Résumé de Mathématiques : Dérivabilité et étude de fonctions — 2e BAC SM

 

Résumé de Mathématiques : Dérivabilité et étude de fonctions — 2e BAC SM

Niveau	2e année du baccalauréat
Filière	Sciences Mathématiques (SM)
Matière	Mathématiques
Chapitre	Dérivabilité et étude de fonctions
Type	Résumé de cours
Programme	Programme officiel marocain

Mathématiques · 2BAC SM · Résumé

Dérivabilité et étude de fonctions

L'essentiel du cours en formules et théorèmes : dérivabilité, primitives, branches infinies et symétries.

Voir le résumé Questions fréquentes

7Parties clés

2Théorèmes majeurs

SMFilière

Table des matières

Chaîne WhatsApp — Résumés, exercices et rappels

Recevez chaque nouveau résumé de cours, des fiches de révision et des rappels de dates d'examen directement sur WhatsApp.

Rejoindre la chaîne WhatsApp

À propos de ce résumé : Ce document condense l'essentiel du chapitre sur la dérivabilité et l'étude de fonctions. Il commence par les définitions formelles de la dérivabilité (en un point, à droite, à gauche) et les conséquences graphiques (tangentes, approximations affines). Il détaille ensuite les opérations sur les dérivées, les théorèmes fondamentaux (TAF, Rolle) et les primitives. Enfin, il aborde les branches infinies (asymptotes, branches paraboliques), la concavité, et les propriétés de parité et de symétrie pour faciliter le tracé des courbes.

Illustration du résumé

Résumé : Dérivabilité et étude de fonctions

Mathématiques · 2e BAC SM

L'essentiel du cours

2BAC-SM-MATH-C02

Plan du résumé

1. Dérivabilité en un point
2. Opérations sur les dérivées
3. TAF et Théorème de Rolle
4. Les Primitives
5. Les branches infinies
6. Concavité
7. Parité, symétrie, périodicité

1. Dérivabilité en un point et sur un intervalle

Définitions

Soient \(f\) une fonction numérique définie sur un intervalle ouvert \(I\) et \(a, b \in I\) tels que \(a < b\).

• On dit que \(f\) est dérivable au point \(a\) s'il existe un réel \(l\) tel que \(\lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} = l\). \(l\) s'appelle le nombre dérivé de \(f\) au point \(a\) et sera noté \(f'(a)\). On écrit : \(\lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} = f'(a)\).
• On dit que \(f\) est dérivable à droite au point \(a\) s'il existe un réel \(l\) tel que \(\lim_{x \to a^+} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} = l\). \(l\) s'appelle le nombre dérivé à droite de \(f\) au point \(a\) et sera noté \(f'_d(a)\).
• On dit que \(f\) est dérivable à gauche au point \(a\) s'il existe un réel \(l\) tel que \(\lim_{x \to a^-} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} = l\). \(l\) s'appelle le nombre dérivé à gauche \(f\) au point \(a\) et sera noté \(f'_g(a)\).
• On dit que \(f\) est dérivable sur \(I\) s'elle est dérivable en tout point de \(I\).
• On dit que \(f\) est dérivable sur \([a, b]\) s'elle est dérivable sur \(]a, b[\), dérivable à droite de \(a\) et dérivable à gauche de \(b\).

Proposition

\(f\) est dérivable au point \(a \iff \begin{cases} f \text{ est dérivable à droite de } a \\ f \text{ est dérivable à gauche de } a \\ f'_d(a) = f'_g(a) \end{cases}\)

Conséquences

• Si \(f\) est dérivable au point \(a\) alors \((C_f)\) admet une tangente d'équation \(y = f'(a)(x - a) + f(a)\) au point \((a, f(a))\).
• Si \(f\) est dérivable à droite au point \(a\) alors \((C_f)\) admet une demi-tangente d'équation \(\begin{cases} y = f'_d(a)(x - a) + f(a) \\ x \geq a \end{cases}\) au point \((a, f(a))\).
• Si \(f\) est dérivable à gauche au point \(a\) alors \((C_f)\) admet une demi-tangente d'équation \(\begin{cases} y = f'_g(a)(x - a) + f(a) \\ x \leq a \end{cases}\) au point \((a, f(a))\).
• Si \(f\) est dérivable au point \(a\), la fonction \(g\) définie par \(g(x) = f'(a)(x - a) + f(a)\) est une approximation affine de \(f\) au voisinage de \(a\) et on a : \(x \simeq a \implies f(x) \simeq g(x)\).

Exemple

\(f(x) = \sqrt{x}\), \(a = 1 \implies g(x) = \frac{x+1}{2}\)

\(1,01 \simeq 1 \implies f(1,01) \simeq g(1,01) \implies \sqrt{1,01} \simeq 1,005\)

Demi-tangente verticale

Si \(\lim_{x \to a^\pm} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} = \pm\infty\) alors \((C_f)\) admet une demi-tangente verticale d'équation \(x = a\).

2. Les opérations sur les fonctions dérivables

Proposition

Si \(f\) et \(g\) sont deux fonctions dérivables sur un intervalle \(I\) et \(\alpha \in \mathbb{R}\) alors :

• \(f + g\) est dérivable sur \(I\) et on a : \((f + g)' = f' + g'\).
• \(\alpha f\) est dérivable sur \(I\) et on a : \((\alpha f)' = \alpha f'\).
• Si de plus \(g \neq 0\) sur \(I\) alors \(\frac{1}{g}\) est dérivable sur \(I\) et on a : \(\left(\frac{1}{g}\right)' = -\frac{g'}{g^2}\).
• Si de plus \(g \neq 0\) sur \(I\) alors \(\frac{f}{g}\) est dérivable sur \(I\) et on a : \(\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - g'f}{g^2}\).

Composition

Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions dérivables sur \(I\) et \(J\) respectivement telles que \(f(I) \subset J\), alors \(f \circ g\) est dérivable et on a : \((f \circ g)' = g' \times (f' \circ g)\).

Réciproque

Soit \(f\) une fonction bijective et dérivable sur \(I\) telle que \(f(I) = J\) alors sa réciproque \(f^{-1}\) est dérivable sur \(J\) et on a :

\((\forall x \in J) : (f^{-1})'(x) = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}\)

Conséquences

• La fonction \(x \mapsto \sqrt[n]{x}\) est dérivable sur \(]0, +\infty[\) avec \(n \in \mathbb{N}^*\) et on a : \((\forall x \in ]0, +\infty[) : (\sqrt[n]{x})' = \frac{1}{n\sqrt[n]{x^{n-1}}}\).
• Si \(f > 0\) et dérivable sur \(I\) alors \(\sqrt[n]{f}\) est dérivable sur \(I\) avec \(n \in \mathbb{N}^*\) et on a : \((\sqrt[n]{f})' = \frac{f'}{n\sqrt[n]{f^{n-1}}}\).
• \(\arctan\) est une fonction dérivable sur \(\mathbb{R}\) et on : \((\forall x \in \mathbb{R}) : \arctan'(x) = \frac{1}{1 + \tan^2(\arctan(x))} = \frac{1}{1+x^2}\).
• Si \(f\) est dérivable sur \(I\) alors \(\arctan \circ f\) est dérivable sur \(I\) et on a : \((\arctan \circ f)' = \frac{f'}{1+f^2}\).
• Si \(f > 0\) et dérivable sur \(I\) alors \(f^r\) est dérivable sur \(I\) avec \(r \in \mathbb{Q}^*\) et on a : \((f^r)' = r f' f^{r-1}\).

3. Théorème d'accroissements finies (TAF) - Théorème de Rolle

Théorème (TAF)

Soient \(a\) et \(b\) deux réels tels que \(a < b\) et \(f\) une fonction définie sur \([a, b]\). On a :

\(\begin{cases} f \text{ est continue sur } [a,b] \\ f \text{ est dérivable sur } ]a,b[ \end{cases} \implies (\exists c \in ]a,b[) : f(b) - f(a) = (b-a)f'(c)\)

Théorème (Rolle)

Soient \(a\) et \(b\) deux réels tels que \(a < b\) et \(f\) une fonction définie sur \([a, b]\). On a :

\(\begin{cases} f \text{ est continue sur } [a,b] \\ f \text{ est dérivable sur } ]a,b[ \\ f(a) = f(b) \end{cases} \implies (\exists c \in ]a,b[) : f'(c) = 0\)

4. Les primitives d'une fonction

Définition

Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\). On appelle fonction primitive de \(f\) sur \(I\) toute fonction \(F\) dérivable sur \(I\) telle que \((\forall x \in I) : F'(x) = f(x)\).

Propriété 1

Soient \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\) et \(F\) une primitive de \(f\) sur \(I\). Les fonctions primitives de \(f\) sur \(I\) sont les fonctions définies sur \(I\) par \(x \mapsto F(x) + C\) où \(C\) est une constante réelle.

Propriété 2

Soient \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\), \(x_0 \in I\) et \(y_0 \in \mathbb{R}\). Si \(f\) admet une fonction primitive sur \(I\) alors il existe une unique primitive \(G\) de \(f\) sur \(I\) telle que \(G(x_0) = y_0\).

Propriété 3

Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions définies sur un intervalle \(I\) et \(k \in \mathbb{R}\). Si \(F\) et \(G\) sont deux fonctions primitives de \(f\) et \(g\) respectivement sur \(I\), alors \(F + kG\) est une primitive de \(f + kg\) sur \(I\).

Tableau des primitives des fonctions usuelles

la fonction \(f\)	les primitives de \(f\)	intervalle
\(x \mapsto k, k \in \mathbb{R}\)	\(x \mapsto kx + c, c \in \mathbb{R}\)	\(\mathbb{R}\)
\(x \mapsto x^n, n \in \mathbb{N}^*\)	\(x \mapsto \frac{x^{n+1}}{n+1} + c, c \in \mathbb{R}\)	\(\mathbb{R}\)
\(x \mapsto \frac{1}{x^2}\)	\(x \mapsto -\frac{1}{x} + c, c \in \mathbb{R}\)	\(\mathbb{R}^*\)
\(x \mapsto \frac{1}{x^n}, n \in \mathbb{N}^* \setminus \{1\}\)	\(x \mapsto -\frac{1}{n-1} \cdot \frac{1}{x^{n-1}} + c, c \in \mathbb{R}\)	\(\mathbb{R}^*\)
\(x \mapsto \frac{1}{\sqrt{x}}\)	\(x \mapsto 2\sqrt{x} + c, c \in \mathbb{R}\)	\(]0, +\infty[\)
\(x \mapsto x^r, r \in \mathbb{Q}^* \setminus \{-1\}\)	\(x \mapsto \frac{x^{r+1}}{r+1} + c, c \in \mathbb{R}\)	\(]0, +\infty[\)
\(x \mapsto \cos(x)\)	\(x \mapsto \sin(x) + c, c \in \mathbb{R}\)	\(\mathbb{R}\)
\(x \mapsto \sin(x)\)	\(x \mapsto -\cos(x) + c, c \in \mathbb{R}\)	\(\mathbb{R}\)
\(x \mapsto 1 + \tan^2(x) = \frac{1}{\cos^2(x)}\)	\(x \mapsto \tan(x) + c, c \in \mathbb{R}\)	\(\mathbb{R} \setminus \{\frac{\pi}{2} + k\pi ; k \in \mathbb{Z}\}\)
\(x \mapsto \frac{1}{1+x^2}\)	\(x \mapsto \arctan(x) + c, c \in \mathbb{R}\)	\(\mathbb{R}\)

Tableau des primitives et les opérations

la fonction \(f\) définie sur \(I\)	une primitive de \(f\) sur \(I\)	conditions
\(u' + v'\)	\(u + v\)
\(u'v + v'u\)	\(uv\)
\(\frac{u'v - v'u}{v^2}\)	\(\frac{u}{v}\)	\(v \neq 0 \text{ sur } I\)
\(u'u^n, n \in \mathbb{N}^*\)	\(\frac{u^{n+1}}{n+1}\)
\(\frac{u'}{u^2}\)	\(-\frac{1}{u}\)	\(u \neq 0 \text{ sur } I\)
\(\frac{u'}{\sqrt{u}}\)	\(2\sqrt{u}\)	\(u > 0 \text{ sur } I\)
\(\frac{u'}{(\sqrt[n]{u})^{n-1}}, n \in \mathbb{N}^*\)	\(n\sqrt[n]{u}\)	\(u > 0 \text{ sur } I\)
\(u'u^r, r \in \mathbb{Q}^* \setminus \{-1\}\)	\(\frac{x^{r+1}}{r+1} + c\)	\(u > 0 \text{ sur } I\)
\(x \mapsto u'(ax + b), a \in \mathbb{R}^* \text{ et } a \in \mathbb{R}\)	\(x \mapsto \frac{1}{a}u(ax + b)\)	\(]0, +\infty[\)
\(\frac{u'}{1+u^2}\)	\(\arctan(u)\)
\(u'\sin(u)\)	\(-\cos(u)\)
\(u'\cos(u)\)	\(\sin(u)\)
\(\frac{u'}{\cos^2(u)}\)	\(\tan(u)\)	\(u \neq \frac{\pi}{2} + k\pi ; \forall k \in \mathbb{Z}\)

5. Les branches infinies

Arbre de décision

• \(\lim_{x \to \infty} f(x) = \beta\) : La droite \(x = \beta\) est une asymptote horizontale.
• \(\lim_{x \to \alpha} f(x) = \infty\) : La droite \(x = \alpha\) est une asymptote verticale.
• \(\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty\) :
  • Si \(\lim \frac{f(x)}{x} = a \neq 0\) :
    • Si \(\lim (f(x) - ax) = b\) (fini) : La droite \(y = ax + b\) est une asymptote oblique.
    • Si \(\lim (f(x) - ax) = \infty\) : \((C_f)\) admet une branche parabolique suivant la droite \(y = ax\).
  • Si \(\lim \frac{f(x)}{x} = 0\) : \((C_f)\) admet une branche parabolique suivant \((OX)\).
  • Si \(\lim \frac{f(x)}{x} = \infty\) : \((C_f)\) admet une branche parabolique suivant \((OY)\).

Attention

La droite d'équation \(y = ax + b\) est une asymptote oblique à \((C_f)\) au voisinage de \(\pm\infty \iff \lim_{x \to \pm\infty} (f(x) - (ax + b)) = 0\).

\(\lim_{x \to \pm\infty} (f(x) - ax) = \pm\infty \not\implies (C_f)\) admet une branche parabolique suivant la droite \(y = ax\) au voisinage de \(\pm\infty\).

6. Concavité

\(x\)	\(a\)	\(x\)	\(a\)
\(f''\)	\(-\quad 0\quad +\)	\(f''\)	\(+\quad 0\quad -\)
\((C_f)\)	concave \(\frown\) | convexe \(\smile\)	\((C_f)\)	convexe \(\smile\) | concave \(\frown\)

\(M(a, f(a))\) est un point d'inflexion

Proposition 1

Si \(f''\) s'annule en \(a\) de \(I\) et change de signes au voisinage de \(a\), alors le point \(A(a, f(a))\) est un point d'inflexion de \((C_f)\).

Proposition 2

Si \(f'\) s'annule en \(a\) de \(I\) et ne change pas de signes au voisinage de \(a\), alors le point \(A(a, f(a))\) est un point d'inflexion de \((C_f)\).

7. Parité - symétrie - périodicité

Parité - périodicité

type de \(f\)	définition	conséquences
\(f\) est paire	\((\forall x \in D_f) : \begin{cases} -x \in D_f \\ f(-x) = f(x) \end{cases}\)	\(\star\) il suffit de l'étudier sur \(D_f \cap \mathbb{R}^+\) \(\star\) \((C_f)\) est symétrique par rapport à \((OY)\)
\(f\) est impaire	\((\forall x \in D_f) : \begin{cases} -x \in D_f \\ f(-x) = -f(x) \end{cases}\)	\(\star\) il suffit de l'étudier sur \(D_f \cap \mathbb{R}^+\) \(\star\) \((C_f)\) est symétrique par rapport à \(O\)
\(f\) est périodique de période \(T\) (\(T > 0\))	\((\forall x \in D_f) : \begin{cases} x + T \in D_f \\ f(x + T) = f(x) \end{cases}\)	il suffit de l'étudier sur un intervalle de longueur \(T\)

Symétrie

propriété	équivalent à	conséquences
la droite \(x = a\) est un axe de symétrie de \((C_f)\)	\((\forall x \in D_f) : \begin{cases} 2a - x \in D_f \\ f(2a - x) = f(x) \end{cases}\)	il suffit de l'étudier sur \(D_f \cap [a, +\infty[\)
le point \(\Omega(a, b)\) est un centre de symétrie de \((C_f)\)	\((\forall x \in D_f) : \begin{cases} 2a - x \in D_f \\ f(2a - x) = 2b - f(x) \end{cases}\)	il suffit de l'étudier sur \(D_f \cap [a, +\infty[\)

Questions fréquentes

Quelle est la différence entre le TAF et le théorème de Rolle ?

Le théorème de Rolle est un cas particulier du TAF. Le TAF s'applique à toute fonction continue sur [a,b] et dérivable sur ]a,b[. Le théorème de Rolle ajoute la condition f(a) = f(b), ce qui garantit l'existence d'un point où la dérivée s'annule (tangente horizontale).

Comment savoir si une droite est une asymptote oblique ?

Une droite \(y = ax + b\) est une asymptote oblique si la limite de la différence \(f(x) - (ax + b)\) quand \(x\) tend vers \(\pm\infty\) est égale à 0. Pour trouver \(a\) et \(b\), on calcule la limite de \(f(x)/x\) puis la limite de \(f(x) - ax\).

Qu'est-ce qu'un point d'inflexion ?

C'est un point où la courbe traverse sa tangente. Mathématiquement, cela correspond à un point où la dérivée seconde \(f''\) s'annule en changeant de signe (passage de convexe à concave ou inversement).

Résumé final

La dérivabilité est la clé de l'étude locale et globale des fonctions. En maîtrisant les dérivées usuelles, les règles de composition et les théorèmes fondamentaux (TAF, Rolle), vous pouvez analyser les variations, les extremums et les concavités. Les primitives vous seront indispensables pour le calcul intégral. Enfin, l'étude des branches infinies et des symétries permet de tracer des courbes précises avec un minimum de calculs. N'oubliez pas de toujours vérifier les domaines de définition et de dérivabilité.

Version imprimable propre, sans publicité, avec toutes les formules visibles et le copyright.

© 2026 EduMaroc — Tous droits réservés. Reproduction interdite sans autorisation écrite.

Résumé préparé par Sif Elarab Ayyoub — EduMaroc

Source : edumaroc.org

Articles similaires