Cours de Mathématiques : Étude des fonctions — 2e BAC SM

 

Cours de Mathématiques : Étude des fonctions — 2e BAC SM

Niveau	2e année du baccalauréat
Filière	Sciences Mathématiques (SM)
Matière	Mathématiques
Chapitre	Étude des fonctions (Monotonie, Asymptotes, Concavité)
Type	Cours complet
Programme	Programme officiel marocain

Mathématiques · 2BAC SM · Chapitre 3

Étude des fonctions

De la monotonie aux points d'inflexion : toutes les étapes pour analyser une fonction, comprendre ses variations et tracer sa courbe.

Voir le cours Questions fréquentes

Ch. 3Chapitre du programme

5Parties du cours

SMFilière

Table des matières

Chaîne WhatsApp — Cours, exercices et rappels

Recevez chaque nouveau cours, des fiches de révision et des rappels de dates d'examen directement sur WhatsApp.

Rejoindre la chaîne WhatsApp

À propos de ce cours : Ce chapitre est l'aboutissement de l'analyse en Terminale. Vous y apprendrez à exploiter la dérivée pour connaître le sens de variation d'une fonction, à identifier les extremums locaux, et à analyser les limites pour trouver les asymptotes et les branches infinies. Enfin, l'étude de la dérivée seconde vous permettra de maîtriser la concavité et les points d'inflexion, des outils indispensables pour un tracé rigoureux.

Illustration du cours

Cours : Étude des fonctions

Mathématiques · 2e BAC SM

Le cours complet

2BAC-SM-MATH-C03

I. Les fonctions monotones

Remarque (Rappel)

Ce cours et le suivant rappellent ce que le chapitre « Dérivation et étude des fonctions » a établi : le signe de \(f'\) donne les variations de \(f\), et ses changements de signe donnent les extremums. Ce sont les premiers outils de toute étude de fonction.

Définition

Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\) :

• \(f\) est croissante sur \(I\) si : \(\forall x_1, x_2 \in I : x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) \leq f(x_2)\).
• \(f\) est strictement croissante sur \(I\) si : \(\forall x_1, x_2 \in I : x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)\).
• \(f\) est décroissante sur \(I\) si : \(\forall x_1, x_2 \in I : x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) \geq f(x_2)\).
• \(f\) est strictement décroissante sur \(I\) si : \(\forall x_1, x_2 \in I : x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)\).

Théorème

Soit \(f\) une fonction dérivable sur un intervalle \(I\) :

• \(f\) est croissante sur \(I \iff \forall x \in I : f'(x) \geq 0\).
• \(f\) est décroissante sur \(I \iff \forall x \in I : f'(x) \leq 0\).
• \(f\) est constante sur \(I \iff \forall x \in I : f'(x) = 0\).

Propriété (Conséquence)

Si \(f'(x) > 0\) sur \(I\) (sauf peut-être en un nombre fini de points où \(f'(x) = 0\)), alors \(f\) est strictement croissante sur \(I\).

De même, si \(f'(x) < 0\) sur \(I\) (sauf peut-être en un nombre fini de points où \(f'(x) = 0\)), alors \(f\) est strictement décroissante sur \(I\).

Exemple

Pour \(f(x) = x^3\), on a \(f'(x) = 3x^2 \geq 0\) sur \(\mathbb{R}\), et \(f'(x) = 0\) seulement en \(0\) : \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).

II. Les extremums

Définition

• On dit que \(f\) admet un maximum local en \(a\) s'il existe un intervalle ouvert \(I\) contenant \(a\) et inclus dans \(D_f\) tel que : \(\forall x \in I : f(x) \leq f(a)\).
• On dit que \(f\) admet un minimum local en \(a\) s'il existe un intervalle ouvert \(I\) contenant \(a\) et inclus dans \(D_f\) tel que : \(\forall x \in I : f(x) \geq f(a)\).

Un maximum local ou un minimum local s'appelle un extremum local.

Théorème

Si \(f\) est dérivable sur un intervalle ouvert \(I\) et admet un maximum ou un minimum local en \(a \in I\), alors \(f'(a) = 0\).

La réciproque est fausse : pour \(f(x) = x^3\), on a \(f'(0) = 0\), mais \(f\) n'admet pas d'extremum en \(0\).

Propriété

Si \(f\) est dérivable sur un intervalle ouvert \(I\) et \(a \in I\) tel que \(f'(a) = 0\) :

• Si \(f'\) change de signe de \(+\) à \(-\) en \(a\), alors \(f(a)\) est un maximum local.
• Si \(f'\) change de signe de \(-\) à \(+\) en \(a\), alors \(f(a)\) est un minimum local.

Exemple

Soit \(f(x) = x^3 - 3x\). On a \(f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1)\), donc \(f'(x) = 0 \iff x = -1\) ou \(x = 1\).

• \(f'(-1) = 0\) et \(f'\) change de signe de \(+\) à \(-\) en \(-1\), donc \(f(-1) = 2\) est un maximum local.
• \(f'(1) = 0\) et \(f'\) change de signe de \(-\) à \(+\) en \(1\), donc \(f(1) = -2\) est un minimum local.

III. Les asymptotes

1. Branches infinies

Définition

Le plan est rapporté à un repère orthonormé \((O ; \vec{i}, \vec{j})\). Si l'une des coordonnées d'un point \(M\) de \((C_f)\) tend vers l'infini, on dit que \((C_f)\) admet une branche infinie.

On étudie donc les branches infinies aux bornes de \(D_f\) où \(x\) ou \(f(x)\) tend vers l'infini : en \(+\infty\), en \(-\infty\), et en un réel \(a\) où la limite de \(f\) est infinie.

2. Asymptote horizontale, asymptote verticale

Définition (Asymptote horizontale)

Si \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = b\), la droite d'équation \(y = b\) est une asymptote horizontale à la courbe \((C_f)\) au voisinage de \(+\infty\) ; si \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x) = b\), elle l'est au voisinage de \(-\infty\).

Définition (Asymptote verticale)

La droite d'équation \(x = a\) est une asymptote verticale à la courbe \((C_f)\) si :

\[ \lim_{x \to a^+} f(x) = \pm\infty \quad \text{ou} \quad \lim_{x \to a^-} f(x) = \pm\infty \]

Exemple

Soit \(f(x) = \dfrac{x-1}{x+1}\), avec \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{-1\}\).

\(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} f(x) = 1\) : la droite \(y = 1\) est une asymptote horizontale à \((C_f)\) au voisinage de \(+\infty\) et de \(-\infty\).

Quand \(x \to -1^{+}\), le numérateur tend vers \(-2\) et le dénominateur vers \(0^{+}\), donc \(\displaystyle\lim_{x \to -1^+} f(x) = -\infty\) ; de même \(\displaystyle\lim_{x \to -1^-} f(x) = +\infty\). La droite \(x = -1\) est une asymptote verticale à \((C_f)\).

Piège (Attention)

• Pour conclure en \(a^{+}\) ou en \(a^{-}\), il faut le signe du dénominateur qui tend vers \(0\) (\(0^{+}\) ou \(0^{-}\)) : on le lit dans son tableau de signe.
• Une valeur interdite ne donne pas toujours une asymptote verticale : pour \(g(x) = \dfrac{x^2-1}{x-1}\), on a \(g(x) = x + 1\) pour \(x \neq 1\), donc \(\displaystyle\lim_{x \to 1} g(x) = 2\) : la limite est finie, la droite \(x = 1\) n'est pas une asymptote.

3. Asymptote oblique

Définition

La droite d'équation \(y = ax + b\) (avec \(a \neq 0\)) est une asymptote oblique à la courbe \((C_f)\) au voisinage de \(+\infty\) si :

\[ \lim_{x \to +\infty} [f(x) - (ax + b)] = 0 \]

On définit de même une asymptote oblique au voisinage de \(-\infty\), la limite étant prise en \(-\infty\).

Propriété (Calcul des coefficients)

Si \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = \pm\infty\), on calcule :

\[ a = \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} \quad ; \quad b = \lim_{x \to +\infty} [f(x) - ax] \]

Si \(a\) est un réel non nul et si \(b\) est un réel, la droite \(y = ax + b\) est une asymptote oblique à \((C_f)\) au voisinage de \(+\infty\). On procède de même en \(-\infty\).

Exemple

Soit \(f(x) = \dfrac{x^2 + 1}{x}\), avec \(D_f = \mathbb{R}^*\). Au voisinage de \(+\infty\) :

\(a = \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 + 1}{x^2} = 1\)

\(b = \lim_{x \to +\infty} [f(x) - x] = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0\)

De la même façon, \(\lim_{x \to -\infty} \frac{f(x)}{x} = 1\) et \(\lim_{x \to -\infty} [f(x) - x] = 0\). Donc la droite \(y = x\) est une asymptote oblique à \((C_f)\) au voisinage de \(+\infty\) et de \(-\infty\). De plus \(\lim_{x \to 0^+} f(x) = +\infty\) : la droite \(x = 0\) est une asymptote verticale.

4. Position de la courbe par rapport à une asymptote oblique

Propriété

Pour situer \((C_f)\) par rapport à la droite \((\Delta) : y = ax + b\), on étudie le signe de \(f(x) - (ax + b)\) :

• si \(f(x) - (ax + b) \geq 0\) sur un intervalle, \((C_f)\) est au-dessus de \((\Delta)\) sur cet intervalle ;
• si \(f(x) - (ax + b) \leq 0\) sur un intervalle, \((C_f)\) est en dessous de \((\Delta)\) sur cet intervalle ;
• si \(f(x) - (ax + b) = 0\), \((C_f)\) coupe \((\Delta)\) au point d'abscisse \(x\).

Remarque

Si \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} [f(x) - (ax + b)] = c\), avec \(c\) réel, alors la droite \(y = ax + b + c\) est une asymptote oblique à \((C_f)\) au voisinage de \(+\infty\) (de même en \(-\infty\)).

Exemple

Soit \(f(x) = x + 3 - \dfrac{x+2}{x-1}\), avec \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{1\}\).

\(\lim_{x \to \pm\infty} [f(x) - (x + 3)] = -1\), donc la droite \(y = x + 2\) est une asymptote oblique à \((C_f)\) au voisinage de \(+\infty\) et de \(-\infty\).

\(\lim_{x \to 1^+} f(x) = -\infty\) et \(\lim_{x \to 1^-} f(x) = +\infty\) : la droite \(x = 1\) est une asymptote verticale.

Position : \(f(x) - (x + 2) = \dfrac{-3}{x-1}\). Cette différence est positive sur \(]-\infty ; 1[\) et négative sur \(]1 ; +\infty[\) : \((C_f)\) est au-dessus de la droite \(y = x + 2\) sur \(]-\infty ; 1[\) et en dessous sur \(]1 ; +\infty[\).

Application

Soit \(f(x) = \dfrac{2x^2 + 3x + 1}{x + 2}\). Déterminer l'asymptote oblique de \((C_f)\), puis la position de \((C_f)\) par rapport à cette asymptote.

Afficher la solution

\(D_f = \mathbb{R} \setminus \{-2\}\). On a \(a = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = 2\).

\(f(x) - 2x = \dfrac{-x + 1}{x + 2}\), donc \(b = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{-x + 1}{x + 2} = -1\).

La droite \(y = 2x - 1\) est une asymptote oblique à \((C_f)\) au voisinage de \(+\infty\) et de \(-\infty\).

\(f(x) - (2x - 1) = \dfrac{3}{x + 2}\) : \((C_f)\) est au-dessus de l'asymptote sur \(]-2 ; +\infty[\) et en dessous sur \(]-\infty ; -2[\).

IV. Les branches infinies

Propriété

Soit \(f\) telle que \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = \pm\infty\) (on raisonne de même au voisinage de \(-\infty\)). Au voisinage de \(+\infty\) :

• Si \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = 0\), alors la courbe admet une branche parabolique dans la direction de l'axe des abscisses.
• Si \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \pm\infty\), alors la courbe admet une branche parabolique dans la direction de l'axe des ordonnées.
• Si \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = a \neq 0\) et \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} [f(x) - ax] = b\) (\(b\) réel), alors la droite \(y = ax + b\) est une asymptote oblique.
• Si \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = a \neq 0\) et \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} [f(x) - ax] = \pm\infty\), alors la courbe admet une branche parabolique dans la direction de la droite \(y = ax\).

Méthode

Nature d'une branche infinie en l'infini :

1. On calcule \(\lim f(x)\). Si elle est finie et vaut \(b\), la droite \(y = b\) est une asymptote horizontale ; si elle est infinie, on passe à l'étape 2.
2. On calcule \(\lim \frac{f(x)}{x}\) : si elle vaut \(0\) ou \(\pm\infty\), on conclut (branche parabolique de direction \((Ox)\) ou \((Oy)\)) ; si elle vaut un réel \(a \neq 0\), on passe à l'étape 3.
3. On calcule \(\lim [f(x) - ax]\) : si elle vaut un réel \(b\), la droite \(y = ax + b\) est une asymptote oblique ; si elle vaut \(\pm\infty\), \((C_f)\) admet une branche parabolique de direction la droite \(y = ax\).

Exemple (Directions des axes)

\(f(x) = \sqrt{x}\) : \(\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x}}{x} = 0\), donc \((C_f)\) admet une branche parabolique dans la direction de l'axe des abscisses au voisinage de \(+\infty\).

\(g(x) = x^3\) : \(\lim_{x \to +\infty} \frac{x^3}{x} = +\infty\), donc \((C_g)\) admet une branche parabolique dans la direction de l'axe des ordonnées.

Exemple (Branche parabolique)

\(f(x) = x + \sqrt{x}\) sur \([0, +\infty[\) : \(\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = 1\) et \(\lim_{x \to +\infty} [f(x) - x] = \lim_{x \to +\infty} \sqrt{x} = +\infty\), donc \((C_f)\) admet une branche parabolique dans la direction de la droite \(y = x\) au voisinage de \(+\infty\).

Piège

• Une branche parabolique de direction \(y = ax\) n'est pas une asymptote : l'écart entre la courbe et la droite tend vers l'infini.
• On ne conclut « direction \(y = ax\) » qu'après avoir trouvé \(\lim \frac{f(x)}{x} = a\). Pour \(f(x) = x^2\), on a bien \(\lim_{x \to +\infty} [x^2 - x] = +\infty\), mais \(\lim_{x \to +\infty} \frac{x^2}{x} = +\infty\) : la branche parabolique a la direction de l'axe des ordonnées, pas celle de \(y = x\).

Application

Déterminer la nature de la branche infinie au voisinage de \(+\infty\) de \(f(x) = x - 2\sqrt{x}\), puis de \(g(x) = x\sqrt{x}\) (définies sur \([0, +\infty[\)).

Afficher la solution

Pour \(x > 0\), \(f(x) = x(1 - \frac{2}{\sqrt{x}})\), donc \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty\) et \(\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = 1\).

\(\lim_{x \to +\infty} [f(x) - x] = \lim_{x \to +\infty} (-2\sqrt{x}) = -\infty\) : \((C_f)\) admet une branche parabolique dans la direction de la droite \(y = x\).

\(\lim_{x \to +\infty} g(x) = +\infty\) et \(\lim_{x \to +\infty} \frac{g(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \sqrt{x} = +\infty\) : \((C_g)\) admet une branche parabolique dans la direction de l'axe des ordonnées.

V. Concavité et points d'inflexion

1. Concavité d'une courbe

Définition

Soit \(f\) une fonction dérivable sur un intervalle \(I\).

• La courbe \((C_f)\) est convexe sur \(I\) si elle est située au-dessus de toutes ses tangentes sur \(I\).
• La courbe \((C_f)\) est concave sur \(I\) si elle est située au-dessous de toutes ses tangentes sur \(I\).

Théorème (Concavité et dérivée seconde)

Soit \(f\) une fonction deux fois dérivable sur un intervalle ouvert \(I\) :

• Si \(\forall x \in I : f''(x) \geq 0\), alors \((C_f)\) est convexe sur \(I\).
• Si \(\forall x \in I : f''(x) \leq 0\), alors \((C_f)\) est concave sur \(I\).

Propriété (Position par rapport à une tangente)

Soit \((T)\) la tangente à \((C_f)\) au point d'abscisse \(a \in I\), d'équation \(y = f'(a)(x - a) + f(a)\).

• Si \(f'' \geq 0\) sur \(I\), \((C_f)\) est au-dessus de \((T)\) sur \(I\) ; si \(f'' \leq 0\) sur \(I\), \((C_f)\) est en dessous de \((T)\) sur \(I\).
• Dans les autres cas, on étudie le signe de \(f(x) - [f'(a)(x - a) + f(a)]\), comme pour une asymptote oblique.

2. Points d'inflexion

Définition

On dit que le point \(A(a, f(a))\) est un point d'inflexion de la courbe \((C_f)\) si la courbe change de concavité en ce point (la tangente en \(A\) traverse alors la courbe).

Questions fréquentes

Quelle est la différence entre une asymptote oblique et une branche parabolique ?

Une asymptote oblique est une droite dont la courbe s'approche indéfiniment (la distance tend vers 0). Une branche parabolique signifie que la courbe s'éloigne à l'infini mais "s'ouvre" comme une parabole, sans se rapprocher d'une droite spécifique.

Pourquoi étudier la dérivée seconde ?

La dérivée seconde permet de déterminer la convexité de la courbe (concave ou convexe) et de trouver les points d'inflexion. C'est indispensable pour un tracé précis de la courbe.

Une fonction dérivable admet-elle toujours une dérivée continue ?

Non. Il existe des fonctions dérivables dont la dérivée n'est pas continue. C'est le cas par exemple de la fonction \(f(x) = x^2 \sin(1/x)\) prolongée en 0 (dérivable en 0 mais sa dérivée n'admet pas de limite en 0).

Résumé final

L'étude des fonctions est un pilier de l'analyse en 2e BAC SM. En maîtrisant la dérivée première, vous déterminez les variations et les extremums. L'analyse des limites permet d'identifier les asymptotes et les branches infinies. Enfin, la dérivée seconde vous donne accès à la concavité et aux points d'inflexion, complétant ainsi le tracé de la courbe. C'est un chapitre de synthèse où chaque outil trouve son utilité.

Version imprimable propre, sans publicité, avec toutes les formules visibles et le copyright.

© 2026 EduMaroc — Tous droits réservés. Reproduction interdite sans autorisation écrite.

Cours préparé par Sif Elarab Ayyoub — EduMaroc

Source : edumaroc.org

Articles similaires