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Continuité – Série n°2

Exercices 8, 9 et 10 – 2ème Bac Sciences Physiques

Cette série vous propose des exercices d'application directe du théorème des valeurs intermédiaires (TVI).

Chaque énoncé est suivi d'une correction détaillée accessible via le bouton « Afficher la réponse ».

Exercices corrigés

Exercice 8

On considère la fonction \( g \) définie sur \( \mathbb{R} \) par : \[ g(x) = \sin x + 2\cos x \]

1. Vérifier que \( g(0) > 0 \) et \( g\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right) < \dfrac{\pi}{2} \).

2. Montrer que l'équation \( g(x) = x \) admet au moins une solution dans l'intervalle \( \left[0\,;\dfrac{\pi}{2}\right] \).

1. \( g(0) = \sin 0 + 2\cos 0 = 0 + 2 = 2 > 0 \).

\( g\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = \sin\dfrac{\pi}{2} + 2\cos\dfrac{\pi}{2} = 1 + 0 = 1 \). Or \( 1 < \dfrac{\pi}{2} \approx 1{,}57 \). Donc \( g\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right) < \dfrac{\pi}{2} \).

2. Posons \( h(x) = g(x) - x = \sin x + 2\cos x - x \).
\( h \) est continue sur \( \left[0\,;\dfrac{\pi}{2}\right] \) (somme de fonctions continues).
\( h(0) = 2 > 0 \) et \( h\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 1 - \dfrac{\pi}{2} < 0 \).
Donc \( h(0) \times h\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right) < 0 \). D'après le TVI, il existe \( c \in \left]0\,;\dfrac{\pi}{2}\right[ \) tel que \( h(c) = 0 \), c'est-à-dire \( g(c) = c \).

Exercice 9

On considère la fonction \( f \) définie sur \( \mathbb{R} \) par : \[ f(x) = 4x^3 - 3x - \frac{1}{2} \]

1. Calculer \( f(-1) \), \( f(0) \), \( f\!\left(\dfrac{1}{2}\right) \) et \( f(1) \).

2. En déduire que l'équation \( f(x) = 0 \) admet au moins trois solutions dans \( [-1\,;1] \).

1.

\( f(-1) = 4(-1)^3 - 3(-1) - \dfrac{1}{2} = -4 + 3 - 0{,}5 = -1{,}5 < 0 \)

\( f(0) = 0 - 0 - \dfrac{1}{2} = -\dfrac{1}{2} < 0 \)

\( f\!\left(\dfrac{1}{2}\right) = 4 \cdot \dfrac{1}{8} - 3 \cdot \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2} - \dfrac{3}{2} - \dfrac{1}{2} = -\dfrac{3}{2} < 0 \)

\( f(1) = 4 - 3 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2} > 0 \)

2. \( f \) est polynomiale, donc continue sur \( \mathbb{R} \).
• Sur \( [-1\,;0] \) : \( f(-1) = -1{,}5 \) et \( f(0) = -0{,}5 \) → même signe, TVI non applicable directement.
• Sur \( \left[0\,;\dfrac{1}{2}\right] \) : \( f(0) = -0{,}5 \) et \( f\!\left(\dfrac{1}{2}\right) = -1{,}5 \) → même signe.
• Sur \( \left[\dfrac{1}{2}\,;1\right] \) : \( f\!\left(\dfrac{1}{2}\right) = -1{,}5 \) et \( f(1) = 0{,}5 \) → signes opposés, donc au moins une solution.

⚠️ Remarque : pour obtenir les trois solutions, il faut affiner l'étude des variations de \( f \). On pose \( f'(x) = 12x^2 - 3 = 3(4x^2-1) \), qui s'annule en \( x = \pm\dfrac{1}{2} \).
La fonction \( f \) admet un maximum local en \( x = -\dfrac{1}{2} \) et un minimum local en \( x = \dfrac{1}{2} \). Une étude plus fine (tableau de variations) montre que \( f \) change de signe dans chacun des trois sous-intervalles : \( \left]-1\,;-\dfrac{1}{2}\right[ \), \( \left]-\dfrac{1}{2}\,;\dfrac{1}{2}\right[ \) et \( \left]\dfrac{1}{2}\,;1\right[ \). D'où trois solutions au moins.

Exercice 10

Soit \( f \) une fonction continue et définie d'un intervalle \( [a\,;b] \) vers \( [a\,;b] \).

Montrer que l'équation \( f(x) = x \) admet au moins une solution dans \( [a\,;b] \).

Posons \( h(x) = f(x) - x \).

La fonction \( h \) est continue sur \( [a\,;b] \) (différence de deux fonctions continues, car \( x \mapsto x \) est continue).

Comme \( f \) est définie de \( [a\,;b] \) vers \( [a\,;b] \), on a \( f(a) \geq a \) et \( f(b) \leq b \). Donc :

\( h(a) = f(a) - a \geq 0 \) et \( h(b) = f(b) - b \leq 0 \).

• Si \( h(a) = 0 \), alors \( f(a) = a \) : \( a \) est solution.
• Si \( h(b) = 0 \), alors \( f(b) = b \) : \( b \) est solution.
• Sinon, \( h(a) > 0 \) et \( h(b) < 0 \), donc \( h(a) \times h(b) < 0 \). D'après le TVI, il existe \( c \in ]a\,;b[ \) tel que \( h(c) = 0 \), c'est-à-dire \( f(c) = c \).

Dans tous les cas, l'équation \( f(x) = x \) admet au moins une solution dans \( [a\,;b] \).

QCM – Testez vos connaissances

Question 1. Pour appliquer le TVI à \( f \) sur \( [a\,;b] \), il faut que :

A. \( f \) soit dérivable sur \( [a\,;b] \)
B. \( f \) soit continue sur \( [a\,;b] \)
C. \( f \) soit monotone sur \( [a\,;b] \)
D. \( f(a) = f(b) \)

Réponse : B — La continuité est la seule condition indispensable.

Question 2. Si \( f \) est continue sur \( [a\,;b] \) et \( f(a) \times f(b) < 0 \), alors l'équation \( f(x) = 0 \) admet :

A. Aucune solution
B. Au moins une solution dans \( ]a\,;b[ \)
C. Exactement une solution
D. Une infinité de solutions

Réponse : B — C'est le corollaire du TVI.

Question 3. Si \( f \) est continue et strictement monotone sur \( [a\,;b] \) et \( f(a) \times f(b) < 0 \), alors \( f(x) = 0 \) admet :

A. Aucune solution
B. Au moins deux solutions
C. Une unique solution dans \( ]a\,;b[ \)
D. Une infinité de solutions

Réponse : C — La stricte monotonie garantit l'unicité.

Question 4. Si \( f \) est continue de \( [a\,;b] \) vers \( [a\,;b] \), alors \( f(x) = x \) admet :

A. Aucune solution
B. Au moins une solution dans \( [a\,;b] \)
C. Exactement deux solutions
D. Une solution uniquement dans \( ]a\,;b[ \)

Réponse : B — Voir Exercice 10.

Question 5. Si \( g(x) = \sin x + 2\cos x \), alors \( g(0) \) vaut :

A. \( 0 \)
B. \( 1 \)
C. \( 2 \)
D. \( 3 \)

Réponse : C — \( g(0) = \sin 0 + 2\cos 0 = 2 \).

Tableau récapitulatif

Exercice	Notion clé	Résultat principal
8	TVI sur \( g(x) = x \)	Solution dans \( \left]0\,;\dfrac{\pi}{2}\right[ \)
9	TVI et polynôme de degré 3	Au moins 3 solutions dans \( [-1\,;1] \)
10	Point fixe	\( \exists c \in [a\,;b] : f(c) = c \)

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