Limites et Continuité – Séance 3

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Continuité et Théorème des Valeurs Intermédiaires

Séance 3-4 — Continuité en un point et sur un intervalle · TVI · Fonction réciproque · Racine n-ième

La notion de continuité nous est familière : le temps s'écoule de manière continue, on ne passe pas brutalement de 12h à 12h01s, il n'y a pas de saut. C'est dans ce sens que l'expression « fonction continue » est employée en mathématiques.

Le XIX^e siècle a connu un intérêt majeur pour la rigueur mathématique, conduisant à préciser les concepts fondamentaux de l'analyse. Augustin-Louis Cauchy (1789–1857) fut l'un des principaux acteurs de ce mouvement. Il donna des définitions précises des limites, de la continuité, de l'intégrale et de la convergence des suites et des séries.

I — Continuité en un point

1. Activité d'introduction

On considère la fonction numérique f définie par :

f(x) = x² − 4x − 2  si x ≠ 2   et   f(2) = 4

1. Déterminer l'ensemble de définition D_f de f.
2. Calculer x→2lim f(x).
3. Représenter graphiquement f.
4. Que remarque-t-on ? On a x→2lim f(x) = f(2). On dit que f est continue en 2.

2. Définition formelle

Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert I et a ∈ I. On dit que f est continue en a si et seulement si :

x→alim f(x) = f(a)

Remarque : si f n'est pas continue en a, on dit que f est discontinue (ou non continue) en a.

A gauche : fonction continue en a (courbe sans saut). A droite : fonction discontinue en a (saut).

3. Exemple détaillé

Soit f la fonction définie par :

f(x) = 2x² − 2x − 1  si x ≠ 1   et   f(1) = 4

Montrons que f est continue en 1. On calcule :

x→1lim f(x) = x→1lim 2x² − 2x − 1 = x→1lim 2(x² − 1)x − 1 = x→1lim 2(x + 1) = 4

Or f(1) = 4. Donc x→1lim f(x) = f(1) : la fonction f est continue en 1.

II — Continuité sur un intervalle

Définition :

• f est continue sur un intervalle ouvert ]a ; b[ si elle est continue en tout point de ]a ; b[.

• f est continue sur un intervalle fermé [a ; b] si elle est continue sur ]a ; b[ et continue à droite en a et à gauche en b.

Remarques :

• On définit de même la continuité sur [a ; +∞[, ]−∞ ; a], ]a ; b], etc.

• La courbe d'une fonction continue sur [a ; b] est une ligne sans saut dont les extrémités sont les points (a ; f(a)) et (b ; f(b)).

Fonctions continues de référence

• Toute fonction polynomiale est continue sur ℝ.

• Toute fonction rationnelle est continue sur son ensemble de définition.

• Les fonctions x ↦ sin(x) et x ↦ cos(x) sont continues sur ℝ.

• La fonction x ↦ tan(x) est continue sur son ensemble de définition.

• La fonction x ↦ √x est continue sur [0 ; +∞[.

• La fonction partie entière E(x) = n si n ≤ x < n+1 est continue sur tout intervalle [n ; n+1[ mais discontinue aux entiers.

III — Opérations sur les fonctions continues

1. Somme, produit, quotient

Soient f et g deux fonctions continues sur un intervalle I et k ∈ ℝ. Alors les fonctions suivantes sont continues sur I :

f + g  ·  k·f  ·  f × g  ·  fⁿ (n ∈ ℕ*)

Si de plus g(x) ≠ 0 sur I, alors f/g est continue sur I.

2. Composition

Théorème : Si f est continue sur I et g continue sur J contenant f(I), alors la fonction composée g ∘ f est continue sur I.

Conséquences pratiques

1. Si f est continue positive sur I, alors x ↦ √f(x) est continue sur I.

2. Si f est continue sur I, alors x ↦ cos(f(x)) est continue sur I.

3. Si f est continue sur I, alors x ↦ sin(f(x)) est continue sur I.

Exemples d'étude de continuité

• f(x) = x³ − 4x² + 5x + 7 est continue sur ℝ (polynôme).

• f(x) = x² + 3x − 1 est continue sur ℝ \ {1} (fonction rationnelle).

• f(x) = sin(x³ − 3x + 2) est continue sur ℝ (composée).

• f(x) = √(1 − x²) est continue sur [−1 ; 1].

IV — Image d'un intervalle par une fonction continue

Propriété (admise) :

• L'image d'un segment [a ; b] par une fonction continue est un segment [m ; M].

• L'image d'un intervalle I par une fonction continue est un intervalle f(I).

Image d'un intervalle par une fonction continue et monotone

Sens de variation	Intervalle I	Image f(I)
f croissante sur I	[a ; b]	[f(a) ; f(b)]
	[a ; b[	[f(a) ; x→b⁻lim f(x)[
	]a ; +∞[	]x→a⁺lim f(x) ; x→+∞lim f(x)[
	ℝ	]x→−∞lim f(x) ; x→+∞lim f(x)[
f décroissante sur I	[a ; b]	[f(b) ; f(a)]
	[a ; b[	]x→b⁻lim f(x) ; f(a)]
	]a ; +∞[	]x→+∞lim f(x) ; x→a⁺lim f(x)[
	ℝ	]x→+∞lim f(x) ; x→−∞lim f(x)[

V — Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI)

Théorème (TVI) :

Soit f une fonction continue sur un intervalle I, et a, b deux éléments de I.

Pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il existe au moins un réel c ∈ [a ; b] tel que :

f(c) = k

Corollaire important

Si f est continue sur [a ; b] et si f(a) × f(b) < 0, alors l'équation f(x) = 0 admet au moins une solution dans ]a ; b[.

Si de plus f est strictement monotone sur [a ; b], alors cette solution est unique.

Illustration du TVI : la courbe traverse la droite y = k au point c entre a et b.

Application : étude d'équations

Exemple : On considère f(x) = x³ − 3 sur ℝ.

1. f est un polynôme, donc continue sur ℝ ; elle est strictement croissante sur [0 ; 2].

2. f(0) = −3 et f(2) = 5. On a f(0) × f(2) = −15 < 0.

3. D'après le TVI, l'équation f(x) = 0 admet une solution c dans ]0 ; 2[. Comme f est strictement croissante, cette solution est unique.

Méthode de dichotomie (recherche approchée)

Pour encadrer la solution c, on divise l'intervalle en deux à chaque étape et on conserve le sous-intervalle où f change de signe.

VI — Fonction réciproque d'une fonction continue

Théorème : Si f est continue et strictement monotone sur un intervalle I, alors :

• f réalise une bijection de I vers J = f(I).

• Il existe une fonction réciproque f⁻¹ définie sur J telle que :

∀ y ∈ J,   f⁻¹(y) = x  ⟺  f(x) = y

Propriétés de la fonction réciproque

• f⁻¹ est définie et continue sur J = f(I).

• f⁻¹ a le même sens de variation que f.

• ∀ x ∈ I : (f⁻¹ ∘ f)(x) = x.

• ∀ y ∈ J : (f ∘ f⁻¹)(y) = y.

• Dans un repère orthonormé, les courbes de f et f⁻¹ sont symétriques par rapport à la droite Δ : y = x.

Exemple

Soit f(x) = √(x − 1) définie sur [1 ; +∞[.

1. f est continue et strictement croissante sur [1 ; +∞[.

2. f([1 ; +∞[) = [0 ; +∞[.

3. La fonction réciproque est f⁻¹(y) = y² + 1, définie sur [0 ; +∞[.

Symetrie de la courbe de f et de sa reciproque f-1 par rapport a la droite y = x.

VII — Fonction racine n-ième

Soit n ∈ ℕ*. La fonction f(x) = xⁿ définie sur I = [0 ; +∞[ est continue et strictement croissante. Elle réalise donc une bijection de I vers I.

Définition : La fonction réciproque de x ↦ xⁿ sur [0 ; +∞[ est appelée fonction racine n-ième. On la note :

x ↦ ⁿ√x

Propriétés de la racine n-ième

• ⁿ√0 = 0   et   ⁿ√1 = 1.

• (ⁿ√x)ⁿ = x   et   ⁿ√x ≥ 0 pour tout x ≥ 0.

• x→+∞lim ⁿ√x = +∞.

• Pour a, b ≥ 0 :   ⁿ√a = ⁿ√b  ⟺  a = b.

• Pour a, b ≥ 0 :   ⁿ√a ≤ ⁿ√b  ⟺  a ≤ b.

Opérations sur les racines n-ièmes

ⁿ√x × ⁿ√y = ⁿ√(xy)

ⁿ√xⁿ√y = ⁿ√(x/y)   (y ≠ 0)

(ⁿ√x)^m = ⁿ√(x^m)

ⁿ√(ⁿ√x) = ^n²√x

Puissance rationnelle

Définition : Soit x > 0 et r = p/q un rationnel (avec (p, q) ∈ ℕ*²). On pose :

x^r = ^q√(x^p)

Exemples :

• ³√(x²) = x^2/3

• ⁵√(x⁵) = x

• ⁷√x = x^1/7

Propriétés : Pour a, b > 0 et r, r' ∈ ℚ :

a^r · a^r' = a^r+r'

a^r · b^r = (ab)^r

a^rb^r = (a/b)^r

1/a^r = a^−r

Exercices corrigés

Exercice 1 — Étude de continuité en un point

Soit f définie par : f(x) = x² − 4x − 2 si x ≠ 2 et f(2) = 4.
Étudier la continuité de f en 2.

Pour x ≠ 2 : f(x) = (x−2)(x+2)/(x−2) = x + 2.

Donc x→2lim f(x) = 4 = f(2).

Conclusion : f est continue en 2.

Exercice 2 — Continuité sur un intervalle

Montrer que les fonctions suivantes sont continues sur l'intervalle I indiqué :
• f(x) = 2x + √x sur I = [0 ; +∞[
• f(x) = sin(x) + √x sur I = [0 ; +∞[
• f(x) = cos(x)/(x² + 1) sur ℝ

• x ↦ 2x est continue sur ℝ donc sur [0 ; +∞[. x ↦ √x est continue sur [0 ; +∞[. Somme de deux fonctions continues → f continue.

• sin(x) est continue sur ℝ donc sur [0 ; +∞[ ; √x continue sur [0 ; +∞[. Somme → f continue.

• cos(x) continue sur ℝ ; x ↦ x²+1 continue et strictement positive sur ℝ. Quotient de deux fonctions continues à dénominateur non nul → f continue sur ℝ.

Exercice 3 — Application du TVI

Soit f(x) = x⁴ + x² + 4x − 1 sur [−1 ; 1].
Montrer que l'équation f(x) = 0 admet au moins une solution dans ]−1 ; 1[.

f est polynomiale donc continue sur ℝ, donc sur [−1 ; 1].

f(−1) = 1 + 1 − 4 − 1 = −3   et   f(1) = 1 + 1 + 4 − 1 = 5.

Comme f(−1) × f(1) = −15 < 0, d'après le TVI, il existe c ∈ ]−1 ; 1[ tel que f(c) = 0.

Conclusion : l'équation f(x) = 0 admet au moins une solution dans ]−1 ; 1[.

Exercice 4 — Fonction réciproque

Soit f(x) = x² sur I = [0 ; +∞[.
1. Montrer que f réalise une bijection de [0 ; +∞[ vers [0 ; +∞[.
2. Déterminer f⁻¹.

1. f est continue et strictement croissante sur [0 ; +∞[, donc elle réalise une bijection de [0 ; +∞[ vers f([0 ; +∞[) = [0 ; +∞[.

2. Pour y ≥ 0, f⁻¹(y) = √y.

Exercice 5 — Équations avec racines n-ièmes

Résoudre dans ℝ : x³ = −8  ·  x⁴ = 81  ·  x⁶ = −9  ·  x³ = 5

• x³ = −8 : la fonction cube étant impaire, x = −2 (solution unique).

• x⁴ = 81 : x = 3 ou x = −3.

• x⁶ = −9 : impossible car x⁶ ≥ 0. Ensemble solution : ∅.

• x³ = 5 : x = ³√5.

QCM — Testez vos connaissances

Question 1 — f est continue en a si et seulement si :

A) f est définie en a
B) x→alim f(x) existe
C) x→alim f(x) = f(a)
D) f est dérivable en a

Réponse : C. C'est la définition même de la continuité en un point.

Question 2 — Toute fonction polynomiale est :

A) Continue sur ℝ
B) Continue seulement sur [0 ; +∞[
C) Discontinue en 0
D) Non définie en certains points

Réponse : A. Toute fonction polynomiale est continue sur ℝ.

Question 3 — Si f est continue sur [a ; b] et f(a) × f(b) < 0, alors :

A) f n'a pas de racine
B) f(x) = 0 admet au moins une solution dans ]a ; b[
C) f(x) = 0 admet une infinité de solutions
D) Rien ne peut être affirmé

Réponse : B. C'est le corollaire du TVI.

Question 4 — Si f est continue et strictement monotone sur I, alors :

A) f n'admet pas de réciproque
B) f admet une réciproque f⁻¹ sur f(I)
C) f est discontinue sur I
D) f est constante

Réponse : B. Théorème de la bijection monotone continue.

Question 5 — La fonction x ↦ ⁿ√x est la réciproque de :

A) x ↦ x²
B) x ↦ xⁿ sur [0 ; +∞[
C) x ↦ x + n
D) x ↦ n/x

Réponse : B. La racine n-ième est la réciproque de la puissance n-ième sur [0 ; +∞[.

Question 6 — Si f et g sont continues sur I, alors f + g est :

A) Discontinue sur I
B) Continue sur I
C) Parfois continue
D) Non définie

Réponse : B. La somme de deux fonctions continues est continue.

Tableau récapitulatif

Notion	Condition	Résultat / Exemple
Continuité en a	x→alim f(x) = f(a)	f continue en a
Continuité sur [a ; b]	Continue sur ]a ; b[, à droite en a, à gauche en b	Courbe sans saut
Fonctions continues	Polynômes, rationnelles, sin, cos, √	Sur leur domaine de définition
Opérations	f, g continues sur I	f+g, f·g, f/g, g∘f continues
Image d'un segment	f continue sur [a ; b]	f([a ; b]) = [m ; M]
TVI	f continue sur [a ; b], k entre f(a) et f(b)	∃ c ∈ [a ; b] : f(c) = k
Corollaire TVI	f continue sur [a ; b], f(a)·f(b) < 0	f(x) = 0 admet au moins une solution
Unicité de la solution	f continue et strictement monotone	Solution unique
Bijection	f continue et strictement monotone sur I	f : I → f(I) bijective
Fonction réciproque	f bijective de I vers J	f−1 : J → I, symétrie par rapport à y = x
Racine n-ième	n ∈ ℕ*, x ≥ 0	n√x = x1/n, réciproque de xn
Puissance rationnelle	x > 0, r = p/q	xr = q√(xp)

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