Limites et Continuité – Séance 4

Accueil › Lycée › 2ème Bac Sciences Physiques › Mathématiques

Continuité — Étude Approfondie

Séance 4-4 — Rappels sur les limites · Continuité · TVI · Fonction réciproque · Racine n-ième · Puissance rationnelle

Cette séance complète l'étude de la continuité entamée dans les séances précédentes. Nous commençons par un rappel des principales limites et des tableaux opératoires, puis nous approfondissons la notion de continuité en un point. Nous étudions ensuite l'image d'un intervalle par une fonction continue et monotone, le théorème des valeurs intermédiaires, la fonction réciproque et, enfin, les fonctions racine n-ième et puissance rationnelle.

I — Rappel sur les limites

1. Limites des puissances

Pour tout n ∈ ℕ* :

x→+∞lim xⁿ = +∞    et    x→−∞lim xⁿ = +∞  si n pair
−∞  si n impair

2. Limite d'une fonction polynomiale

La limite d'une fonction polynomiale en +∞ ou −∞ est la limite de son terme de plus haut degré.

3. Limite d'une fonction rationnelle

La limite d'une fonction rationnelle en +∞ ou −∞ est le quotient de la limite du terme de plus haut degré du numérateur par celle du terme de plus haut degré du dénominateur.

4. Limites trigonométriques usuelles

x→0lim sin(ax)x = a   ·   x→0lim tan(ax)x = a   ·   x→0lim 1 − cos xx² = 12

5. Tableaux des opérations sur les limites

Limite d'une somme :

lim f	lim g	lim (f + g)
l	l'	l + l'
l	+∞	+∞
l	−∞	−∞
+∞	+∞	+∞
−∞	−∞	−∞
+∞	−∞	Forme indéterminée

Limite d'un produit :

lim f	lim g	lim (f × g)
l	l'	l × l'
l > 0	+∞	+∞
l < 0	+∞	−∞
l > 0	−∞	−∞
l < 0	−∞	+∞
0	±∞	Forme indéterminée

Limite de l'inverse :

lim f	l ≠ 0	0⁺	0⁻	+∞	−∞
lim 1/f	1/l	+∞	−∞	0	0

II — Continuité en un point

Définition : Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert contenant a. On dit que f est continue en a si et seulement si :

x→alim f(x) = f(a)

Exemple détaillé

Soit f la fonction définie par :

f(x) = x² + 6x − 7x − 1  si x ≠ 1   et   f(1) = 8

On a f(1) = 8. Calculons la limite en 1 :

x→1lim f(x) = x→1lim x² + 6x − 7x − 1 = x→1lim (x − 1)(x + 7)x − 1 = x→1lim (x + 7) = 8

Comme x→1lim f(x) = f(1) = 8, la fonction f est continue en 1.

III — Opérations sur les fonctions continues

• Les fonctions polynomiales sont continues sur ℝ.

• Les fonctions rationnelles sont continues sur tout intervalle inclus dans leur domaine de définition.

• Les fonctions trigonométriques sin et cos sont continues sur ℝ.

• La fonction tan est continue sur tout intervalle inclus dans son domaine.

• Si f et g sont continues sur I, alors f + g, f × g, k·f sont continues sur I.

• Si f et g sont continues sur I et g ≠ 0 sur I, alors 1/g et f/g sont continues sur I.

• Si f ≥ 0 et f continue sur I, alors √f est continue sur I.

• Si f continue sur I et g continue sur J avec f(I) ⊂ J, alors g ∘ f est continue sur I.

Exemples d'étude

1. f(x) = x³ − 12x + 1 est continue sur ℝ (polynôme).

2. f(x) = 2xx − 2 est continue sur tout intervalle inclus dans D_f = ℝ \ {2}.

3. f(x) = cos x + x² − 7x + 3 : somme de fonctions continues → continue sur ℝ.

4. f(x) = (x − 1) sin x : produit de fonctions continues → continue sur ℝ.

5. f(x) = √(x − 2) : f₁(x) = x − 2 ≥ 0 sur [2 ; +∞[, donc f = √f₁ continue sur [2 ; +∞[.

6. f(x) = √xx² + 1 est continue sur ℝ⁺ (quotient de fonctions continues, dénominateur jamais nul).

7. f(x) = sin(x² + π/7) : composée de fonctions continues → continue sur ℝ.

IV — Image d'un intervalle par une fonction continue et monotone

Soit f une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle I. Le tableau suivant donne l'image f(I) selon le sens de variation et la nature de I.

Sens de variation	Intervalle I	Image f(I)
f strictement croissante	[a ; b]	[f(a) ; f(b)]
	[a ; b[	[f(a) ; x→b⁻lim f(x)[
	]a ; b]	]x→a⁺lim f(x) ; f(b)]
	]a ; b[	]x→a⁺lim f(x) ; x→b⁻lim f(x)[
	]−∞ ; a]	]x→−∞lim f(x) ; f(a)]
	]−∞ ; a[	]x→−∞lim f(x) ; x→a⁻lim f(x)[
	[b ; +∞[	[f(b) ; x→+∞lim f(x)[
	]b ; +∞[	]x→b⁺lim f(x) ; x→+∞lim f(x)[
	]−∞ ; +∞[	]x→−∞lim f(x) ; x→+∞lim f(x)[
f strictement décroissante	[a ; b]	[f(b) ; f(a)]
	[a ; b[	]x→b⁻lim f(x) ; f(a)]
	]a ; b]	[f(b) ; x→a⁺lim f(x)[
	]a ; b[	]x→b⁻lim f(x) ; x→a⁺lim f(x)[
	]−∞ ; a]	[f(a) ; x→−∞lim f(x)[
	]−∞ ; a[	]x→a⁻lim f(x) ; x→−∞lim f(x)[
	[b ; +∞[	]x→+∞lim f(x) ; f(b)]
	]b ; +∞[	]x→+∞lim f(x) ; x→b⁺lim f(x)[
	]−∞ ; +∞[	]x→+∞lim f(x) ; x→−∞lim f(x)[

Exemple 1

Soit f(x) = 2x + 1x − 1, définie sur D_f = ℝ \ {1}. On a f′(x) = −3(x − 1)² < 0, donc f est strictement décroissante sur tout intervalle de son domaine.

• f([2 ; 3]) = [f(3) ; f(2)] = [7/2 ; 5]

• f([1 ; +∞[) = ]x→+∞lim f(x) ; x→1⁺lim f(x)] = ]2 ; +∞[

• f(]−∞ ; 1[) = ]x→1⁻lim f(x) ; x→−∞lim f(x)[ = ]−∞ ; 2[

• f([1 ; 4]) = [f(4) ; x→1⁺lim f(x)[ = [3 ; +∞[

• f([0 ; 1[) = ]x→1⁻lim f(x) ; f(0)] = ]−∞ ; −1]

Exemple 2

Soit f(x) = x³ + 7x − 2, définie sur ℝ. f est dérivable et f′(x) = 3x² + 7 > 0, donc f est strictement croissante sur ℝ.

• f(]−∞ ; +∞[) = ℝ (car f est continue et strictement croissante avec des limites infinies aux bornes).

Illustration du TVI : pour tout k entre f(a) et f(b), il existe c entre a et b tel que f(c) = k.

V — Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI)

Théorème : Si f est continue sur [a ; b], alors pour tout λ compris entre f(a) et f(b), il existe au moins c ∈ [a ; b] tel que f(c) = λ.

Corollaire (existence de racines)

Si f est continue sur [a ; b] et f(a) × f(b) < 0, alors l'équation f(x) = 0 admet au moins une solution dans ]a ; b[.

Théorème (existence et unicité de la solution)

Si f est continue et strictement monotone sur un intervalle I, et si 0 ∈ f(I), alors l'équation f(x) = 0 admet une solution unique dans I.

Exemple

Montrons que l'équation x⁴ + x − 3 = 0 admet au moins une solution dans ]0 ; 2[.

Soit f(x) = x⁴ + x − 3. f est polynomiale, donc continue sur ℝ, en particulier sur [0 ; 2].

On a f(0) = −3 et f(2) = 15. Donc f(0) × f(2) < 0.

D'après le corollaire du TVI, l'équation f(x) = 0 admet au moins une solution dans ]0 ; 2[.

VI — Fonction réciproque d'une fonction continue et strictement monotone

Propriété : Si f est continue et strictement monotone sur un intervalle I, alors f admet une fonction réciproque f⁻¹ définie sur J = f(I) vers I.

Relations caractéristiques

{ y = f⁻¹(x) ; x ∈ J }  ⟺  { f(y) = x ; y ∈ I }

(f⁻¹ ∘ f)(x) = x  pour x ∈ I

(f ∘ f⁻¹)(x) = x  pour x ∈ J

Propriétés de la fonction réciproque

• f⁻¹ est continue sur J.

• f et f⁻¹ ont le même sens de variation.

• Les courbes C_f et C_f−1 sont symétriques par rapport à la droite Δ : y = x (première bissectrice).

Symetrie de Cf et Cf-1 par rapport a la droite y = x.

Exemple de calcul de la réciproque

Soit f(x) = 3x + 5x + 1. On considère sa restriction g sur [0 ; 1]. Montrons que g admet une réciproque g⁻¹ définie sur J que l'on détermine.

g est continue sur [0 ; 1] comme restriction d'une fonction rationnelle définie sur [0 ; 1].

g′(x) = −2(x + 1)² < 0, donc g est strictement décroissante sur [0 ; 1].

Ainsi g réalise une bijection de [0 ; 1] vers J = g([0 ; 1]) = [g(1) ; g(0)] = [4 ; 5].

Déterminons g⁻¹(x) pour x ∈ [4 ; 5] :

y = g⁻¹(x) ⟺ x = g(y) avec y ∈ [0 ; 1]

⟺ x = 3y + 5y + 1

⟺ x(y + 1) = 3y + 5

⟺ xy − 3y = 5 − x

⟺ y(x − 3) = 5 − x

⟺ y = 5 − xx − 3

Donc : g⁻¹(x) = 5 − xx − 3 pour tout x ∈ [4 ; 5].

VII — Racine n-ième

1. Définition

Soit n ∈ ℕ*. La fonction réciproque de x ↦ xⁿ sur [0 ; +∞[ est appelée racine n-ième. On la note :

x ↦ ⁿ√x

La fonction x ↦ ⁿ√x est continue et strictement croissante sur [0 ; +∞[.

2. Cas particuliers

• n = 1 : ¹√x = x

• n = 2 : ²√x = √x (racine carrée)

• n = 3 : ³√x (racine cubique)

3. Propriétés

Pour x, y ≥ 0 :

(ⁿ√x)ⁿ = x  ·  ⁿ√(xⁿ) = x

ⁿ√(xy) = ⁿ√x · ⁿ√y

ⁿ√(x/y) = ⁿ√x / ⁿ√y  (y ≠ 0)

4. Exemples de simplification

• ³√27 = ³√(3³) = 3

• ⁴√16 = ⁴√(2⁴) = 2

• ³√(⁴√729) = ¹²√729 = ¹²√(3⁶) = ²√3 = √3

5. Comparaison et rationalisation

Comparer x = ⁴√4 et y = ⁵√5 :

x = ⁴√4 = ²⁰√(4⁵) = ²⁰√1024  et  y = ⁵√5 = ²⁰√(5⁴) = ²⁰√625.

Comme 1024 > 625, on a x > y.

Rationaliser 1/(³√4 − 1) :

On multiplie numérateur et dénominateur par (³√4)² + ³√4 + 1.

1/(³√4 − 1) = [(³√4)² + ³√4 + 1] / [(³√4)³ − 1] = [(³√4)² + ³√4 + 1] / 3.

6. Limites et continuité

Si x→x₀lim f(x) = +∞, alors x→x₀lim ⁿ√f(x) = +∞.

Si x→x₀lim f(x) = l ≥ 0, alors x→x₀lim ⁿ√f(x) = ⁿ√l.

Si f est continue et positive sur I, alors ⁿ√f est continue sur I.

7. Exemples de limites

1. x→−∞lim ³√(x² + x − 1) :

x→−∞lim (x² + x − 1) = +∞, donc x→−∞lim ³√(x² + x − 1) = +∞.

2. x→+∞lim ³√(8x/(x + 1)) :

x→+∞lim 8x/(x + 1) = 8, donc la limite cherchée est ³√8 = 2.

3. Continuité de h(x) = ³√(x²) sur ℝ :

f(x) = x² est continue et ≥ 0 sur ℝ, donc h = ³√f est continue sur ℝ.

VIII — Puissance rationnelle d'un nombre réel

1. Définition

Soit n, m ∈ ℕ* et x > 0. On pose :

ⁿ√x = x^1/n   et   ⁿ√(x^m) = x^m/n

2. Exemples

• 5^3/4 = ⁴√(5³)

• 4^−5/2 = 1/4^5/2 = 1/√(4⁵) = 1/√(2¹⁰) = 1/2⁵ = 1/32

3. Propriétés

Pour x, y > 0 et r, r' ∈ ℚ :

x^r · x^r' = x^r+r'

(x^r)^r' = x^r·r'

x^r · y^r = (xy)^r

x^r / x^r' = x^r−r'

x^r / y^r = (x/y)^r

1/x^r = x^−r

4. Exemple de calcul

Simplifions A = ³√8 × ⁴√32√2 × ³√64.

On écrit tout en puissances de 2 :

³√8 = 8^1/3 = 2  ·  ⁴√32 = 32^1/4 = 2^5/4  ·  √2 = 2^1/2  ·  ³√64 = 64^1/3 = 2²

A = (2 · 2^5/4) / (2^1/2 · 2²) = 2^{1 + 5/4 − 1/2 − 2} = 2^1/4 = ⁴√2

Exercices corrigés

Exercice 1 — Continuité en un point

Étudier la continuité en 1 de la fonction : f(x) = x² + 6x − 7x − 1 si x ≠ 1 et f(1) = 8.

Pour x ≠ 1 : x² + 6x − 7 = (x − 1)(x + 7), donc f(x) = x + 7.

Donc x→1lim f(x) = 8 = f(1).

Conclusion : f est continue en 1.

Exercice 2 — Opérations sur les fonctions continues

Montrer que les fonctions suivantes sont continues sur l'intervalle indiqué :
• f(x) = x³ − 12x + 1 sur ℝ
• f(x) = √(x − 2) sur [2 ; +∞[
• f(x) = √xx² + 1 sur ℝ⁺

• x³ − (1/2)x + 1 est un polynôme, donc continu sur ℝ.

• x − 2 ≥ 0 sur [2 ; +∞[ et x ↦ x − 2 est continue. Donc √(x − 2) est continue sur [2 ; +∞[.

• √x est continue sur ℝ⁺ ; x² + 1 est continue et > 0 sur ℝ⁺. Donc le quotient est continu sur ℝ⁺.

Exercice 3 — Image d'un intervalle

Soit f(x) = 2x + 1x − 1 définie sur ℝ \ {1}.
Déterminer f([2 ; 3]) et f(]−∞ ; 1[).

On a f′(x) = −3(x − 1)² < 0, donc f est strictement décroissante sur chaque intervalle de son domaine.

f(2) = 5  et  f(3) = 7/2. Donc f([2 ; 3]) = [7/2 ; 5].

Sur ]−∞ ; 1[ : x→1⁻lim f(x) = −∞ et x→−∞lim f(x) = 2. Donc f(]−∞ ; 1[) = ]−∞ ; 2[.

Exercice 4 — Théorème des Valeurs Intermédiaires

Montrer que l'équation x⁴ + x − 3 = 0 admet au moins une solution dans ]0 ; 2[.

Soit f(x) = x⁴ + x − 3. f est polynomiale donc continue sur [0 ; 2].

f(0) = −3 < 0 et f(2) = 16 + 2 − 3 = 15 > 0. Donc f(0) × f(2) < 0.

D'après le corollaire du TVI, l'équation f(x) = 0 admet au moins une solution dans ]0 ; 2[.

Exercice 5 — Existence et unicité

Montrer que l'équation 2x³ + 5x − 4 = 0 admet une solution unique α dans ℝ, puis vérifier que 0 < α < 1.

Soit f(x) = 2x³ + 5x − 4. f est continue sur ℝ (polynôme) et f′(x) = 6x² + 5 > 0, donc f est strictement croissante sur ℝ.

x→−∞lim f(x) = −∞ et x→+∞lim f(x) = +∞. Donc f(ℝ) = ℝ, d'où 0 ∈ f(ℝ).

Par le théorème des valeurs intermédiaires (ou de la bijection monotone), l'équation f(x) = 0 admet une solution unique α dans ℝ.

Enfin f(0) = −4 < 0 et f(1) = 3 > 0, donc f(0) × f(1) < 0. Donc 0 < α < 1.

Exercice 6 — Fonction réciproque

Soit g la restriction de f(x) = 3x + 5x + 1 sur [0 ; 1].
Montrer que g admet une fonction réciproque g⁻¹ et déterminer g⁻¹(x).

g est continue sur [0 ; 1] comme restriction d'une fonction rationnelle continue sur [0 ; 1].

g′(x) = −2(x + 1)² < 0, donc g est strictement décroissante sur [0 ; 1].

Donc g réalise une bijection de [0 ; 1] vers J = [g(1) ; g(0)] = [4 ; 5].

Pour x ∈ [4 ; 5] : y = g⁻¹(x) ⟺ x = g(y) = 3y + 5y + 1.

On résout : x(y + 1) = 3y + 5 ⟺ xy − 3y = 5 − x ⟺ y(x − 3) = 5 − x ⟺ y = 5 − xx − 3.

Donc g⁻¹(x) = 5 − xx − 3 pour x ∈ [4 ; 5].

QCM — Testez vos connaissances

Question 1 — f est continue en a si et seulement si :

A) x→alim f(x) = f(a)
B) f est dérivable en a
C) f est définie en a
D) f(a) = 0

Réponse : A. Définition de la continuité en un point.

Question 2 — La somme de deux fonctions continues sur I est :

A) Discontinue
B) Continue sur I
C) Constante
D) Non définie

Réponse : B. Propriété des opérations sur les fonctions continues.

Question 3 — Si f est continue sur [a ; b] et f(a)·f(b) < 0, alors :

A) f n'a pas de racine
B) f(x) = 0 admet au moins une solution
C) f est constante
D) f est strictement croissante

Réponse : B. Corollaire du TVI.

Question 4 — Si f est continue et strictement monotone sur I, alors :

A) f n'a pas de réciproque
B) f admet une réciproque f⁻¹ sur f(I)
C) f est discontinue
D) f est constante

Réponse : B. Théorème de la bijection continue strictement monotone.

Question 5 — La courbe de f⁻¹ est symétrique à celle de f par rapport à :

A) L'axe des abscisses
B) L'axe des ordonnées
C) La droite y = x
D) L'origine

Réponse : C. Symétrie par rapport à la première bissectrice.

Question 6 — ³√27 est égal à :

A) 3
B) 9
C) 27
D) 1/3

Réponse : A. Car 3³ = 27.

Tableau récapitulatif

Notion	Condition	Résultat / Exemple
Continuité en a	x→alim f(x) = f(a)	f continue en a
Fonctions continues de référence	Polynômes, sin, cos, √, tan	Sur leur domaine
Opérations	f, g continues sur I	f+g, f·g, f/g, √f, g∘f continues
Image d'un segment	f continue et monotone sur [a ; b]	f([a ; b]) = [m ; M]
TVI	f continue sur [a ; b], λ entre f(a) et f(b)	∃ c ∈ [a ; b] : f(c) = λ
Existence de racine	f continue, f(a)·f(b) < 0	f(x) = 0 admet au moins une solution
Unicité de la solution	f continue et strictement monotone	Solution unique α dans I
Bijection	f continue et strictement monotone sur I	f : I → f(I) bijective
Fonction réciproque	f bijective de I vers J	f−1 : J → I, symétrie / y = x
Racine n-ième	n ∈ ℕ*, x ≥ 0	n√x = x1/n
Puissance rationnelle	x > 0, r = p/q	xr = q√(xp)
Limites usuelles	x → 0	sin(ax)/x → a ; (1−cos x)/x2 → 1/2
Formes indéterminées	0/0 ; ∞/∞ ; 0×∞ ; ∞−∞	À lever (factorisation, conjugué, taux d'accroissement)

📱 Rejoignez notre chaîne WhatsApp

Recevez les nouveaux cours et exercices en avant-première.

Rejoindre la chaîne

❤️ Contribuez à EduMaroc

Partagez vos cours, exercices ou suggestions pour aider les élèves.

Participer