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Cours de Mathématiques : Nombres complexes — 2e BAC SM
| Niveau | 2e année du baccalauréat |
| Filière | Sciences Mathématiques (SM) |
| Matière | Mathématiques |
| Chapitre | Nombres complexes (Chapitre 7) |
| Type | Cours complet (Forme algébrique & Trigonométrie) |
| Programme | Programme officiel marocain |
Nombres complexes
De la forme algébrique aux équations et à la forme trigonométrique : maîtrisez l'ensemble des outils liés aux nombres complexes.
Table des matières
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Rejoindre la chaîne WhatsAppÀ propos de ce cours : Ce chapitre est divisé en deux grandes parties. La première introduit la forme algébrique des nombres complexes, les opérations, le conjugué et le module, avec une interprétation géométrique. La seconde aborde la résolution d'équations dans \(\mathbb{C}\), le calcul des racines carrées, et la forme trigonométrique (argument, module, notation exponentielle).
Illustration du cours
I. Forme algébrique
2BAC-SM-MATH-C071. Introduction et définition
On appelle ensemble des nombres complexes, noté \(\mathbb{C}\), l'ensemble des nombres de la forme :
\[ z = a + bi \quad \text{avec } a, b \in \mathbb{R} \text{ et } i^2 = -1 \]
Le nombre \(i\) est appelé unité imaginaire.
- \(a = \text{Re}(z)\) est la partie réelle de \(z\).
- \(b = \text{Im}(z)\) est la partie imaginaire de \(z\).
L'écriture \(z = a + bi\) est la forme algébrique de \(z\).
- Si \(b = 0\) : \(z = a\) est un nombre réel (\(\mathbb{R} \subset \mathbb{C}\)).
- Si \(a = 0\) : \(z = bi\) est un imaginaire pur.
- \(z = 0 \iff a = 0\) et \(b = 0\).
Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont même partie réelle et même partie imaginaire :
\[ a + bi = c + di \iff a = c \text{ et } b = d \]
2. Opérations sur les nombres complexes
Soient \(z_1 = a + bi\) et \(z_2 = c + di\) :
Addition : \(z_1 + z_2 = (a + c) + (b + d)i\)
Multiplication : \(z_1 \cdot z_2 = (ac - bd) + (ad + bc)i\)
On développe comme un produit de binômes en utilisant \(i^2 = -1\).
\(i^0 = 1 \quad;\quad i^1 = i \quad;\quad i^2 = -1 \quad;\quad i^3 = -i \quad;\quad i^4 = 1\)
Le cycle se répète : \(i^n\) dépend du reste de la division de \(n\) par \(4\).
Calculer et mettre sous forme algébrique :
a) \((2 + 3i)(1 - 4i)\)
b) \(i^{2025}\)
Afficher la solution
a) \((2+3i)(1-4i) = 2 - 8i + 3i - 12i^2 = 2 - 5i + 12 = 14 - 5i\)
b) \(2025 = 4 \times 506 + 1\), donc \(i^{2025} = i^1 = i\).
3. Conjugué d'un nombre complexe
Le conjugué de \(z = a + bi\) est le nombre complexe :
\[ \overline{z} = a - bi \]
- \(\overline{\overline{z}} = z\)
- \(\overline{z_1 + z_2} = \overline{z_1} + \overline{z_2}\)
- \(\overline{z_1 \cdot z_2} = \overline{z_1} \cdot \overline{z_2}\)
- \(\overline{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)} = \frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}\) (si \(z_2 \neq 0\))
- \(z + \overline{z} = 2\,\text{Re}(z)\)
- \(z - \overline{z} = 2i\,\text{Im}(z)\)
- \(z \cdot \overline{z} = a^2 + b^2 \geq 0\)
- \(z \in \mathbb{R} \iff z = \overline{z}\)
- \(z\) est imaginaire pur \(\iff z = -\overline{z}\)
4. Inverse et quotient
Pour \(z = a + bi \neq 0\) :
\[ \frac{1}{z} = \frac{\overline{z}}{z \cdot \overline{z}} = \frac{a - bi}{a^2 + b^2} \]
Pour calculer \(\frac{z_1}{z_2}\), on multiplie numérateur et dénominateur par \(\overline{z_2}\) :
\[ \frac{z_1}{z_2} = \frac{z_1 \cdot \overline{z_2}}{z_2 \cdot \overline{z_2}} = \frac{z_1 \cdot \overline{z_2}}{|z_2|^2} \]
Écrire sous forme algébrique : \(\frac{3 + 2i}{1 - i}\).
Afficher la solution
\(\frac{3+2i}{1-i} = \frac{(3+2i)(1+i)}{(1-i)(1+i)} = \frac{3+3i+2i+2i^2}{1+1}\)
\(= \frac{3 + 5i - 2}{2} = \frac{1 + 5i}{2} = \frac{1}{2} + \frac{5}{2}i\)
5. Module d'un nombre complexe
Le module de \(z = a + bi\) est le réel positif :
\[ |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \]
On a : \(|z|^2 = z \cdot \overline{z} = a^2 + b^2\).
- \(|z| = 0 \iff z = 0\)
- \(|z| = |\overline{z}|\)
- \(|z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2|\)
- \(\left|\frac{z_1}{z_2}\right| = \frac{|z_1|}{|z_2|}\) (si \(z_2 \neq 0\))
- \(|z^n| = |z|^n\)
- Inégalité triangulaire : \(|z_1 + z_2| \leq |z_1| + |z_2|\)
- \(|\text{Re}(z)| \leq |z|\) et \(|\text{Im}(z)| \leq |z|\)
6. Représentation géométrique
Le plan muni d'un repère orthonormé \((O, \vec{u}, \vec{v})\) est appelé plan complexe.
À tout nombre complexe \(z = a + bi\), on associe :
- Le point \(M(a, b)\) appelé image de \(z\).
- Le vecteur \(\vec{OM} = a\vec{u} + b\vec{v}\) appelé vecteur-image de \(z\).
On dit que \(z\) est l'affixe du point \(M\) ou du vecteur \(\vec{OM}\).
- \(|z|\) est la distance du point \(M\) à l'origine : \(|z| = OM\).
- \(|z_1 - z_2|\) est la distance entre les points d'affixes \(z_1\) et \(z_2\).
- Le conjugué \(\overline{z}\) correspond au symétrique de \(M\) par rapport à l'axe des abscisses.
- L'affixe du milieu du segment \([AB]\) est \(\frac{z_A + z_B}{2}\).
- L'affixe du vecteur \(\vec{AB}\) est \(z_B - z_A\).
Soient les points \(A(2+i)\) et \(B(4-3i)\) du plan complexe.
a) Calculer \(AB\).
b) Déterminer l'affixe du milieu \(I\) de \([AB]\).
Afficher la solution
a) \(z_B - z_A = (4-3i) - (2+i) = 2 - 4i\).
\(AB = |z_B - z_A| = |2 - 4i| = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}\).
b) \(z_I = \frac{z_A + z_B}{2} = \frac{(2+i) + (4-3i)}{2} = \frac{6 - 2i}{2} = 3 - i\).
II. Équations et forme trigonométrique
2BAC-SM-MATH-C071. Équation du second degré dans \(\mathbb{C}\)
Soit l'équation \(az^2 + bz + c = 0\) avec \(a, b, c \in \mathbb{R}\) et \(a \neq 0\).
On calcule le discriminant \(\Delta = b^2 - 4ac\).
- Si \(\Delta > 0\), deux solutions réelles : \(z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\)
- Si \(\Delta = 0\), une solution double réelle : \(z_0 = \frac{-b}{2a}\)
- Si \(\Delta < 0\), deux solutions complexes conjuguées : \(z_{1,2} = \frac{-b \pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}\)
2. Racine carrée d'un nombre complexe
Pour trouver les racines carrées d'un nombre complexe \(Z = x + iy\), on cherche \(z = a + bi\) tel que \(z^2 = Z\).
On résout le système :
\(\begin{cases} a^2 - b^2 = x \\ 2ab = y \end{cases}\)
3. Argument d'un nombre complexe
Soit \(z = a + bi\) non nul. On appelle argument de \(z\), noté \(\arg(z)\), toute mesure en radians de l'angle orienté \((\vec{u}, \vec{OM})\).
L'argument est défini modulo \(2\pi\).
4. Forme trigonométrique
Tout nombre complexe non nul \(z\) peut s'écrire sous la forme :
\[ z = r(\cos\theta + i\sin\theta) \]
où \(r = |z|\) est le module et \(\theta = \arg(z)\) est un argument.
On note souvent cette forme \(z = [r, \theta]\).
5. Notation exponentielle et formule d'Euler
Pour tout réel \(\theta\), on pose :
\[ e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta \]
La forme exponentielle d'un nombre complexe est donc \(z = r e^{i\theta}\).
- \(e^{i\theta_1} \cdot e^{i\theta_2} = e^{i(\theta_1 + \theta_2)}\)
- \(\frac{e^{i\theta_1}}{e^{i\theta_2}} = e^{i(\theta_1 - \theta_2)}\)
- \((e^{i\theta})^n = e^{in\theta}\) (Formule de Moivre)
6. Ensembles de points dans le plan complexe
- \(|z - z_A| = r\) : cercle de centre \(A\) et de rayon \(r\).
- \(|z - z_A| = |z - z_B|\) : médiatrice du segment \([AB]\).
- \(\arg(z - z_A) = \theta\) : demi-droite d'origine \(A\) faisant un angle \(\theta\) avec l'axe des réels.
Questions fréquentes
Comment calculer l'inverse d'un nombre complexe ?
On utilise la formule \(\frac{1}{z} = \frac{\overline{z}}{|z|^2}\). Par exemple, pour \(z = 3 + 4i\), \(|z|^2 = 25\), donc \(\frac{1}{z} = \frac{3 - 4i}{25}\).
Que signifie la notation \(e^{i\theta}\) ?
C'est la notation exponentielle d'un nombre complexe de module 1 et d'argument \(\theta\). D'après la formule d'Euler, \(e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta\).
Résumé final
Les nombres complexes constituent un chapitre riche et fascinant. La forme algébrique permet les calculs de base (somme, produit, quotient) et donne une première interprétation géométrique via le module et le conjugué. La forme trigonométrique et exponentielle offrent des outils puissants pour les équations, les rotations et les calculs de puissances. Prenez le temps de maîtriser les deux formes et de passer de l'une à l'autre avec aisance.
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Cours préparé par Sif Elarab Ayyoub — EduMaroc
Source : edumaroc.org
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