Résumé de Mathématiques : Fiche méthodes — Étude de fonctions (2e BAC SM)

 

Résumé de Mathématiques : Fiche méthodes — Étude de fonctions (2e BAC SM)

Niveau	2e année du baccalauréat
Filière	Sciences Mathématiques (SM)
Matière	Mathématiques
Chapitre	Étude des fonctions
Type	Fiche méthodes / Résumé
Programme	Programme officiel marocain

Mathématiques · 2BAC SM · Fiche méthodes

Étude de fonctions

La méthode complète en 8 étapes pour maîtriser les asymptotes, les points critiques et tracer n'importe quelle courbe avec précision.

Voir la fiche Questions fréquentes

8Étapes de la méthode

2Types d'asymptotes

SMFilière

Table des matières

Chaîne WhatsApp — Cours, exercices et rappels

Recevez chaque nouveau cours, des fiches de révision et des rappels de dates d'examen directement sur WhatsApp.

Rejoindre la chaîne WhatsApp

À propos de cette fiche : Cette fiche méthode vous donne les clés pour réussir l'étude complète d'une fonction. Elle commence par un rappel clair sur les asymptotes verticales et affines (obliques). Elle propose ensuite une méthode structurée en 8 étapes (ensemble de définition, parité, signe, asymptotes, dérivée, concavité, tracé) illustrée par un exemple complet détaillé pas à pas avec la fonction f(x) = x³ / (x-1)². Enfin, elle inclut des exercices d'application (fonctions rationnelles, problèmes concrets) et une check-list de ce qu'il faut absolument savoir.

Illustration de la fiche

Fiche méthodes : Étude de fonctions

Mathématiques · 2e BAC SM

L'essentiel de la méthode

2BAC-SM-MATH-C02

1. Asymptotes

Asymptote verticale

La droite \(x = a\) est dite asymptote verticale (A.V.) de la fonction \(f\) si l'une au moins des conditions suivantes est vérifiée :

\(\lim_{\substack{x \to a \\ x < a}} f(x) = +\infty \text{ (ou } -\infty \text{)}\) ou \(\lim_{\substack{x \to a \\ x > a}} f(x) = +\infty \text{ (ou } -\infty \text{)}\)

Une A.V. ne peut exister que si la fonction \(f\) n'est pas définie en \(x = a\).

Asymptote affine

La droite d'équation \(y = mx + h\) est une asymptote affine (A.A.) de la courbe représentative de la fonction \(f\) si \(\lim_{x \to \pm\infty} [f(x) - (mx + h)] = 0\) (propriété analogue en \(-\infty\)).

Les valeurs de \(m\) et \(h\) sont calculées avec les formules suivantes :

\(m = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x}\) et \(h = \lim_{x \to \pm\infty} [f(x) - mx]\) (idem en \(-\infty\)).

Remarques

Si \(m = 0\), l'asymptote est horizontale.

Si \(m\) tend vers l'infini, alors il n'y a pas d'asymptote affine. Inutile donc d'essayer de calculer \(h\). C'est en particulier le cas avec des fonctions exponentielles ou la fonction \(\arctan(x)\).

Attention ! L'asymptote affine n'est pas forcément la même en \(+\infty\) et en \(-\infty\). Il faut donc étudier les deux cas.

Ci-dessous, le graphe de la fonction \(f(x) = \frac{x^3}{x^2 - 4}\), qui possède deux asymptotes verticales (en bleu) et une asymptote affine (en vert). Remarquez que la fonction n'est pas définie en \(x = -2\) et \(x = 2\).

Cinq exemples un peu particuliers

Fonction	Particularité
\(f(x) = \frac{x}{x^2+1}\)	une asymptote horizontale : \(y=0\). la courbe coupe l'asymptote.
\(f(x) = \frac{\sin(x)}{x}\)	une asymptote horizontale : \(y=0\). elle est coupée une infinité de fois par la fonction. il y a un trou en \(x=0\).
\(f(x) = \arctan(x)\)	vers \(+\infty\), une asymptote horizontale : \(y=\frac{\pi}{2}\). vers \(-\infty\), une autre asymptote horizontale : \(y=-\frac{\pi}{2}\).
\(f(x) = -e^{-2x} + e^{-x}\)	une asymptote horizontale vers \(+\infty\), mais pas d'asymptote vers \(-\infty\).
\(f(x) = \begin{cases} x & \text{si } x \leq 0 \\ \frac{1}{x} & \text{si } x > 0 \end{cases}\)	une asymptote verticale en \(x=0\). Pourtant la fonction est définie en \(x=0\)...

2. Méthode

L'étude d'une fonction \(f\) comprend huit étapes. Vous trouverez au § 5.3 un exemple qui vous servira d'aide-mémoire.

Étape	Action
1. Ensemble de définition	Déterminer le domaine \(D\) où la fonction \(f(x)\) est définie.
2. Parité	Voir si la fonction est paire, impaire, périodique ou rien du tout. Cela permet, si la fonction est « agréable », de gagner du temps par la suite. La fonction \(f\) est paire si \(f(x) = f(-x)\), et impaire si \(f(x) = -f(-x)\), \(\forall x\).
3. Signe de la fonction	Chercher les zéros, puis faire un tableau pour voir où la fonction est négative, positive ou nulle.
4. Asymptotes verticales, trous	Calculer la ou les asymptotes verticales et trouver les éventuels trous.
5. Asymptotes affines	Calculer la ou les asymptotes affines et, si demandé, trouver le positionnement de la courbe par rapport à ces asymptotes.
6. Croissance et points critiques	Un point \(c\) de l'ensemble de définition est un point critique si \(f'(c) = 0\) ou si \(f'(c)\) n'existe pas. Calculer la dérivée et chercher ses zéros. Faire un tableau pour voir comment la fonction croit. Identifier les minima, les maxima et les points d'inflexion à tangente horizontale.
7. Concavité et points d'inflexion	Chercher la concavité de la fonction et les points d'inflexion. Pour cela, calculer la dérivée seconde si elle n'est pas trop compliquée (cette méthode est la seule qui garantit de trouver tous les points d'inflexion). Faire un tableau. Calculer les pentes des tangentes aux points d'inflexion.
8. Représentation graphique	Dessiner la courbe en utilisant les renseignements glanés aux étapes 1 à 7. Faire un grand dessin où l'on représente le graphe de la fonction, les asymptotes et les points particuliers.

3. Un exemple complet

Étudions la fonction \(f(x) = \frac{x^3}{(x-1)^2}\).

1. Ensemble de définition

L'ensemble de définition de \(f\) est \(D = \mathbb{R} \setminus \{1\}\).

2. Parité

\(f\) est paire si \(f(x) = f(-x)\). Est-ce le cas ?

\(f(-x) = \frac{(-x)^3}{(-x-1)^2} = \frac{-x^3}{(x+1)^2} \neq f(x)\). \(f\) n'est donc pas paire.

\(f\) est impaire si \(f(x) = -f(-x)\). Est-ce le cas ?

\(-f(-x) = -\left(\frac{-x^3}{(x+1)^2}\right) = \frac{x^3}{(x+1)^2} \neq f(x)\). \(f\) n'est donc pas impaire.

En fait, puisque le domaine de définition \(D\) n'est pas symétrique, il est évident que la fonction ne peut être ni paire, ni impaire.

3. Signe de la fonction

Cherchons d'abord le(s) zéro(s) de \(f\) :

\(f(x) = 0 \Rightarrow \frac{x^3}{(x-1)^2} = 0 \Rightarrow x^3 = 0 \Rightarrow x = 0\).

Le signe de la fonction est donné par le tableau suivant :

\(x\)	\(<0 td="">	\(0\)	\(]0 ; 1[\)	\(1\)	\(>1\)
\(x^3\)	\(-\)	\(0\)	\(+\)		\(+\)
\((x-1)^2\)	\(+\)	\(+\)	\(+\)		\(+\)
\(f(x)\)	\(-\)	\(0\)	\(+\)		\(+\)

4. Asymptotes verticales (A.V.), trous

Les asymptotes verticales, s'il y en a, se trouvent aux abscisses trouvées à l'étape 1. Il s'agit de vérifier que ce sont bien des asymptotes verticales et non pas des trous.

\(\lim_{\substack{x \to 1 \\ x < 1}} f(x) = +\infty\) et \(\lim_{\substack{x \to 1 \\ x > 1}} f(x) = +\infty\).

Si on avait un trou, on trouverait que la limite à gauche est égale à la limite à droite et que ces limites seraient égales à un nombre.

5. Asymptotes affines (A.A.)

Une asymptote affine est de la forme \(y = mx + h\). On va analyser ce qui se passe en \(-\infty\) et en \(+\infty\).

Du côté de \(+\infty\) :

\(m = \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2}{(x-1)^2} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2}{x^2 - 2x + 1} = 1\)

\(h = \lim_{x \to +\infty} [f(x) - mx] = \lim_{x \to +\infty} \left( \frac{x^3}{(x-1)^2} - x \right) = \lim_{x \to +\infty} \frac{2x^2 - x}{x^2 - 2x + 1} = 2\)

Du côté de \(+\infty\), l'A.A. est donc \(y = x + 2\).

Du côté de \(-\infty\) : Idem que pour \(+\infty\) (le signe ne change rien).

6. Croissance et points critiques

\(f'(x) = \frac{x^2(x-3)}{(x-1)^3}\) s'annule en \(0\) et \(3\).

Les points du graphe dont les abscisses sont des points critiques de \(f\) sont donc \((0 ; 0)\) et \((3 ; \frac{27}{4})\).

La croissance de \(f\) est donnée par le tableau suivant :

\(x\)		\(0\)		\(1\)		\(3\)
\(f'(x)\)	\(+\)	\(0\)	\(+\)		\(-\)	\(0\)	\(+\)
\(f(x)\)	\(\nearrow\)	\(0\)	\(\nearrow\)		\(\searrow\)	\(\frac{27}{4}\)	\(\nearrow\)

pt. d'infi. à tg. hor. / minimum

7. Concavité et points d'inflexion

\(f''(x) = \frac{6x}{(x-1)^4}\) s'annule en \(0\).

La concavité de \(f\) est donnée par le tableau suivant :

\(x\)		\(0\)		\(1\)
\(f''(x)\)	\(-\)	\(0\)	\(+\)		\(+\)
\(f(x)\)	\(\frown\)	\(0\)	\(\smile\)		\(\smile\)

pt. d'infi.

Il y a un seul point d'inflexion en \((0 ; 0)\).

Calcul de la pente de la tangente au point d'inflexion :

\(m = f'(0) = \frac{0^2(0-3)}{(0-1)^3} = \frac{0}{-1} = 0\).

(on savait déjà d'après l'étape 6 que c'était un point d'inflexion à tangente horizontale).

8. Représentation graphique

On trace d'abord les asymptotes trouvées aux étapes 4 et 5.

On place ensuite tous les points que l'on a trouvés aux étapes 3, 6 et 7.

On trace enfin la courbe d'après les indices récoltés aux étapes 2, 3, 6 et 7. Les tableaux en particulier sont d'une aide très précieuse.

Il est conseillé de calculer d'autres points de la fonction et de les reporter sur le dessin.

Remarque

Plutôt que de faire ce graphique à la fin de l'étude, on peut aussi le dessiner au fur et à mesure des étapes.

Exercice 1

Étudiez les fonctions suivantes selon l'exemple du § 5.3. Vous trouverez des corrigés sur le site de ce cours.

Fonctions rationnelles

1. \(f(x) = \frac{-3x + 4}{2x + 3}\)
2. \(f(x) = \frac{x^2 - 4x - 5}{2(x^2 - 4x + 3)}\)
   aide : \(f''(x) = \frac{-8(3x^2 - 12x + 13)}{(x^2 - 4x + 3)^3}\)
3. \(f(x) = \frac{x(x-3)^2}{(x-2)^2}\)
   aide : \(f''(x) = \frac{6(4-x)}{(x-2)^4}\)
4. \(f(x) = \frac{x^3 + x^2 - 2}{x^2 - 1}\)

Autres types de fonctions

5. a. \(f(x) = \sqrt{1 - x^2}\)
   b. \(f(x) = \sqrt{1 + x^2}\)
6. \(f(x) = e^{-\frac{x^2}{2}}\)
7. \(f(x) = (2x^2 + 2x - 1) \cdot e^{-2x}\)
8. \(f(x) = \frac{\ln(x^2) + 1}{2x}\)
9. \(f(x) = (e^x - 5)(e^x + 1)\)

Exercice 2

En photographie, la profondeur de champ correspond à la zone de l'espace dans laquelle doit se trouver le sujet à photographier pour en obtenir une image que l'œil considérera nette.

En optique, pour que la netteté s'étende de la distance \(a\) à la distance \(r\), la mise au point doit être faite à la distance \(p = \frac{2ar}{a+r}\) (les distances sont exprimées en mètres).

1. À quelle distance doit être faite la mise au point pour photographier un sujet dont les éléments intéressants sont à une distance comprise entre 1.5 m et 3 m ?
2. On souhaite désormais que les sujets soient nets à partir d'une distance de 5 m. Démontrez que pour \(a > 5\), \(p = 10 - \frac{50}{5 + r}\).
3. Étudiez la fonction \(p\) du point b et dessinez son graphe.
4. On souhaite que la netteté s'étende de « 5 m à l'infini ». Quelle distance de mise au point doit-on choisir ?

5.4. Ce qu'il faut absolument savoir

• Trouver les asymptotes d'une fonction → ok
• Connaître et maîtriser les huit étapes de la méthode par cœur → ok

Questions fréquentes

Comment trouver une asymptote affine (oblique) ?

On calcule d'abord la limite de \(f(x)/x\) en \(\pm\infty\). Si cette limite est un réel fini \(m\) (avec \(m \neq 0\)), on calcule ensuite la limite de \(f(x) - mx\). Si cette deuxième limite est un réel fini \(h\), alors la droite \(y = mx + h\) est une asymptote affine.

Pourquoi calculer la dérivée seconde ?

La dérivée seconde permet d'étudier la convexité de la courbe (concave ou convexe) et de trouver les points d'inflexion, c'est-à-dire les points où la courbe change de concavité. C'est une étape cruciale pour un tracé précis.

Qu'est-ce qu'un point critique ?

Un point critique est un point de l'ensemble de définition où la dérivée s'annule (\(f'(c) = 0\)) ou n'existe pas. Ce sont ces points qui peuvent être des maxima, des minima ou des points d'inflexion à tangente horizontale.

Résumé final

L'étude d'une fonction est un exercice de synthèse qui mobilise toutes vos connaissances en analyse. La méthode en 8 étapes vous donne un cadre rigoureux pour ne rien oublier. Les asymptotes donnent le comportement à l'infini, les points critiques et la dérivée seconde permettent de comprendre la forme de la courbe. Enfin, la représentation graphique est la conclusion de cette étude, où tous les éléments doivent apparaître. Faites attention à bien vérifier les domaines de définition, et n'oubliez pas de placer les points trouvés avec leurs tangentes.

Version imprimable propre, sans publicité, avec toutes les formules visibles et le copyright.

© 2026 EduMaroc — Tous droits réservés. Reproduction interdite sans autorisation écrite.

Fiche préparée par Sif Elarab Ayyoub — EduMaroc

Source : edumaroc.org

Articles similaires