Accueil › Lycée › 2ème Bac Sciences Physiques › Mathématiques

Continuité et étude de fonctions

Exercices corrigés – 2ème Bac Sciences Physiques

Cette série d'exercices couvre la continuité en un point, la continuité sur un intervalle, le théorème des valeurs intermédiaires, la bijection réciproque et l'interprétation géométrique des limites.

Chaque énoncé est suivi d'une correction détaillée. Cliquez sur « Afficher la réponse » pour vérifier votre travail.

Partie A – Continuité en un point

Exercice 1

Soit \( f \) la fonction définie sur \( \mathbb{R} \) par : \[ f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2-4}{x-2} & ; x \neq 2 \\ 4 & ; x = 2 \end{cases} \] Étudier la continuité de \( f \) en \( x_0 = 2 \).

\[ \lim_{x \to 2} f(x) = \lim_{x \to 2} \frac{x^2-4}{x-2} = \lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = \lim_{x \to 2} (x+2) = 4 \]

Or \( f(2) = 4 \). Donc \( \lim_{x \to 2} f(x) = f(2) \). \( f \) est continue en \( x_0 = 2 \).

Exercice 2

Soit \( f \) la fonction définie sur \( \mathbb{R} \) par : \[ f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^3-1}{x-1} & ; x \neq 1 \\ 4 & ; x = 1 \end{cases} \] Étudier la continuité de \( f \) en \( x_0 = 1 \).

On sait que \( a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) \) : \[ \lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x^2+x+1)}{x-1} = \lim_{x \to 1} (x^2+x+1) = 3 \]

Or \( f(1) = 4 \neq 3 \). Donc \( f \) n'est pas continue en \( x_0 = 1 \).

Exercice 3

Soit \( f \) la fonction définie sur \( \mathbb{R} \) par : \[ f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^3-8}{x-2} & ; x \neq 2 \\ 12 & ; x = 2 \end{cases} \] Étudier la continuité de \( f \) en \( x_0 = 2 \).

\[ \lim_{x \to 2} f(x) = \lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x^2+2x+4)}{x-2} = \lim_{x \to 2} (x^2+2x+4) = 12 = f(2) \]

Donc \( f \) est continue en \( x_0 = 2 \).

Exercice 4

Soit \( f \) la fonction définie par : \[ f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2}{|x|} & ; x \neq 0 \\ 0 & ; x = 0 \end{cases} \]

1. Écrire \( f(x) \) sans valeur absolue.

2. Calculer \( \lim_{x \to 0^+} f(x) \) et \( \lim_{x \to 0^-} f(x) \).

3. \( f \) est-elle continue en \( x_0 = 0 \) ?

1. \( f(x) = x \) si \( x > 0 \) ; \( f(x) = -x \) si \( x < 0 \).

2. \( \lim_{x \to 0^+} f(x) = 0 \) et \( \lim_{x \to 0^-} f(x) = 0 \).

3. Les deux limites sont égales à \( f(0) = 0 \). Donc \( f \) est continue en \( 0 \).

Exercice 5

Soit \( f \) la fonction définie par : \[ f(x) = \begin{cases} \dfrac{\sin 2x}{x} - 2x & ; x > 0 \\ x^3 - x + 1 & ; x \leq 0 \end{cases} \]

1. Étudier la continuité de \( f \) à droite et à gauche en \( x_0 = 0 \).

2. \( f \) est-elle continue en \( x_0 = 0 \) ?

1. \( f(0) = 0^3 - 0 + 1 = 1 \).

\[ \lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{\sin 2x}{x} - 2x = \lim_{x \to 0^+} \frac{2\sin 2x}{2x} - 0 = 2 \]

\[ \lim_{x \to 0^-} f(x) = 0 - 0 + 1 = 1 = f(0) \]

2. \( \lim_{x \to 0^+} f(x) = 2 \neq f(0) = 1 \). Donc \( f \) n'est pas continue en \( 0 \).

Exercice 6

Soit \( f \) la fonction définie par : \[ f(x) = \begin{cases} ax^2 + 2x + 3 & ; x \leq 2 \\ \dfrac{x+3}{x-1} & ; x > 2 \end{cases} \] Déterminer le réel \( a \) pour que \( f \) soit continue en \( x_0 = 2 \).

\( f(2) = a \cdot 2^2 + 2 \cdot 2 + 3 = 4a + 7 \).

\[ \lim_{x \to 2^+} f(x) = \frac{2+3}{2-1} = 5 \]

Continuité en 2 : \( 4a + 7 = 5 \Rightarrow 4a = -2 \Rightarrow a = -\dfrac{1}{2} \).

Partie B – Continuité sur un intervalle

Exercice 7

Étudier la continuité des fonctions suivantes sur leur ensemble de définition :

\( g(x) = \dfrac{6x^5 - 7x}{x-3} \)

\( f(x) = x^4 - 6x + 9 \)

\( h(x) = \sin x + 2\cos x \)

\( f \) est polynomiale, donc continue sur \( \mathbb{R} \).

\( g \) est rationnelle ; \( D_g = \mathbb{R} \setminus \{3\} \). Donc continue sur \( D_g \).

\( h \) est la somme de deux fonctions trigonométriques continues sur \( \mathbb{R} \), donc \( h \) est continue sur \( \mathbb{R} \).

Exercice 8

Étudier la continuité des fonctions suivantes sur leur ensemble de définition :

\( h(x) = \sqrt{3x+9} \)

\( g(x) = \dfrac{3x+1}{2x^2-x-1} \)

\( f(x) = x^2 - 16x + 1 \)

\( f \) : polynomiale, donc continue sur \( \mathbb{R} \).

\( g \) : rationnelle. On résout \( 2x^2 - x - 1 = 0 \) : \[ \Delta = (-1)^2 - 4(2)(-1) = 1 + 8 = 9 \] \[ x_1 = \frac{1+3}{4} = 1 \quad ; \quad x_2 = \frac{1-3}{4} = -\frac{1}{2} \] \( D_g = \mathbb{R} \setminus \left\{-\dfrac{1}{2}\,;1\right\} \). Donc continue sur \( D_g \).

\( h \) : \( D_h = \{x \in \mathbb{R} : 3x+9 \geq 0\} = [-3\,;+\infty[ \). Donc \( h \) est continue sur \( [-3\,;+\infty[ \).

Exercice 9

Calculer les limites suivantes :

\( \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\sqrt{4x+1}}{x+3} \)

\( \displaystyle\lim_{x \to -\infty} \sqrt{x^2+5} + x \)

\[ \lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{4x+1}}{x+3} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x(4+1/x)}}{x(1+3/x)} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x}\sqrt{4}}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{2\sqrt{x}}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{2}{\sqrt{x}} = 0 \]

\[ \lim_{x \to -\infty} \sqrt{x^2+5} + x = \lim_{x \to -\infty} \frac{(x^2+5) - x^2}{\sqrt{x^2+5} - x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{5}{\sqrt{x^2+5} - x} = 0 \]

Partie C – Image d'un intervalle

Exercice 10

Déterminer l'image du ou des intervalles par la fonction \( f \) dans chaque cas :

1. \( f(x) = 5x-1 \) et \( I = [-2\,;3] \)

2. \( f(x) = x^2 \) et \( I = [-5\,;-3] \)

3. \( f(x) = \dfrac{1}{x-1} \) et \( I = [-3\,;1[ \), \( J = ]-\infty\,;1[ \), \( K = ]1\,;+\infty[ \)

4. \( f(x) = \dfrac{x-1}{2x-1} \) et \( I = [2\,;6] \), \( J = \left]-\infty\,;\dfrac12\right[ \), \( K = \left]\dfrac12\,;+\infty\right[ \)

1. \( f'(x) = 5 > 0 \), donc \( f \) croissante. \( f(I) = [f(-2)\,;f(3)] = [-11\,;14] \).

2. \( f'(x) = 2x < 0 \) sur \( I \), donc \( f \) décroissante. \( f(I) = [f(-3)\,;f(-5)] = [9\,;25] \).

3. \( f'(x) = -\dfrac{1}{(x-1)^2} < 0 \). \( f \) décroissante sur chaque intervalle. \[ f(I) = \left]-\infty\,;-\dfrac14\right] \quad ; \quad f(J) = ]-\infty\,;0[ \quad ; \quad f(K) = ]0\,;+\infty[ \]

4. \( f'(x) = \dfrac{(2x-1) - 2(x-1)}{(2x-1)^2} = \dfrac{1}{(2x-1)^2} > 0 \), donc \( f \) croissante. \[ f(I) = [f(2)\,;f(6)] = \left[\dfrac13\,;\dfrac{5}{11}\right] \] \[ f(J) = \left]\dfrac12\,;+\infty\right[ \quad ; \quad f(K) = \left]\dfrac12\,;+\infty\right[ \]

Partie D – Théorème des valeurs intermédiaires

Exercice 11

Montrer que l'équation \( x^3+2x+1 = 0 \) admet une unique solution dans \( I = [-1\,;0] \).

Posons \( f(x) = x^3+2x+1 \). \( f \) est polynomiale donc continue sur \( [-1\,;0] \).

\( f(-1) = -1 - 2 + 1 = -2 < 0 \) et \( f(0) = 1 > 0 \). Donc \( f(-1) \times f(0) < 0 \).

\( f'(x) = 3x^2+2 > 0 \), donc \( f \) est strictement croissante sur \( I \).

D'après le TVI, l'équation \( f(x) = 0 \) admet une unique solution dans \( [-1\,;0] \).

Exercice 12

Montrer que chaque équation admet une unique solution dans l'intervalle \( I \) indiqué :

1. \( x^4+2x-3 = 0 \) et \( I = \left[\dfrac12\,;\sqrt{2}\right] \)

2. \( 2x^3+3x+20 = 0 \) et \( I = [-2\,;-1] \)

1. \( f(x) = x^4+2x-3 \). \( f \) continue. \( f\!\left(\dfrac12\right) = -\dfrac{31}{16} < 0 \) et \( f(\sqrt2) = 1+\sqrt2 > 0 \). TVI → au moins une solution. \( f'(x) = 4x^3+2 > 0 \) sur \( I \) donc \( f \) strictement croissante → unicité.

2. \( g(x) = 2x^3+3x+20 \). \( g(-2) = -16 - 6 + 20 = -2 < 0 \), \( g(-1) = -2 - 3 + 20 = 15 > 0 \). TVI → au moins une solution. \( g'(x) = 6x^2+3 > 0 \) → unicité.

Exercice 13

Montrer que l'équation \( \sin x + \dfrac13 = 0 \) admet au moins une solution dans \( I = \left[-\dfrac{\pi}{6}\,;0\right] \).

Posons \( f(x) = \sin x + \dfrac13 \). \( f \) continue sur \( I \).

\( f(0) = \dfrac13 > 0 \) et \( f\!\left(-\dfrac{\pi}{6}\right) = -\dfrac12 + \dfrac13 = -\dfrac16 < 0 \).

Donc \( f\!\left(-\dfrac{\pi}{6}\right) \times f(0) < 0 \). D'après le TVI, l'équation admet au moins une solution dans \( I \).

Exercice 14

Soit \( h(x) = x^3 - x + 1 + \sin x \) et \( h(x) = \sin(x^3 - x + 1) \). Étudier la continuité de \( h \) sur \( \mathbb{R} \).

Cas 1 : \( h \) est la somme d'une fonction polynomiale \( x \mapsto x^3 - x + 1 \) et de \( \sin x \), toutes deux continues sur \( \mathbb{R} \). Donc \( h \) est continue sur \( \mathbb{R} \).

Cas 2 : \( h = g \circ f \) avec \( f(x) = x^3 - x + 1 \) et \( g(x) = \sin x \). Ces deux fonctions sont continues sur \( \mathbb{R} \), donc \( h \) est continue sur \( \mathbb{R} \).

Partie E – Fonction réciproque et limites

Exercice 15

Soit \( f(x) = 3x + \sqrt{2x-6} \) définie sur \( I = D_f \).

1. Montrer que \( f \) réalise une bijection de \( I \) sur un intervalle \( J \) à déterminer, puis déterminer \( f^{-1} \).

2. En déduire que l'équation \( f(x) = 10 \) admet une unique solution dans \( I \).

1. \( I = D_f = [3\,;+\infty[ \). \( f \) continue et dérivable sur \( ]3\,;+\infty[ \). \[ f'(x) = 3 + \frac{1}{\sqrt{2x-6}} > 0 \] Donc \( f \) strictement croissante. \( f(I) = [f(3)\,;\lim_{x \to +\infty} f(x)] = [9\,;+\infty[ \). Bijection de \( I \) sur \( J = [9\,;+\infty[ \).

Détermination de \( f^{-1} \) : \( y = f^{-1}(x) \iff f(y) = x \). \[ 3y + \sqrt{2y-6} = x \Rightarrow \sqrt{2y-6} = x - 3y \] En élevant au carré : \( 2y-6 = x^2 - 6xy + 9y^2 \), d'où \( 9y^2 - 2y(3x+1) + (x^2+6) = 0 \).

2. \( 10 \in J = [9\,;+\infty[ \). Donc \( f(x) = 10 \) admet une unique solution dans \( I \).

Exercice 16

Calculer : \[ \lim_{x \to +\infty} \sqrt[3]{15x^3+7x+10} - \sqrt[3]{15x^3+1} \]

On pose \( A = \sqrt[3]{15x^3+7x+10} \) et \( B = \sqrt[3]{15x^3+1} \).

\[ A - B = \frac{A^3 - B^3}{A^2 + AB + B^2} = \frac{(15x^3+7x+10) - (15x^3+1)}{A^2 + AB + B^2} = \frac{7x+9}{A^2+AB+B^2} \]

\( A \sim \sqrt[3]{15}\,x \), donc \( A^2 + AB + B^2 \sim 3\sqrt[3]{15^2}\,x^2 \). \[ A - B \sim \frac{7x}{3\sqrt[3]{225}\,x^2} = \frac{7}{3\sqrt[3]{225}\,x} \to 0 \]

Exercice 17

Soit \( f \) définie par : \[ f(x) = \frac{\sqrt{13x^2-12}-x}{x-1} \quad \text{pour } x \in \left[\sqrt{\frac{12}{13}}\,;+\infty\right[ \setminus \{1\} \quad ; \quad f(1)=12 \]

1. Montrer que \( f \) est continue en \( 1 \).

2. Montrer que \( f \) est dérivable en \( 1 \).

3. Calculer \( f'(1) \).

1. On pose \( g(x) = \sqrt{13x^2-12} \). \( g(1) = \sqrt{1} = 1 \). \[ \lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} \frac{g(x) - g(1)}{x - 1} = g'(1) \] Or \( g'(x) = \dfrac{13x}{\sqrt{13x^2-12}} \), donc \( g'(1) = 13 \). Hmm, on doit vérifier : \( g'(1) = 13 \).

Mais ici, \( f(x) = \dfrac{\sqrt{13x^2-12}-x}{x-1} \). En posant \( h(x) = \sqrt{13x^2-12} - x \), on a \( h(1) = 1 - 1 = 0 \).

\[ \lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} \frac{h(x) - h(1)}{x - 1} = h'(1) = \frac{13}{\sqrt{1}} - 1 = 13 - 1 = 12 = f(1) \] Donc \( f \) continue en \( 1 \).

2 & 3. \( f'(1) = h''(1) \) après calcul, on trouve \( f'(1) = -78 \).

Partie F – Interprétation géométrique

Exercice 18

Interpréter géométriquement les limites suivantes :

a. \( \displaystyle\lim_{x \to 3^+} \dfrac{f(x)-f(3)}{x-3} = 0 \)

b. \( \displaystyle\lim_{x \to 3^+} \dfrac{f(x)-f(3)}{x-3} = -\infty \)

c. \( \displaystyle\lim_{x \to 3^+} \dfrac{f(x)-f(3)}{x-3} = +\infty \)

d. \( \displaystyle\lim_{x \to 3^-} \dfrac{f(x)-f(3)}{x-3} = +\infty \)

a. La courbe \( (C_f) \) admet à droite du point d'abscisse 3 une demi-tangente horizontale.

b. La courbe \( (C_f) \) admet à droite du point d'abscisse 3 une demi-tangente verticale orientée vers le bas.

c. La courbe \( (C_f) \) admet à droite du point d'abscisse 3 une demi-tangente verticale orientée vers le haut.

d. La courbe \( (C_f) \) admet à gauche du point d'abscisse 3 une demi-tangente verticale orientée vers le haut.

QCM – Testez vos connaissances

Question 1. La fonction \( f(x) = \dfrac{x^2-4}{x-2} \) prolongée par continuité en \( x=2 \) vaut :

A. \( 0 \)
B. \( 2 \)
C. \( 4 \)
D. On ne peut pas la prolonger

Réponse : C — La limite vaut 4.

Question 2. Si \( f \) est continue et strictement croissante sur \( [a\,;b] \), alors \( f([a\,;b]) \) est :

A. \( [f(b)\,;f(a)] \)
B. \( [f(a)\,;f(b)] \)
C. \( ]f(a)\,;f(b)[ \)
D. \( \mathbb{R} \)

Réponse : B — L'image d'un segment par une fonction continue strictement croissante.

Question 3. \( \displaystyle\lim_{x \to 0^+} \dfrac{\sin 2x}{x} \) vaut :

A. \( 1 \)
B. \( 2 \)
C. \( 0 \)
D. \( +\infty \)

Réponse : B — Car \( \dfrac{\sin 2x}{x} = 2 \cdot \dfrac{\sin 2x}{2x} \to 2 \).

Question 4. Si \( f(a) \times f(b) < 0 \) et \( f \) continue sur \( [a\,;b] \), alors \( f(x)=0 \) admet :

A. Aucune solution
B. Au moins une solution dans \( ]a\,;b[ \)
C. Exactement une solution
D. Une infinité de solutions

Réponse : B — Corollaire du TVI.

Question 5. Si \( \displaystyle\lim_{x \to a^+} \dfrac{f(x)-f(a)}{x-a} = +\infty \), alors la courbe admet en \( a \) :

A. Une tangente horizontale
B. Une demi-tangente verticale à droite orientée vers le haut
C. Une demi-tangente verticale à droite orientée vers le bas
D. Rien

Réponse : B — Voir Exercice 18.

Tableau récapitulatif

Partie	Notion clé	Résultat principal
A (1–6)	Continuité en un point	\( \lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0) \)
B (7–9)	Continuité sur un intervalle	Polynômes, rationnelles, trigonométriques, racines
C (10)	Image d'un intervalle	\( f([a\,;b]) = [f(a)\,;f(b)] \) ou inverse selon monotonie
D (11–14)	Théorème des valeurs intermédiaires	\( f(a) \times f(b) < 0 \Rightarrow \exists c : f(c)=0 \)
E (15–17)	Bijection et limites	\( f \) continue + strict. monotone \( \Rightarrow f^{-1} \)
F (18)	Interprétation géométrique	Demi-tangentes verticales/horizontales

📱 Rejoignez notre chaîne WhatsApp

Recevez tous les nouveaux cours, résumés et exercices corrigés directement sur votre téléphone.

Rejoindre la chaîne

❤️ Contribuez à EduMaroc

Partagez vos cours, résumés ou exercices et aidez des milliers d'élèves marocains à réussir.

Participer maintenant