Cours de Mathématiques : La Dérivation — 2e BAC SM

Cours de Mathématiques : La Dérivation — 2e BAC SM

Niveau	2e année du baccalauréat
Filière	Sciences Mathématiques (SM)
Matière	Mathématiques
Chapitre	La Dérivation
Type	Cours complet
Programme	Programme officiel marocain

Mathématiques · 2BAC SM · Chapitre 2

La Dérivation

Maîtrisez la dérivabilité, les tangentes, les compositions de fonctions, la fonction réciproque et les dérivées de arctan et des racines n-ièmes.

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À propos de ce cours : Ce document est un cours complet sur la dérivation. Il commence par des rappels fondamentaux (définitions formelles de la dérivabilité, fonction affine tangente, interprétation géométrique, opérations sur les dérivées et lien avec la continuité). Il aborde ensuite deux notions avancées : la dérivation de la composition de deux fonctions et la dérivation de la fonction réciproque. Enfin, il détaille les dérivées spécifiques de la fonction arctangente et de la racine n-ième, avec des exercices d'application intégrés.

Illustration du cours

Cours : La Dérivation

Mathématiques · 2e BAC SM

Le cours complet

2BAC-SM-MATH-C02

Plan du chapitre

• I. Rappels
• II. Dérivation de la composition
• III. Dérivation de la fonction réciproque

I) RAPPELLES

1) Activités :

Activité 1 :

1. Montrer en utilisant la définition que la fonction \(f(x) = 2x^2 + x - 3\) est dérivable en \(a = 2\).
2. Montrer en utilisant la définition que la fonction \(g(x) = \sqrt{x^2 + 1} + x\) est dérivable en \(a = 1\).
3. Montrer en utilisant la définition que la fonction \(h(x) = \sqrt[3]{2x^2 + 3}\) est dérivable en \(a = -1\).
4. La fonction \(u(x) = \sqrt{x^2 - 9}\) est-elle dérivable en \(a = 3\).

Activité 2 :

Etudier la dérivabilité de la fonction \(\begin{cases} f(x) = 2x^2 + x & \text{si } x \leq 1 \\ f(x) = \frac{4x+2}{x+1} & \text{si } x > 1 \end{cases}\) en \(a = 1\)

Activité 3 :

1. Etudier la dérivabilité de la fonction \(g(x) = |2x^2 - 8| + x + 1\) en \(a = -2\).
2. Déterminer l'équation de la tangente en \(A(0, g(0))\)
3. Déterminer les équations des demi-tangentes au point \(B(-2, g(-2))\)
4. Présenter les 3 tangentes.

2) Rappelles.

2.1 Définitions et propriété de base

Définition

Soit \(f\) une fonction numérique définie sur un intervalle ouvert de centre \(a\).

On dit que \(f\) est dérivable en \(a\) si la limite \(\lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}\) existe et est finie. Dans ce cas on appellera cette limite le nombre dérivé de la fonction \(f\) en \(a\) et se note \(f'(a)\).

Remarque

Si \(f\) est dérivable en \(a\) et \(f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}\). On pose : \(h = x - a\) si \(x\) tend vers \(a\) alors \(h\) tend vers \(0\) et on obtient \(f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}\).

Application :

Calculer le nombre dérivé de \(f(x) = x^3 + x\) en \(a = 1\) en utilisant la deuxième formulation de la dérivation.

Définition

• Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle de la forme \([a, a + r[\) où \(r > 0\). On dit que \(f\) est dérivable à droite de \(a\) si la limite \(\lim_{x \to a^+} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}\) existe et est finie, dans ce cas on appelle cette limite ; le nombre dérivé de la fonction \(f\) à droite de \(a\) et on le note : \(f'_d(a)\).
• Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle de la forme \(]a - r, a]\) où \(r > 0\). On dit que \(f\) est dérivable à gauche de \(a\) si la limite \(\lim_{x \to a^-} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}\) existe et est finie, dans ce cas on appelle cette limite ; le nombre dérivé de la fonction \(f\) à gauche de \(a\) et on le note : \(f'_g(a)\).

Théorème

Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle ouvert de centre \(a\).

\(f\) est dérivable en \(a\) si et seulement si elle dérivable à droite et à gauche de \(a\) et \(f'_d(a) = f'_g(a)\).

2.2 Fonction affine tangente

Soit \(f\) une fonction dérivable en \(a\) et \(f'(a)\) son nombre dérivé en \(a\).

Posons : \(\varphi(x) = \begin{cases} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} - f'(a), & x \neq a \\ 0, & x = a \end{cases}\)

On a : \((x - a)\varphi(x) = -f'(a)(x - a) + f(x) - f(a)\) et par suite : \(f(x) = f'(a)(x - a) + f(a) + (x - a)\varphi(x)\)

Posons : \(u(x) = f'(a)(x - a) + f(a)\) on aura : \(f(x) = u(x) + (x - a)\varphi(x)\)

La fonction \(u\) est une fonction affine et s'appelle la fonction affine tangente en \(a\).

Propriété

Soit \(f\) une fonction dérivable en \(a\). \(f\) admet une fonction affine tangente en \(a\) de la forme : \(u(x) = f'(a)(x - a) + f(a)\).

Remarques

• La fonction affine tangente en \(a\) d'une fonction dérivable en \(a\) est une approximation de \(f\) au voisinage de \(a\). On peut écrire alors : \(f(x) \sim f'(a)(x - a) + f(a)\)
• Si on pose \(x = a + h\) ; on aura : \(f(a + h) \sim f'(a)h + f(a)\) qui dit que si on ne connait pas \(f(a+h)\) et si \(h\) est petit, on peut "essayer de mettre" \(f'(a)h + f(a)\) à la place de \(f(a+h)\).

Exemple :

Si on veut une approximation de \(\sin 3\), on peut prendre :

• \(f(x) = \sin x\)
• \(a = \pi\) (car \(\pi\) est l'élément le plus proche de 3 dont le sinus est connu)
• \(h = 3 - \pi\) (pour avoir : \(3 = \pi + h\))

On a alors \(f(a) = \sin \pi = 0\) et \(f'(a) = \cos \pi = -1\) (à prouver) ce qui donne :

\(\sin 3 = \sin(\pi + h) \sim -1 \times (3 - \pi) = \pi - 3\).

2.3 Interprétation géométrique :

Propriété

Soit \(f\) une fonction dérivable en \(a\). \(f\) admet une fonction affine tangente en \(a\) de la forme : \(u(x) = f'(a)(x - a) + f(a)\)

Exercice :

Soit \(f(x) = x^2\), \(A(a, f(a))\) un point de \(C_f\) ; \(T\) est la tangente à \(C_f\) en \(A\). La droite \(T\) coupe respectivement \((Ox)\) et \((Oy)\) en \(M\) et \(N\).

Montrer que \(M\) est le milieu de \([AN]\).

Théorème

• Si \(f\) est une fonction dérivable à droite de \(a\), alors son graphe admet une demi-tangente à droite de \(a\) \((T_d)\) d'équation : \((T_d) \begin{cases} y = f'_d(a)(x - a) + f(a) \\ x \geq a \end{cases}\)
• Si \(f\) est une fonction dérivable à gauche de \(a\), alors son graphe admet une demi-tangente à gauche de \(a\) \((T_g)\) d'équation : \((T_g) \begin{cases} y = f'_g(a)(x - a) + f(a) \\ x \leq a \end{cases}\)

Exemple :

\(f(x) = |-2x^2 + x + 1|\) ; On a : \(f\) est dérivable à droite de \(1\) et \(f'_d(1) = 3\) (à prouver) et est dérivable à gauche de \(1\) et \(f'_g(1) = -3\)

donc la courbe représentative de \(f\) admet deux demi-tangentes en \(A(1, f(1))\).

\((T_d) \begin{cases} y = 3(x - 1) \\ x \geq 1 \end{cases}\) et \((T_g) \begin{cases} y = -3(x - 1) \\ x \leq 1 \end{cases}\) qu'on peut représenter par :

2.4 Opérations sur les fonctions dérivées :

Définition

Soit \(f\) une fonction dérivable sur un intervalle ouvert \(I\). La fonction qui associe à tout élément \(x\) son nombre dérivé \(f'(x)\) s'appelle la fonction dérivée de la fonction \(f\) sur \(I\).

Tableau des dérivées des fonctions usuelles

La fonction \(f\)	Sa fonction dérivée \(f'\)	Intervalles de dérivation
\(C\)	\(0\)	\(\mathbb{R}\)
\(x\)	\(1\)	\(\mathbb{R}\)
\(x^2\)	\(2x\)	\(\mathbb{R}\)
\(x^n\)	\(nx^{n-1}\)	\(\mathbb{R}\)
\(\sqrt{x}\)	\(\frac{1}{2\sqrt{x}}\)	\(\mathbb{R}^{*+}\)
\(\frac{1}{x}\)	\(\frac{-1}{x^2}\)	\(\mathbb{R}^{*+}\) et \(\mathbb{R}^{*-}\)
\(\cos\)	\(-\sin\)	\(\mathbb{R}\)
\(\sin\)	\(\cos\)	\(\mathbb{R}\)
\(\tan x\)	\(1 + \tan^2 x\)	\(]-\frac{\pi}{2} + k\pi, \frac{\pi}{2} + k\pi[, k \in \mathbb{Z}\)

Tableau des opérations sur les fonctions dérivées

La fonction	Sa fonction dérivée
\(f + g\)	\(f' + g'\)
\(f \cdot g\)	\(f' \cdot g + g' \cdot f\)
\(\frac{1}{g}\)	\(\frac{-g'}{g^2}\)
\(\frac{f}{g}\)	\(\frac{f' \cdot g - g' \cdot f}{g^2}\)
\(\sqrt{f}\)	\(\frac{f'}{2\sqrt{f}}\)
\(f(ax + b)\)	\(af'(ax + b)\)

3) Dérivation et continuité :

Théorème

Si \(f\) est une fonction dérivable en \(a\) alors elle est continue en \(a\).

Preuve :

On a : \(f(x) = f'(a)(x - a) + f(a) + (x - a)\varphi(x)\)

Où : \(\varphi(x) = \begin{cases} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} - f'(a), & x \neq a \\ 0, & x = a \end{cases}\)

Donc \(\lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} f'(a)(x - a) + f(a) + (x - a)\varphi(x)\)

\(= f(a)\) car \(\lim_{x \to a} \varphi(x) = 0\)

Donc \(f\) est continue en \(a\).

Remarque

La réciproque n'est pas vraie ; \(f(x) = |x|\) est continue en 0 mais pas dérivable en 0 (vérifier le).

Exercice :

Soit la fonction \(f\) définie par :

\(\begin{cases} f(x) = 2x^2 + ax + b & \text{si } x \leq 1 \\ f(x) = \frac{2x + a}{x + 2} & \text{si } x > 1 \end{cases}\)

1. Trouver une relation entre \(a\) et \(b\) afin que la fonction soit continue en \(1\).
2. Déterminer \(a\) et \(b\) pour que \(f\) soit dérivable en \(1\).

II) DERIVATION DE LA COMPOSITION DE DEUX FONCTIONS

Théorème

Soient \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\) et \(g\) une fonction définie sur un intervalle \(J\) telles que \(f(I) \subset J\) et \(a\) un élément de \(I\).

• Si \(f\) est dérivable en \(a\) et \(g\) dérivable en \(b = f(a)\) alors \((g \circ f)\) est dérivable en \(a\) et \((g \circ f)'(a) = g'(f(a)) \times f'(a)\)
• Si \(f\) est dérivable sur \(I\) et \(g\) dérivable sur \(J\) alors \((g \circ f)\) est dérivable sur \(I\) et pour tout \(a\) dans \(I\) on a : \((g \circ f)'(a) = g'(f(a)) \times f'(a)\)

Preuve :

Puisque \(f\) est dérivable en \(a\) alors : \(\lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} = f'(a)\)

Et Puisque \(g\) est dérivable en \(b = f(a)\) alors : \(\lim_{k \to 0} \frac{g(b+k) - g(b)}{k} = g'(b)\)

On a :

\(\lim_{h \to 0} \frac{(g \circ f)(a+h) - (g \circ f)(a)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{g(f(a+h)) - g(f(a))}{h}\)

On pose \(k = f(a+h) - f(a)\)

On a : \(\lim_{h \to 0} k = \lim_{h \to 0} f(a+h) - f(a) = 0\) car \(f\) est continue en \(a\) (car elle est dérivable en \(a\))

et \(f(a+h) = k + f(a)\) par suite :

\(\lim_{h \to 0} \left[ \frac{g(f(a+h)) - g(f(a))}{h} \right] = \lim_{h \to 0} \left[ \frac{g(f(a)+k) - g(f(a))}{h} \right]\)

\(= \lim_{h \to 0} \left[ \frac{g(f(a)+k) - g(f(a))}{k} \times \frac{k}{h} \right]\)

\(= \lim_{h \to 0} \left[ \frac{g(f(a)+k) - g(f(a))}{k} \times \frac{f(a+h) - f(a)}{h} \right]\) car : \(k = f(a+h) - f(a)\)

\(= \lim_{k \to 0} \left[ \frac{g(f(a)+k) - g(f(a))}{k} \right] \times \lim_{h \to 0} \left[ \frac{f(a+h) - f(a)}{h} \right]\)

\(= g'(f(a)) \times f'(a)\)

Exercice :

Déterminer les fonctions dérivées des fonctions suivantes :

1. \(f(x) = \sin(2x^2 + 1)\)
2. \(g(x) = \cos\left(\frac{1}{x^2 + 1}\right)\)
3. \(h(x) = \tan(\cos x)\)

III) DERIVATION DE LA FONCTION RECIPROQUE

1) Propriété et exemple.

Soit \(f\) une fonction continue strictement monotone sur \(I\) et soit \(f^{-1}\) sa fonction réciproque de \(J = f(I)\) vers \(I\).

On suppose que \(f\) est dérivable sur \(I\) et que \((\forall y \in I)(f'(y) \neq 0)\)

Montrons que \(f^{-1}\) est dérivable sur \(J\).

\(\lim_{x \to x_0} \frac{f^{-1}(x) - f^{-1}(x_0)}{x - x_0} = \lim_{x \to x_0} \frac{y - y_0}{f(y) - f(y_0)}\)

\(= \lim_{x \to x_0} \frac{1}{\frac{f(y) - f(y_0)}{y - y_0}}\) (car \((\forall y \in I)(f'(y) \neq 0)\))

\(= \lim_{y \to y_0} \frac{1}{\frac{f(y) - f(y_0)}{y - y_0}}\) (car quand \(x\) tend vers \(x_0\) on a \(y = f^{-1}(x)\) tend vers \(f^{-1}(x_0)\))

\(= \frac{1}{f'(y_0)}\)

\(= \frac{1}{f'(f^{-1}(x_0))}\)

Théorème

Soient \(f\) une fonction continue strictement monotone sur \(I\), et \(J = f(I)\) et \(a\) un élément de \(I\).

• Si \(f\) est dérivable en \(y_0\) et \(f'(y_0) \neq 0\) alors \(f^{-1}\) est dérivable en \(x_0 = f(y_0)\) et \((f^{-1})'(x_0) = \frac{1}{f'(f^{-1}(x_0))}\)
• Si \(f\) est dérivable \(I\) et \(f'\) ne s'annule pas sur \(I\) alors \(f^{-1}\) est dérivable sur \(J\) et \((\forall x \in J)(f^{-1})'(x) = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}\)

Exemple :

\(f(x) = \cos x\) est une bijection de \([0, \pi]\) vers \([-1, 1]\) (Prouver-le)

Et on a \(f\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0\) et \(f'\left(\frac{\pi}{2}\right) = \cos'\left(\frac{\pi}{2}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = -1 \neq 0\) donc \(f^{-1}\) est dérivable en \(0\) et

\((f^{-1})'(0) = \frac{1}{f'(f^{-1}(0))} = \frac{1}{\cos'(\frac{\pi}{2})} = \frac{1}{-\sin(\frac{\pi}{2})} = -1\)

Remarque

La première assertion du théorème précédent nous permet de trouver \((f^{-1})'(x_0)\) sans savoir l'expression de \(f^{-1}\) ; il suffit de connaitre \(f^{-1}(x_0)\).

Exercice :

Soit \(f : \begin{cases} \mathbb{R} \to \mathbb{R} \\ x \mapsto x^3 + x^2 \end{cases}\)

1. Dresser le tableau de variation de \(f\)
2. Montrer que \(f\) est une bijection de \(\mathbb{R}^+\) vers \(\mathbb{R}^+\) et calculer \(f(1)\).
3. Déterminer \((f^{-1})'(2)\).

Exercice corrigé :

Soit la fonction \(g(x) = \cos(2x)\)

1. Dresser le tableau de variation de \(g\) dans \([0, \pi]\)
2. Monter que \(g\) est une bijection de \(\left[0, \frac{\pi}{2}\right]\) vers \(]-1, 1[\).
3. Vérifier que \(\left(\forall y \in \left]0, \frac{\pi}{2}\right[\right) (g'(y) \neq 0)\) et déterminer \((g^{-1})'(x)\) pour \(x\) dans \(]-1, 1[\).

Correction :

1- \(g\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et \((\forall x \in \mathbb{R})(g'(x) = -2\sin(2x))\)

• Si \(x \in [0, \frac{\pi}{2}]\) alors \(2x \in [0, \pi]\) et par suite \(g'(x) = -2\sin(2x) \leq 0\)
• Si \(x \in [\frac{\pi}{2}, \pi]\) alors \(2x \in [\pi, 2\pi]\) et par suite \(g'(x) = -2\sin(2x) \geq 0\)

\(x\)	\(0\)		\(\frac{\pi}{2}\)		\(\pi\)
\(g'(x)\)	\(0\)	\(-\)	\(0\)	\(+\)	\(0\)
\(g(x)\)	\(1\)	\(\searrow\)	\(-1\)	\(\nearrow\)	\(1\)

2- La fonction \(g\) est continue (composition de deux fonctions continues) strictement décroissante de \(\left]0, \frac{\pi}{2}\right[\) vers \(g\left(\left]0, \frac{\pi}{2}\right[\right) = \left] \lim_{x \to (\frac{\pi}{2})} g(x), \lim_{x \to 0^+} g(x) \right[ = ]-1, 1[\)

Donc \(g\) est une bijection de \(\left[0, \frac{\pi}{2}\right]\) vers \(]-1, 1[\) ; soit \(g^{-1}\) sa fonction réciproque.

3- On a : \(g\) est dérivable sur \(\left[0, \frac{\pi}{2}\right]\) et \(\left(\forall x \in \left]0, \frac{\pi}{2}\right[\right) (g'(x) = -2\sin(2x) \neq 0)\) donc \(g^{-1}\) est dérivables sur \(]-1, 1[\).

Soit \(x \in ]-1, 1[\) ; \((g^{-1})'(x) = \frac{1}{g'(g^{-1}(x))}\)

\(= \frac{1}{-2\sin(2g^{-1}(x))}\) \(\left(\forall \alpha \in \left]0, \frac{\pi}{2}\right[\right) (\sin 2\alpha = \sqrt{1 - \cos^2(2\alpha)})\)

\(= \frac{1}{-2\sqrt{1 - \cos^2(2(g^{-1}(x)))})}\)

\(= \frac{1}{-2\sqrt{1 - (g(g^{-1}(x)))^2}}\)

\(= \frac{-1}{2\sqrt{1 - x^2}}\)

2) La dérivée de la fonction arctan

Activité :

1. Montrer que la fonction arctan est dérivable sur \(\mathbb{R}\).
2. Montrer que \((\forall x \in \mathbb{R}) \left( \arctan'(x) = \frac{1}{1 + x^2} \right)\)

Propriété

La fonction arctan est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et \((\forall x \in \mathbb{R}) \left( \arctan'(x) = \frac{1}{1 + x^2} \right)\)

Corollaire

Soit \(u\) une fonction définie sur un intervalle \(I\).

Si \(u\) est dérivable sur \(I\) alors \(\arctan(u(x))\) est dérivable sur \(I\) et \((\forall x \in I) \left( (\arctan(u(x)))' = \frac{u'(x)}{1 + (u(x))^2} \right)\)

Preuve : (En exercice)

Exercice :

Soit la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}^*\) par : \((\forall x \in \mathbb{R}) \left( f(x) = \arctan(x) + \arctan\left(\frac{1}{x}\right) \right)\)

1. Montrer que \(f\) est une constante sur \(]0, +\infty[\), et trouver \(f(x)\) pour \(x\) dans \(]0, +\infty[\).
2. Déterminer : \(\lim_{x \to +\infty} \left( \frac{\arctan(2x^2+x+1) - \frac{\pi}{2}}{2\arctan(x) - \pi} \right)\).

3) La dérivée de la racine n-ième

Activité :

1. Montrer que la fonction \(x \mapsto \sqrt[n]{x}\) est dérivable sur \(]0, +\infty[\).
2. Montrer que : \((\forall x \in ]0, +\infty[) \left( (\sqrt[n]{x})' = \frac{1}{n\sqrt[n]{x^{n-1}}} \right)\)
3. Soit \(u\) une fonction dérivable sur \(I\) et strictement positif sur \(I\).
   1. Montrer que \(\sqrt[n]{u}\) est dérivable sur \(I\).
   2. Montrer que \((\forall x \in I) \left( (\sqrt[n]{u(x)})' = \frac{u'(x)}{n\sqrt[n]{(u(x))^{n-1}}} \right)\)

Propriété 1

Soit \(n\) un entier naturel non nul.

• La fonction \(x \mapsto \sqrt[n]{x}\) est dérivable sur \(]0, +\infty[\) et \((\forall x \in ]0, +\infty[) \left( (\sqrt[n]{x})' = \frac{1}{n\sqrt[n]{x^{n-1}}} \right)\)
• Si \(u\) une fonction dérivable sur \(I\) et strictement positif sur \(I\) alors la fonction \(\sqrt[n]{u}\) est dérivable sur \(I\) et \((\forall x \in I) \left( (\sqrt[n]{u(x)})' = \frac{u'(x)}{n\sqrt[n]{(u(x))^{n-1}}} \right)\)

Exercice 1 :

Déterminer les domaines de dérivabilité et les fonctions dérivées des fonctions suivantes :

\(f(x) = \sqrt[3]{3x^2 + x - 4}\)

\(g(x) = \sqrt[4]{\frac{2x - 1}{x^2 - x}}\)

Exercice 2 :

Déterminer la limite : \(\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt[5]{x^4 + 1} - \sqrt[4]{x^3 + 1}}{\sqrt[3]{x^2 + 1} - \sqrt{x + 1}}\)

Propriété 2

Soit \(r\) un nombre rationnel.

• La fonction \(x \mapsto x^r\) est dérivable sur \(]0, +\infty[\) et \((\forall x \in ]0, +\infty[) \left( (x^r)' = r x^{r-1} \right)\)
• Si \(u\) une fonction dérivable sur \(I\) et strictement positif sur \(I\) alors la fonction \(u^r\) est dérivable sur \(I\) et \((\forall x \in I) \left( ((u(x))^r)' = r u'(x) \cdot (u(x))^{r-1} \right)\)

Exercice :

Soit la fonction définie par : \(\begin{cases} f(x) = \frac{1+\sin x}{\cos x} & \text{si } x \in [0, \frac{\pi}{2}[ \\ f(x) = \frac{4}{\pi} \arctan(\sqrt[3]{1 - x^3}) & \text{si } x \in ]-\infty, 0[ \end{cases}\)

1. Etudier la continuité et la dérivabilité de \(f\) en \(0\).
2. Calculer les limites \(\lim_{x \to (\frac{\pi}{2})^-} f(x)\) ; \(\lim_{x \to -\infty} f(x)\)
3. Soit \(g\) la restriction de la fonction \(f\) sur \([0, \frac{\pi}{2}[ = I\)
   1. Déterminer l'intervalle \(J\) image de \(I\) par \(g\)
   2. Montrer que la fonction \(g\) admet une fonction réciproque \(g^{-1}\) et que \(g^{-1}\) est dérivable sur \(J\).
   3. Montrer que : \((\forall x \in J) \left( (g^{-1})'(x) = \frac{2}{1+x^2} \right)\)
   4. En déduire \(g^{-1}(x)\) pour tout \(x\) dans \(J\).
4. Etudier les variations de \(f\) sur \(]-\infty, 0[\).

Questions fréquentes

Quelle est la différence entre une tangente et une demi-tangente ?

Une tangente est une droite qui touche la courbe en un point où la fonction est dérivable (la limite du taux d'accroissement est finie). Une demi-tangente apparaît lorsque la fonction n'est dérivable que d'un seul côté (à droite ou à gauche) ou lorsque la limite est infinie (tangente verticale).

Comment calculer la dérivée d'une fonction réciproque ?

La formule est \((f^{-1})'(x) = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}\). Il faut d'abord vérifier que \(f\) est dérivable et que sa dérivée ne s'annule pas sur l'intervalle considéré.

Que signifie la notation \(\sqrt[n]{x}\) ?

C'est la racine n-ième de \(x\). C'est la fonction réciproque de \(x \mapsto x^n\) sur l'intervalle \([0, +\infty[\). Sa dérivée est \(\frac{1}{n\sqrt[n]{x^{n-1}}}\).

Résumé final

La dérivation est une notion fondamentale en analyse. Vous devez maîtriser la définition formelle avec les limites, les dérivées usuelles, la composition de fonctions, ainsi que la dérivée de la fonction réciproque. La maîtrise de la fonction arctangente et des racines n-ièmes est également indispensable. N'oubliez pas de vérifier systématiquement les domaines de dérivabilité avant d'appliquer les formules, notamment pour les fonctions impliquant des racines ou des valeurs absolues.

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Cours préparé par Sif Elarab Ayyoub — EduMaroc

Source : edumaroc.org

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