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Fonctions logarithmiques et exponentielles
La fonction logarithme népérien est la primitive de $x \mapsto \dfrac{1}{x}$ sur $]0, +\infty[$ qui s'annule en $1$. Sa bijection réciproque est la fonction exponentielle, notée $\exp$ ou $e^x$.
Ce cours présente les définitions, propriétés, limites, dérivées et courbes de ces deux fonctions. Il s'adresse aux élèves du 2ème Bac Sciences Physiques.
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I. Fonction logarithme népérien
1. Définition
La fonction logarithme népérien, notée $\ln$, est la primitive sur $]0, +\infty[$ de la fonction $x \mapsto \dfrac{1}{x}$ qui s'annule en $1$ :
$$\ln 1 = 0 \quad \text{et} \quad (\ln x)' = \frac{1}{x}$$
On a : $D_{\ln} = ]0, +\infty[$.
2. Propriétés algébriques
Pour tous $x, y > 0$ et $r \in \mathbb{Q}$ :
$$\ln(xy) = \ln x + \ln y, \quad \ln\left(\frac{x}{y}\right) = \ln x - \ln y, \quad \ln(x^r) = r \ln x$$
En particulier : $\ln\left(\dfrac{1}{x}\right) = -\ln x$ et $\ln(\sqrt{x}) = \dfrac{1}{2}\ln x$.
3. Limites et variations
$$\lim_{x \to 0^+} \ln x = -\infty, \quad \lim_{x \to +\infty} \ln x = +\infty$$
$$\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x} = 0, \quad \lim_{x \to 0^+} x \ln x = 0, \quad \lim_{x \to 1} \frac{\ln x}{x - 1} = 1$$
La fonction $\ln$ est strictement croissante sur $]0, +\infty[$.
4. Dérivée de $\ln(u)$
Si $u$ est une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle $I$, alors $\ln(u)$ est dérivable sur $I$ et :
$$\big(\ln(u)\big)' = \frac{u'}{u}$$
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II. Fonction exponentielle
1. Définition
La fonction $\ln$ est continue et strictement croissante sur $]0, +\infty[$. Elle réalise donc une bijection de $]0, +\infty[$ vers $\mathbb{R}$.
Sa bijection réciproque s'appelle la fonction exponentielle, notée $\exp$ :
$$\exp : \mathbb{R} \to ]0, +\infty[, \quad x \mapsto e^x$$
On a : $D_{\exp} = \mathbb{R}$ et $e^x > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.
Équivalences : pour $x \in \mathbb{R}$ et $y > 0$ :
$$e^x = y \iff x = \ln y$$
$$\ln(e^x) = x, \quad e^{\ln y} = y, \quad e^0 = 1, \quad e^1 = e$$
2. Propriétés algébriques
Pour tous $x, y \in \mathbb{R}$ et $r \in \mathbb{Q}$ :
$$e^{x + y} = e^x \cdot e^y, \quad e^{x - y} = \frac{e^x}{e^y}, \quad (e^x)^r = e^{rx}$$
En particulier : $e^{-x} = \dfrac{1}{e^x}$ et $e^{x - y} = \dfrac{e^x}{e^y}$.
3. Limites et variations
$$\lim_{x \to -\infty} e^x = 0, \quad \lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty$$
$$\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x} = +\infty, \quad \lim_{x \to -\infty} x e^x = 0, \quad \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$$
La fonction $\exp$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
4. Dérivée de $e^u$
Si $u$ est une fonction dérivable sur un intervalle $I$, alors $e^u$ est dérivable sur $I$ et :
$$\big(e^{u}\big)' = u' \cdot e^{u}$$
En particulier : $\big(e^x\big)' = e^x$.
III. Courbes comparées de $\ln$ et $\exp$
Les courbes de $\ln$ et $\exp$ sont symétriques par rapport à la droite $y = x$ (première bissectrice).
Représentation graphique :
- $(C_{\ln})$ passe par $(1, 0)$ et admet l'axe $(Oy)$ comme asymptote verticale.
- $(C_{\exp})$ passe par $(0, 1)$ et admet l'axe $(Ox)$ comme asymptote horizontale en $-\infty$.
Exercices corrigés
Simplifier : $A = \ln 4 + \ln 9 - \ln 6$.
$A = \ln(4 \times 9) - \ln 6 = \ln 36 - \ln 6 = \ln\left(\dfrac{36}{6}\right) = \ln 6$.
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation : $\ln(x + 1) + \ln(x - 1) = \ln 3$.
Domaine de validité : $x + 1 > 0$ et $x - 1 > 0$ donc $x > 1$.
$\ln(x + 1) + \ln(x - 1) = \ln 3 \iff \ln\big((x+1)(x-1)\big) = \ln 3 \iff x^2 - 1 = 3 \iff x^2 = 4$.
Donc $x = 2$ ou $x = -2$. Comme $x > 1$, on garde $x = 2$. $S = \{2\}$.
Calculer la dérivée de $f(x) = \ln(x^2 + 1)$.
$f'(x) = \dfrac{(x^2 + 1)'}{x^2 + 1} = \dfrac{2x}{x^2 + 1}$.
Calculer la dérivée de $g(x) = e^{3x + 1}$.
$g'(x) = (3x + 1)' \cdot e^{3x + 1} = 3 e^{3x + 1}$.
Calculer $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{e^x - x}{e^x + 1}$.
On factorise par $e^x$ au numérateur et dénominateur :
$\dfrac{e^x - x}{e^x + 1} = \dfrac{1 - xe^{-x}}{1 + e^{-x}}$.
Or $\lim_{x \to +\infty} xe^{-x} = 0$ et $\lim_{x \to +\infty} e^{-x} = 0$.
Donc $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{e^x - x}{e^x + 1} = \dfrac{1 - 0}{1 + 0} = 1$.
QCM
La dérivée de $\ln x$ sur $]0, +\infty[$ est :
- A. $x$
- B. $\dfrac{1}{x}$
- C. $-\dfrac{1}{x}$
- D. $\ln x$
Réponse : B. $(\ln x)' = \dfrac{1}{x}$.
La fonction exponentielle est la bijection réciproque de :
- A. $x \mapsto x^2$
- B. $x \mapsto \sqrt{x}$
- C. $x \mapsto \ln x$
- D. $x \mapsto \dfrac{1}{x}$
Réponse : C. $\exp = \ln^{-1}$.
$\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x}$ est égale à :
- A. $+\infty$
- B. $0$
- C. $1$
- D. $-\infty$
Réponse : B. Croissance comparée : $\ln x$ croît plus lentement que $x$.
$e^{a + b}$ est égal à :
- A. $e^a + e^b$
- B. $e^a \cdot e^b$
- C. $e^{ab}$
- D. $\dfrac{e^a}{e^b}$
Réponse : B. $e^{a+b} = e^a \cdot e^b$.
Tableau récapitulatif
| Propriété | $\ln$ | $\exp$ |
|---|---|---|
| Domaine | $]0, +\infty[$ | $\mathbb{R}$ |
| Image | $\mathbb{R}$ | $]0, +\infty[$ |
| Dérivée | $\dfrac{1}{x}$ | $e^x$ |
| Valeur en $0$ | non définie | $1$ |
| Valeur en $1$ | $0$ | $e$ |
| Monotonie | strictement croissante | strictement croissante |
| Limite en $+\infty$ | $+\infty$ | $+\infty$ |
| Limite en $-\infty$ | non définie | $0$ |
| Limite en $0^+$ | $-\infty$ | $1$ |
| Opération | $\ln(xy) = \ln x + \ln y$ | $e^{x+y} = e^x \cdot e^y$ |
| Puissance | $\ln(x^r) = r \ln x$ | $(e^x)^r = e^{rx}$ |
| Inverse | $\ln(1/x) = -\ln x$ | $e^{-x} = 1/e^x$ |
| Composée | $\big(\ln u\big)' = u'/u$ | $\big(e^u\big)' = u' e^u$ |
| Limite remarquable | $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0$ | $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{e^x}{x} = +\infty$ |
| Limite en $0$ | $\lim_{x \to 1} \dfrac{\ln x}{x-1} = 1$ | $\lim_{x \to 0} \dfrac{e^x - 1}{x} = 1$ |
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