.jpeg){kind=small}
Cours de Mathématiques : Nombres complexes (Partie 2) — 2e BAC SM 2025-2026
| Niveau | 2e année du Baccalauréat |
| Filière | Sciences Mathématiques A (SMA) |
| Matière | Mathématiques |
| Chapitre | 9 |
| Sous-chapitre | Nombres complexes — Partie 2 (forme exponentielle, Moivre, racines n-ièmes, transformations) |
| Programme | Maroc — 2025-2026 |
| Durée indicative | 7 heures de cours + 5 heures d'exercices |
| Dernière mise à jour | Janvier 2026 |
Nombres complexes — Partie 2
Notation exponentielle, formule de Moivre, racines n-ièmes et transformations du plan complexe.
Cette deuxième partie du chapitre des nombres complexes prolonge l'étude de la forme algébrique et de la forme trigonométrique. Elle introduit la notation exponentielle $z = re^{i\theta}$, la formule de Moivre, les racines n-ièmes de l'unité et d'un nombre complexe quelconque, ainsi que les transformations du plan complexe. Ces outils sont indispensables pour aborder les problèmes de géométrie complexe et les exercices de trigonométrie du baccalauréat.
À l'examen national, ce chapitre apparaît presque chaque année. Les exercices portent sur la linéarisation d'expressions trigonométriques, le calcul de racines n-ièmes, la résolution d'équations du type $z^n = 1$ ou $z^n = Z$, et l'identification de transformations du plan (translation, homothétie, rotation, similitude directe). La formule d'Euler et la formule de Moivre sont au cœur de la plupart des démonstrations.
Ce cours te propose l'essentiel : définitions et théorèmes, méthodes de résolution pas à pas, erreurs fréquentes à éviter, exercices corrigés intégrés, fiche de révision, quiz d'autoévaluation et FAQ. Une version imprimable propre est disponible en bas d'article pour réviser sur papier.
Table des matières
Chaîne WhatsApp — Cours, exercices et rappels
Recevez immédiatement chaque nouveau cours, chaque série d'exercices corrigés et chaque rappel de date d'examen. Aucun spam, uniquement l'essentiel.
Rejoindre la chaîne WhatsAppPrérequis
Avant d'aborder cette deuxième partie, tu dois maîtriser :
- La forme algébrique d'un nombre complexe : $z = a + ib$, partie réelle et partie imaginaire.
- Le module et l'argument d'un nombre complexe, la forme trigonométrique $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$.
- Les formules d'addition et de duplication en trigonométrie.
- Les propriétés des puissances et des racines carrées.
- Le calcul algébrique et la résolution d'équations du second degré dans $\mathbb{C}$.
- La notion de transformation du plan : translation, rotation, homothétie.
Objectifs pédagogiques
À la fin de ce chapitre, tu seras capable de :
- Utiliser la formule d'Euler pour écrire un complexe sous forme exponentielle.
- Calculer des produits, quotients et puissances en notation exponentielle.
- Appliquer la formule de Moivre pour calculer $\cos(n\theta)$ et $\sin(n\theta)$.
- Linéariser $\cos^n\theta$ ou $\sin^n\theta$ à l'aide des formules d'Euler.
- Déterminer les racines n-ièmes de l'unité et les représenter dans le plan.
- Résoudre l'équation $z^n = Z$ pour un complexe $Z$ donné.
- Identifier une transformation du plan à partir de son expression complexe.
Le cours complet
2BAC-SMA-MATH-C09I. Notation exponentielle
1.1. Formule d'Euler
La formule d'Euler relie l'exponentielle complexe aux fonctions trigonométriques. Pour tout réel $\theta$, on définit :
$$e^{i\theta} = \cos(\theta) + i\sin(\theta).$$
Cette formule permet d'écrire tout nombre complexe de module $1$ sous la forme $e^{i\theta}$. Elle est à la base de tous les calculs de produit et de puissance en notation exponentielle.
1.2. Cas particuliers à connaître par cœur
Certaines valeurs sont utilisées très souvent :
- $e^{i\cdot 0} = 1$ ;
- $e^{i\pi} = -1$ (identité d'Euler) ;
- $e^{i\pi/2} = i$ ;
- $e^{-i\pi/2} = -i$ ;
- $e^{i\pi/3} = \dfrac{1}{2} + i\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ ;
- $e^{i\pi/4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} + i\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
1.3. Forme exponentielle d'un nombre complexe non nul
Tout nombre complexe $z \neq 0$ de module $r$ et d'argument $\theta$ s'écrit sous forme exponentielle :
$$z = r e^{i\theta},$$
où $r = |z|$ et $\theta$ est un argument de $z$ défini modulo $2\pi$.
1.4. Propriétés des opérations
Soient $z_1 = r_1 e^{i\theta_1}$ et $z_2 = r_2 e^{i\theta_2}$. On a :
- $z_1 \cdot z_2 = r_1 r_2 e^{i(\theta_1 + \theta_2)}$ : les modules se multiplient, les arguments s'ajoutent ;
- $\dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{r_1}{r_2} e^{i(\theta_1 - \theta_2)}$ ;
- $z_1^n = r_1^n e^{in\theta_1}$ pour tout $n \in \mathbb{Z}$ ;
- $\overline{z_1} = r_1 e^{-i\theta_1}$ ;
- $|z_1| = r_1$ et $\arg(z_1) \equiv \theta_1 \pmod{2\pi}$.
Ces propriétés rendent les calculs beaucoup plus simples qu'avec la forme algébrique, surtout pour les produits et les puissances.
II. Formule de Moivre et applications
2.1. Formule de Moivre
Pour tout réel $\theta$ et tout entier $n \in \mathbb{Z}$ :
$$(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta).$$
En notation exponentielle, cette formule devient une simple règle de puissances : $\left(e^{i\theta}\right)^n = e^{in\theta}$.
2.2. Formules d'Euler
Les formules d'Euler permettent d'exprimer le cosinus et le sinus en fonction de l'exponentielle complexe :
$$\cos\theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}, \qquad \sin\theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}.$$
Ces formules sont inverses de la formule d'Euler et sont utilisées pour la linéarisation.
2.3. Linéarisation d'une expression trigonométrique
Linéariser une expression comme $\cos^n\theta$ ou $\sin^n\theta$ consiste à l'écrire comme combinaison linéaire de $\cos(k\theta)$ et $\sin(k\theta)$. On utilise les formules d'Euler et la formule du binôme de Newton.
III. Racines n-ièmes de l'unité
3.1. Définition
Les racines n-ièmes de l'unité sont les solutions dans $\mathbb{C}$ de l'équation :
$$z^n = 1.$$
3.2. Théorème
L'équation $z^n = 1$ admet exactement $n$ solutions distinctes, données par :
$$z_k = e^{2ik\pi/n}, \quad k = 0, 1, 2, \ldots, n-1.$$
Ces solutions sont les sommets d'un polygone régulier inscrit dans le cercle unité, de centre $O$ et d'angle au centre $2\pi/n$.
3.3. Propriétés fondamentales
- Le produit de deux racines n-ièmes de l'unité est encore une racine n-ième ;
- L'inverse d'une racine n-ième est aussi une racine n-ième ;
- La somme de toutes les racines n-ièmes de l'unité est nulle : $\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} z_k = 0$ ;
- Si $z$ est une racine n-ième primitive (c'est-à-dire que $z^k \neq 1$ pour $1 \leq k < n$), les autres s'écrivent $z, z^2, \ldots, z^{n-1}, z^n = 1$.
IV. Racines n-ièmes d'un nombre complexe
4.1. Équation $z^n = Z$
Soit $Z = R e^{i\varphi}$ un nombre complexe non nul. L'équation $z^n = Z$ admet exactement $n$ solutions distinctes :
$$z_k = R^{1/n} e^{i(\varphi + 2k\pi)/n}, \quad k = 0, 1, \ldots, n-1.$$
Ces solutions sont les sommets d'un polygone régulier inscrit dans le cercle de centre $O$ et de rayon $R^{1/n}$.
4.2. Cas particuliers
Pour $Z = 1$, on retrouve les racines n-ièmes de l'unité. Pour $n = 2$, on obtient les deux racines carrées d'un complexe :
$$z_0 = \sqrt{R} e^{i\varphi/2} \quad \text{et} \quad z_1 = -z_0.$$
Pour $n = 3$, les trois racines cubiques d'un complexe forment un triangle équilatéral.
V. Transformations du plan complexe
5.1. Translation
L'application $z \mapsto z + b$ (où $b \in \mathbb{C}$) est la translation de vecteur d'affixe $b$.
5.2. Homothétie
L'application $z \mapsto kz$ (où $k \in \mathbb{R}^*$) est l'homothétie de centre $O$ et de rapport $k$.
5.3. Rotation
L'application $z \mapsto e^{i\theta} z$ (où $\theta \in \mathbb{R}$) est la rotation de centre $O$ et d'angle $\theta$.
5.4. Similitude directe
Toute application de la forme :
$$z \mapsto az + b, \quad a \in \mathbb{C}^*,\; b \in \mathbb{C}$$
est une similitude directe. Si $a \neq 1$, elle admet un unique point fixe $\omega = \dfrac{b}{1-a}$ et se décompose en :
- une rotation d'angle $\arg(a)$ ;
- une homothétie de rapport $|a|$ ;
- une translation de vecteur d'affixe $b$.
Méthodes et exemples corrigés
Méthode 1 — Passer à la forme exponentielle
Exemple. Écrire $z = 1 + i\sqrt{3}$ sous forme exponentielle.
Correction. On calcule le module : $|z| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = 2$. On factorise :
$$z = 2\left(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 2 e^{i\pi/3}.$$
Méthode 2 — Utiliser la formule de Moivre
Exemple. Exprimer $\cos(3\theta)$ en fonction de $\cos\theta$.
Correction. On utilise la formule de Moivre : $(\cos\theta + i\sin\theta)^3 = \cos(3\theta) + i\sin(3\theta)$. En développant le membre de gauche avec le binôme de Newton et en identifiant les parties réelles :
$$\cos(3\theta) = \cos^3\theta - 3\cos\theta\sin^2\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta.$$
Méthode 3 — Linéariser $\cos^2\theta$
Exemple. Linéariser $\cos^2\theta$.
Correction. On utilise la formule d'Euler :
$$\cos^2\theta = \left(\frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}\right)^2 = \frac{e^{2i\theta} + 2 + e^{-2i\theta}}{4} = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2}.$$
Méthode 4 — Résoudre $z^n = 1$
Exemple. Résoudre $z^3 = 1$.
Correction. Les solutions sont $z_k = e^{2ik\pi/3}$ pour $k = 0, 1, 2$, soit :
$$z_0 = 1, \quad z_1 = e^{2i\pi/3} = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}, \quad z_2 = e^{4i\pi/3} = -\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}.$$
Ces trois points forment un triangle équilatéral inscrit dans le cercle unité.
Méthode 5 — Résoudre $z^n = Z$
Exemple. Résoudre $z^4 = -1$.
Correction. On écrit $-1 = e^{i\pi}$. Les solutions sont $z_k = e^{i(\pi + 2k\pi)/4}$ pour $k = 0, 1, 2, 3$, soit :
$$z_k = e^{i(2k+1)\pi/4}, \quad k = 0, 1, 2, 3.$$
Les quatre solutions forment un carré de rayon $1$.
Erreurs fréquentes et pièges
Voici les erreurs les plus souvent rencontrées dans cette partie :
- Confondre module et argument : le module est un réel positif, l'argument est un angle (modulo $2\pi$).
- Oublier que la forme exponentielle ne s'applique qu'aux complexes non nuls : $z = 0$ n'a pas d'argument.
- Écrire $e^{i\theta} = e^{i(\theta + 2k\pi)}$ sans préciser modulo $2\pi$ : la notation exponentielle est définie à $2\pi$ près.
- Mal appliquer la formule de Moivre : $n$ peut être négatif, mais doit être entier.
- Se tromper dans les formules d'Euler : ne pas oublier le facteur $2i$ au dénominateur pour $\sin\theta$.
- Oublier une racine n-ième : l'équation $z^n = Z$ admet toujours exactement $n$ solutions distinctes.
- Confondre homothétie et rotation : l'homothétie multiplie le module, la rotation ajoute à l'argument.
- Traiter $z \mapsto az + b$ comme une simple translation : c'est une similitude directe, composée d'une rotation, d'une homothétie et d'une translation.
Exercices et examens nationaux
Exercice 1 — Forme exponentielle
Écrire sous forme exponentielle les complexes $z_1 = -1 + i$ et $z_2 = \sqrt{3} + i$.
Voir la correction
$|z_1| = \sqrt{2}$, et $z_1 = \sqrt{2}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \sqrt{2}\, e^{3i\pi/4}$.
$|z_2| = 2$, et $z_2 = 2\left(\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}\right) = 2\, e^{i\pi/6}$.
Exercice 2 — Formule de Moivre
En utilisant la formule de Moivre, exprimer $\cos(4\theta)$ en fonction de $\cos\theta$.
Voir la correction
$(\cos\theta + i\sin\theta)^4 = \cos(4\theta) + i\sin(4\theta)$. En identifiant les parties réelles :
$$\cos(4\theta) = \cos^4\theta - 6\cos^2\theta\sin^2\theta + \sin^4\theta = 8\cos^4\theta - 8\cos^2\theta + 1.$$
Exercice 3 — Linéarisation
Linéariser $\sin^3\theta$.
Voir la correction
$$\sin^3\theta = \left(\frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}\right)^3 = \frac{e^{3i\theta} - 3e^{i\theta} + 3e^{-i\theta} - e^{-3i\theta}}{-8i}.$$
En regroupant : $\sin^3\theta = \dfrac{3\sin\theta - \sin(3\theta)}{4}$.
Exercice 4 — Racines n-ièmes de l'unité
Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $z^4 = 1$ et représenter les solutions dans le plan complexe.
Voir la correction
Les solutions sont $z_k = e^{2ik\pi/4} = e^{ik\pi/2}$ pour $k = 0, 1, 2, 3$, soit :
$$z_0 = 1, \quad z_1 = i, \quad z_2 = -1, \quad z_3 = -i.$$
Ces quatre points forment un carré inscrit dans le cercle unité.
Exercice 5 — Racines d'un complexe
Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $z^3 = 8i$.
Voir la correction
On écrit $8i = 8 e^{i\pi/2}$. Les solutions sont $z_k = 2\, e^{i(\pi/2 + 2k\pi)/3}$ pour $k = 0, 1, 2$, soit :
$$z_0 = 2e^{i\pi/6}, \quad z_1 = 2e^{5i\pi/6}, \quad z_2 = 2e^{3i\pi/2}.$$
Exercice 6 — Type BAC : transformation du plan
Soit $f$ l'application du plan complexe définie par $z' = (1 + i)z + 2$. Déterminer la nature de $f$ et son point fixe.
Voir la correction
$a = 1 + i = \sqrt{2} e^{i\pi/4}$. Donc $f$ est une similitude directe de rapport $\sqrt{2}$ et d'angle $\pi/4$. Le point fixe $\omega$ vérifie $\omega = (1+i)\omega + 2$, soit $-i\omega = 2$, donc $\omega = 2i$.
| Exercice | Thème | Difficulté |
|---|---|---|
| Exercice 1 | Forme exponentielle | Facile |
| Exercice 2 | Formule de Moivre | Moyen |
| Exercice 3 | Linéarisation | Moyen |
| Exercice 4 | Racines n-ièmes de l'unité | Facile |
| Exercice 5 | Racines n-ièmes d'un complexe | Moyen |
| Exercice 6 | Type BAC — transformation | Difficile |
Tous les exercices et sujets corrigés
Consultez la liste complète des séries d'exercices pour la 2BAC SM — Mathématiques, classées par chapitre.
Voir tous les exercicesExamens et corrections
Pour t'entraîner dans les conditions réelles de l'examen national, consulte les sujets corrigés des sessions précédentes. Ces sujets couvrent la forme exponentielle, la formule de Moivre, les racines n-ièmes et les transformations du plan complexe.
Examens nationaux corrigés
Accédez aux sujets du baccalauréat national (2BAC SM — Mathématiques) avec corrections détaillées.
Voir les examensFiche de révision express
| Notion | Formule essentielle |
|---|---|
| Formule d'Euler | $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$ |
| Forme exponentielle | $z = r e^{i\theta}$, $r = |z|$, $\theta = \arg(z)$ |
| Produit | $z_1 z_2 = r_1 r_2 e^{i(\theta_1 + \theta_2)}$ |
| Moivre | $(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta)$ |
| Euler (linéarisation) | $\cos\theta = \dfrac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}$, $\sin\theta = \dfrac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}$ |
| Racines n-ièmes de l'unité | $z_k = e^{2ik\pi/n}$, $k = 0, \ldots, n-1$ |
| Racines n-ièmes de $Z$ | $z_k = R^{1/n} e^{i(\varphi + 2k\pi)/n}$ |
| Similitude directe | $z \mapsto az + b$, rapport $|a|$, angle $\arg(a)$ |
Quiz d'autoévaluation
1. Que vaut $e^{i\pi}$ ?
$e^{i\pi} = \cos\pi + i\sin\pi = -1$ (identité d'Euler).
2. Combien de racines n-ièmes de l'unité existe-t-il ?
Exactement $n$ racines distinctes, données par $z_k = e^{2ik\pi/n}$ pour $k = 0, \ldots, n-1$.
3. Quelle est la formule de Moivre ?
$(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta)$ pour tout entier $n$.
4. Quelle transformation est associée à $z \mapsto e^{i\theta} z$ ?
C'est la rotation de centre $O$ et d'angle $\theta$.
5. Peut-on appliquer la forme exponentielle à $z = 0$ ?
Non, car $0$ n'a pas d'argument. La forme exponentielle s'applique uniquement aux complexes non nuls.
Questions fréquentes
Qu'est-ce que la notation exponentielle d'un nombre complexe ?
La notation exponentielle d'un complexe $z \neq 0$ est l'écriture $z = r e^{i\theta}$, où $r = |z|$ est le module et $\theta$ est un argument de $z$. Elle repose sur la formule d'Euler $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$.
À quoi sert la formule de Moivre ?
La formule de Moivre permet de calculer les puissances de nombres complexes écrits sous forme trigonométrique, et de démontrer des identités trigonométriques comme $\cos(3\theta) = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta$.
Combien y a-t-il de racines n-ièmes de l'unité ?
Il y a exactement $n$ racines n-ièmes distinctes de l'unité, données par $z_k = e^{2ik\pi/n}$ pour $k = 0, 1, \ldots, n-1$. Elles sont les sommets d'un polygone régulier inscrit dans le cercle unité.
Comment calculer les racines n-ièmes d'un nombre complexe ?
On écrit d'abord $Z$ sous forme exponentielle $Z = R e^{i\varphi}$, puis on applique la formule $z_k = R^{1/n} e^{i(\varphi + 2k\pi)/n}$ pour $k = 0, \ldots, n-1$.
Comment reconnaître une transformation du plan complexe ?
On identifie la forme de l'expression : $z \mapsto z+b$ est une translation, $z \mapsto kz$ (avec $k$ réel) est une homothétie, $z \mapsto e^{i\theta} z$ est une rotation, et $z \mapsto az+b$ est une similitude directe.
Quelle est la différence entre racines n-ièmes de l'unité et racines n-ièmes d'un complexe quelconque ?
Les racines n-ièmes de l'unité sont les solutions de $z^n = 1$ et forment un polygone inscrit dans le cercle unité. Les racines n-ièmes d'un complexe $Z$ quelconque forment un polygone régulier inscrit dans un cercle de rayon $R^{1/n}$, où $R = |Z|$.
Plan du chapitre
| Partie | Contenu | Type |
|---|---|---|
| I. Notation exponentielle | Formule d'Euler, forme exponentielle, opérations | Cours |
| II. Formule de Moivre | Théorème, applications à la trigonométrie, linéarisation | Cours + Méthodes |
| III. Racines n-ièmes de l'unité | Définition, théorème, propriétés | Cours |
| IV. Racines n-ièmes d'un complexe | Équation $z^n = Z$, cas particuliers | Cours + Exercices |
| V. Transformations du plan | Translation, homothétie, rotation, similitude | Cours + Méthodes |
| Erreurs | Pièges classiques | Conseils |
| Exercices | 6 exercices intégrés avec corrections | Exercices |
| Évaluation | Quiz + FAQ + fiche de révision | Autoévaluation |
Résumé final
Cette deuxième partie des nombres complexes est centrée sur la forme exponentielle $z = re^{i\theta}$ et ses applications. La formule d'Euler $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$ permet de transformer les calculs de produits et de puissances en simples additions d'arguments et multiplications de modules. La formule de Moivre $(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta)$ est l'outil clé pour la trigonométrie. Les racines n-ièmes de l'unité et d'un complexe quelconque se calculent grâce à la forme exponentielle et se représentent comme des polygones réguliers inscrits dans un cercle. Enfin, les transformations du plan complexe (translation, homothétie, rotation, similitude directe) s'expriment naturellement en notation exponentielle.
Pour réussir au baccalauréat, entraîne-toi régulièrement à passer d'une forme à l'autre, à appliquer Moivre et à identifier les transformations. La maîtrise de ces techniques te permettra de résoudre les exercices types sans difficulté. Bon courage dans tes révisions !
Version imprimable propre, sans publicité, avec toutes les solutions visibles, copyright et lien de l'article.
© 2026 EduMaroc — Tous droits réservés. Reproduction interdite sans autorisation écrite.
Cours préparé par Sif Elarab Ayyoub — EduMaroc
Source : edumaroc.org
.webp)