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Cours de Mathématiques : Fonction racine n-ième et puissances rationnelles — 2e BAC PC 2025-2026
| Niveau | 2e année du baccalauréat |
| Filière | Sciences Physiques et Chimie (PC) |
| Matière | Mathématiques |
| Chapitre | Fonctions de référence — Racine n-ième et puissances |
| Sous-chapitre | Définition, propriétés algébriques, domaine, limites, continuité, dérivabilité, équation $x^n = a$, exposant rationnel |
| Programme | Programme officiel marocain — 2025-2026 |
| Durée indicative d'étude | 8 heures |
| Dernière mise à jour | 14 octobre 2026 |
La fonction racine n-ième prolonge naturellement l'étude de la fonction racine carrée abordée au collège et au lycée. Elle généralise la notion de racine à tout entier $n \geq 2$ et permet de résoudre des équations du type $x^n = a$ dans $\mathbb{R}$. Ce chapitre s'inscrit dans la continuité directe de l'étude des fonctions de référence et prépare l'introduction des exposants rationnels, outil indispensable pour manipuler les puissances sous toutes leurs formes.
À l'examen national, ce chapitre n'apparaît pas systématiquement comme un exercice entier, mais il est omniprésent dans les calculs de limites, les études de fonctions composées et la résolution d'équations. Une bonne maîtrise des propriétés algébriques de la racine n-ième et des règles de calcul sur les exposants rationnels permet de gagner un temps précieux et d'éviter les erreurs de calcul dans des exercices plus complexes. Ce chapitre est également un prérequis pour l'étude des fonctions logarithmes et exponentielles, ainsi que pour les suites et la dérivation.
Tu trouveras dans ce cours une présentation complète et progressive : d'abord la définition rigoureuse de la racine n-ième et ses propriétés algébriques, puis l'étude du domaine de définition, des limites, de la continuité et de la dérivabilité. Ensuite, la résolution systématique de l'équation $x^n = a$ selon la parité de $n$, et enfin l'introduction de l'exposant rationnel avec ses règles de calcul. Des exercices intégrés (énoncés et corrections dans le même article), une fiche de révision, un quiz d'autoévaluation et une FAQ complètent ce dispositif pédagogique. Le bouton « Imprimer le cours » te permet d'obtenir une version propre, sans publicité, avec le copyright et le lien de l'article.
Table des matières
Prérequis
Avant d'aborder ce chapitre, tu dois maîtriser les notions suivantes vues dans les classes précédentes :
- Les propriétés de la fonction racine carrée sur $\mathbb{R}^+$ : sens de variation, continuité, dérivabilité.
- Les règles de calcul sur les puissances entières : $a^m \times a^n = a^{m+n}$, $(a^m)^n = a^{mn}$, $(ab)^n = a^n b^n$.
- La notion de fonction réciproque : si $f$ est continue et strictement monotone sur $I$, alors $f$ admet une réciproque $f^{-1}$ sur $f(I)$.
- Le calcul des limites des fonctions de référence et les opérations sur les limites.
- Les formules de dérivation : $(x^n)' = n x^{n-1}$, $(\sqrt{x})' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$, $(u \circ v)' = u' \times v'$.
- La résolution des équations du premier et du second degré, ainsi que la factorisation des polynômes simples.
Objectifs pédagogiques
À l'issue de ce cours, tu seras capable de :
- Définir la fonction racine n-ième et l'identifier comme la réciproque de la fonction $x \mapsto x^n$ sur $\mathbb{R}^+$.
- Utiliser les propriétés algébriques de la racine n-ième pour simplifier des expressions.
- Déterminer le domaine de définition d'une fonction contenant une racine n-ième.
- Calculer la limite d'une fonction composée avec une racine n-ième.
- Étudier la continuité et la dérivabilité de la fonction racine n-ième et de ses composées.
- Résoudre l'équation $x^n = a$ dans $\mathbb{R}$ selon la parité de $n$.
- Manipuler les exposants rationnels et appliquer les règles de calcul correspondantes.
Le cours complet
1. Définition de la racine n-ième
Définition. Soit $n \in \mathbb{N}^*$. La fonction $x \mapsto x^n$ est continue et strictement croissante sur $\mathbb{R}^+$. Elle réalise donc une bijection de $\mathbb{R}^+$ sur $\mathbb{R}^+$. Sa bijection réciproque est appelée fonction racine n-ième et est notée $\sqrt[n]{\cdot}$ :
$$\sqrt[n]{\cdot} : \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+, \quad x \mapsto \sqrt[n]{x}$$
Elle est caractérisée par l'équivalence fondamentale :
$$(\forall x \in \mathbb{R}^+) (\forall y \in \mathbb{R}^+) : \quad \sqrt[n]{x} = y \iff x = y^n$$
Cas particuliers. Pour $n = 2$, on retrouve la fonction racine carrée $\sqrt{x}$. Pour $n = 3$, on parle de racine cubique $\sqrt[3]{x}$.
2. Propriétés algébriques
Pour tous $x, y \in \mathbb{R}^+$ et $m, n \in \mathbb{N}^*$ :
$$\sqrt[n]{x} \cdot \sqrt[n]{y} = \sqrt[n]{xy}$$
$$\left(\sqrt[n]{x}\right)^m = \sqrt[n]{x^m}$$
$$\frac{\sqrt[n]{x}}{\sqrt[n]{y}} = \sqrt[n]{\frac{x}{y}} \quad (y \neq 0)$$
$$\sqrt[m]{\sqrt[n]{x}} = \sqrt[mn]{x}$$
Propriétés de monotonie et d'égalité. Pour $x, y \in \mathbb{R}^+$ et $n \in \mathbb{N}^*$ :
$$\sqrt[n]{x^n} = x \quad \text{et} \quad \left(\sqrt[n]{x}\right)^n = x$$
$$\sqrt[n]{x} = \sqrt[n]{y} \iff x = y$$
$$\sqrt[n]{x} > \sqrt[n]{y} \iff x > y$$
Quantité conjuguée. Pour simplifier des expressions contenant des racines, on utilise souvent la quantité conjuguée :
$$\sqrt{x} - \sqrt{y} = \frac{x - y}{\sqrt{x} + \sqrt{y}}$$
$$\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{y} = \frac{x - y}{\sqrt[3]{x^2} + \sqrt[3]{x}\sqrt[3]{y} + \sqrt[3]{y^2}}$$
3. Domaine de définition
Deux cas doivent être distingués :
- Cas 1. Pour $f(x) = \sqrt[n]{x}$, le domaine de définition est $D_f = [0, +\infty[$.
- Cas 2. Pour $f(x) = \sqrt[n]{u(x)}$, le domaine de définition est $D_f = \{x \in \mathbb{R} \mid x \in D_u \text{ et } u(x) \geq 0\}$.
4. Limites
Soit $u$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $x_0$ une borne (finie ou infinie) de $I$.
Si $\displaystyle\lim_{x \to x_0} u(x) = \ell$ avec $\ell \geq 0$, alors :
$$\lim_{x \to x_0} \sqrt[n]{u(x)} = \sqrt[n]{\ell}$$
Si $\displaystyle\lim_{x \to x_0} u(x) = +\infty$, alors :
$$\lim_{x \to x_0} \sqrt[n]{u(x)} = +\infty$$
Ces résultats restent valables lorsque $x \to x_0^+$, $x \to x_0^-$, $x \to +\infty$ ou $x \to -\infty$.
5. Continuité
Soit $u$ une fonction définie sur un intervalle $I$. Si $u$ est positive et continue sur $I$, alors la fonction $x \mapsto \sqrt[n]{u(x)}$ est continue sur $I$.
6. Dérivabilité
Dérivée de la fonction racine n-ième. La fonction $x \mapsto \sqrt[n]{x}$ est dérivable sur $]{]0, +\infty[}$ et :
$$(\forall x \in {]0, +\infty[}) : \quad \left(\sqrt[n]{x}\right)' = \frac{1}{n \sqrt[n]{x^{n-1}}}$$
Dérivée d'une fonction composée. Soit $u$ une fonction définie sur un intervalle $I$. Si $u$ est strictement positive et dérivable sur $I$, alors $x \mapsto \sqrt[n]{u(x)}$ est dérivable sur $I$ et :
$$(\forall x \in I) : \quad \left(\sqrt[n]{u(x)}\right)' = \frac{u'(x)}{n \sqrt[n]{[u(x)]^{n-1}}}$$
7. Résolution de l'équation $x^n = a$
Le nombre de solutions de l'équation $x^n = a$ dépend de la parité de $n$ et du signe de $a$.
| Valeur de $a$ | $n$ pair | $n$ impair |
|---|---|---|
| $a > 0$ | $S = \{-\sqrt[n]{a}, \sqrt[n]{a}\}$ | $S = \{\sqrt[n]{a}\}$ |
| $a = 0$ | $S = \{0\}$ | $S = \{0\}$ |
| $a < 0$ | $S = \varnothing$ | $S = \{-\sqrt[n]{-a}\}$ |
Interprétation graphique. Si $n$ est pair, l'équation $x^n = a$ n'admet de solution que si $a \geq 0$, car la courbe de $x \mapsto x^n$ est entièrement située au-dessus de l'axe des abscisses. Si $n$ est impair, la fonction $x \mapsto x^n$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ tout entier, donc l'équation $x^n = a$ admet toujours une unique solution.
8. Exposant rationnel
Définition. Soit $r = \dfrac{p}{q}$ un nombre rationnel non nul, avec $p \in \mathbb{Z}^*$ et $q \in \mathbb{N}^*$. Pour tout $x \in {]0, +\infty[}$ :
$$x^r = x^{p/q} = \sqrt[q]{x^p}$$
Cas particulier. Pour tout $x \in {]0, +\infty[}$ : $\sqrt[n]{x} = x^{1/n}$.
Domaine de définition. Le domaine de définition de $f(x) = [u(x)]^r$ est :
$$D_f = \{x \in \mathbb{R} \mid x \in D_u \text{ et } u(x) > 0\}$$
Dérivée. La fonction $x \mapsto x^r$ est dérivable sur $]{]0, +\infty[}$ et :
$$(x^r)' = r \cdot x^{r-1}$$
Pour $u$ strictement positive et dérivable sur $I$ :
$$\left([u(x)]^r\right)' = r \cdot u'(x) \cdot [u(x)]^{r-1}$$
Règles de calcul. Pour tous $x, y \in {]0, +\infty[}$ et $r, r' \in \mathbb{Q}$ :
$$x^r \cdot x^{r'} = x^{r + r'} \qquad (x^r)^{r'} = x^{r \times r'} \qquad (xy)^r = x^r y^r$$
$$\left(\frac{x}{y}\right)^r = \frac{x^r}{y^r} \qquad \frac{x^r}{x^{r'}} = x^{r - r'} \qquad \frac{1}{x^{r}} = x^{-r}$$
Méthodes et exemples corrigés
Méthode 1 : simplifier une expression contenant des racines
Exemple. Simplifier $\sqrt{8} \cdot \sqrt[3]{27} \cdot \sqrt[4]{64}$.
Étape 1. On décompose chaque racine en produit de puissances premières : $\sqrt{8} = \sqrt{2^3} = 2\sqrt{2}$.
Étape 2. $\sqrt[3]{27} = \sqrt[3]{3^3} = 3$.
Étape 3. $\sqrt[4]{64} = \sqrt[4]{2^6} = 2^{6/4} = 2^{3/2} = 2\sqrt{2}$.
Étape 4. Produit : $2\sqrt{2} \times 3 \times 2\sqrt{2} = 12 \times 2 = 24$.
Méthode 2 : calculer une limite avec une racine n-ième
Exemple. Calculer $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \sqrt[3]{x^3 + x}$.
Étape 1. On factorise par le terme dominant sous la racine : $\sqrt[3]{x^3 + x} = \sqrt[3]{x^3\left(1 + \dfrac{1}{x^2}\right)}$.
Étape 2. On utilise la propriété $\sqrt[3]{ab} = \sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b}$ : $\sqrt[3]{x^3} \cdot \sqrt[3]{1 + \dfrac{1}{x^2}} = x \cdot \sqrt[3]{1 + \dfrac{1}{x^2}}$.
Étape 3. Quand $x \to +\infty$ : $\dfrac{1}{x^2} \to 0$, donc $\sqrt[3]{1 + \dfrac{1}{x^2}} \to 1$.
Étape 4. Produit : $x \times 1 \to +\infty$. Conclusion : $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \sqrt[3]{x^3 + x} = +\infty$.
Méthode 3 : dériver une fonction composée avec racine n-ième
Exemple. Calculer la dérivée de $f(x) = \sqrt[3]{x^2 + 1}$.
Étape 1. On identifie $u(x) = x^2 + 1$, strictement positive sur $\mathbb{R}$, donc $u'(x) = 2x$.
Étape 2. On applique la formule : $f'(x) = \dfrac{u'(x)}{3 \sqrt[3]{[u(x)]^2}}$.
Étape 3. Conclusion : $f'(x) = \dfrac{2x}{3 \sqrt[3]{(x^2 + 1)^2}}$.
Méthode 4 : résoudre une équation $x^n = a$
Exemple. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $x^5 = 32$.
Étape 1. On identifie $n = 5$ (impair) et $a = 32 > 0$.
Étape 2. L'équation admet une unique solution : $x = \sqrt[5]{32}$.
Étape 3. On calcule : $32 = 2^5$, donc $\sqrt[5]{32} = 2$.
Étape 4. Conclusion : $S = \{2\}$.
Erreurs fréquentes et pièges
Erreur 1. Écrire $\sqrt[n]{x^n} = x$ pour tout $x \in \mathbb{R}$. Cette égalité n'est vraie que pour $x \geq 0$. Pour $n$ pair et $x < 0$, on a $\sqrt[n]{x^n} = |x|$.
Erreur 2. Confondre $\sqrt[n]{x + y}$ et $\sqrt[n]{x} + \sqrt[n]{y}$. Il n'existe pas de formule de linéarité : la racine n-ième n'est pas une application linéaire.
Erreur 3. Oublier que la fonction racine n-ième n'est définie que sur $\mathbb{R}^+$. L'expression $\sqrt[4]{-16}$ n'a aucun sens dans $\mathbb{R}$.
Erreur 4. Écrire $\sqrt[3]{-8} = -2$ sans justifier. Cette égalité est correcte car $n = 3$ est impair, mais elle ne relève pas de la définition de la racine n-ième qui est posée sur $\mathbb{R}^+$. En pratique, on étend la racine cubique à $\mathbb{R}$ en posant $\sqrt[3]{-x} = -\sqrt[3]{x}$.
Erreur 5. Confondre $x^{p/q}$ et $\dfrac{x^p}{x^q}$. L'exposant rationnel $p/q$ désigne la racine q-ième de $x^p$ : $x^{p/q} = \sqrt[q]{x^p}$.
Erreur 6. Oublier que la dérivée de $\sqrt[n]{x}$ n'est définie que sur $]{]0, +\infty[}$ (et non sur $[0, +\infty[$), car la fonction n'est pas dérivable en 0 (tangente verticale).
Exercices et examens nationaux
Les exercices suivants sont intégrés directement dans cet article. Cherche d'abord la solution par toi-même avant de consulter la correction.
| Exercice | Type | Année / Session | Niveau |
|---|---|---|---|
| Exercice 1 — Simplification de racines | Application directe | — | Facile |
| Exercice 2 — Résolution d'équations $x^n = a$ | Application | — | Facile |
| Exercice 3 — Domaine de définition | Synthèse | — | Moyen |
| Exercice 4 — Calcul de limite | Technique | — | Moyen |
| Exercice 5 — Dérivée d'une composée | Synthèse | — | Moyen |
| Exercice 6 — Exposant rationnel | Synthèse | — | Difficile |
Exercice 1 — Simplification de racines
Énoncé. Simplifier les expressions suivantes : (a) $\sqrt{8}$ ; (b) $\sqrt[3]{27}$ ; (c) $\sqrt[4]{64}$ ; (d) $\sqrt[5]{32}$.
Voir la correction
(a) $\sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = \sqrt{4} \times \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$.
(b) $\sqrt[3]{27} = \sqrt[3]{3^3} = 3$.
(c) $\sqrt[4]{64} = \sqrt[4]{2^6} = 2^{6/4} = 2^{3/2} = 2\sqrt{2}$.
(d) $\sqrt[5]{32} = \sqrt[5]{2^5} = 2$.
Exercice 2 — Résolution d'équations $x^n = a$
Énoncé. Résoudre dans $\mathbb{R}$ : (a) $x^5 = 32$ ; (b) $x^3 = -125$ ; (c) $x^6 = 2$ ; (d) $x^8 = -1$.
Voir la correction
(a) $n = 5$ impair, $a = 32 > 0$. Solution unique : $x = \sqrt[5]{32} = 2$. Donc $S = \{2\}$.
(b) $n = 3$ impair, $a = -125 < 0$. Solution unique : $x = -\sqrt[3]{125} = -5$. Donc $S = \{-5\}$.
(c) $n = 6$ pair, $a = 2 > 0$. Deux solutions : $x = \pm\sqrt[6]{2}$. Donc $S = \{-\sqrt[6]{2}, \sqrt[6]{2}\}$.
(d) $n = 8$ pair, $a = -1 < 0$. Aucune solution réelle. Donc $S = \varnothing$.
Exercice 3 — Domaine de définition
Énoncé. Déterminer le domaine de définition de $f(x) = \sqrt[3]{x - 2}$ et de $g(x) = \sqrt[4]{x - 2}$.
Voir la correction
Pour $f$ : $f(x) = \sqrt[3]{u(x)}$ avec $u(x) = x - 2$. La condition est $u(x) \geq 0$, soit $x \geq 2$. Donc $D_f = [2, +\infty[$.
Pour $g$ : même condition, $x - 2 \geq 0$, soit $x \geq 2$. Donc $D_g = [2, +\infty[$.
Remarque : pour $n$ impair, on peut étendre la définition de la racine n-ième à $\mathbb{R}$ tout entier en posant $\sqrt[n]{-x} = -\sqrt[n]{x}$. Si on adopte cette convention, $D_f = \mathbb{R}$.
Exercice 4 — Calcul de limite
Énoncé. Calculer $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \sqrt[3]{x^3 + x}$ et $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(\sqrt[4]{x^4 + 1} - x\right)$.
Voir la correction
Première limite : on factorise par $x^3$ : $\sqrt[3]{x^3\left(1 + \dfrac{1}{x^2}\right)} = x \sqrt[3]{1 + \dfrac{1}{x^2}}$. Comme $\dfrac{1}{x^2} \to 0$, on a $\sqrt[3]{1 + \dfrac{1}{x^2}} \to 1$ et $x \to +\infty$, donc la limite est $+\infty$.
Seconde limite : on multiplie par la quantité conjuguée : $\sqrt[4]{x^4 + 1} - x = \dfrac{(\sqrt[4]{x^4 + 1} - x)(\sqrt[4]{x^4 + 1} + x)}{\sqrt[4]{x^4 + 1} + x} = \dfrac{\sqrt{x^4 + 1} - x^2}{\sqrt[4]{x^4 + 1} + x}$.
On répète la technique sur $\sqrt{x^4 + 1} - x^2$ : $\dfrac{(x^4 + 1) - x^4}{\sqrt{x^4 + 1} + x^2} = \dfrac{1}{\sqrt{x^4 + 1} + x^2}$.
Au final : $\sqrt[4]{x^4 + 1} - x = \dfrac{1}{(\sqrt[4]{x^4 + 1} + x)(\sqrt{x^4 + 1} + x^2)}$.
Quand $x \to +\infty$, le dénominateur tend vers $+\infty$, donc la limite est $0$.
Exercice 5 — Dérivée d'une composée
Énoncé. Calculer la dérivée de $f(x) = \sqrt[4]{x^2 + 1}$ sur $\mathbb{R}$.
Voir la correction
On pose $u(x) = x^2 + 1$, strictement positive sur $\mathbb{R}$, et $u'(x) = 2x$. On applique la formule $\left(\sqrt[n]{u}\right)' = \dfrac{u'}{n \sqrt[n]{u^{n-1}}}$.
Pour $n = 4$ : $f'(x) = \dfrac{2x}{4 \sqrt[4]{(x^2 + 1)^3}} = \dfrac{x}{2 \sqrt[4]{(x^2 + 1)^3}}$.
Exercice 6 — Exposant rationnel
Énoncé. Simplifier $A = \dfrac{\sqrt[3]{4} \cdot \sqrt{8} \cdot (\sqrt{\sqrt{2}})^2}{\sqrt{\sqrt[4]{4}}}$.
Voir la correction
On écrit tout sous forme de puissances de 2 :
$\sqrt[3]{4} = 2^{2/3}$ ; $\sqrt{8} = 2^{3/2}$ ; $(\sqrt{\sqrt{2}})^2 = \sqrt{2} = 2^{1/2}$ ; $\sqrt{\sqrt[4]{4}} = \sqrt{2^{1/2}} = 2^{1/4}$.
On applique les règles de calcul sur les exposants :
$$A = \frac{2^{2/3} \cdot 2^{3/2} \cdot 2^{1/2}}{2^{1/4}} = 2^{2/3 + 3/2 + 1/2 - 1/4}$$
Calcul de l'exposant : $\dfrac{2}{3} + \dfrac{3}{2} + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{4} = \dfrac{8}{12} + \dfrac{18}{12} + \dfrac{6}{12} - \dfrac{3}{12} = \dfrac{29}{12}$.
Conclusion : $A = 2^{29/12}$.
Tous les exercices et sujets corrigés
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| Notion | Formule / Résultat |
|---|---|
| Définition | $\sqrt[n]{x} = y \iff x = y^n$ avec $x, y \in \mathbb{R}^+$ |
| Produit | $\sqrt[n]{x} \cdot \sqrt[n]{y} = \sqrt[n]{xy}$ |
| Quotient | $\dfrac{\sqrt[n]{x}}{\sqrt[n]{y}} = \sqrt[n]{\dfrac{x}{y}}$ |
| Puissance | $\left(\sqrt[n]{x}\right)^m = \sqrt[n]{x^m}$ |
| Racine de racine | $\sqrt[m]{\sqrt[n]{x}} = \sqrt[mn]{x}$ |
| Domaine | $D_f = \{x \mid u(x) \geq 0\}$ |
| Continuité | $u$ continue et positive $\Longrightarrow$ $\sqrt[n]{u}$ continue |
| Dérivée de $\sqrt[n]{x}$ | $\left(\sqrt[n]{x}\right)' = \dfrac{1}{n \sqrt[n]{x^{n-1}}}$ |
| Dérivée de $\sqrt[n]{u}$ | $\left(\sqrt[n]{u}\right)' = \dfrac{u'}{n \sqrt[n]{u^{n-1}}}$ |
| Équation $x^n = a$ ($n$ pair) | $S = \{\pm\sqrt[n]{a}\}$ si $a > 0$ ; $S = \{0\}$ si $a = 0$ ; $S = \varnothing$ si $a < 0$ |
| Équation $x^n = a$ ($n$ impair) | $S = \{\sqrt[n]{a}\}$ si $a \geq 0$ ; $S = \{-\sqrt[n]{-a}\}$ si $a < 0$ |
| Exposant rationnel | $x^{p/q} = \sqrt[q]{x^p}$ pour $x > 0$ |
| Dérivée de $x^r$ | $(x^r)' = r \cdot x^{r-1}$ |
| Produit de puissances | $x^r \cdot x^{r'} = x^{r + r'}$ |
| Puissance de puissance | $(x^r)^{r'} = x^{r \times r'}$ |
Quiz d'autoévaluation
Question 1 — Quel est le domaine de définition de $f(x) = \sqrt[n]{u(x)}$ ?
Réponse : $D_f = \{x \in \mathbb{R} \mid x \in D_u \text{ et } u(x) \geq 0\}$. Erreur fréquente : oublier la condition $u(x) \geq 0$.
Question 2 — Quelle est la dérivée de $\sqrt[n]{x}$ sur $]{]0, +\infty[}$ ?
Réponse : $\left(\sqrt[n]{x}\right)' = \dfrac{1}{n \sqrt[n]{x^{n-1}}}$. Erreur fréquente : confondre avec $\dfrac{1}{n\sqrt[n]{x}}$.
Question 3 — Si $n$ est pair, l'équation $x^n = a$ admet une solution si :
Réponse : $a \geq 0$. Si $a > 0$, deux solutions $\pm\sqrt[n]{a}$ ; si $a = 0$, une solution $x = 0$ ; si $a < 0$, aucune solution réelle.
Question 4 — Pour $x > 0$ et $r, r' \in \mathbb{Q}$, que vaut $x^r \cdot x^{r'}$ ?
Réponse : $x^{r + r'}$. Les exposants s'additionnent lors d'un produit de puissances de même base.
Question 5 — Pour $n$ impair et $a < 0$, que vaut $\sqrt[n]{a}$ ?
Réponse : La racine n-ième n'est pas définie sur $\mathbb{R}^-$ par la théorie de la bijection réciproque. On étend la convention en posant $\sqrt[n]{a} = -\sqrt[n]{-a}$. Par exemple, $\sqrt[3]{-8} = -2$.
Question 6 — $\sqrt[n]{x + y}$ est-il égal à $\sqrt[n]{x} + \sqrt[n]{y}$ ?
Réponse : Non. La racine n-ième n'est pas linéaire. Par exemple, $\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ alors que $\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7$.
Questions fréquentes
Pourquoi la fonction racine n-ième n'est-elle définie que sur $\mathbb{R}^+$ ?
La fonction $x \mapsto x^n$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}^+$ et réalise une bijection de $\mathbb{R}^+$ sur $\mathbb{R}^+$. Sa réciproque, la racine n-ième, est donc définie sur $\mathbb{R}^+$. Sur $\mathbb{R}^-$, la fonction $x \mapsto x^n$ n'est pas injective lorsque $n$ est pair, ce qui empêche de définir une réciproque.
La racine n-ième est-elle dérivable en 0 ?
Non. La fonction $\sqrt[n]{x}$ n'est pas dérivable en 0 car la tangente à la courbe en ce point est verticale. Le taux d'accroissement $\dfrac{\sqrt[n]{x} - 0}{x - 0} = x^{1/n - 1}$ tend vers $+\infty$ quand $x \to 0^+$ (car $1/n - 1 < 0$).
Comment étend-on la racine cubique à $\mathbb{R}$ tout entier ?
Pour $n$ impair, on étend la définition en posant $\sqrt[n]{-x} = -\sqrt[n]{x}$ pour tout $x \geq 0$. Cette convention est cohérente avec la relation $\sqrt[n]{x^n} = x$ valable pour tout $x \in \mathbb{R}$ lorsque $n$ est impair.
Quelle est la différence entre racine n-ième et exposant rationnel ?
La racine n-ième est une fonction définie sur $\mathbb{R}^+$ qui généralise la racine carrée. L'exposant rationnel est une notation qui unifie les racines et les puissances : $x^{p/q} = \sqrt[q]{x^p}$. Cette notation permet d'appliquer les règles de calcul habituelles sur les puissances.
Comment résoudre une équation du type $x^n = a$ ?
Il faut distinguer deux cas. Si $n$ est impair, l'équation admet toujours une unique solution réelle : $x = \sqrt[n]{a}$ si $a \geq 0$, ou $x = -\sqrt[n]{-a}$ si $a < 0$. Si $n$ est pair, l'équation n'a de solution que si $a \geq 0$ : deux solutions $\pm\sqrt[n]{a}$ si $a > 0$, une solution $x = 0$ si $a = 0$, aucune si $a < 0$.
Comment simplifier une expression contenant plusieurs racines ?
La méthode la plus efficace consiste à transformer toutes les racines en exposants rationnels, puis à appliquer les règles de calcul sur les puissances. Par exemple, $\sqrt[3]{4} = 2^{2/3}$ et $\sqrt{8} = 2^{3/2}$. On combine ensuite les exposants par addition ou multiplication selon les opérations en présence.
Résumé final
Dans ce cours, tu as découvert la fonction racine n-ième comme réciproque de la fonction $x \mapsto x^n$ sur $\mathbb{R}^+$. Tu as appris ses propriétés algébriques (produit, quotient, puissance, racine de racine) et les techniques de simplification utilisant la quantité conjuguée. Tu as également étudié son domaine de définition, son comportement asymptotique (limites), sa continuité et sa dérivabilité, aussi bien pour la fonction de référence que pour les fonctions composées.
Tu as vu comment résoudre l'équation $x^n = a$ selon la parité de $n$ et le signe de $a$, et tu as été initié à la notation exponentielle rationnelle $x^{p/q}$, qui unifie racines et puissances et facilite grandement les calculs. Les six exercices intégrés t'ont permis de mettre en pratique ces notions dans des contextes variés : simplification, résolution d'équations, calcul de limites, dérivation, manipulation d'exposants rationnels.
Ce chapitre, bien que technique, est fondamental pour la suite de ton parcours. Il te prépare à l'étude des fonctions logarithmes et exponentielles, ainsi qu'aux calculs de dérivées et de limites dans les chapitres avancés. Entraîne-toi régulièrement, refais les exercices sans consulter la correction, et reviens sur les définitions à chaque difficulté. Avec de la méthode et de la rigueur, tu maîtriseras sans peine cet outil essentiel. Bon courage.
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