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Limites et Continuité — Séance 2

Limite finie en 0 et en x₀ — Continuité — Prolongement — Limites usuelles — Limites infinies

Dans cette séance, nous étudions la notion de limite finie d'une fonction en un point, puis la continuité en un point et sur un intervalle. Nous abordons ensuite le prolongement par continuité, les limites usuelles liées aux fonctions trigonométriques, et enfin les limites infinies et les règles de calcul sur les limites. L'objectif est de maîtriser le calcul de limites et l'étude de la continuité des fonctions usuelles.

I — Limite finie en 0

1. Activité d'introduction

On considère les deux fonctions suivantes définies au voisinage de 0 :

f(x) = x²   et   g(x) = x³ / |x|

1. Représenter graphiquement la fonction f.
2. Représenter graphiquement la fonction g.
3. Compléter le tableau de valeurs suivant :

x	−10⁻²	−10⁻⁵	−10⁻¹⁰⁰	0	10⁻¹⁰⁰	10⁻⁵	10⁻²
f(x)	10⁻⁴	10⁻¹⁰	10⁻²⁰⁰	0	10⁻²⁰⁰	10⁻¹⁰	10⁻⁴
g(x)	−10⁻⁴	−10⁻¹⁰	−10⁻²⁰⁰	—	10⁻²⁰⁰	10⁻¹⁰	10⁻⁴

Observation : lorsque x s'approche de 0, f(x) et g(x) s'approchent de 0. On dit que la limite de f (et de g) est 0 lorsque x tend vers 0. On note :

lim_x→0 f(x) = 0   et   lim_x→0 g(x) = 0

Courbes de f(x) = x² (parabole) et g(x) = x³/|x| (symétrique par rapport à l'axe des abscisses).

2. Définition formelle

Définition : Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert privé de son centre 0. On dit que la limite de f est 0 lorsque x tend vers 0 si et seulement si :

∀ ε > 0, ∃ α > 0, ∀ x ∈ D_f :   0 < |x| < α ⟹ |f(x)| < ε

On note :   lim_x→0 f(x) = 0

Remarque : On a l'équivalence importante suivante :

lim_x→0 f(x) = 0  ⟺  lim_x→0 |f(x)| = 0

3. Propriétés

Propriété 1 : Pour tout a ∈ ℝ et pour tout n ∈ ℕ* :

lim_x→0 a·xⁿ = 0     et     lim_x→0 a·√x = 0

Propriété 2 (théorème d'encadrement) : S'il existe un intervalle ouvert I contenant 0 privé de 0 tel que ∀ x ∈ I : |f(x)| ≤ u(x), et si lim_x→0 u(x) = 0, alors :

lim_x→0 f(x) = 0

Preuve de la Propriété 2

Soit β > 0 tel que I = ]−β ; β[ \ {0}. On a ∀ x ∈ ]−β ; β[ \ {0} : |f(x)| ≤ u(x).
Comme lim_x→0 u(x) = 0, alors ∀ ε > 0, ∃ α > 0 tel que ∀ x ∈ D_f : 0 < |x| < α ⟹ |u(x)| < ε.
Prenons λ = inf(α ; β). Alors ∀ ε > 0, ∃ λ > 0 tel que ∀ x ∈ D_f : 0 < |x| < λ ⟹ |f(x)| < ε.
Donc : lim_x→0 f(x) = 0.

Exercice d'application

Montrer que :

lim_x→0 x / (x+1) = 0     et     lim_x→0 x·sin(1/x) = 0

II — Limite finie en un point x₀

Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert privé de son centre x₀. Intuitivement : f(x) tend vers l lorsque x tend vers x₀ signifie que lorsque x s'approche de x₀ (sans l'atteindre), f(x) s'approche de l. En posant h = x − x₀, cela revient à dire que f(x₀ + h) tend vers l quand h tend vers 0.

Définition : Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert privé de son centre x₀. On dit que f admet pour limite l en x₀ si la fonction h ↦ f(x₀ + h) − l tend vers 0 lorsque h tend vers 0. On note :

lim_x→x₀ f(x) = l

Remarques importantes

• lim_x→x₀ f(x) = l  ⟺  lim_h→0 f(x₀ + h) = l

• lim_x→x₀ f(x) = l  ⟺  lim_x→x₀ (f(x) − l) = 0

• Si la limite en x₀ existe, elle est unique.

• lim_x→x₀ f(x) = l  ⟺  lim_x→x₀ |f(x) − l| = 0

• ∀ a ∈ ℝ, ∀ n ∈ ℕ* :   lim_x→x₀ a(x − x₀)ⁿ = 0

Exercice d'application

Montrer que :   lim_x→4 (2x−1)/(x−3) = 9

Propriété : Si lim_x→x₀ |f(x)| = |l| alors lim_x→x₀ f(x) = l.

Illustration : f(x) tend vers l quand x tend vers x0. Intervalle [l−e, l+e] et intervalle [x0−a, x0+a].

III — Continuité d'une fonction

1. Définition

Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert de centre x₀. On dit que f est continue en x₀ si et seulement si :

lim_x→x₀ f(x) = f(x₀)

Exemples de fonctions continues en 0

• Les fonctions constantes sont continues en tout point de leur ensemble de définition.

• La fonction x ↦ x est continue en 0.

• Les fonctions x ↦ a·xⁿ (n ∈ ℕ*) sont continues en 0.

Convention

Si f est définie sur un intervalle ouvert de centre x₀ et n'est pas continue en x₀, on dit que f est discontinue en x₀.

Exercice d'application

On considère la fonction f définie sur ℝ par :

f(x) = (x² − 1)/(x − 1)   si x ≠ 1,    et    f(1) = 2

Étudier la continuité de f en 1.

2. Continuité des fonctions polynomiales

Propriété : Toute fonction polynomiale est continue en tout point de ℝ.

Preuve

Soit P une fonction polynomiale et x₀ un élément de ℝ. On sait qu'il existe un polynôme Q tel que :
P(x) − P(x₀) = (x − x₀)·Q(x).
Écrivons Q(x) = a_nxⁿ + a_n−1xⁿ⁻¹ + … + a₁x + a₀. On majore |Q(x)| :
|Q(x)| ≤ M(|x|ⁿ + |x|ⁿ⁻¹ + … + |x| + 1), où M est le plus grand des |a_i|.
Pour x ∈ ]x₀ − 1 ; x₀ + 1[, on a |x| ≤ α (où α = |x₀| + 1). Donc :
|Q(x)| ≤ M(αⁿ + αⁿ⁻¹ + … + α + 1) = k.
D'où |P(x) − P(x₀)| = |x − x₀|·|Q(x)| ≤ k·|x − x₀|.
Or lim_x→x₀ k|x − x₀| = 0, donc par encadrement : lim_x→x₀ P(x) = P(x₀).
Conclusion : P est continue en x₀.

3. Applications au calcul de limites

Calculer les limites suivantes :

lim_x→5 (x³ − 4x² − 4x − 5)/(x − 5)    ;    lim_x→1 (3x² − 5x + 2)/(x − 1)
lim_x→2 |x² − 7x − 2|    ;    lim_x→1 (3x² + 4x − 2)/(x − 1)

IV — Prolongement par continuité

Considérons la fonction f : x ↦ (x² − 1)/(x − 1). Cette fonction n'est pas définie en 1. Cependant :

lim_x→1 f(x) = lim_x→1 (x² − 1)/(x − 1) = lim_x→1 (x + 1) = 2

On peut alors définir une nouvelle fonction g sur ℝ tout entier en posant :
g(x) = (x² − 1)/(x − 1) pour x ≠ 1, et g(1) = 2.
La fonction g est alors continue en 1. On dit que g est le prolongement par continuité de f en 1.

Définition : Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert privé de son centre x₀. Si lim_x→x₀ f(x) = l (l finie), alors la fonction g définie par g(x) = f(x) pour x ≠ x₀ et g(x₀) = l est le prolongement par continuité de f en x₀.

V — Limites et continuité des fonctions trigonométriques

1. Encadrement fondamental

On admet le résultat suivant : pour tout x ∈ [−π/2 ; π/2],

|sin x| ≤ |x| ≤ |tan x|

2. Continuité en 0

On a |sin x| ≤ |x| et lim_x→0 |x| = 0. Donc par encadrement : lim_x→0 sin x = 0.
De plus, cos x = 1 − 2sin²(x/2), donc :

lim_x→0 cos x = 1 − 2·0 = 1

3. Continuité sur ℝ

Soit x₀ ∈ ℝ. On a sin(x₀ + h) = sin(x₀)cos(h) + sin(h)cos(x₀). Comme lim_h→0 cos h = 1 et lim_h→0 sin h = 0, alors :

lim_x→x₀ sin x = sin x₀

Conclusion :

• Les fonctions x ↦ sin x et x ↦ cos x sont continues sur ℝ.

• La fonction x ↦ tan x est continue sur ℝ \ {π/2 + kπ, k ∈ ℤ}.

• Les fonctions x ↦ sin(ax + b) et x ↦ cos(ax + b) sont continues sur ℝ.

• La fonction x ↦ tan(ax + b) est continue sur son ensemble de définition.

VI — Limites usuelles importantes

1. Limite de sin(x)/x en 0

Pour x ≠ 0, on a |sin x| ≤ |x| ≤ |tan x|. En inversant (attention au signe) et en divisant par |sin x|, on obtient :
|cos x| ≤ |sin x / x| ≤ 1.
Or lim_x→0 cos x = 1. Par encadrement, on conclut :

lim_x→0 sin(x)/x = 1

2. Autres limites usuelles

On démontre (par transformations trigonométriques) :

lim_x→0 (1 − cos x)/x² = 1/2
lim_x→0 tan(x)/x = 1

Résultat général : Pour tout a ≠ 0 :

lim_x→0 sin(ax)/(ax) = 1    et    lim_x→0 tan(ax)/(ax) = 1

Exercice d'application

Calculer les limites suivantes :

• lim_x→0 sin(x)/sin(3x)

• lim_x→0 sin²(x)/(3x²)

• lim_x→0 sin(3x)/(4x)

• lim_x→0 sin(3x)/sin(x)

• lim_x→0 (cos 4x − cos 2x)/(sin 4x + sin 2x)

• lim_x→0 (1 − cos 2x)/x

• lim_x→0 tan(3x)/sin(2x)

VII — Limites infinies

1. Limite +∞ en 0

Considérons la fonction f(x) = 1/|x|. Étudions son comportement au voisinage de 0 :

x	10⁻¹⁰⁰	10⁻¹⁰⁹	10⁻¹⁰¹²	10⁻¹⁰¹⁰⁰
f(x)	10¹⁰⁰	10¹⁰⁹	10¹⁰¹²	10¹⁰¹⁰⁰

Lorsque x s'approche de 0, f(x) devient très grand. On dit que f tend vers +∞ en 0.

Définition : Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert privé de son centre 0. On note :

lim_x→0 f(x) = +∞  ⟺  (∀ A > 0)(∃ a > 0)(∀ x ∈ D_f) : 0 < |x| < a ⟹ f(x) > A

Propriétés

• lim_x→x₀ f(x) = +∞  ⟺  lim_h→0 f(x₀ + h) = +∞

• lim_x→x₀ f(x) = −∞  ⟺  lim_x→x₀ (−f(x)) = +∞

• Pour k ∈ ℝ**, n ∈ ℕ* : lim_x→0 k/|xⁿ| = +∞ et lim_x→0 k/√|x| = +∞

Courbe de f(x) = 1/|x| : f(x) tend vers +infini quand x tend vers 0.

2. Limite +∞ en +∞

Définition : Soit f une fonction définie sur un intervalle du type ]a ; +∞[. On note :

lim_x→+∞ f(x) = +∞  ⟺  (∀ A > 0)(∃ B > 0)(∀ x ∈ D_f) : x > B ⟹ f(x) > A

Propriétés

• lim_x→+∞ f(x) = −∞  ⟺  lim_x→+∞ (−f(x)) = +∞

• lim_x→−∞ f(x) = lim_x→+∞ f(−x)

• Si f(x) ≥ u(x) et lim_x→+∞ u(x) = +∞, alors lim_x→+∞ f(x) = +∞

• Si f(x) ≤ u(x) et lim_x→+∞ u(x) = −∞, alors lim_x→+∞ f(x) = −∞

VIII — Opérations sur les limites

1. Limite d'une somme

lim f	lim g	lim (f + g)
l	l'	l + l'
l	+∞	+∞
l	−∞	−∞
+∞	+∞	+∞
−∞	−∞	−∞
+∞	−∞	Forme indéterminée

2. Limite d'un produit

lim f	lim g	lim (f × g)
l	l'	l × l'
l ≠ 0	±∞	±∞ (signe selon règle des signes)
0	±∞	Forme indéterminée
+∞	+∞	+∞
−∞	−∞	+∞
+∞	−∞	−∞

Remarque : Pour calculer la limite de f/g, on peut considérer f/g comme le produit de f par 1/g.

3. Limite d'un quotient

lim f	lim g	lim (f / g)
l	l' ≠ 0	l / l'
l ≠ 0	0⁺	±∞ (signe de l)
l ≠ 0	0⁻	±∞ (signe opposé à l)
0	0	Forme indéterminée
±∞	±∞	Forme indéterminée
l ≠ 0	±∞	0

IX — Applications : limites des polynômes et fractions rationnelles

1. Limite d'une fonction puissance

Soit n ∈ ℕ*. On a :

lim_x→+∞ xⁿ = +∞
Si n est pair : lim_x→−∞ xⁿ = +∞
Si n est impair : lim_x→−∞ xⁿ = −∞
lim_x→±∞ 1/xⁿ = 0

2. Limite d'une fonction polynomiale

Soit P(x) = a_nxⁿ + a_n−1xⁿ⁻¹ + … + a₁x + a₀. On factorise par le terme de plus haut degré :

P(x) = a_nxⁿ · [1 + (a_n−1/(a_nx)) + … + (a₀/(a_nxⁿ))]

Or lim_x→±∞ [1 + (a_n−1/(a_nx)) + … + (a₀/(a_nxⁿ))] = 1, donc :

lim_x→±∞ P(x) = lim_x→±∞ a_nxⁿ

La limite d'une fonction polynomiale en ±∞ est la limite de son terme de plus haut degré.

Exemples

lim_x→+∞ (−4x⁵ + 3x² − 5x + 1) = lim_x→+∞ (−4x⁵) = −∞

lim_x→−∞ (−3x⁷ + 7x³ − x + 31) = lim_x→−∞ (−3x⁷) = +∞

3. Limite d'une fonction rationnelle

La limite d'une fonction rationnelle en ±∞ est la limite du quotient de ses termes de plus haut degré.

Exemples

lim_x→+∞ (−4x⁵ + 3x² − 5x + 1)/(3x² − x + 1) = lim_x→+∞ (−4x⁵)/(3x²) = lim_x→+∞ (−4/3)x³ = −∞

lim_x→−∞ (−3x⁷ + 7x³ − x + 31)/(x⁹ + 3x² − 4) = lim_x→−∞ (−3x⁷)/(x⁹) = lim_x→−∞ (−3/x²) = 0

lim_x→+∞ (7x⁵ + 3x² − 5x + 1)/(3x⁵ − x⁴ + 1) = lim_x→+∞ (7x⁵)/(3x⁵) = 7/3

Exercices corrigés

Exercice 1 — Montrer une limite par encadrement

Montrer que : lim_x→0 (2 + x²cos(1/x)) = 2

On écrit : 2 + x²cos(1/x) − 2 = x²cos(1/x).

Or |cos(1/x)| ≤ 1, donc |x²cos(1/x)| ≤ x².

Comme lim_x→0 x² = 0, par encadrement : lim_x→0 x²cos(1/x) = 0.

D'où : lim_x→0 (2 + x²cos(1/x)) = 2.

Exercice 2 — Limite en un point x₀

Montrer que : lim_x→4 (2x − 1)/(x − 3) = 9

Posons h = x − 4, donc x = 4 + h.

(2x − 1)/(x − 3) = (2(4+h) − 1)/((4+h) − 3) = (7 + 2h)/(1 + h).

Donc : (2x−1)/(x−3) − 9 = (7 + 2h)/(1 + h) − 9 = (7 + 2h − 9 − 9h)/(1 + h) = (−2 − 7h)/(1 + h).

Quand h → 0, le numérateur tend vers −2 et le dénominateur vers 1, donc le quotient tend vers −2.

En fait, la limite cherchée : lim_x→4 (2x−1)/(x−3) = (2·4 − 1)/(4 − 3) = 7/1 = 7.

(Note : l'énoncé demandait de montrer que c'est 9 — vérifier l'énoncé original.)

Exercice 3 — Limite en +∞

Montrer que : lim_x→+∞ (x² − 2)/(x² + 1) = 1

(x² − 2)/(x² + 1) − 1 = (x² − 2 − x² − 1)/(x² + 1) = −3/(x² + 1).

Or |−3/(x²+1)| ≤ 3/x² et lim_x→+∞ 3/x² = 0.

Donc lim_x→+∞ [(x²−2)/(x²+1) − 1] = 0, d'où le résultat.

Exercice 4 — Calcul de limites

Calculer les limites suivantes :

• lim_x→1 (x² + x − 2)/(2x² + x − 3)
• lim_x→2 (x² − x − 6)/(x − 2)
• lim_x→+∞ (√(x² + 2) + 3x)/(2x − 1)
• lim_x→+∞ (√(x + 3) − 4)/x

1) x² + x − 2 = (x−1)(x+2) et 2x² + x − 3 = (x−1)(2x+3). Donc limite = (1+2)/(2+3) = 3/5.

2) x² − x − 6 = (x−2)(x+3)... en fait (x−3)(x+2). Évaluons en 2 : 4 − 2 − 6 = −4 ≠ 0, donc pas de FI. Limite = −4/0⁻ ou 0⁺ selon le signe. En fait x−2 → 0, donc limite infinie. Selon x > 2 ou x < 2, on a ±∞.

3) On factorise par x au numérateur et dénominateur : (√(x²+2) + 3x)/(2x−1) = (x√(1+2/x²) + 3x)/(x(2 − 1/x)) = (√(1+2/x²) + 3)/(2 − 1/x). Limite = (1 + 3)/2 = 2.

4) (√(x+3) − 4)/x. On multiplie par le conjugué : ((x+3) − 16)/(x(√(x+3) + 4)) = (x − 13)/(x(√(x+3) + 4)) = (1 − 13/x)/(√(x+3) + 4). Limite = 1/(+∞) = 0.

Exercice 5 — Étude de continuité

Étudier la continuité des fonctions suivantes en 0 ou en 1 :

• f(x) = (2x² − 3x + 1)/(x² − x)   (en 0 et 1)
• g(x) = x² − 1 + √(x − 2)   (sur son domaine)
• h(x) = 2x² − x si x > 1 ; h(x) = −x² + 2 si x ≤ 1   (en 1)

f(x) = (2x² − 3x + 1)/(x² − x) = (2x−1)(x−1)/(x(x−1)) = (2x−1)/x pour x ≠ 0 et x ≠ 1.

En 0 : limite = −1/0 → ±∞, donc non continue (et non définie) en 0.
En 1 : limite = (2−1)/1 = 1, donc prolongeable par continuité en 1 avec f(1) = 1.

g(x) : définie pour x ≥ 2. Sur ]2 ; +∞[, g est continue (somme de fonctions continues). En 2 : g(2) = 4 − 1 + 0 = 3 et lim_x→2⁺ g(x) = 3. Donc g est continue en 2. Donc g est continue sur [2 ; +∞[.

h(x) : h(1) = −1 + 2 = 1 (branche x ≤ 1). lim_x→1⁺ h(x) = 2 − 1 = 1. lim_x→1⁻ h(x) = −1 + 2 = 1. Les trois valeurs coïncident, donc h est continue en 1.

QCM — Testez vos connaissances

Question 1 — Que vaut lim_x→0 sin(x)/x ?

A) 0    B) 1    C) +∞    D) 1/2

Réponse : B) 1. C'est une limite usuelle fondamentale.

Question 2 — La fonction f est continue en x₀ si et seulement si :

A) f est définie en x₀
B) lim_x→x₀ f(x) existe
C) lim_x→x₀ f(x) = f(x₀)
D) f est dérivable en x₀

Réponse : C. C'est la définition même de la continuité en x₀.

Question 3 — Que vaut lim_x→+∞ (3x³ + 2x)/(x³ − 5) ?

A) 0    B) 3    C) +∞    D) 1/3

Réponse : B) 3. On compare les termes de plus haut degré : 3x³/x³ = 3.

Question 4 — lim_x→0 (1 − cos x)/x² est égale à :

A) 0    B) 1    C) 1/2    D) 2

Réponse : C) 1/2. Limite usuelle à mémoriser.

Question 5 — La limite en ±∞ d'une fonction polynomiale est :

A) Toujours +∞
B) La limite de son terme constant
C) La limite de son terme de plus haut degré
D) Toujours 0

Réponse : C. C'est la propriété fondamentale des limites de polynômes.

Question 6 — lim_x→0⁺ 1/x est égale à :

A) 0    B) +∞    C) −∞    D) 1

Réponse : B) +∞. Quand x → 0⁺, 1/x devient très grand positif.

Tableau récapitulatif

Notion	Condition	Résultat / Exemple
Limite finie en 0	∀ ε > 0, ∃ α > 0 : 0 < |x| < α ⟹ |f(x)| < ε	limx→0 f(x) = 0
Limite finie en x₀	limh→0 f(x₀ + h) = l	limx→x₀ f(x) = l
Continuité en x₀	limx→x₀ f(x) = f(x₀)	f est continue en x₀
Continuité des polynômes	P est polynomiale	P est continue sur ℝ
Prolongement par continuité	limx→x₀ f(x) = l (finie)	g(x₀) = l rend g continue
Limite usuelle 1	x → 0	sin(x)/x → 1
Limite usuelle 2	x → 0	(1 − cos x)/x² → 1/2
Limite usuelle 3	x → 0	tan(x)/x → 1
Limite +∞ en 0	(∀ A > 0)(∃ a > 0) : |x| < a ⟹ f(x) > A	limx→0 1/|x| = +∞
Limite +∞ en +∞	(∀ A > 0)(∃ B > 0) : x > B ⟹ f(x) > A	limx→+∞ xⁿ = +∞
Polynôme en ±∞	P(x) = anxⁿ + …	lim P = lim anxⁿ
Fraction rationnelle	x → ±∞	Quotient des termes de plus haut degré
Formes indéterminées	0/0 ; ∞/∞ ; 0×∞ ; ∞−∞	À lever (factorisation, conjugué, taux d'accroissement)

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