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Suites numériques

Une suite numérique est une fonction définie sur $\mathbb{N}$ (ou une partie de $\mathbb{N}$) à valeurs dans $\mathbb{R}$. On étudie sa monotonie, sa convergence et sa limite.

Ce cours présente les modes de génération, les suites arithmétiques et géométriques, la convergence et les techniques de calcul de limites. Il s'adresse aux élèves du 2ème Bac Sciences Physiques.

$Une suite numérique est une fonction définie sur $\mathbb{N}$ (ou une partie de $\mathbb{N}$) à valeurs dans $\mathbb{R}$. On étudie sa monotonie, sa convergence et sa limite.$

I. Généralités sur les suites

1. Définition

Définition

Une suite numérique est une fonction $u$ définie sur $\mathbb{N}$ (ou une partie de $\mathbb{N}$) à valeurs dans $\mathbb{R}$.

On note $u_n$ l'image de l'entier $n$, et $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ la suite.

2. Modes de génération

Suite définie explicitement : $u_n = f(n)$ où $f$ est une fonction connue.

Exemple : $u_n = n^2 + 1$.

Suite définie par récurrence : on donne $u_0$ et une relation $u_{n+1} = f(u_n)$.

Exemple : $u_0 = 2$ et $u_{n+1} = \dfrac{1}{2}u_n + 3$.

3. Sens de variation

Définitions

$(u_n)$ est croissante si $u_{n+1} \geq u_n$ pour tout $n$.
$(u_n)$ est décroissante si $u_{n+1} \leq u_n$ pour tout $n$.
$(u_n)$ est constante si $u_{n+1} = u_n$ pour tout $n$.
$(u_n)$ est monotone si elle est croissante ou décroissante.

Méthodes pour étudier la monotonie :

Étudier le signe de $u_{n+1} - u_n$.
Si $u_n > 0$, comparer $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ à $1$.
Si $u_n = f(n)$, étudier les variations de $f$ sur $[0, +\infty[$.

4. Suites majorées, minorées, bornées

Définitions

$(u_n)$ est majorée s'il existe $M \in \mathbb{R}$ tel que $u_n \leq M$ pour tout $n$.
$(u_n)$ est minorée s'il existe $m \in \mathbb{R}$ tel que $u_n \geq m$ pour tout $n$.
$(u_n)$ est bornée si elle est à la fois majorée et minorée.

II. Suites arithmétiques

1. Définition

Définition

Une suite $(u_n)$ est arithmétique de raison $r$ si :

$$u_{n+1} = u_n + r \quad \text{pour tout } n \in \mathbb{N}$$

2. Terme général

$$u_n = u_0 + n \cdot r \quad \text{ou} \quad u_n = u_p + (n - p) \cdot r$$

3. Somme des termes

$$S_n = u_0 + u_1 + \cdots + u_n = (n + 1) \cdot \frac{u_0 + u_n}{2}$$

Cas particuliers :

$$1 + 2 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}$$

4. Monotonie et convergence

Si $r > 0$, $(u_n)$ est strictement croissante et $\lim u_n = +\infty$.
Si $r < 0$, $(u_n)$ est strictement décroissante et $\lim u_n = -\infty$.
Si $r = 0$, $(u_n)$ est constante.

III. Suites géométriques

1. Définition

Définition

Une suite $(u_n)$ est géométrique de raison $q$ (avec $q \neq 0$) si :

$$u_{n+1} = q \cdot u_n \quad \text{pour tout } n \in \mathbb{N}$$

2. Terme général

$$u_n = u_0 \cdot q^n \quad \text{ou} \quad u_n = u_p \cdot q^{n - p}$$

3. Somme des termes

Pour $q \neq 1$ :

$$S_n = u_0 + u_1 + \cdots + u_n = u_0 \cdot \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$$

Pour $q = 1$ : $S_n = (n + 1) \cdot u_0$.

4. Convergence

Comportement de $q^n$ quand $n \to +\infty$ :

Si $q > 1$ : $\lim q^n = +\infty$.
Si $q = 1$ : $\lim q^n = 1$.
Si $-1 < q < 1$ : $\lim q^n = 0$.
Si $q \leq -1$ : $q^n$ n'a pas de limite.

IV. Convergence et limites

1. Définition de la convergence

Définition

Une suite $(u_n)$ converge vers un réel $\ell$ si tout intervalle ouvert contenant $\ell$ contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang.

On note : $\lim_{n \to +\infty} u_n = \ell$.

Une suite qui ne converge pas diverge.

2. Théorèmes de convergence

Théorème 1 : Si $(u_n)$ est croissante et majorée, alors elle converge.

Théorème 2 : Si $(u_n)$ est décroissante et minorée, alors elle converge.

Théorème des gendarmes : Si $v_n \leq u_n \leq w_n$ à partir d'un certain rang, et si $\lim v_n = \lim w_n = \ell$, alors $\lim u_n = \ell$.

3. Suites adjacentes

Deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes si :

$(u_n)$ est croissante et $(v_n)$ est décroissante.
$\lim (v_n - u_n) = 0$.

Alors elles convergent vers la même limite $\ell$.

4. Suites de la forme $u_{n+1} = f(u_n)$

Si $(u_n)$ converge vers $\ell$ et si $f$ est continue en $\ell$, alors :

$$\ell = f(\ell)$$

On dit que $\ell$ est un point fixe de $f$.

Exercices corrigés

Exercice 1

Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_n = 3n + 2$. Montrer qu'elle est arithmétique et calculer sa raison.

$u_{n+1} - u_n = [3(n+1) + 2] - [3n + 2] = 3n + 3 + 2 - 3n - 2 = 3$.

La différence est constante, donc $(u_n)$ est arithmétique de raison $r = 3$.

Exercice 2

Soit $(u_n)$ la suite géométrique de premier terme $u_0 = 2$ et de raison $q = 3$. Calculer $u_5$ et $S_5 = u_0 + u_1 + \cdots + u_5$.

$u_5 = u_0 \cdot q^5 = 2 \cdot 3^5 = 2 \cdot 243 = 486$.

$S_5 = u_0 \cdot \dfrac{1 - q^6}{1 - q} = 2 \cdot \dfrac{1 - 729}{1 - 3} = 2 \cdot \dfrac{-728}{-2} = 728$.

Exercice 3

Calculer $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \dfrac{2n^2 + 3n - 1}{n^2 + 1}$.

On factorise par $n^2$ au numérateur et au dénominateur :

$\dfrac{2n^2 + 3n - 1}{n^2 + 1} = \dfrac{2 + \frac{3}{n} - \frac{1}{n^2}}{1 + \frac{1}{n^2}}$.

$\lim \frac{3}{n} = 0$, $\lim \frac{1}{n^2} = 0$, donc la limite vaut $\dfrac{2}{1} = 2$.

Exercice 4

Soit $(u_n)$ définie par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = \dfrac{1}{2}u_n + 3$. Montrer que $(u_n)$ converge et déterminer sa limite.

On pose $v_n = u_n - 6$. Alors $v_{n+1} = u_{n+1} - 6 = \dfrac{1}{2}u_n + 3 - 6 = \dfrac{1}{2}(u_n - 6) = \dfrac{1}{2}v_n$.

Donc $(v_n)$ est géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$ et $v_0 = 1 - 6 = -5$.

$v_n = -5 \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^n$. Comme $\left|\dfrac{1}{2}\right| < 1$, $\lim v_n = 0$.

Donc $\lim u_n = 6$.

Exercice 5

Soit $(u_n)$ définie par $u_n = \dfrac{n}{n+1}$. Montrer que $(u_n)$ est croissante et majorée, puis calculer sa limite.

$u_{n+1} - u_n = \dfrac{n+1}{n+2} - \dfrac{n}{n+1} = \dfrac{(n+1)^2 - n(n+2)}{(n+2)(n+1)} = \dfrac{1}{(n+2)(n+1)} > 0$.

Donc $(u_n)$ est strictement croissante.

$u_n = \dfrac{n}{n+1} < 1$ pour tout $n$, donc $(u_n)$ est majorée par $1$.

Croissante et majorée $\Rightarrow$ elle converge. Sa limite est $1$.

QCM

Question 1

Une suite arithmétique de raison $r > 0$ est :

A. Décroissante
B. Croissante
C. Constante
D. Bornée

Réponse : B. $u_{n+1} - u_n = r > 0$, donc la suite est croissante.

Question 2

Le terme général d'une suite géométrique de premier terme $u_0$ et de raison $q$ est :

A. $u_n = u_0 + nq$
B. $u_n = u_0 \cdot q^n$
C. $u_n = u_0 \cdot n \cdot q$
D. $u_n = q + n u_0$

Réponse : B. $u_n = u_0 \cdot q^n$.

Question 3

Si $(u_n)$ est croissante et majorée, alors :

A. Elle diverge vers $+\infty$
B. Elle converge
C. Elle est constante
D. Elle est décroissante

Réponse : B. Théorème de convergence monotone.

Question 4

$\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \left(\dfrac{1}{3}\right)^n$ est égale à :

A. $+\infty$
B. $1$
C. $0$
D. N'existe pas

Réponse : C. Comme $0 < \dfrac{1}{3} < 1$, on a $\lim \left(\dfrac{1}{3}\right)^n = 0$.

Tableau récapitulatif

Notion	Suite arithmétique	Suite géométrique
Relation	$u_{n+1} = u_n + r$	$u_{n+1} = q \cdot u_n$
Terme général	$u_n = u_0 + nr$	$u_n = u_0 \cdot q^n$
Somme	$(n+1)\dfrac{u_0 + u_n}{2}$	$u_0 \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$
Monotonie	$r > 0$ : croissante $r < 0$ : décroissante	$q > 1, u_0 > 0$ : croissante $0 < q < 1, u_0 > 0$ : décroissante
Limite	$r > 0 : +\infty$ $r < 0 : -\infty$	$-1 < q < 1 : 0$ $q > 1 : \pm\infty$

Limites usuelles

Expression	Limite
$q^n$ avec $-1 < q < 1$	$0$
$q^n$ avec $q > 1$	$+\infty$
$\dfrac{1}{n}$	$0$
$\dfrac{1}{n^k}$ ($k > 0$)	$0$
$\sqrt{n}$	$+\infty$
$\dfrac{\ln n}{n}$	$0$
$\dfrac{e^n}{n}$	$+\infty$

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