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Continuité et fonction réciproque

Note de cours n°8 – 2ème Bac Sciences Physiques

La continuité est une propriété essentielle des fonctions numériques. Elle permet d’étudier les variations, de déterminer des images d’intervalles et de résoudre des équations.

Dans ce cours, vous allez découvrir la continuité en un point, à droite et à gauche, sur un intervalle. Vous étudierez ensuite le théorème des valeurs intermédiaires, les opérations sur les fonctions continues, la fonction réciproque et la fonction racine n-ième.

Contenu du programme

• Continuité en un point
• Continuité à droite et à gauche
• Continuité sur un intervalle (cas d’une fonction polynomiale, rationnelle, trigonométrique et de la fonction \( x \mapsto \sqrt{x} \))
• Image d’un segment ou d’un intervalle par une fonction continue et par une fonction continue strictement monotone
• Théorème des valeurs intermédiaires (cas d’une fonction continue strictement monotone)
• Fonction réciproque d’une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle

I. Continuité en un point

Définition

Soit \( f \) une fonction numérique définie sur un intervalle ouvert \( I \) et soit \( x_0 \) un élément de \( I \).

On dit que la fonction \( f \) est continue en \( x_0 \) si :

\[ \lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0) \]

Exemple 1

Soit \( f \) définie par : \[ f(x) = \frac{x^3 - 1}{x - 1} \quad (x \neq 1) \quad \text{et} \quad f(1) = 4 \] Étudier la continuité de \( f \) en \( x_0 = 1 \).

On sait que \( a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2) \).

\[ \lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x^2 + x + 1)}{x-1} = \lim_{x \to 1} (x^2 + x + 1) = 3 \]

Or \( f(1) = 4 \). Donc \( \lim_{x \to 1} f(x) \neq f(1) \). La fonction \( f \) n’est pas continue en \( x_0 = 1 \).

Exemple 2

Soit \( f \) définie par : \[ f(x) = \frac{x^3 - 8}{x - 2} \quad (x \neq 2) \quad \text{et} \quad f(2) = 12 \] Étudier la continuité de \( f \) en \( x_0 = 2 \).

\[ \lim_{x \to 2} f(x) = \lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x^2 + 2x + 4)}{x-2} = \lim_{x \to 2} (x^2 + 2x + 4) = 12 = f(2) \]

Donc \( f \) est continue en \( x_0 = 2 \).

II. Continuité à droite et à gauche

Définition

• On dit que \( f \) est continue à droite en \( x_0 \) si :

\[ \lim_{x \to x_0^+} f(x) = f(x_0) \]

• On dit que \( f \) est continue à gauche en \( x_0 \) si :

\[ \lim_{x \to x_0^-} f(x) = f(x_0) \]

Propriété

La fonction \( f \) est continue en \( x_0 \) si et seulement si elle est continue à droite et à gauche en \( x_0 \).

Activité

Soit \( f \) définie par : \[ f(x) = \frac{x^2}{|x|} \quad (x \neq 0) \quad \text{et} \quad f(0) = 0 \]

1. Écrire \( f(x) \) sans la valeur absolue.

2. Calculer \( \lim_{x \to 0^+} f(x) \) et \( \lim_{x \to 0^-} f(x) \).

3. Que peut-on conclure ?

1. \( f(x) = x \) si \( x > 0 \) et \( f(x) = -x \) si \( x < 0 \).

2. \( \lim_{x \to 0^+} f(x) = 0 = f(0) \) et \( \lim_{x \to 0^-} f(x) = 0 = f(0) \).

3. \( f \) est continue à droite et à gauche en 0, donc \( f \) est continue en 0.

III. Continuité sur un intervalle

Définition

On dit que \( f \) est continue sur un intervalle \( I \) si elle est continue en tout point de \( I \).

Résultats importants

• Toute fonction polynomiale est continue sur \( \mathbb{R} \).
• Toute fonction rationnelle est continue sur son ensemble de définition.
• Les fonctions \( \sin \), \( \cos \) et \( \tan \) sont continues sur leur ensemble de définition.
• La fonction \( x \mapsto \sqrt{x} \) est continue sur \( [0\,;+\infty[ \).

Exemple

Étudier la continuité des fonctions suivantes sur leur ensemble de définition :

\( f(x) = x^4 - 6x + 9 \)

\( g(x) = \frac{6x^5 - 7x}{x - 3} \)

\( h(x) = \sin x + 2\cos x \)

\( f \) est une fonction polynomiale, donc continue sur \( \mathbb{R} \).

\( g \) est une fonction rationnelle. Son ensemble de définition est \( D_g = \mathbb{R} \setminus \{3\} \). Elle est continue sur \( D_g \).

\( h \) est la somme de deux fonctions trigonométriques continues sur \( \mathbb{R} \), donc \( h \) est continue sur \( \mathbb{R} \).

IV. Image d’un segment ou d’un intervalle

Propriété générale

• L’image d’un segment par une fonction continue est un segment.
• L’image d’un intervalle par une fonction continue est un intervalle.

Cas d’une fonction continue et strictement monotone

• Si \( f \) est continue et strictement croissante sur \( [a\,;b] \) :

\[ f([a\,;b]) = [f(a)\,;f(b)] \]

• Si \( f \) est continue et strictement décroissante sur \( [a\,;b] \) :

\[ f([a\,;b]) = [f(b)\,;f(a)] \]

Exemples

1. \( f(x) = 5x - 1 \) et \( I = [-2\,;3] \).
\( f \) est strictement croissante sur \( \mathbb{R} \), donc \( f(I) = [f(-2)\,;f(3)] = [-11\,;14] \).

2. \( f(x) = x^2 \) et \( I = [-5\,;-3] \).
\( f \) est strictement décroissante sur \( I \), donc \( f(I) = [f(-3)\,;f(-5)] = [9\,;25] \).

3. \( f(x) = \dfrac{1}{x-1} \) et \( I = [-3\,;-1] \).
\( f \) est strictement décroissante sur \( I \), donc \( f(I) = [f(-1)\,;f(-3)] = \left[-\frac12\,;-\frac14\right] \).

V. Théorème des valeurs intermédiaires

Théorème

Soit \( f \) une fonction continue sur un intervalle \( I \), et soient \( a \) et \( b \) deux éléments de \( I \).

Pour tout nombre réel \( k \) compris entre \( f(a) \) et \( f(b) \), il existe au moins un élément \( c \) compris entre \( a \) et \( b \) tel que \( f(c) = k \).

Corollaire

Si \( f \) est continue sur \( [a\,;b] \) et si \( f(a) \times f(b) < 0 \), alors l’équation \( f(x) = 0 \) admet au moins une solution dans \( ]a\,;b[ \).

\[ f(a) \times f(b) < 0 \quad \Longrightarrow \quad \exists\, c \in\, ]a\,;b[ \ : \ f(c) = 0 \]

Remarque

Si la fonction est continue et strictement monotone, alors la solution est unique.

Exemple

Montrer que l’équation \( x^4 + x^2 + 4x - 1 = 0 \) admet au moins une solution dans \( [0\,;1] \).

Posons \( f(x) = x^4 + x^2 + 4x - 1 \). \( f \) est polynomiale, donc continue sur \( [0\,;1] \).

\( f(0) = -1 \) et \( f(1) = 5 \), donc \( f(0) \times f(1) < 0 \).

D’après le théorème des valeurs intermédiaires, l’équation admet au moins une solution dans \( [0\,;1] \).

VI. Opérations sur les fonctions continues

Propriétés

Soient \( f \) et \( g \) deux fonctions continues sur un intervalle \( I \), et soit \( k \) un nombre réel. Alors :

\[ f + g \quad ; \quad f - g \quad ; \quad f \times g \quad ; \quad k \times f \quad ; \quad \frac{f}{g} \ (g \neq 0) \]

sont continues sur \( I \).

Composition

Si \( f \) est continue sur \( I \) et si \( g \) est continue sur \( J \) avec \( f(I) \subset J \), alors \( g \circ f \) est continue sur \( I \).

Exemple

\( h(x) = x^3 - x + 1 + \sin x \)

\( h(x) = \sin(x^3 - x + 1) \)

Étudier la continuité de \( h \) sur \( \mathbb{R} \).

\( h \) est la somme d’une fonction polynomiale et de \( \sin x \), toutes deux continues sur \( \mathbb{R} \). Donc \( h \) est continue sur \( \mathbb{R} \).

\( h = g \circ f \) avec \( f(x) = x^3 - x + 1 \) et \( g(x) = \sin x \). Ces deux fonctions sont continues sur \( \mathbb{R} \), donc \( h \) est continue sur \( \mathbb{R} \).

VII. Fonction réciproque

Propriété

Si \( f \) est continue et strictement monotone sur un intervalle \( I \), alors elle admet une fonction réciproque \( f^{-1} \) définie sur \( J = f(I) \).

Pour tout \( x \in J \) et tout \( y \in I \) :

\[ y = f^{-1}(x) \iff f(y) = x \]

La courbe de \( f^{-1} \) est la symétrique de la courbe de \( f \) par rapport à la droite \( y = x \).

Exemple

Soit \( f(x) = \dfrac{3x+2}{x+1} \) définie sur \( I = ]-1\,;+\infty[ \).

1. Étudier les variations de \( f \).
2. Montrer que \( f \) admet une fonction réciproque \( f^{-1} \) sur \( J = f(I) \).
3. Déterminer \( f^{-1}(x) \).

1. \( f'(x) = \dfrac{3(x+1) - (3x+2)}{(x+1)^2} = \dfrac{1}{(x+1)^2} > 0 \). Donc \( f \) est strictement croissante sur \( I \).

2. \( f \) est continue et strictement croissante sur \( I \), donc elle admet une fonction réciproque définie sur \( J = f(I) = \left]\dfrac12\,;+\infty\right[ \).

3. On résout \( y = \dfrac{3x+2}{x+1} \) d’inconnue \( x \) : \[ y(x+1) = 3x+2 \iff yx + y = 3x + 2 \iff x(y-3) = 2-y \iff x = \frac{2-y}{y-3} \] Donc \( f^{-1}(x) = \dfrac{2-x}{x-3} \) pour \( x \in J \).

Les courbes de \( f \) et de \( f^{-1} \) sont symétriques par rapport à la droite \( y = x \).

VIII. Fonction racine n-ième et exposant rationnel

Fonction racine n-ième

Soit \( n \) un entier naturel non nul. La fonction \( f : x \mapsto x^n \) est continue et strictement croissante sur \( [0\,;+\infty[ \), et \( f(0) = 0 \), \( \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty \).

Elle admet donc une fonction réciproque appelée fonction racine n-ième, notée \( \sqrt[n]{x} \).

\[ y = \sqrt[n]{x} \iff x = y^n \quad \text{avec} \quad y \geq 0 \]

Propriétés

Pour \( x, y \in \mathbb{R}^+ \), \( n, m \in \mathbb{N}^* \) :

• \( \sqrt[n]{x} = y \iff x = y^n \)
• \( x \geq y \iff \sqrt[n]{x} \geq \sqrt[n]{y} \)
• \( (\sqrt[n]{x})^n = x \)
• \( \sqrt[n]{x \times y} = \sqrt[n]{x} \times \sqrt[n]{y} \)
• \( \sqrt[n]{\dfrac{x}{y}} = \dfrac{\sqrt[n]{x}}{\sqrt[n]{y}} \)
• \( \sqrt[n]{x^m} = (\sqrt[n]{x})^m \)

Exposant rationnel

Pour \( x \in \mathbb{R}^+ \) et \( r = \dfrac{m}{n} \in \mathbb{Q} \) avec \( m \in \mathbb{Z} \) et \( n \in \mathbb{N}^* \), on pose :

\[ x^r = x^{m/n} = \sqrt[n]{x^m} \]

Les propriétés algébriques des puissances restent valables pour les exposants rationnels.

Exercices corrigés

Exercice 1

Soit \( f \) la fonction définie par : \[ f(x) = \frac{x^3 - 1}{x - 1} \quad (x \neq 1) \quad \text{et} \quad f(1) = 4 \] Étudier la continuité de \( f \) en \( x_0 = 1 \).

\[ \lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x^2+x+1)}{x-1} = \lim_{x \to 1} (x^2+x+1) = 3 \neq f(1) = 4 \]

Donc \( f \) n’est pas continue en \( x_0 = 1 \).

Exercice 2

Soit \( f \) définie par : \[ f(x) = \frac{x^2}{|x|} \quad (x \neq 0) \quad \text{et} \quad f(0) = 0 \] Étudier la continuité de \( f \) en \( x_0 = 0 \).

Pour \( x > 0 \), \( f(x) = x \) ; pour \( x < 0 \), \( f(x) = -x \).

\( \lim_{x \to 0^+} f(x) = 0 = f(0) \) et \( \lim_{x \to 0^-} f(x) = 0 = f(0) \).

Donc \( f \) est continue à droite et à gauche en 0, donc continue en 0.

Exercice 3

Déterminer l’image des intervalles par les fonctions suivantes :

1. \( f(x) = 5x - 1 \) et \( I = [-2\,;3] \)

2. \( f(x) = x^2 \) et \( I = [-5\,;-3] \)

3. \( f(x) = \dfrac{1}{x-1} \) et \( I = [-3\,;-1] \)

1. \( f \) croissante, donc \( f(I) = [f(-2)\,;f(3)] = [-11\,;14] \).

2. \( f \) décroissante sur \( I \), donc \( f(I) = [f(-3)\,;f(-5)] = [9\,;25] \).

3. \( f \) décroissante sur \( I \), donc \( f(I) = [f(-1)\,;f(-3)] = \left[-\frac12\,;-\frac14\right] \).

Exercice 4

Montrer que l’équation \( x^4 + x^2 + 4x - 1 = 0 \) admet au moins une solution dans \( [0\,;1] \).

Posons \( f(x) = x^4 + x^2 + 4x - 1 \). \( f \) est continue sur \( [0\,;1] \).

\( f(0) = -1 \) et \( f(1) = 5 \), donc \( f(0) \times f(1) < 0 \).

D’après le TVI, l’équation admet au moins une solution dans \( [0\,;1] \).

Exercice 5

Soit \( f(x) = \dfrac{3x+2}{x+1} \) définie sur \( I = ]-1\,;+\infty[ \).

1. Étudier les variations de \( f \).

2. Montrer que \( f \) admet une fonction réciproque \( f^{-1} \) sur \( J = f(I) \).

3. Déterminer \( f^{-1}(x) \).

1. \( f'(x) = \dfrac{1}{(x+1)^2} > 0 \), donc \( f \) est strictement croissante sur \( I \).

2. \( f \) est continue et strictement croissante sur \( I \), donc elle admet une réciproque définie sur \( J = \left]\dfrac12\,;+\infty\right[ \).

3. \( f^{-1}(x) = \dfrac{2-x}{x-3} \) pour \( x \in J \).

QCM – Testez vos connaissances

Question 1. La fonction \( f \) est continue en \( x_0 \) si et seulement si :

A. \( f \) est définie en \( x_0 \)
B. \( \lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0) \)
C. \( f \) est dérivable en \( x_0 \)
D. \( f(x_0) = 0 \)

Réponse : B — C’est la définition de la continuité en un point.

Question 2. Si \( f \) est continue à droite et à gauche en \( x_0 \), alors :

A. \( f \) est continue en \( x_0 \)
B. \( f \) est discontinue en \( x_0 \)
C. \( f \) n’est pas définie en \( x_0 \)
D. On ne peut rien conclure

Réponse : A — La continuité à droite et à gauche équivaut à la continuité.

Question 3. Soit \( f(x) = x^2 \) sur \( I = [-5\,;-3] \). Alors \( f(I) \) est égal à :

A. \( [-25\,;-9] \)
B. \( [9\,;25] \)
C. \( [25\,;9] \)
D. \( [-9\,;25] \)

Réponse : B — \( f \) décroissante, donc \( f(I) = [f(-3)\,;f(-5)] = [9\,;25] \).

Question 4. Si \( f \) est continue sur \( [a\,;b] \) et \( f(a) \times f(b) < 0 \), alors :

A. L’équation \( f(x) = 0 \) n’a pas de solution
B. L’équation \( f(x) = 0 \) admet au moins une solution dans \( ]a\,;b[ \)
C. L’équation \( f(x) = 0 \) admet exactement deux solutions
D. \( f \) n’est pas continue sur \( [a\,;b] \)

Réponse : B — C’est le corollaire du TVI.

Question 5. Si \( f \) est continue et strictement monotone sur \( I \), alors :

A. \( f \) n’admet pas de fonction réciproque
B. \( f \) admet une fonction réciproque sur \( f(I) \)
C. \( f \) est constante sur \( I \)
D. \( f(I) \) n’est pas un intervalle

Réponse : B — Toute fonction continue et strictement monotone admet une réciproque définie sur \( f(I) \).

Tableau récapitulatif

Notion	Condition	Résultat / Exemple
Continuité en un point	\( \lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0) \)	\( f \) est continue en \( x_0 \)
Continuité à droite / gauche	\( \lim_{x \to x_0^+} f(x) = f(x_0) \) et \( \lim_{x \to x_0^-} f(x) = f(x_0) \)	Équivaut à la continuité en \( x_0 \)
Continuité sur un intervalle	\( f \) continue en tout point de \( I \)	Polynômes, rationnelles, trigonométriques, \( \sqrt{x} \)
Image d’un segment	\( f \) continue et strictement monotone sur \( [a\,;b] \)	\( f([a\,;b]) = [f(a)\,;f(b)] \) ou \( [f(b)\,;f(a)] \)
Théorème des valeurs intermédiaires	\( f \) continue sur \( I \), \( k \) entre \( f(a) \) et \( f(b) \)	\( \exists\, c \in\, ]a\,;b[ \ : \ f(c) = k \)
Existence du zéro	\( f \) continue sur \( [a\,;b] \) et \( f(a) \times f(b) < 0 \)	\( \exists\, c \in\, ]a\,;b[ \ : \ f(c) = 0 \)
Fonction réciproque	\( f \) continue et strictement monotone sur \( I \)	\( f^{-1} \) définie sur \( f(I) \) ; courbes symétriques par rapport à \( y = x \)

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