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Continuité – Série d'exercices corrigés

Série n°1 – 2ème Bac Sciences Physiques

Cette série regroupe 16 exercices sur la continuité, le théorème des valeurs intermédiaires, la bijection réciproque et le calcul de limites avec radicaux.

Chaque exercice est suivi d'une correction détaillée. Utilisez le bouton « Afficher la réponse » pour vérifier votre travail.

Partie A – Continuité en un point

Exercice 1

Étudier la continuité de \( f \) en \( x_0 \) (à droite, à gauche, ou les deux si possible) :

1. \( f(x) = \dfrac{(x-2)(x^2+1)}{x^2-3x+2} \) ; \( x_0 = 2 \) ; \( f(2) = 5 \)

2. \( f(x) = \dfrac{1}{x-1} - \dfrac{2}{x^2-1} \) ; \( x_0 = 1 \) ; \( f(1) = -\dfrac12 \)

3. \( f(x) = \dfrac{\sqrt{2x+1}-3}{\sqrt{x-2}-\sqrt{2}} \) ; \( x_0 = 4 \) ; \( f(4) = \dfrac{2\sqrt2}{3} \)

4. \( f(x) = \dfrac{1}{x-1} - \dfrac{2}{x^2-1} \) ; \( x_0 = -1 \) ; \( f(-1) = -\dfrac12 \)

5. \( f(x) = \dfrac{\sin(x^2-1)}{\sqrt{x}} \) si \( x>1 \) ; \( f(x) = \dfrac{2\sin(x-1)}{x-1} \) si \( x<1 f="" p="" x_0="1">

6. \( f(x) = \dfrac{1+\cos x}{\sin x} \) si \( x \in ]-\pi,\pi[ \) ; \( f(x) = x + \dfrac{\sqrt{x^2-\pi^2}}{x} \) si \( x \in ]-\infty,-\pi] \cup [\pi,+\infty[ \) ; \( x_0 = \pi \)

1. \( x^2-3x+2 = (x-1)(x-2) \), donc \( f(x) = \dfrac{(x-2)(x^2+1)}{(x-1)(x-2)} = \dfrac{x^2+1}{x-1} \) pour \( x \neq 2 \). \[ \lim_{x \to 2} f(x) = \frac{5}{1} = 5 = f(2) \] Donc \( f \) est continue en \( x_0 = 2 \).

2. \( f(x) = \dfrac{x+1-2}{x^2-1} = \dfrac{x-1}{(x-1)(x+1)} = \dfrac{1}{x+1} \) pour \( x \neq 1 \). \[ \lim_{x \to 1} f(x) = \frac{1}{2} \neq f(1) = -\frac12 \] Donc \( f \) n'est pas continue en \( x_0 = 1 \).

3. On multiplie par les conjugués : \[ \lim_{x \to 4} f(x) = \lim_{x \to 4} \frac{(\sqrt{2x+1}-3)(\sqrt{2x+1}+3)(\sqrt{x-2}+\sqrt2)}{(\sqrt{x-2}-\sqrt2)(\sqrt{x-2}+\sqrt2)(\sqrt{2x+1}+3)} \] \[ = \lim_{x \to 4} \frac{2(x-4)(\sqrt{x-2}+\sqrt2)}{(x-4)(\sqrt{2x+1}+3)} = \frac{2 \cdot 2\sqrt2}{6} = \frac{2\sqrt2}{3} = f(4) \] Donc \( f \) est continue en \( x_0 = 4 \).

4. \( f(x) = \dfrac{x-1}{(x-1)(x+1)} = \dfrac{1}{x+1} \) pour \( x \neq -1 \). \[ \lim_{x \to -1} f(x) = \infty \text{ : pas de limite finie} \] Donc \( f \) n'est pas continue (ni prolongeable) en \( x_0 = -1 \).

5. \( \lim_{x \to 1^+} f(x) = \dfrac{\sin 0}{1} = 0 \neq f(1) = 2 \). Donc \( f \) n'est pas continue à droite en \( 1 \).

6. En \( x_0 = \pi \) : \( \lim_{x \to \pi^-} \dfrac{1+\cos x}{\sin x} = \lim_{x \to \pi^-} \dfrac{2\cos^2(x/2)}{2\sin(x/2)\cos(x/2)} = \lim \dfrac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)} = 0 \). \[ \lim_{x \to \pi^+} f(x) = \pi + 0 = \pi \neq 0 \] Donc \( f \) n'est pas continue en \( x_0 = \pi \).

Exercice 2

Soit \( f \) définie par : \[ f(x) = \begin{cases} x + a\sqrt{x^2+x+1} & ; x \leq 0 \\ x^2 - x & ; 0 < x \leq 1 \\ bx - \dfrac{x-1}{\sqrt{x^2+3}-2} & ; x > 1 \end{cases} \]

1. Déterminer \( a \) et \( b \) pour que \( f \) soit continue en \( 0 \) et \( 1 \).

2. Calculer \( \lim_{x \to -\infty} f(x) \) et \( \lim_{x \to +\infty} f(x) \).

1. En \( 0 \) : \( \lim_{x \to 0^-} f(x) = a \) et \( \lim_{x \to 0^+} f(x) = 0 \), \( f(0) = a \). Continuité en 0 impose \( a = 0 \).

En \( 1 \) : \( \lim_{x \to 1^-} f(x) = 0 \), \( f(1) = 0 \). \[ \lim_{x \to 1^+} f(x) = b - \lim_{x \to 1^+} \frac{x-1}{\sqrt{x^2+3}-2} = b - 2 \] (car \( \sqrt{x^2+3}-2 = \dfrac{(x-1)(x+1)}{\sqrt{x^2+3}+2} \)) Continuité en 1 impose \( b - 2 = 0 \), soit \( b = 2 \).

2. \( \lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty \) et \( \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty \).

Exercice 3

Peut-on prolonger par continuité les fonctions suivantes en \( x_0 \) ?

1. \( f(x) = \dfrac{2x^2-x-1}{2x+1} \) en \( x_0 = -\dfrac12 \)

2. \( f(x) = \dfrac{\sqrt{4+x}-\sqrt{4-x}}{x} \) en \( x_0 = 0 \)

1. \( 2x^2-x-1 = (2x+1)(x-1) \), donc \( f(x) = x-1 \) pour \( x \neq -\frac12 \). \[ \lim_{x \to -1/2} f(x) = -\frac32 \] Oui, on peut prolonger par continuité en posant \( f(-1/2) = -3/2 \).

2. On multiplie par le conjugué : \[ f(x) = \frac{2x}{x(\sqrt{4+x}+\sqrt{4-x})} = \frac{2}{\sqrt{4+x}+\sqrt{4-x}} \to \frac{2}{4} = \frac12 \] Oui, on peut prolonger par continuité en posant \( f(0) = 1/2 \).

Partie B – Théorème des valeurs intermédiaires

Exercice 4

On donne le tableau de variations de \( f \) :

\( x \)	\( -\infty \)	\( -5 \)	\( 0 \)	\( 1 \)	\( 3 \)	\( 10 \)	\( +\infty \)
\( f(x) \)	1	−5	3	3	+∞	+∞	+∞

1. Quel est le nombre de solutions de \( f(x) = 0 \) ? de \( f(x) = 2 \) ? de \( f(x) = -10 \) ?

2. Déterminer les images des intervalles \( I_1 = [-5;-3] \), \( I_2 = [-5;0] \), \( I_3 = [3;10] \), \( I_4 = [0;+\infty[ \), \( I_5 = \mathbb{R} \).

3. \( f \) réalise-t-elle une bijection de \( I = [-5;0] \) sur \( J = [-5;3] \) ?

1. \( f(x) = 0 \) : 3 solutions. \( f(x) = 2 \) : 3 solutions. \( f(x) = -10 \) : 1 solution.

2. \( f(I_1) = [-5;3] \), \( f(I_2) = [-5;3] \), \( f(I_3) = [3;+\infty[ \), \( f(I_4) = ]-\infty;+\infty[ \), \( f(\mathbb{R}) = \mathbb{R} \).

3. Oui, \( f \) est continue et strictement croissante sur \( [-5;0] \), donc bijection de \( [-5;0] \) sur \( [-5;3] \).

Exercice 5

Soit \( f \) une fonction définie sur \( [-0{,}5\,;14] \) dont la courbe est donnée ci-dessous.

Courbe représentative de \( f \) sur \( [-0{,}5\,;14] \).

1. Énoncer le théorème des valeurs intermédiaires.

2. Trouver des intervalles où on peut appliquer le TVI.

3. Trouver un cas où le TVI ne s'applique pas.

4. Peut-on trouver un unique \( \beta \) tel que \( f(\beta) = 6 \) ? Justifier.

1. Si \( f \) continue sur \( [a;b] \) et \( k \) entre \( f(a) \) et \( f(b) \), alors \( \exists c \in [a;b] \) tel que \( f(c) = k \).

2. TVI applicable sur tout intervalle où \( f \) est continue et où la valeur est atteinte.

3. TVI non applicable sur un intervalle où \( f \) n'est pas continue.

4. Oui, si 6 est compris entre deux valeurs de \( f \) sur un intervalle où \( f \) est continue et monotone.

Exercice 6

Soit \( f(x) = x^2\cos^5 x + x\sin x + 1 \) définie sur \( \mathbb{R} \).

1. Calculer \( f(0) \) et \( f(\pi) \).

2. Montrer que \( x^2\cos^5 x + x\sin x + 1 = 0 \) admet au moins une solution sur \( \mathbb{R} \).

1. \( f(0) = 1 \). \( f(\pi) = \pi^2(-1)^5 + 0 + 1 = 1 - \pi^2 < 0 \).

2. \( f \) continue sur \( [0;\pi] \) et \( f(0) \times f(\pi) < 0 \). D'après TVI, l'équation admet au moins une solution dans \( ]0;\pi[ \).

Partie C – Fonction réciproque

Exercice 7

Soit \( f(x) = \dfrac{x-3}{x+2} \) définie sur \( [0;2] \).

1. Montrer que \( f \) réalise une bijection de \( [0;2] \) sur un intervalle \( J \) à déterminer.

2. Déterminer \( f^{-1}(x) \).

3. Tracer les courbes de \( f \) et \( f^{-1} \) dans le même repère.

1. \( f'(x) = \dfrac{5}{(x+2)^2} > 0 \). Donc \( f \) strictement croissante sur \( [0;2] \). Continue + monotone → bijection de \( [0;2] \) sur \( J = [f(0);f(2)] = \left[-\dfrac32\,;-\dfrac14\right] \).

2. \( y = \dfrac{x-3}{x+2} \Rightarrow x = \dfrac{3+2y}{1-y} \). Donc \( f^{-1}(x) = \dfrac{3+2x}{1-x} \) sur \( J \).

Exercice 8

Soit \( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) définie par \( f(x) = (x-4)^2 + 2 \).

1. Calculer \( \lim_{x \to +\infty} f(x) \).

2. Étudier la continuité de \( f \) sur \( \mathbb{R} \).

3. Montrer que \( f \) est strictement croissante sur \( [4;+\infty[ \).

4. Montrer que \( f \) réalise une bijection de \( [4;+\infty[ \) sur \( [2;+\infty[ \).

5. Déterminer \( f^{-1}(x) \).

1. \( \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty \).

2. \( f \) polynomiale → continue sur \( \mathbb{R} \).

3. \( f'(x) = 2(x-4) > 0 \) pour \( x > 4 \). Donc \( f \) strictement croissante sur \( [4;+\infty[ \).

4. \( f \) continue + strictement croissante, \( f(4) = 2 \), \( \lim_{x \to +\infty} f = +\infty \). Donc bijection de \( [4;+\infty[ \) sur \( [2;+\infty[ \).

5. \( y = (x-4)^2 + 2 \Rightarrow x = 4 + \sqrt{y-2} \). Donc \( f^{-1}(x) = 4 + \sqrt{x-2} \) sur \( [2;+\infty[ \).

Partie D – Limites et racines n-ièmes

Exercice 14

Calculer les limites suivantes :

1. \( \lim_{x \to +\infty} \left( \sqrt[3]{x^3+x+1} - x \right) \)

2. \( \lim_{x \to +\infty} \dfrac{\sqrt[3]{x^3+1}-1}{\sqrt[4]{x^2+1}-1} \)

3. \( \lim_{x \to +\infty} \dfrac{x}{\sqrt[3]{x-1}} \)

4. \( \lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt[4]{4+x}-\sqrt[4]{4-x}}{x} \)

1. On factorise par \( x \) : \[ \sqrt[3]{x^3+x+1} - x = x\left( \sqrt[3]{1+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3}} - 1 \right) \] Avec \( (1+u)^{1/3} - 1 \sim u/3 \) quand \( u \to 0 \) : \[ \lim_{x \to +\infty} x \cdot \frac{1/x^2}{3} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{3x} = 0 \]

2. Numérateur \( \sim x \), dénominateur \( \sim \sqrt{x} \). La limite est \( +\infty \).

3. \( \dfrac{x}{\sqrt[3]{x-1}} = \dfrac{x}{x^{1/3}(1-1/x)^{1/3}} = x^{2/3}(1-1/x)^{-1/3} \to +\infty \).

4. On pose \( a = \sqrt[4]{4+x} \), \( b = \sqrt[4]{4-x} \). Alors \( a^4 - b^4 = 2x \) et \( a-b = \dfrac{a^4-b^4}{a^3+a^2b+ab^2+b^3} \). Le quotient tend vers \( \dfrac{2}{4 \times 4^{3/4}} = \dfrac{1}{4\sqrt2} \).

Exercice 15

Soit \( f \) définie par : \[ f(x) = \begin{cases} \sqrt[3]{1-x} & ; x < 0 \\ \dfrac{1}{1+\sqrt{x}} & ; x \geq 0 \end{cases} \]

1. Calculer \( \lim_{x \to 0^-} f(x) \) et \( \lim_{x \to 0^+} f(x) \).

2. Étudier la continuité de \( f \) en \( x_0 = 0 \).

1. \( \lim_{x \to 0^-} f(x) = \sqrt[3]{1} = 1 \). \( \lim_{x \to 0^+} f(x) = \dfrac{1}{1+0} = 1 \).

2. \( f(0) = 1 \). Limites à droite et à gauche = \( f(0) \). Donc \( f \) est continue en \( 0 \).

Exercice 16

Soit \( f(x) = \sqrt[3]{x^2+1} \).

1. Déterminer \( D_f \).

2. Étudier la parité de \( f \).

3. Calculer \( \lim_{x \to +\infty} f(x) \) et \( \lim_{x \to -\infty} f(x) \).

1. \( x^2+1 > 0 \) pour tout \( x \), donc \( D_f = \mathbb{R} \).

2. \( f(-x) = \sqrt[3]{x^2+1} = f(x) \). Donc \( f \) est paire.

3. \( \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty \). Par parité, \( \lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty \).

QCM – Testez vos connaissances

Question 1. Si \( f \) continue en \( x_0 \) et \( \lim_{x \to x_0} f(x) = 3 \), alors :

A. \( f(x_0) = 0 \)
B. \( f(x_0) = 3 \)
C. \( f(x_0) \neq 3 \)
D. On ne peut pas savoir

Réponse : B — Par définition de la continuité.

Question 2. Si \( f(a) \times f(b) < 0 \) et \( f \) continue sur \( [a;b] \), alors :

A. \( f(x) = 0 \) n'a pas de solution
B. \( f(x) = 0 \) admet au moins une solution dans \( ]a;b[ \)
C. \( f(x) = 0 \) admet exactement une solution
D. \( f \) n'est pas continue

Réponse : B — Corollaire du TVI.

Question 3. Si \( f \) continue et strictement monotone sur \( [a;b] \), alors \( f \) réalise une bijection de \( [a;b] \) sur :

A. \( [f(a);f(b)] \) toujours
B. \( [f(b);f(a)] \) toujours
C. \( [f(a);f(b)] \) ou \( [f(b);f(a)] \) selon la monotonie
D. \( \mathbb{R} \)

Réponse : C — Selon croissance ou décroissance.

Question 4. \( \lim_{x \to +\infty} \sqrt[3]{x^3+x+1} - x \) est égale à :

A. \( +\infty \)
B. \( 0 \)
C. \( 1 \)
D. \( \dfrac13 \)

Réponse : B — Voir Exercice 14.

Question 5. Si \( f \) continue sur \( \mathbb{R} \), \( f(0) = -1 \), \( f(2) = 5 \), alors \( f(x) = 0 \) admet :

A. Aucune solution
B. Au moins une solution dans \( ]0;2[ \)
C. Exactement une solution
D. Une infinité de solutions

Réponse : B — Car \( f(0) \times f(2) < 0 \).

Tableau récapitulatif

Exercice	Notion clé	Résultat principal
1 – 3	Continuité en un point	\( \lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0) \)
4 – 6	Théorème des valeurs intermédiaires	\( f(a) \times f(b) < 0 \Rightarrow \exists c : f(c) = 0 \)
7 – 9	Fonction réciproque	\( f \) continue + strict. monotone \( \Rightarrow f^{-1} \)
10 – 13	Racines n-ièmes et domaines	\( \sqrt[n]{x} \) continue sur \( [0;+\infty[ \)
14 – 16	Calculs de limites	Factorisation, conjugué, croissances comparées

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