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Exercice de Mathématiques : Dérivées de Racines n-ièmes — 2e BAC SM
| Niveau | 2e année du baccalauréat |
| Filière | Sciences Mathématiques (SM) |
| Matière | Mathématiques |
| Chapitre | Dérivation |
| Type | Exercice corrigé |
| Difficulté | Difficile |
Dérivées de Racines n-ièmes
Détermination des domaines de dérivabilité et calcul de dérivées pour des fonctions racines cubiques et quatrièmes.
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Rejoindre la chaîne WhatsAppÀ propos de cet exercice : Cet exercice aborde la dérivation des fonctions de la forme \(\sqrt[n]{u(x)}\). Le point crucial est de bien identifier le domaine de définition et de restreindre celui-ci pour obtenir le domaine de dérivabilité (en excluant les valeurs où la fonction s'annule pour les racines d'ordre pair, ou le dénominateur pour les fractions). La formule de dérivation \(( \sqrt[n]{u} )' = \frac{u'}{n\sqrt[n]{u^{n-1}}}\) sera ensuite appliquée avec soin, en particulier pour la fonction quotient.
Illustration de l'exercice
Énoncé et Solution
2BAC-SM-MATH-E11Déterminer les domaines de dérivabilité et les fonctions dérivées des fonctions suivantes :
- \(f(x) = \sqrt[3]{x^2 - 4x}\)
- \(\displaystyle g(x) = \frac{\sqrt[4]{2x + 1}}{x^2 + x}\)
Pour une fonction de la forme \(\sqrt[n]{u(x)}\), on rappelle que la dérivée est \(\frac{u'(x)}{n \sqrt[n]{(u(x))^{n-1}}}\). Il faut exclure du domaine de dérivabilité les points où \(u(x) = 0\) (pour les racines d'ordre pair) et les points où le dénominateur s'annule. Pour un quotient \(u/v\), on applique \((u/v)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}\).
1. \(f(x) = \sqrt[3]{x^2 - 4x}\)
Domaine de définition : L'indice de la racine est impair (3), donc la fonction est définie sur \(\mathbb{R}\). \(D_f = \mathbb{R}\).
Domaine de dérivabilité : La dérivée est de la forme \(\frac{u'}{3\sqrt[3]{u^2}}\) avec \(u(x) = x^2 - 4x\). Cette dérivée n'existe pas lorsque \(u(x) = 0\), c'est-à-dire \(x^2 - 4x = 0 \iff x(x - 4) = 0 \iff x = 0\) ou \(x = 4\). Donc le domaine de dérivabilité est \(D_{f'} = \mathbb{R} \setminus \{0, 4\}\).
Calcul de la dérivée :
\(u'(x) = 2x - 4\).
\[ f'(x) = \frac{2x - 4}{3\sqrt[3]{(x^2 - 4x)^2}} \]
2. \(\displaystyle g(x) = \frac{\sqrt[4]{2x + 1}}{x^2 + x}\)
Domaine de définition :
Le numérateur nécessite \(2x + 1 \geq 0 \iff x \geq -\frac{1}{2}\).
Le dénominateur doit être non nul : \(x^2 + x \neq 0 \iff x(x + 1) \neq 0 \iff x \neq 0\) et \(x \neq -1\).
Comme \(-1 < -1/2\), la condition \(x \neq -1\) est automatiquement vérifiée sur l'intervalle \([-\frac{1}{2}, +\infty[\).
Donc \(D_g = [-\frac{1}{2}, +\infty[ \setminus \{0\} = [-\frac{1}{2}, 0[ \cup ]0, +\infty[\).
Domaine de dérivabilité :
Pour la racine quatrième (indice pair), on doit avoir \(2x + 1 > 0 \iff x > -\frac{1}{2}\).
Pour le quotient, le dénominateur doit être non nul : \(x \neq 0\).
Donc le domaine de dérivabilité est \(D_{g'} = ]-\frac{1}{2}, 0[ \cup ]0, +\infty[\).
Calcul de la dérivée :
On pose \(u(x) = \sqrt[4]{2x+1}\) et \(v(x) = x^2+x\). On utilise la formule du quotient \((u/v)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}\).
\(u'(x) = \frac{2}{4\sqrt[4]{(2x+1)^3}} = \frac{1}{2\sqrt[4]{(2x+1)^3}}\).
\(v'(x) = 2x+1\).
\[ g'(x) = \frac{\frac{1}{2\sqrt[4]{(2x+1)^3}} (x^2+x) - \sqrt[4]{2x+1}(2x+1)}{(x^2+x)^2} \]
On factorise par \((2x+1)^{-3/4}\) au numérateur :
\[ g'(x) = \frac{(2x+1)^{-3/4} \left[ \frac{x^2+x}{2} - (2x+1)(2x+1) \right]}{(x^2+x)^2} \]
On simplifie l'expression entre crochets : \(\frac{x^2+x - 2(4x^2+4x+1)}{2} = \frac{x^2+x - 8x^2 - 8x - 2}{2} = \frac{-7x^2 - 7x - 2}{2}\).
Finalement :
\[ g'(x) = \frac{-7x^2 - 7x - 2}{2(2x+1)^{3/4}(x^2+x)^2} \quad \text{ou} \quad g'(x) = \frac{-7x^2 - 7x - 2}{2\sqrt[4]{(2x+1)^3} (x^2+x)^2} \]
Questions fréquentes
Pourquoi le domaine de dérivabilité de \(\sqrt[3]{u}\) n'inclut-il pas les zéros de \(u\) ?
La dérivée de \(\sqrt[3]{x}\) est \(\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}\), qui tend vers l'infini lorsque \(x\) tend vers 0. La fonction \(\sqrt[3]{x}\) n'est donc pas dérivable en 0, bien qu'elle soit définie et continue. C'est ce qu'on appelle une tangente verticale.
Pourquoi le domaine de définition de \(g\) exclut-il \(-1\) mais pas le domaine de dérivabilité ?
Le domaine de définition de \(g\) exclut \(x = -1\) à cause du dénominateur. Cependant, la racine quatrième impose \(x \geq -1/2\). L'intervalle de définition est donc \([-1/2, 0[ \cup ]0, +\infty[\). Le point \(-1\) n'appartient déjà pas à cet intervalle, donc il n'y a pas besoin de l'exclure à nouveau pour le domaine de dérivabilité.
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Exercice préparé par Sif Elarab Ayyoub — EduMaroc
Source : edumaroc.org
