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Exercice de Mathématiques : Optimisation d'une Aire — 2e BAC SM
| Niveau | 2e année du baccalauréat |
| Filière | Sciences Mathématiques (SM) |
| Matière | Mathématiques |
| Chapitre | Dérivation et Étude de Fonctions |
| Type | Exercice corrigé |
| Difficulté | Moyen |
Optimisation d'une Aire
Application des variations d'une fonction rationnelle à un problème de minimisation de surface pour un réservoir.
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Rejoindre la chaîne WhatsAppÀ propos de cet exercice : Cet exercice illustre parfaitement l'utilité de l'étude des variations d'une fonction dans la résolution d'un problème concret d'optimisation géométrique. La fonction à étudier est une fonction rationnelle (somme d'une fonction affine et d'une fonction inverse). Vous devrez utiliser la dérivée pour trouver le minimum de la surface d'un réservoir à volume fixé.
Illustration de l'exercice
Énoncé et Solution
2BAC-SM-MATH-E15Soit \(f\) la fonction définie sur \(]0, +\infty[\) par \(\displaystyle f(x) = 2x + 4 + \frac{8}{x}\).
- Calculer \(f'(x)\) et déterminer son signe.
- Dresser le tableau de variations de \(f\) sur \(]0, +\infty[\).
- Donner l'équation de la tangente à la courbe de \(f\) au point d'abscisse \(x_0 = 1\).
- Application : On veut construire un réservoir parallélépipédique sans couvercle de volume \(4\) m\(^3\). La base a un côté de longueur \(x\) m et l'autre de longueur \(2\) m.
Montrer que la somme des aires des faces s'écrit \(S(x) = 2x + 4 + \frac{8}{x}\).
Déterminer \(x\) pour que l'aire totale soit minimale.
Pour étudier les variations, on calcule la dérivée, on cherche les points où elle s'annule, puis on étudie son signe. Pour l'application, on exprime la hauteur du réservoir en fonction de \(x\) et du volume, puis on calcule l'aire totale en fonction de \(x\).
1. Calcul de \(f'(x)\) et signe :
La fonction \(f(x) = 2x + 4 + \frac{8}{x}\) est dérivable sur \(]0, +\infty[\).
On dérive terme à terme : \(f'(x) = 2 - \frac{8}{x^2}\).
On met au même dénominateur :
\[ f'(x) = \frac{2x^2 - 8}{x^2} = \frac{2(x^2 - 4)}{x^2} \]
Sur \(]0, +\infty[\), \(x^2 > 0\). Le signe de \(f'(x)\) dépend donc de \(x^2 - 4\).
\(x^2 - 4 = (x-2)(x+2)\). Comme \(x > 0\), \(x+2 > 0\), donc le signe dépend de \(x-2\).
Ainsi, \(f'(x) < 0\) pour \(x \in ]0, 2[\) et \(f'(x) > 0\) pour \(x > 2\).
2. Tableau de variations :
On calcule \(f(2) = 2(2) + 4 + \frac{8}{2} = 4 + 4 + 4 = 12\).
On calcule les limites : \(\lim_{x \to 0^+} f(x) = +\infty\) et \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty\).
| \(x\) | \(0\) | \(2\) | \(+\infty\) | ||
| \(f'(x)\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | ||
| \(f(x)\) | \(+\infty\) | \(\searrow\) | \(12\) | \(\nearrow\) | \(+\infty\) |
3. Équation de la tangente en \(x_0 = 1\) :
On calcule \(f(1) = 2(1) + 4 + \frac{8}{1} = 2 + 4 + 8 = 14\).
On calcule \(f'(1) = 2 - \frac{8}{1^2} = 2 - 8 = -6\).
L'équation de la tangente est :
\[ y = f'(1)(x - 1) + f(1) \implies y = -6(x - 1) + 14 = -6x + 6 + 14 = -6x + 20 \]
La tangente a pour équation \(y = -6x + 20\).
4. Application :
Le réservoir est un parallélépipède rectangle sans couvercle. Soit \(h\) sa hauteur.
La base a pour dimensions \(x\) et \(2\) (en mètres). Le volume est \(V = \text{Aire de base} \times h = (x \times 2) \times h = 2xh\).
On sait que \(V = 4\) m\(^3\), donc \(2xh = 4 \implies h = \frac{4}{2x} = \frac{2}{x}\).
L'aire totale du réservoir (sans couvercle) est la somme de l'aire de la base et des 4 faces latérales :
- Aire de la base : \(x \times 2 = 2x\)
- Deux faces latérales de dimensions \(x \times h\) : \(2(x \times h) = 2xh\)
- Deux faces latérales de dimensions \(2 \times h\) : \(2(2 \times h) = 4h\)
Donc \(S = 2x + 2xh + 4h\). En remplaçant \(h\) par \(\frac{2}{x}\) :
\[ S(x) = 2x + 2x\left(\frac{2}{x}\right) + 4\left(\frac{2}{x}\right) = 2x + 4 + \frac{8}{x} \]
On retrouve bien la fonction \(f(x)\).
Pour minimiser l'aire totale, il suffit de trouver le minimum de \(S(x)\) sur \(]0, +\infty[\).
D'après le tableau de variations de la question 2, \(f\) admet un minimum en \(x = 2\), et ce minimum vaut \(f(2) = 12\).
Donc, pour que l'aire totale soit minimale, il faut choisir \(x = 2\) m. La hauteur correspondante est \(h = \frac{2}{2} = 1\) m, et l'aire minimale est de \(12\) m\(^2\).
Questions fréquentes
Pourquoi la dérivée s'annule-t-elle en 2 ?
La dérivée \(f'(x) = 2 - \frac{8}{x^2}\) s'annule lorsque \(2 = \frac{8}{x^2}\), soit \(x^2 = 4\). Comme on est sur \(]0, +\infty[\), la seule solution est \(x = 2\).
Comment vérifier que \(x=2\) donne bien un minimum ?
Le tableau de variations montre que la dérivée \(f'(x)\) est négative avant 2 et positive après 2. La fonction \(f\) est donc décroissante puis croissante, ce qui confirme qu'il s'agit d'un minimum.
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Exercice préparé par Sif Elarab Ayyoub — EduMaroc
Source : edumaroc.org
