x^2} = 0$, la limite vaut $\dfrac{2}{1} = 2$.

Exercice 3 — Dérivée et variations

Soit $f(x) = x^3 - 3x$. Calculer $f'(x)$ et étudier le signe de $f'$ sur $\mathbb{R}$.

$f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 3(x - 1)(x + 1)$.

Tableau de signes :

$f'(x) > 0$ sur $]-\infty, -1[ \cup ]1, +\infty[$ : $f$ croissante.
$f'(x) < 0$ sur $]-1, 1[$ : $f$ décroissante.

$f$ admet un maximum local en $x = -1$ et un minimum local en $x = 1$.

Exercice 4 — Point d'inflexion

Soit $f(x) = x^3$. Déterminer les points d'inflexion de $(C_f)$.

$f'(x) = 3x^2$ et $f''(x) = 6x$.

$f''(x) = 0 \iff x = 0$. En $x = 0$, $f''$ change de signe ($-$ avant, $+$ après).

Donc le point $O(0, 0)$ est un point d'inflexion de $(C_f)$.

QCM

Question 1

La première étape de l'étude d'une fonction est :

A. Calculer la dérivée
B. Déterminer le domaine de définition
C. Tracer la courbe
D. Calculer les limites

Réponse : B. Le domaine de définition est toujours la première étape.

Question 2

Si $f''(x) \geq 0$ sur $I$, la courbe $(C_f)$ est :

A. Concave
B. Convexe
C. Constante
D. Linéaire

Réponse : B. $f'' \geq 0 \Rightarrow$ convexe (محدب).

Question 3

Un point d'inflexion est un point où :

A. $f' = 0$
B. $f'' = 0$ seulement
C. $f'' = 0$ et change de signe
D. $f = 0$

Réponse : C. Il faut que $f''$ s'annule ET change de signe.

Question 4

L'équation de la tangente à $(C_f)$ en $a$ est :

A. $y = f(a)$
B. $y = f'(a)(x - a) + f(a)$
C. $y = f'(a)x$
D. $y = f(a)(x - a)$

Réponse : B. Formule de la tangente.

Tableau récapitulatif — Plan d'étude

Étape	Objet	Méthode
1	Domaine de définition	Conditions d'existence
2	Limites aux bornes	Calcul des limites
3	Branches infinies	Asymptotes, branches paraboliques
4	Continuité	$\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$
5	Dérivabilité	Existence de $f'(a)$
6	Tangentes	$y = f'(a)(x - a) + f(a)$
7	Dérivée première $f'$	Signe de $f'$
8	Tableau de variations	Croissance/décroissance
9	Dérivée seconde $f''$	Signe de $f''$
10	Concavité	Convexe / concave
11	Points d'inflexion	$f'' = 0$ + changement de signe
12	Position relative	Signe de $f(x) - y$
13	Points d'intersection	$f(x) = 0$ ou $f(x) = g(x)$
14	Fonction réciproque	$y = f^{-1}(x) \iff x = f(y)$
15	Tracé de la courbe	Repère orthonormé

Rejoignez notre chaîne WhatsApp

Recevez les nouveaux cours, séries et résumés dès leur publication.

Rejoindre

Contribuez à EduMaroc

Partagez vos cours, exercices ou sujets d'examen pour aider les élèves marocains.

Participer