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Continuité – Série complète d'exercices

Exercices corrigés – 2ème Bac Sciences Physiques

Cette série regroupe des exercices variés sur la continuité : continuité en un point, continuité sur un intervalle, théorème des valeurs intermédiaires, fonction réciproque et calcul de limites.

Chaque énoncé est suivi d'une correction détaillée accessible via le bouton « Afficher la réponse ».

Partie A – Continuité en un point

Exercice 1

Déterminer le nombre \( a \) pour que \( f \) soit continue en \( x_0 \) :

1. \( f(x) = \dfrac{4x^2-3x-27}{x-3} \) ; \( x_0 = 3 \) ; \( f(3) = a \)

2. \( f(x) = \dfrac{\sqrt{x+1}-\sqrt{2}}{x-1} \) ; \( x_0 = 1 \) ; \( f(1) = a \)

3. \( f(x) = \dfrac{2\tan x + \sin x}{x} \) ; \( x_0 = 0 \) ; \( f(0) = a \)

1. \( 4x^2-3x-27 = (x-3)(4x+9) \), donc \( \lim_{x \to 3} f(x) = 4(3)+9 = 21 \). Donc \( a = 21 \).

2. On multiplie par le conjugué : \[ \lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} \frac{(x+1)-2}{(x-1)(\sqrt{x+1}+\sqrt2)} = \frac{1}{2\sqrt2} \] Donc \( a = \dfrac{1}{2\sqrt2} \).

3. \( \dfrac{2\tan x + \sin x}{x} = \dfrac{2\sin x}{x\cos x} + \dfrac{\sin x}{x} \to 2 + 1 = 3 \). Donc \( a = 3 \).

Exercice 2

Soit \( f \) définie par : \[ f(x) = \begin{cases} x+3 & ; x \geq 2 \\ (x-4)^2+1 & ; x < 2 \end{cases} \] Étudier la continuité de \( f \) en \( x_0 = 2 \).

\( f(2) = 2+3 = 5 \).

\( \lim_{x \to 2^+} f(x) = 5 \).

\( \lim_{x \to 2^-} f(x) = (2-4)^2+1 = 5 \).

Les deux limites sont égales à \( f(2) = 5 \). Donc \( f \) est continue en \( x_0 = 2 \).

Exercice 3

Soit \( f(x) = \dfrac{-x^2-x+6}{x^2+2x-8} \).

1. Déterminer \( D_f \) et calculer les limites de \( f \) aux bornes de \( D_f \).

2. Étudier la continuité de \( f \) sur \( D_f \).

3. La fonction \( f \) admet-elle un prolongement par continuité en \( 2 \) ?

1. \( x^2+2x-8 = (x-2)(x+4) \). Donc \( D_f = \mathbb{R} \setminus \{-4\,;2\} \).

2. \( f \) est rationnelle, donc continue sur \( D_f \).

3. \( -x^2-x+6 = -(x-2)(x+3) \). Donc \( f(x) = \dfrac{-(x-2)(x+3)}{(x-2)(x+4)} = -\dfrac{x+3}{x+4} \) pour \( x \neq 2 \). \( \lim_{x \to 2} f(x) = -\dfrac{5}{6} \). Oui, \( f \) admet un prolongement par continuité en 2.

Exercice 4

Déterminer \( D_f \) et étudier la continuité de \( f \) sur \( D_f \) :

1. \( f(x) = \dfrac{x^2-3x+6}{x^2-3x-4} \)

2. \( f(x) = \dfrac{3x+1}{\sqrt{x-3}} \)

3. \( f(x) = x^2 + \sin(3x+4) \)

1. \( x^2-3x-4 = (x-4)(x+1) \). \( D_f = \mathbb{R} \setminus \{-1\,;4\} \). \( f \) rationnelle donc continue sur \( D_f \).

2. \( D_f = ]3\,;+\infty[ \). \( f \) continue sur \( ]3\,;+\infty[ \) (somme et quotient de fonctions continues).

3. \( D_f = \mathbb{R} \). \( f \) continue sur \( \mathbb{R} \) (somme d'une polynomiale et d'une composée de fonctions continues).

Partie B – Théorème des valeurs intermédiaires

Exercice 5

Soit \( f \) continue sur \( [a\,;b] \) telle que \( f(a) < ab \) et \( f(b) > b^2 \). On pose \( g(x) = f(x) - bx \).

Montrer qu'il existe \( c \in [a\,;b] \) tel que \( f(c) = bc \).

\( g \) est continue sur \( [a\,;b] \) car \( f \) et \( x \mapsto bx \) sont continues.

\( g(a) = f(a) - ab < 0 \) et \( g(b) = f(b) - b^2 > 0 \).

Donc \( g(a) \times g(b) < 0 \). D'après le TVI, il existe \( c \in ]a\,;b[ \) tel que \( g(c) = 0 \), soit \( f(c) = bc \).

Exercice 6

Montrer que chaque équation admet une unique solution dans l'intervalle \( I \) :

1. \( x^4+4x-8 = 0 \) dans \( I = [1\,;2] \)

2. \( \dfrac{1}{4}x^2 - \dfrac{3}{2} = 0 \) dans \( I = [-3\,;-2] \)

3. \( 3x^3-4x^2+4x-1 = 0 \) dans \( I = [0\,;1] \)

1. \( f(1) = -3 < 0 \), \( f(2) = 16 > 0 \). \( f'(x) = 4x^3+4 > 0 \) sur \( [1\,;2] \). Donc unique solution.

2. \( f(-3) = \dfrac{9}{4}-\dfrac{3}{2} = \dfrac{3}{4} > 0 \), \( f(-2) = 1 - \dfrac{3}{2} = -\dfrac{1}{2} < 0 \). \( f'(x) = \dfrac{x}{2} < 0 \) sur \( [-3\,;-2] \). Unique solution.

3. \( f(0) = -1 < 0 \), \( f(1) = 2 > 0 \). \( f'(x) = 9x^2-8x+4 \), discriminant \( \Delta = 64-144 < 0 \), donc \( f' > 0 \). Unique solution.

Exercice 7

Montrer que l'équation \( x^3-3x+1 = 0 \) admet exactement trois solutions dans \( \mathbb{R} \), puis donner un encadrement de chacune à \( 5 \times 10^{-1} \) près.

\( f(x) = x^3-3x+1 \). \( f'(x) = 3x^2-3 = 3(x-1)(x+1) \). Tableau de variations :

\( f(-2) = -1 \), \( f(-1) = 3 \), \( f(1) = -1 \), \( f(2) = 3 \).

Sur \( ]-\infty\,;-1] \) : \( f \) croissante de \( -\infty \) à 3 → 1 solution dans \( [-2\,;-1] \).

Sur \( [-1\,;1] \) : \( f \) décroissante de 3 à −1 → 1 solution dans \( [0\,;1] \).

Sur \( [1\,;+\infty[ \) : \( f \) croissante de −1 à \( +\infty \) → 1 solution dans \( [1\,;2] \).

Encadrements : \( \alpha_1 \in ]-2\,;-1[ \), \( \alpha_2 \in ]0\,;1[ \), \( \alpha_3 \in ]1\,;2[ \).

Exercice 8

Montrer que l'équation \( \cos x - x = 0 \) admet une unique solution dans \( I = [0\,;\pi] \).

\( f(x) = \cos x - x \). \( f(0) = 1 > 0 \), \( f(\pi) = -1-\pi < 0 \).

\( f'(x) = -\sin x - 1 \leq 0 \) sur \( [0\,;\pi] \). Donc \( f \) strictement décroissante.

D'après le TVI, l'équation admet une unique solution dans \( [0\,;\pi] \).

Partie C – Fonction réciproque

Exercice 9

Soit \( f(x) = \dfrac{x-3}{x+2} \).

1. Montrer que \( f \) réalise une bijection de \( I = ]-2\,;+\infty[ \) sur un intervalle \( J \) à déterminer.

2. Déterminer \( f^{-1}(x) \).

1. \( f'(x) = \dfrac{5}{(x+2)^2} > 0 \), donc \( f \) strictement croissante sur \( I \). \( f(I) = \left]-1\,;+\infty\right[ \). Bijection de \( I \) sur \( J = ]-1\,;+\infty[ \).

2. \( y = \dfrac{x-3}{x+2} \Rightarrow x = \dfrac{3+2y}{1-y} \). Donc \( f^{-1}(x) = \dfrac{3+2x}{1-x} \) sur \( J \).

Exercice 10

Soit \( f(x) = 2x^2-x+1 \) sur \( I = \left[\dfrac{1}{4}\,;+\infty\right[ \).

1. Montrer que \( f \) réalise une bijection de \( I \) sur un intervalle \( J \).

2. Déterminer \( f^{-1}(x) \).

1. \( f'(x) = 4x-1 > 0 \) sur \( I \). \( f(I) = \left[\dfrac{7}{8}\,;+\infty\right[ \). Bijection de \( I \) sur \( J = \left[\dfrac{7}{8}\,;+\infty\right[ \).

2. \( 2y^2-y+1 = x \Rightarrow y = \dfrac{1+\sqrt{8x-7}}{4} \). Donc \( f^{-1}(x) = \dfrac{1+\sqrt{8x-7}}{4} \).

Exercice 11

Soit \( f(x) = x + \sqrt{x+1} \) sur \( I = [-1\,;+\infty[ \).

1. Montrer que \( f \) réalise une bijection de \( I \) sur un intervalle \( J \).

2. Vérifier que \( f^{-1}(1) = 0 \).

3. Déterminer \( f^{-1}(x) \).

1. \( f'(x) = 1 + \dfrac{1}{2\sqrt{x+1}} > 0 \), donc \( f \) strictement croissante. \( f(I) = [-1\,;+\infty[ \). Bijection de \( I \) sur \( J = [-1\,;+\infty[ \).

2. \( f(0) = 0 + \sqrt1 = 1 \). Donc \( f^{-1}(1) = 0 \).

3. \( y = x + \sqrt{x+1} \Rightarrow \sqrt{x+1} = y-x \Rightarrow x+1 = y^2-2xy+x^2 \Rightarrow x^2 - (2y+1)x + (y^2-1) = 0 \). On résout et on trouve \( f^{-1}(x) = \dfrac{2x+1 - \sqrt{4x+5}}{2} \).

Exercice 12

Soit \( f(x) = (x-3)^2 - 1 \) sur \( I = ]-\infty\,;3] \).

1. Montrer que \( f \) réalise une bijection de \( I \) sur un intervalle \( J \).

2. Déterminer \( f^{-1}(x) \).

1. \( f'(x) = 2(x-3) < 0 \) sur \( I \), donc \( f \) strictement décroissante. \( f(I) = [-1\,;+\infty[ \). Bijection de \( I \) sur \( J = [-1\,;+\infty[ \).

2. \( y = (x-3)^2 - 1 \Rightarrow (x-3)^2 = y+1 \Rightarrow x = 3 - \sqrt{y+1} \) (car \( x \leq 3 \)). Donc \( f^{-1}(x) = 3 - \sqrt{x+1} \) sur \( J \).

Partie D – Calcul de limites

Exercice 13

Calculer les limites suivantes :

1. \( \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \sqrt[3]{15x^3+7x+10} - \sqrt[3]{15x^3+1} \)

2. \( \displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{\sqrt[3]{x+1}-1} \)

3. \( \displaystyle\lim_{x \to 1} \dfrac{\sqrt[3]{x}-1}{x-1} \)

1. On pose \( A = \sqrt[3]{15x^3+7x+10} \), \( B = \sqrt[3]{15x^3+1} \). \[ A-B = \frac{A^3-B^3}{A^2+AB+B^2} = \frac{7x+9}{A^2+AB+B^2} \] \( A \sim \sqrt[3]{15}\,x \), \( B \sim \sqrt[3]{15}\,x \), donc \( A^2+AB+B^2 \sim 3\sqrt[3]{225}\,x^2 \). \[ \lim_{x \to +\infty} (A-B) = \lim_{x \to +\infty} \frac{7x}{3\sqrt[3]{225}\,x^2} = 0 \]

2. \( \sqrt[3]{x+1}-1 \sim \dfrac{x}{3} \) quand \( x \to 0 \), et \( \sin x \sim x \). Donc \( \dfrac{\sin x}{\sqrt[3]{x+1}-1} \sim \dfrac{x}{x/3} = 3 \).

3. \( \dfrac{\sqrt[3]{x}-1}{x-1} = \dfrac{\sqrt[3]{x}-1}{(\sqrt[3]{x})^3-1} = \dfrac{1}{(\sqrt[3]{x})^2+\sqrt[3]{x}+1} \to \dfrac{1}{3} \).

Exercice 14

Calculer : \[ \lim_{x \to 2} \frac{\sqrt[3]{4x}-2}{x-2} \]

On pose \( u = \sqrt[3]{4x} \), alors \( u^3 = 4x \) et \( u \to 2 \) quand \( x \to 2 \). \[ \frac{\sqrt[3]{4x}-2}{x-2} = \frac{u-2}{\frac{u^3}{4}-2} = \frac{4(u-2)}{u^3-8} = \frac{4(u-2)}{(u-2)(u^2+2u+4)} = \frac{4}{u^2+2u+4} \to \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \]

Exercice 15

Calculer les limites suivantes :

1. \( \displaystyle\lim_{x \to -\infty} \left( \sqrt{9x^2+x+1} + 3x \right) \)

2. \( \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left( \sqrt{x^2+x+1} - x \right) \)

1. On multiplie par le conjugué : \[ \sqrt{9x^2+x+1} + 3x = \frac{(9x^2+x+1) - 9x^2}{\sqrt{9x^2+x+1} - 3x} = \frac{x+1}{\sqrt{9x^2+x+1} - 3x} \] Or \( \sqrt{9x^2+x+1} = |x|\sqrt{9+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}} = -x\sqrt{9+\cdots} \) (car \( x < 0 \)). \[ \lim_{x \to -\infty} = \lim_{x \to -\infty} \frac{x}{-x(3+3)} = -\frac{1}{6} \]

2. \( \sqrt{x^2+x+1} - x = \dfrac{x+1}{\sqrt{x^2+x+1}+x} \to \dfrac{x}{2x} = \dfrac12 \).

QCM – Testez vos connaissances

Question 1. La fonction \( f \) est continue en \( x_0 \) si et seulement si :

A. \( f \) est définie en \( x_0 \)
B. \( \lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0) \)
C. \( f \) est dérivable en \( x_0 \)
D. \( f(x_0) = 0 \)

Réponse : B

Question 2. Si \( f \) continue et strictement croissante sur \( [a\,;b] \), alors \( f([a\,;b]) \) est :

A. \( [f(b)\,;f(a)] \)
B. \( [f(a)\,;f(b)] \)
C. \( ]f(a)\,;f(b)[ \)
D. \( \mathbb{R} \)

Réponse : B

Question 3. Si \( f(a) \times f(b) < 0 \) et \( f \) continue sur \( [a\,;b] \), alors \( f(x)=0 \) admet :

A. Aucune solution
B. Au moins une solution dans \( ]a\,;b[ \)
C. Exactement une solution
D. Une infinité de solutions

Réponse : B

Question 4. Si \( f \) est continue et strictement monotone sur \( I \), alors :

A. \( f \) n'admet pas de fonction réciproque
B. \( f \) admet une fonction réciproque sur \( f(I) \)
C. \( f \) est constante sur \( I \)
D. \( f(I) \) n'est pas un intervalle

Réponse : B

Question 5. \( \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \sqrt{x^2+x+1} - x \) vaut :

A. \( 0 \)
B. \( \dfrac12 \)
C. \( 1 \)
D. \( +\infty \)

Réponse : B — Voir Exercice 15.

Tableau récapitulatif

Partie	Notion clé	Résultat principal
A (1–4)	Continuité en un point	\( \lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0) \)
B (5–8)	Théorème des valeurs intermédiaires	\( f(a) \times f(b) < 0 \Rightarrow \exists c : f(c)=0 \)
C (9–12)	Fonction réciproque	\( f \) continue + strict. monotone \( \Rightarrow f^{-1} \)
D (13–15)	Calcul de limites	Conjugué, factorisation, équivalents

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