Recueil d'Exercices : Analyse et Étude de Fonctions — 2e BAC SM

Recueil d'Exercices : Analyse et Étude de Fonctions — 2e BAC SM

Niveau	2e année du baccalauréat
Filière	Sciences Mathématiques (SM)
Matière	Mathématiques
Chapitre	Dérivation et Étude de Fonctions
Type	Recueil d'exercices corrigés
Programme	Programme officiel marocain

Mathématiques · 2BAC SM · Recueil d'exercices

Analyse et Étude de Fonctions

Un recueil complet pour maîtriser les limites, les asymptotes, les variations et la concavité.

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Table des matières

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À propos de ce recueil : Ce document regroupe l'intégralité des exercices portant sur l'analyse et l'étude des fonctions. Vous y trouverez des exercices d'application directe sur les domaines et la parité, des problèmes classiques sur les limites et les asymptotes, des études complètes de fonctions rationnelles ou irrationnelles, ainsi que des extraits d'examens nationaux. Chaque énoncé est suivi d'une correction détaillée.

Illustration du recueil

Recueil d'Exercices : Analyse et Étude de Fonctions

Mathématiques · 2e BAC SM

Recueil d'exercices corrigés

2BAC-SM-MATH-E99

Exercice 1 — Parité et domaines

Énoncé

On considère les fonctions : \(f(x) = \frac{x^2 - 4}{x^2 - 1}\) ; \(g(x) = \frac{x^3}{x^2 + 1}\) ; \(h(x) = \sqrt{x^2 - 2x - 3}\).

1. Déterminer le domaine de définition de chaque fonction.
2. Étudier la symétrie du domaine de définition par rapport à zéro.
3. Déterminer les fonctions paires et impaires.

Voir la correction

1. \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}\). \(D_g = \mathbb{R}\) (car \(x^2+1 > 0\)). Pour \(h\), \(x^2-2x-3 \geq 0 \iff (x+1)(x-3) \geq 0\), donc \(D_h = ]-\infty, -1] \cup [3, +\infty[\).

2. \(D_f\) et \(D_g\) sont symétriques par rapport à 0. \(D_h\) n'est pas symétrique (2 n'y est pas, -2 y est).

3. \(f(-x) = f(x)\) donc \(f\) est paire. \(g(-x) = -g(x)\) donc \(g\) est impaire. \(h\) n'est ni paire ni impaire.

Exercice 2 — Étude d'une fonction homographique

Énoncé

Soit \(f(x) = \frac{2x + 3}{x - 1}\).

1. Déterminer \(D_f\).
2. Calculer les limites aux bornes.
3. En déduire les asymptotes.
4. Étudier la position de la courbe par rapport à l'asymptote horizontale.

Voir la correction

1. \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{1\}\).

2. \(\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = 2\). \(\lim_{x \to 1^+} f(x) = +\infty\), \(\lim_{x \to 1^-} f(x) = -\infty\).

3. Asymptote horizontale \(y = 2\), asymptote verticale \(x = 1\).

4. \(f(x) - 2 = \frac{5}{x-1}\). Si \(x > 1\), \(f(x) > 2\) (au-dessus). Si \(x < 1\), \(f(x) < 2\) (en-dessous).

Exercice 3 — Étude d'un polynôme de degré 3

Énoncé

Soit \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 4\).

1. Calculer \(f'(x)\).
2. Résoudre \(f'(x) \geq 0\) et dresser le tableau de variations.
3. Déterminer les extrema locaux.
4. Résoudre \(f(x) = 0\).

Voir la correction

1. \(f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x-2)\).

2. \(f'(x) \geq 0\) sur \(]-\infty, 0] \cup [2, +\infty[\). \(f\) est croissante puis décroissante puis croissante. \(f(0) = 4\), \(f(2) = 0\).

3. Maximum local en 0 (valant 4), minimum local en 2 (valant 0).

4. \(f(x) = (x-2)^2(x+1) = 0\), les solutions sont \(x = 2\) (racine double) et \(x = -1\).

Exercice 4 — Division euclidienne et asymptote

Énoncé

Soit \(f(x) = \frac{x^2 + x + 1}{x + 1}\).

1. Déterminer \(D_f\).
2. Effectuer la division euclidienne du numérateur par le dénominateur.
3. Montrer que la droite \(y = x\) est asymptote oblique.
4. Étudier la position relative.

Voir la correction

1. \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{-1\}\).

2. \(x^2 + x + 1 = (x+1)x + 1\). Donc \(f(x) = x + \frac{1}{x+1}\).

3. \(\lim_{x \to \pm\infty} [f(x) - x] = 0\), donc \(y = x\) est asymptote oblique.

4. \(f(x) - x = \frac{1}{x+1}\). Au-dessus si \(x > -1\), en-dessous si \(x < -1\).

Exercice 5 — Concavité et points d'inflexion

Énoncé

Soit \(f(x) = x^4 - 6x^2 + 8x + 1\).

1. Calculer \(f'(x)\) et \(f''(x)\).
2. Étudier le signe de \(f''(x)\).
3. En déduire les intervalles de concavité.
4. Déterminer les points d'inflexion.

Voir la correction

1. \(f'(x) = 4x^3 - 12x + 8\). \(f''(x) = 12x^2 - 12 = 12(x-1)(x+1)\).

2. \(f''(x) > 0\) sur \(]-\infty, -1[ \cup ]1, +\infty[\) ; \(f''(x) < 0\) sur \(]-1, 1[\).

3. Convexe sur \(]-\infty, -1]\) et \([1, +\infty[\) ; concave sur \([-1, 1]\).

4. Points d'inflexion en \(x = -1\) (où \(f(-1) = -12\)) et \(x = 1\) (où \(f(1) = 4\)).

Exercice 6 — Étude d'une fonction rationnelle

Énoncé

Soit \(f(x) = \frac{x^2 + 1}{x - 1}\).

1. Déterminer \(D_f\) et étudier sa symétrie.
2. Calculer les limites aux bornes.
3. Montrer que \(f(x) = x + 1 + \frac{2}{x-1}\) et en déduire une asymptote oblique.
4. Étudier la position de la courbe par rapport à l'asymptote.
5. Calculer \(f'(x)\) et dresser le tableau de variations.
6. Tracer les asymptotes et la courbe.

Voir la correction

1. \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{1\}\), non symétrique par rapport à 0.

2. \(\lim_{x \to 1^+} f(x) = +\infty\), \(\lim_{x \to 1^-} f(x) = -\infty\). \(\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \pm\infty\).

3. \(f(x) = x + 1 + \frac{2}{x-1}\). Asymptote \(y = x + 1\).

4. \(f(x) - (x+1) = \frac{2}{x-1}\). Au-dessus si \(x > 1\), en-dessous si \(x < 1\).

5. \(f'(x) = \frac{x^2 - 2x - 1}{(x-1)^2}\). S'annule en \(1 \pm \sqrt{2}\).

6. (Tracé conceptuel).

Exercice 7 — Étude complète avec concavité

Énoncé

Soit \(f(x) = x - 2 + \frac{4}{x + 1}\).

1. Déterminer \(D_f\).
2. Calculer les limites et asymptotes.
3. Montrer que \(y = x - 2\) est asymptote oblique et étudier la position.
4. Calculer \(f'(x)\) et dresser le tableau de variations.
5. Étudier la concavité et déterminer les points d'inflexion.
6. Tracer la courbe et ses asymptotes.

Voir la correction

1. \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{-1\}\).

2. \(\lim_{x \to -1^+} f(x) = +\infty\), \(\lim_{x \to -1^-} f(x) = -\infty\). Asymptote verticale \(x = -1\).

3. \(f(x) - (x-2) = \frac{4}{x+1}\). Au-dessus si \(x > -1\), en-dessous si \(x < -1\).

4. \(f'(x) = 1 - \frac{4}{(x+1)^2} = \frac{(x+1)^2 - 4}{(x+1)^2} = \frac{(x-1)(x+3)}{(x+1)^2}\).

5. \(f''(x) = \frac{8}{(x+1)^3}\). Concave sur \(]-\infty, -1[\), convexe sur \(]-1, +\infty[\). Pas de point d'inflexion.

Exercice 8 — Fonction paramétrique

Énoncé

Soit \(f_m(x) = x^2 - 2mx + m + 2\).

1. Montrer que toutes les courbes passent par un point fixe \(A\).
2. Montrer que le sommet est \(S(m ; -m^2 + m + 2)\).
3. Déterminer \(m\) pour que \(f_m(x) = 0\) ait deux solutions distinctes.
4. Pour \(m=2\), étudier les variations et résoudre \(f(x) \leq 0\).

Voir la correction

1. \(f_m(x) = x^2 + 2 + m(1 - 2x)\). Pour que cela soit indépendant de \(m\), \(1 - 2x = 0 \Rightarrow x = 1/2\). Alors \(y = (1/2)^2 + 2 = 9/4\). Point \(A(1/2, 9/4)\).

2. Forme canonique : \(f_m(x) = (x-m)^2 - m^2 + m + 2\). Sommet \(S(m, -m^2+m+2)\).

3. \(\Delta = (-2m)^2 - 4(1)(m+2) = 4m^2 - 4m - 8 = 4(m^2 - m - 2)\). Deux solutions distinctes si \(\Delta > 0 \iff m < -1\) ou \(m > 2\).

4. Pour \(m=2\), \(f(x) = x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2\). Variations : décroissante sur \(]-\infty, 2]\), croissante sur \([2, +\infty[\). \(f(x) \leq 0 \iff x = 2\).

Exercice 9 — Domaines et parité (fonctions avec racines)

Énoncé

Soient \(f(x) = \frac{\sqrt{x+3}}{x-1}\) ; \(g(x) = \frac{x^2 - x}{x^2 + x - 6}\) ; \(h(x) = \sqrt{\frac{x-2}{x+1}}\).

1. Déterminer les domaines de définition.
2. Sont-ils symétriques par rapport à 0 ?
3. Étudier la parité si possible.

Voir la correction

1. \(D_f = [-3, 1[ \cup ]1, +\infty[\). \(D_g = \mathbb{R} \setminus \{-3, 2\}\). \(D_h = ]-\infty, -1[ \cup [2, +\infty[\).

2. Aucun de ces domaines n'est symétrique par rapport à 0 (à cause des conditions de racines ou de valeurs interdites non symétriques).

3. Aucune de ces fonctions n'est paire ni impaire.

Exercice 10 — Fonction paire et asymptotes

Énoncé

Soit \(f(x) = \frac{x^2 + 1}{x^2 - 4}\).

1. Déterminer \(D_f\).
2. Montrer que \(f\) est paire.
3. Calculer les limites en \(\pm\infty\) et en \(2^\pm, -2^\pm\).
4. En déduire les asymptotes.

Voir la correction

1. \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{-2, 2\}\).

2. \(f(-x) = \frac{(-x)^2 + 1}{(-x)^2 - 4} = f(x)\). Donc \(f\) est paire.

3. \(\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = 1\). \(\lim_{x \to 2^+} f(x) = +\infty\), \(\lim_{x \to 2^-} f(x) = -\infty\). \(\lim_{x \to -2^+} f(x) = -\infty\), \(\lim_{x \to -2^-} f(x) = +\infty\).

4. Asymptote horizontale \(y = 1\), asymptotes verticales \(x = 2\) et \(x = -2\).

Exercice 11 — Asymptote oblique par division

Énoncé

Soit \(f(x) = \frac{x^2 - 3x + 2}{x - 3}\).

1. Déterminer \(D_f\).
2. Calculer les limites aux bornes.
3. Effectuer la division euclidienne.
4. En déduire l'asymptote oblique et sa position relative.

Voir la correction

1. \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{3\}\).

2. \(\lim_{x \to 3^+} f(x) = +\infty\), \(\lim_{x \to 3^-} f(x) = -\infty\).

3. \(x^2 - 3x + 2 = (x-3)x + 2\). Donc \(f(x) = x + \frac{2}{x-3}\).

4. Asymptote \(y = x\). Position : \(f(x) - x = \frac{2}{x-3}\). Au-dessus pour \(x>3\), en-dessous pour \(x<3\).

Exercice 12 — Branches infinies et racine carrée

Énoncé

Soit \(f(x) = \sqrt{x^2 + 2x}\).

1. Déterminer \(D_f\).
2. Calculer les limites en \(\pm\infty\).
3. Étudier l'asymptote en \(+\infty\) : \(\lim \frac{f(x)}{x}\), \(\lim (f(x) - x)\).
4. Étudier l'asymptote en \(-\infty\) : \(\lim \frac{f(x)}{x}\), \(\lim (f(x) + x)\).

Voir la correction

1. \(x^2+2x \geq 0 \iff x \in ]-\infty, -2] \cup [0, +\infty[\).

2. \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty\), \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty\).

3. En \(+\infty\), \(\frac{f(x)}{x} = \frac{\sqrt{x^2+2x}}{x} = \sqrt{1+2/x} \to 1\). \(f(x) - x = \frac{2x}{\sqrt{x^2+2x}+x} \to 1\). Asymptote \(y = x+1\).

4. En \(-\infty\), \(\frac{f(x)}{x} = -\sqrt{1+2/x} \to -1\). \(f(x) + x = \frac{2x}{\sqrt{x^2+2x}-x} \to -1\). Asymptote \(y = -x-1\).

Exercice 13 — Extrema et nombre de solutions

Énoncé

Soit \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 4\).

1. Calculer \(f'(x)\) et dresser le tableau de variations.
2. Déduire les extrema locaux.
3. Déterminer le nombre de solutions de \(f(x) = 0\).
4. Calculer \(f''(x)\) et les points d'inflexion.

Voir la correction

1. \(f'(x) = 3x(x-2)\).

2. Maximum local en \(0\) (\(f(0)=4\)), minimum local en \(2\) (\(f(2)=0\)).

3. Sur \(]-\infty, 0]\), \(f\) croît de \(-\infty\) à \(4\) : une solution. Sur \([0, 2]\), \(f\) décroît de \(4\) à \(0\) : \(f(2)=0\) est une solution. Sur \([2, +\infty[\), \(f\) croît de \(0\) à \(+\infty\) : \(f(2)=0\) est la seule solution. Total : 2 solutions distinctes (\(x=2\) et une autre négative).

4. \(f''(x) = 6x - 6 = 6(x-1)\). Point d'inflexion en \(x=1\) (\(f(1)=2\)).

Exercice 14 — Asymptote oblique et variations

Énoncé

Soit \(f(x) = \frac{x^2 - 4x + 3}{x - 2}\).

1. Déterminer \(D_f\) et les limites.
2. Montrer que \(f(x) = x - 2 + \frac{a}{x-2}\) (déterminer \(a\)).
3. Étudier les variations et la position relative.

Voir la correction

1. \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{2\}\). Limites : \(\pm\infty\) en 2, \(\pm\infty\) en \(\pm\infty\).

2. \(x^2 - 4x + 3 = (x-2)^2 - 1\). Donc \(f(x) = x - 2 - \frac{1}{x-2}\). (\(a = -1\)).

3. \(f'(x) = 1 + \frac{1}{(x-2)^2} > 0\). \(f\) est strictement croissante. Asymptote \(y = x-2\). \(f(x) - (x-2) = \frac{-1}{x-2}\). Au-dessus si \(x < 2\), en-dessous si \(x > 2\).

Exercice 15 — Concavité et point d'inflexion (fonction rationnelle)

Énoncé

Soit \(f(x) = \frac{x^2}{x^2 + 1}\).

1. Déterminer \(D_f\) et montrer que \(f\) est paire.
2. Calculer les limites en \(\pm\infty\) et l'asymptote.
3. Calculer \(f'(x)\) et dresser le tableau.
4. Calculer \(f''(x)\) et les points d'inflexion.

Voir la correction

1. \(D_f = \mathbb{R}\). \(f(-x) = f(x)\), donc \(f\) est paire.

2. \(\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = 1\). Asymptote \(y = 1\).

3. \(f'(x) = \frac{2x}{(x^2+1)^2}\). \(f\) est décroissante sur \(]-\infty, 0]\) et croissante sur \([0, +\infty[\). Minimum en \(0\) (\(f(0)=0\)).

4. \(f''(x) = \frac{2(1-3x^2)}{(x^2+1)^3}\). S'annule en \(x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}\). Points d'inflexion en \(x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}\) (ordonnée \(1/4\)).

Exercice 16 — Étude d'une fonction irrationnelle

Énoncé

Soit \(f(x) = x\sqrt{1 - x}\).

1. Déterminer \(D_f\).
2. Calculer les limites aux bornes.
3. Calculer \(f'(x)\) sur \(]-\infty, 1[\) et dresser le tableau.
4. Étudier la tangente en \(x=1\).

Voir la correction

1. \(D_f = ]-\infty, 1]\).

2. \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty\). \(\lim_{x \to 1^-} f(x) = 0\).

3. \(f'(x) = \sqrt{1-x} - \frac{x}{2\sqrt{1-x}} = \frac{2(1-x)-x}{2\sqrt{1-x}} = \frac{2-3x}{2\sqrt{1-x}}\). S'annule en \(x = 2/3\). Maximum local en \(x = 2/3\) (\(f(2/3) = \frac{2}{3\sqrt{3}}\)).

4. Taux de variation en \(1\) : \(\frac{f(x)-f(1)}{x-1} = \frac{x\sqrt{1-x}}{x-1} \sim \frac{-1}{\sqrt{1-x}} \to -\infty\). Demi-tangente verticale en 1.

Exercice 17 — Synthèse : Asymptote et point d'inflexion

Énoncé

Soit \(f(x) = \frac{x^3 + 1}{x^2}\).

1. Déterminer \(D_f\) et les limites.
2. Montrer que \(x=0\) est asymptote verticale.
3. Montrer que \(y=x\) est asymptote oblique et étudier la position.
4. Montrer que \(f'(x) = \frac{x^3 - 2}{x^3}\) et dresser le tableau.
5. Calculer \(f''(x)\) et les points d'inflexion.

Voir la correction

1. \(D_f = \mathbb{R}^*\). \(\lim_{x \to 0^+} f(x) = +\infty\), \(\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \pm\infty\).

2. Asymptote verticale \(x=0\).

3. \(f(x) = x + \frac{1}{x^2}\), donc \(y=x\) est asymptote oblique. \(f(x) - x = \frac{1}{x^2} > 0\), la courbe est au-dessus.

4. \(f'(x) = 1 - \frac{2}{x^3} = \frac{x^3 - 2}{x^3}\). S'annule en \(x = \sqrt[3]{2}\).

5. \(f''(x) = \frac{6}{x^4} > 0\). Pas de point d'inflexion (courbe toujours convexe).

Exercice 18 — Asymptote et racine

Énoncé

Soit \(f(x) = x - 2 + \frac{4}{\sqrt{x+1}}\).

1. Déterminer \(D_f\) et les limites.
2. Montrer que \(y = x-2\) est asymptote oblique et position.
3. Étudier la dérivabilité en \(-1\).
4. Montrer que \(f'(x) = \frac{(x+1)\sqrt{x+1}-2}{(x+1)\sqrt{x+1}}\).
5. Montrer que \(f'(x) = 0 \iff x = \sqrt[3]{4}-1\).

Voir la correction

1. \(D_f = ]-1, +\infty[\). \(\lim_{x \to -1^+} f(x) = +\infty\), \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty\).

2. \(f(x) - (x-2) = \frac{4}{\sqrt{x+1}} > 0\). Au-dessus de l'asymptote.

3. En \(-1^+\), \(\frac{f(x)-f(-1)}{x+1} \sim \frac{4}{(x+1)^{3/2}} \to +\infty\). Demi-tangente verticale.

4. \(f'(x) = 1 - \frac{2}{(x+1)\sqrt{x+1}}\). Mise au même dénominateur : \(\frac{(x+1)^{3/2}-2}{(x+1)^{3/2}}\).

5. \(f'(x) = 0 \iff (x+1)^{3/2} = 2 \iff x+1 = 2^{2/3} = \sqrt[3]{4}\). Donc \(x = \sqrt[3]{4}-1\).

Exercice 19 — Fonction trigonométrique

Énoncé

Soit \(f(x) = x + \sin(2x)\).

1. \(D_f\), périodicité, parité.
2. Justifier l'étude sur \([0, \pi]\).
3. Calculer \(f'(x)\) et montrer qu'elle s'annule en \(\pi/3\) et \(2\pi/3\).
4. Dresser le tableau de variations.

Voir la correction

1. \(D_f = \mathbb{R}\). \(f(-x) = -x - \sin(2x) = -f(x)\) : impaire. Pas de période rationnelle (à cause de \(x\)).

2. On étudie sur \([0, \pi]\) puis on utilise la symétrie centrale pour le reste.

3. \(f'(x) = 1 + 2\cos(2x)\). \(f'(x) = 0 \iff \cos(2x) = -1/2 \iff 2x = 2\pi/3\) ou \(4\pi/3\), soit \(x = \pi/3\) ou \(2\pi/3\).

4. \(f' > 0\) sur \([0, \pi/3]\), \(f' < 0\) sur \([\pi/3, 2\pi/3]\), \(f' > 0\) sur \([2\pi/3, \pi]\).

Exercice 20 — Synthèse : Simplification et trous

Énoncé

Soit \(f(x) = \frac{x^3 - 2x^2 - x + 2}{x^2 - 1}\).

1. Déterminer \(D_f\).
2. Factoriser le numérateur et simplifier \(f(x)\).
3. Calculer les limites et conclure sur les trous.
4. Discuter graphiquement \(f(x) = m\).

Voir la correction

1. \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}\).

2. Numérateur : \(x^2(x-2) - (x-2) = (x-2)(x^2-1) = (x-2)(x-1)(x+1)\). Donc pour \(x \neq \pm 1\), \(f(x) = x - 2\).

3. \(\lim_{x \to \pm 1} f(x) = -1\) et \(-3\). Il y a des trous en \((-1, -3)\) et \((1, -1)\).

4. \(f(x) = m\) a une solution si \(m \neq -1\) et \(m \neq -3\). Si \(m = -1\) ou \(m = -3\), la droite \(y=m\) passe par un trou et n'a pas d'intersection avec la courbe.

Exercice 21 — Extrait Examen National : Asymptote oblique

Énoncé

Soit \(f(x) = \frac{x^2 - 3x + 4}{x - 1}\).

1. Calculer les limites aux bornes de \(D_f\).
2. Montrer que \(f(x) = x - 2 + \frac{2}{x-1}\) et en déduire l'asymptote oblique.
3. Étudier la position relative.
4. Calculer \(f'(x)\) et dresser le tableau.
5. Montrer que \(I(1, -1)\) est centre de symétrie.

Voir la correction

1. \(\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \pm\infty\). \(\lim_{x \to 1^+} f(x) = +\infty\), \(\lim_{x \to 1^-} f(x) = -\infty\).

2. Division : \(f(x) = x - 2 + \frac{2}{x-1}\). Asymptote \(y = x - 2\).

3. \(f(x) - (x-2) = \frac{2}{x-1}\). Au-dessus pour \(x>1\), en-dessous pour \(x<1\).

4. \(f'(x) = 1 - \frac{2}{(x-1)^2} = \frac{x^2-2x-1}{(x-1)^2}\). S'annule en \(1 \pm \sqrt{2}\).

5. Centre de symétrie : \(\frac{f(1+h) + f(1-h)}{2} = -1\). Vérifié.

Exercice 22 — Extrait Examen National : Racine et Asymptote

Énoncé

Soit \(f(x) = 2x - 1 + \sqrt{x^2 - 1}\).

1. Déterminer \(D_f\).
2. Montrer que \(y = 3x - 1\) est asymptote en \(+\infty\) et \(y = x - 1\) en \(-\infty\).
3. Étudier la dérivabilité en 1 et -1.
4. Calculer \(f'(x)\) et dresser le tableau.

Voir la correction

1. \(D_f = ]-\infty, -1] \cup [1, +\infty[\).

2. En \(+\infty\), \(\sqrt{x^2-1} = x\sqrt{1-1/x^2} \sim x\). Donc \(f(x) \sim 3x-1\). En \(-\infty\), \(\sqrt{x^2-1} \sim -x\), donc \(f(x) \sim x-1\).

3. En \(1^+\), \(f(x) \sim 1 + \sqrt{2(x-1)}\). Dérivée infinie. En \(-1^-\), \(f(x) \sim -3 + \sqrt{-2(x+1)}\). Dérivée infinie.

4. \(f'(x) = 2 + \frac{x}{\sqrt{x^2-1}}\).

Questions fréquentes

Pourquoi y a-t-il autant d'exercices dans un seul article ?

Ce recueil a été conçu pour vous offrir une banque d'exercices complète et variée au même endroit. Cela facilite les révisions et l'impression d'un seul document PDF pour travailler hors ligne.

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Résumé final

Ce recueil rassemble l'essentiel des exercices nécessaires pour maîtriser l'étude des fonctions. En les traitant tous, vous développerez des automatismes sur le calcul des limites, la détermination des asymptotes, l'étude des variations et la concavité. N'hésitez pas à refaire les exercices sans regarder les corrections pour bien vous préparer aux conditions de l'examen national.

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Recueil préparé par Sif Elarab Ayyoub — EduMaroc

Source : edumaroc.org

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