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Cours de Mathématiques : La continuité et les fonctions réciproques — 2e BAC PC 2025-2026

Niveau	2e année du baccalauréat
Filière	PC (Physique-Chimie) et SVT
Matière	Mathématiques
Chapitre	Continuité et fonctions réciproques
Sous-chapitre	Continuité en un point, continuité sur un intervalle, TVI, fonction réciproque, racine n-ième, puissance rationnelle
Programme	Programme officiel marocain — 2025-2026
Durée indicative d'étude	6 heures
Dernière mise à jour	24 octobre 2026

Le chapitre de la continuité s'inscrit dans le prolongement direct du cours sur les limites. Après avoir appris à calculer une limite, tu vas maintenant apprendre à relier cette limite à la valeur de la fonction au point considéré. C'est ce lien qui définit la continuité et qui permet de démontrer l'existence de solutions à des équations, de construire des fonctions réciproques et de manipuler les racines n-ièmes et les puissances rationnelles.

Ce chapitre est l'un des plus rentables à l'examen national. Il tombe presque chaque année, souvent sous forme d'un exercice d'application directe (étude de la continuité d'une fonction définie par morceaux avec deux paramètres à déterminer) et parfois sous forme d'un problème plus complet mêlant TVI, stricte monotonie et fonction réciproque. La maîtrise du théorème des valeurs intermédiaires est indispensable pour la suite du programme : elle te resservira dans les chapitres sur les suites, les équations différentielles et l'étude de fonctions. La rigueur exigée ici (rédaction, vérification des hypothèses, conclusion) est exactement celle attendue au bac.

Tu vas trouver dans ce cours les définitions et propriétés du programme officiel, des démonstrations claires, des méthodes pas à pas, les erreurs classiques à éviter, des exercices intégralement corrigés inspirés des examens nationaux, une fiche de révision express, un quiz d'autoévaluation et un bouton d'impression propre pour réviser sur papier, sans publicité et avec toutes les solutions visibles.

Table des matières

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Prérequis

Avant d'attaquer ce chapitre, tu dois maîtriser un certain nombre de notions vues en première année et en début de deuxième année. Prends cinq minutes pour vérifier que tout est en place ; sinon, reviens sur ces points avant de continuer.

Notion de limite d'une fonction en un point, à droite, à gauche, en $+\infty$ et en $-\infty$.
Techniques de calcul de limites : factorisation, multiplication par la quantité conjuguée, simplification des formes indéterminées.
Dérivées usuelles et règles de dérivation (somme, produit, quotient, composée).
Lien entre signe de la dérivée et sens de variation d'une fonction.
Fonctions usuelles : polynômes, fonctions rationnelles, fonctions trigonométriques (sin, cos, tan), fonction racine carrée.
Résolution d'équations et d'inéquations simples du premier et du second degré.

Objectifs pédagogiques

À la fin de ce cours, tu seras capable de :

Reconnaître et démontrer rigoureusement qu'une fonction est continue en un point.
Étudier la continuité à droite et à gauche et en déduire la continuité au point.
Étudier la continuité sur un intervalle ouvert, fermé ou semi-ouvert.
Déterminer deux paramètres réels $a$ et $b$ pour qu'une fonction définie par morceaux soit continue en des points de raccord.
Déterminer l'image d'un intervalle par une fonction continue (et éventuellement strictement monotone).
Appliquer le théorème des valeurs intermédiaires pour prouver l'existence de solutions d'équations.
Utiliser la stricte monotonie pour garantir l'unicité de la solution.
Déterminer la fonction réciproque d'une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle.
Manipuler les racines n-ièmes et les puissances rationnelles avec les règles de calcul adaptées.

Le cours complet

1. Continuité en un point

Définition

Soit $f$ une fonction définie sur un domaine $D_f$, soit $x_0$ un point de $D_f$ et soit $I$ un intervalle ouvert contenant $x_0$ et inclus dans $D_f$. On dit que $f$ est continue au point $x_0$ si et seulement si :

$$\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$$

Autrement dit, la limite de $f$ quand $x$ tend vers $x_0$ existe et elle est égale à la valeur de $f$ au point $x_0$. Cette condition suppose deux choses : la fonction doit être définie en $x_0$, et sa limite en $x_0$ doit exister et être finie.

Exemple

Soit $f$ définie par $f(x) = \dfrac{x^2 - |x|}{|x| - 1}$ pour $x \in \mathbb{R} \setminus \{-1\}$ avec $f(1) = 1$. Étudions la continuité de $f$ au point $x_0 = 1$.

On a $f(1) = 1$. Calculons la limite en $1$ :

$$\lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} \frac{|x|(|x| - 1)}{|x| - 1} = \lim_{x \to 1} |x| = 1$$

Donc $\lim_{x \to 1} f(x) = 1 = f(1)$. Conclusion : la fonction $f$ est continue au point $x_0 = 1$.

2. Continuité à droite et à gauche

Définitions

Soit $f$ définie sur $D_f$ et soit $I_d = [x_0, x_0 + r[$ (avec $r > 0$) un intervalle inclus dans $D_f$. On dit que $f$ est continue à droite de $x_0$ si et seulement si :

$$\lim_{x \to x_0^+} f(x) = f(x_0)$$

De même, soit $I_g = ]x_0 - r, x_0]$ un intervalle inclus dans $D_f$. On dit que $f$ est continue à gauche de $x_0$ si et seulement si :

$$\lim_{x \to x_0^-} f(x) = f(x_0)$$

Propriété

$f$ est continue au point $x_0$ si et seulement si $f$ est à la fois continue à droite et à gauche de $x_0$. Autrement dit :

$$f \text{ continue en } x_0 \iff \lim_{x \to x_0^+} f(x) = \lim_{x \to x_0^-} f(x) = f(x_0)$$

Exemple avec deux paramètres

Soit la fonction $f$ définie par :

$$f(x) = \begin{cases} x + a\sqrt{x^2 + x + 1} & \text{si } x \leq 0 \\ x^2 - x & \text{si } 0 \lt x \leq 1 \\ bx - \dfrac{x-1}{\sqrt{x^2+3} - 2} & \text{si } x \gt 1 \end{cases}$$

où $a$ et $b$ sont deux réels. Déterminons $a$ et $b$ pour que $f$ soit continue aux points $x_0 = 0$ et $x_1 = 1$.

Continuité en $x_0 = 0$. On a $f(0) = 0 + a\sqrt{1} = a$. La limite à droite vaut :

$$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (x^2 - x) = 0$$

La limite à gauche vaut :

$$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \left(x + a\sqrt{x^2 + x + 1}\right) = a$$

Pour que $f$ soit continue en $0$, il faut donc $a = 0$.

Continuité en $x_1 = 1$. On a $f(1) = 1 - 1 = 0$. La limite à gauche vaut :

$$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (x^2 - x) = 0$$

La limite à droite demande un peu plus de travail. On multiplie numérateur et dénominateur par la quantité conjuguée $\sqrt{x^2+3} + 2$ :

$$\frac{x-1}{\sqrt{x^2+3} - 2} = \frac{(x-1)(\sqrt{x^2+3}+2)}{(x^2+3) - 4} = \frac{(x-1)(\sqrt{x^2+3}+2)}{x^2 - 1} = \frac{\sqrt{x^2+3}+2}{x+1}$$

Quand $x \to 1^+$, cette quantité tend vers $\dfrac{\sqrt{4}+2}{2} = 2$. Donc :

$$\lim_{x \to 1^+} f(x) = b - 2$$

La continuité en $1$ impose $b - 2 = 0$, soit $b = 2$.

Conclusion : $a = 0$ et $b = 2$.

3. Continuité sur un intervalle

Définitions

$f$ est continue sur un intervalle ouvert $I = ]a,b[$ si $f$ est continue en tout point $x$ de $I$.
$f$ est continue sur $[a,b]$ si $f$ est continue sur $]a,b[$ et continue à droite de $a$.
$f$ est continue sur $]a,b]$ si $f$ est continue sur $]a,b[$ et continue à gauche de $b$.
$f$ est continue sur $[a,b]$ si $f$ est continue sur $]a,b[$ et continue à droite de $a$ et à gauche de $b$.

Exemple

Soit $f(x) = x^2 + 3x$ définie sur $\mathbb{R}$. Montrons que $f$ est continue sur $I = ]1, 5[$.

Soit $x_0 \in ]1,5[$. On a $f(x_0) = x_0^2 + 3x_0$ et comme $f$ est une fonction polynôme :

$$\lim_{x \to x_0} f(x) = x_0^2 + 3x_0 = f(x_0)$$

Donc $f$ est continue en $x_0$. Comme $x_0$ est arbitraire dans $]1,5[$, $f$ est continue sur $]1,5[$.

Propriété (opérations)

Si $f$ et $g$ sont continues sur un intervalle $I$, alors les fonctions $f + g$, $f \times g$ et $\alpha f$ (pour $\alpha \in \mathbb{R}$) sont continues sur $I$. De plus, les fonctions $\dfrac{1}{g}$ et $\dfrac{f}{g}$ sont continues en tout point $x \in I$ où $g(x) \neq 0$.

4. Continuité des fonctions usuelles

Le programme officiel fournit une liste de fonctions dont la continuité est admise. Il est indispensable de les connaître par cœur : ce sont elles qui te permettront de justifier rapidement la continuité des fonctions plus complexes.

Toute fonction polynôme est continue sur $\mathbb{R}$.
Toute fonction rationnelle est continue sur son domaine de définition.
Les fonctions $x \mapsto \sin x$ et $x \mapsto \cos x$ sont continues sur $\mathbb{R}$.
La fonction $x \mapsto \tan x$ est continue sur $\mathbb{R} \setminus \left\{\dfrac{\pi}{2} + k\pi,\ k \in \mathbb{Z}\right\}$.
La fonction $x \mapsto \sqrt{x}$ est continue sur $[0, +\infty[$.

Exemples

Fonction $f(x) = (x^2 + 3x - 2)\sqrt{x}$. La fonction polynôme $x \mapsto x^2 + 3x - 2$ est définie et continue sur $\mathbb{R}$. La fonction $x \mapsto \sqrt{x}$ est définie et continue sur $[0, +\infty[$. Par produit, $f$ est définie et continue sur $[0, +\infty[$.

Fonction $g(x) = \dfrac{2x+1}{x-1} + \cos x$. La fonction rationnelle $x \mapsto \dfrac{2x+1}{x-1}$ est définie et continue sur $\mathbb{R} \setminus \{1\}$. La fonction $x \mapsto \cos x$ est définie et continue sur $\mathbb{R}$. Par somme, $g$ est définie et continue sur $\mathbb{R} \setminus \{1\}$.

5. Image d'un intervalle par une fonction continue

Propriété

L'image d'un segment $[a,b]$ par une fonction continue $f$ est un segment $[m, M]$ où $m$ est la plus petite image et $M$ la plus grande image des éléments de $[a,b]$. On note :

$$f([a,b]) = [m, M]$$

Plus généralement, l'image d'un intervalle $I$ par une fonction continue est un intervalle $J = f(I)$.

Cas d'une fonction strictement monotone

Lorsque la fonction est de plus strictement monotone, on peut calculer explicitement l'image à l'aide des bornes et des limites aux bornes. Voici les cas essentiels à retenir.

Fonction continue et strictement croissante :

$f([a,b]) = [f(a), f(b)]$
$f(]a,b[) = \left]\lim_{x \to a^+} f(x), \lim_{x \to b^-} f(x)\right[$
$f([a,b[) = [f(a), \lim_{x \to b^-} f(x)[$
$f(]a,b]) = \left]\lim_{x \to a^+} f(x), f(b)\right]$
$f([a, +\infty[) = [f(a), \lim_{x \to +\infty} f(x)[$
$f(\mathbb{R}) = \left]\lim_{x \to -\infty} f(x), \lim_{x \to +\infty} f(x)\right[$

Fonction continue et strictement décroissante :

$f([a,b]) = [f(b), f(a)]$
$f(]a,b[) = \left]\lim_{x \to b^-} f(x), \lim_{x \to a^+} f(x)\right[$
$f([a,b[) = \left]\lim_{x \to b^-} f(x), f(a)\right]$
$f(]a,b]) = [f(b), \lim_{x \to a^+} f(x)[$
$f([a, +\infty[) = \left]\lim_{x \to +\infty} f(x), f(a)\right]$
$f(\mathbb{R}) = \left]\lim_{x \to +\infty} f(x), \lim_{x \to -\infty} f(x)\right[$

6. Continuité de la composée de deux fonctions

Théorème

Si $f$ est continue en $x_0$ et si $g$ est continue en $f(x_0)$, alors $g \circ f$ est continue en $x_0$.
Si $f$ est continue sur $I$ et si $g$ est continue sur $f(I)$, alors $g \circ f$ est continue sur $I$.

Applications

$f(x) = \sin(ax+b)$ et $g(x) = \cos(ax+b)$ sont continues sur $\mathbb{R}$.
$h(x) = \tan(ax+b)$ est continue pour tout $x$ tel que $ax+b \neq \dfrac{\pi}{2} + k\pi$.
Si $f$ est positive et continue sur $I$, alors $x \mapsto \sqrt{f(x)}$ est continue sur $I$.

7. Théorème des valeurs intermédiaires (TVI)

Énoncé

Soit $f$ une fonction continue sur un segment $[a,b]$. Pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe au moins un élément $c$ de $[a,b]$ tel que :

$$f(c) = k$$

Conséquences

Comme $f$ est continue, $f([a,b]) = [m, M]$ : l'image d'un segment est un segment.
Si $f(a)$ et $f(b)$ sont de signes contraires (c'est-à-dire $f(a) \cdot f(b) \lt 0$), alors $k = 0 \in f([a,b])$ et il existe au moins un $c \in ]a,b[$ tel que $f(c) = 0$.
Si $f$ est continue sur $[a,b]$ et si $f(a) \cdot f(b) \lt 0$, alors l'équation $f(x) = 0$ admet au moins une solution $c$ dans $]a,b[$.

Remarques essentielles

Si $f$ est continue et strictement monotone sur $[a,b]$, alors la solution $c$ est unique.
Pour prouver l'existence d'au moins une solution, il faut impérativement la continuité.
Pour prouver l'existence et l'unicité, il faut la continuité et la stricte monotonie.

8. Fonction réciproque d'une fonction continue et strictement monotone

Théorème

Si $f : I \to J = f(I)$ est continue et strictement monotone sur un intervalle $I$, alors $f$ réalise une bijection de $I$ sur $J$. On peut donc définir une fonction réciproque notée $f^{-1}$ :

$$\begin{cases} f : I \to J = f(I) \\ x \mapsto f(x) = y \end{cases} \quad \text{et} \quad \begin{cases} f^{-1} : J \to I \\ y \mapsto f^{-1}(y) = x \end{cases}$$

Exemple

Soit $f$ définie sur $[0,3]$ par $f(x) = x^2$. Montrons que $f$ admet une fonction réciproque et déterminons-la.

Continuité : $x \mapsto x^2$ est continue sur $\mathbb{R}$, donc sur $[0,3]$.

Monotonie : la dérivée $x \mapsto 2x$ est positive sur $[0, +\infty[$, donc $f$ est strictement croissante sur $[0, +\infty[$ et par restriction sur $[0,3]$.

Conclusion 1 : $f$ est continue et strictement croissante sur $[0,3]$, elle admet donc une fonction réciproque $f^{-1}$ définie sur $J = f([0,3])$.

Détermination de $J$ : comme $f$ est continue et strictement croissante sur $[0,3]$, on a $J = [f(0), f(3)] = [0, 9]$.

Détermination de $f^{-1}$ : soit $y \in [0,9]$ et $x \in [0,3]$. On résout $f(x) = y$, c'est-à-dire $x^2 = y$. On obtient $x = \sqrt{y}$ ou $x = -\sqrt{y}$. Comme $x \in [0,3]$, on retient $x = \sqrt{y}$. Donc :

$$f^{-1} : [0,9] \to [0,3], \quad x \mapsto f^{-1}(x) = \sqrt{x}$$

Propriétés de la fonction réciproque

$f^{-1}$ est continue sur $J = f(I)$.
$f^{-1}$ et $f$ varient dans le même sens.
Les courbes $(C_f)$ et $(C_{f^{-1}})$ sont symétriques par rapport à la première bissectrice $(D) : y = x$.
Pour tout $x \in I$, $f^{-1}(f(x)) = x$ ; pour tout $y \in J$, $f(f^{-1}(y)) = y$.

9. La fonction racine n-ième

Définition et théorème

Pour $n \in \mathbb{N}^*$, la fonction $x \mapsto x^n$ est continue et strictement croissante sur $[0, +\infty[$. Elle admet donc une fonction réciproque notée :

$$f^{-1}(x) = \sqrt[n]{x} = x^{1/n}$$

Cas particuliers

$n = 1$ : on a $f^{-1}(x) = \sqrt[1]{x} = x$, sans intérêt pour le cours.
$n = 2$ : $f^{-1}(x) = \sqrt{x}$ (racine carrée).
$n = 3$ : $f^{-1}(x) = \sqrt[3]{x}$ (racine cubique).

Propriétés

Pour $a, b \in \mathbb{R}^+$ et $n \in \mathbb{N} \setminus \{0, 1\}$ :

$$\left(\sqrt[n]{a}\right)^n = a \quad ; \quad \sqrt[n]{a^n} = a \quad ; \quad \sqrt[n]{1} = 1 \quad ; \quad \sqrt[n]{0} = 0$$ $$\sqrt[n]{a} = \sqrt[n]{b} \iff a = b \quad ; \quad \sqrt[n]{a} \leq \sqrt[n]{b} \iff a \leq b$$ $$\sqrt[n]{a} \times \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \times b} \quad ; \quad \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}} \quad (b \gt 0)$$

Limites

$$\lim_{x \to +\infty} \sqrt[n]{x} = +\infty \quad ; \quad \lim_{x \to x_0} \sqrt[n]{x} = \sqrt[n]{x_0} \quad (x_0 \geq 0)$$

Pour $g(x) = \sqrt[n]{f(x)}$ : si $\lim_{x \to x_0} f(x) = +\infty$ alors $\lim_{x \to x_0} g(x) = +\infty$. Si $\lim_{x \to x_0} f(x) = \ell \geq 0$, alors $\lim_{x \to x_0} g(x) = \sqrt[n]{\ell}$. Ces propriétés restent vraies à droite, à gauche et en $\pm \infty$.

10. Puissance rationnelle d'un nombre réel positif

Définition

Soit $x \in \mathbb{R}^{+*}$, $n \in \mathbb{N}^*$ et $m \in \mathbb{Z}$. On pose $r = \dfrac{m}{n} \in \mathbb{Q}$. On définit :

$$x^r = \sqrt[n]{x^m} = \left(\sqrt[n]{x}\right)^m$$

Le nombre $x^r$ est appelé puissance rationnelle du nombre réel positif $x$ d'exposant $r$. Par convention, $0^r = 0$ pour $r \neq 0$.

Propriétés

Pour $a \in \mathbb{R}^{+*}$, $b \in \mathbb{R}^{+*}$ et $r, r' \in \mathbb{Q}$ :

$$a^r \times a^{r'} = a^{r + r'} \quad ; \quad \frac{a^r}{a^{r'}} = a^{r - r'} \quad ; \quad (a^r)^{r'} = a^{r \times r'}$$ $$(a \times b)^r = a^r \times b^r \quad ; \quad \left(\frac{a}{b}\right)^r = \frac{a^r}{b^r} \quad ; \quad a^{-r} = \frac{1}{a^r}$$ $$a^r = b^r \iff a = b \quad (r \neq 0)$$

Méthodes et exemples corrigés

Méthode 1 — Démontrer la continuité en un point

Étapes :

Vérifier que la fonction est bien définie en $x_0$ et calculer $f(x_0)$.
Calculer la limite $\lim_{x \to x_0} f(x)$ (par factorisation, conjugué, simplification…).
Comparer : si les deux quantités sont égales, la fonction est continue en $x_0$ ; sinon, elle ne l'est pas.

Exemple. Soit $f(x) = \dfrac{x^2 - 4}{x - 2}$ pour $x \neq 2$ et $f(2) = 4$. Étudier la continuité de $f$ en $2$.

On a $f(2) = 4$. Pour $x \neq 2$ :

$$\frac{x^2 - 4}{x - 2} = \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x + 2$$

Donc $\lim_{x \to 2} f(x) = 4 = f(2)$. Conclusion : $f$ est continue en $2$.

Méthode 2 — Déterminer $a$ et $b$ pour assurer la continuité

Étapes :

Calculer $f(x_0)$ à l'aide de l'expression correspondante.
Calculer $\lim_{x \to x_0^-} f(x)$ et $\lim_{x \to x_0^+} f(x)$ séparément.
Écrire le système d'équations obtenu en imposant l'égalité des trois quantités.
Résoudre pour trouver $a$ et $b$.

Exemple. Voir l'exemple complet de la section 2 du cours, où l'on obtient $a = 0$ et $b = 2$.

Méthode 3 — Appliquer le théorème des valeurs intermédiaires

Étapes :

Justifier que $f$ est continue sur $[a,b]$ (polynôme, rationnelle, composée…).
Calculer $f(a)$ et $f(b)$ et vérifier que $f(a) \cdot f(b) \lt 0$.
Conclure par le TVI qu'il existe au moins un $c \in ]a,b[$ tel que $f(c) = 0$.
Pour l'unicité, étudier la monotonie de $f$ (signe de la dérivée).

Exemple. Montrer que l'équation $x^3 + x - 1 = 0$ admet une unique solution dans $]0,1[$.

$f(x) = x^3 + x - 1$ est un polynôme, donc continue sur $[0,1]$. On a $f(0) = -1 \lt 0$ et $f(1) = 1 \gt 0$, donc $f(0) \cdot f(1) \lt 0$. Par le TVI, il existe $c \in ]0,1[$ tel que $f(c) = 0$. De plus, $f'(x) = 3x^2 + 1 \gt 0$ sur $[0,1]$, donc $f$ est strictement croissante sur $[0,1]$ : la solution $c$ est unique.

Méthode 4 — Déterminer la fonction réciproque

Étapes :

Montrer que $f$ est continue sur $I$.
Montrer que $f$ est strictement monotone sur $I$ (signe de la dérivée).
Déterminer $J = f(I)$ à l'aide des bornes et des limites aux bornes.
Résoudre $f(x) = y$ en isolant $x$, puis échanger les lettres $x$ et $y$.

Exemple. Voir l'exemple complet de la section 8 du cours, où l'on obtient $f^{-1}(x) = \sqrt{x}$ sur $[0,9]$.

Erreurs fréquentes et pièges

Piège 1 — Confondre limite et valeur. La continuité ne se limite pas à l'existence de la limite : il faut aussi que cette limite soit égale à $f(x_0)$. Une fonction peut très bien avoir une limite finie en $x_0$ sans être continue en $x_0$ (cas d'un point isolé déplacé).

Piège 2 — Oublier la continuité à droite et à gauche. Pour une fonction définie par morceaux, il faut systématiquement calculer la limite à gauche et la limite à droite, et les comparer à $f(x_0)$. Un seul côté ne suffit pas.

Piège 3 — Négliger le domaine de définition. Avant toute étude, vérifie que $x_0$ appartient bien à $D_f$. Si ce n'est pas le cas, la question de la continuité en $x_0$ ne se pose même pas.

Piège 4 — Oublier la stricte monotonie pour l'unicité. Le TVI garantit l'existence d'une solution, pas son unicité. Sans stricte monotonie, il peut y avoir plusieurs solutions. Ne conclus jamais à l'unicité sans avoir prouvé la stricte monotonie.

Piège 5 — Mal identifier le domaine de continuité de $\tan$. La fonction $\tan$ n'est pas définie en $\dfrac{\pi}{2} + k\pi$, donc elle n'y est pas continue. Le domaine de continuité est $\mathbb{R} \setminus \left\{\dfrac{\pi}{2} + k\pi,\ k \in \mathbb{Z}\right\}$.

Piège 6 — Simplifier abusivement les racines n-ièmes. $\sqrt[n]{a + b}$ n'est pas égal à $\sqrt[n]{a} + \sqrt[n]{b}$ en général. Seules les règles sur le produit et le quotient sont valables. Attention également à la parité de $n$ : $\sqrt[n]{x}$ n'est défini pour $x \lt 0$ que si $n$ est impair.

Exercices et examens nationaux

Exercice	Type	Année / Session	Niveau
Exercice 1 — Continuité en un point	Application directe	—	Facile
Exercice 2 — Paramètres $a$ et $b$	Détermination de paramètres	Examen national	Moyen
Exercice 3 — TVI et unicité	Théorème des valeurs intermédiaires	Examen national	Moyen
Exercice 4 — Racine n-ième	Simplification	—	Facile
Exercice 5 — Puissance rationnelle	Calcul algébrique	—	Facile
Exercice 6 — Fonction réciproque	Étude complète	Examen national	Moyen

Tous les exercices et sujets corrigés

Consultez la liste complète des exercices d'application, exercices corrigés et examens nationaux classés par chapitre et par filière.

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Exercice 1 — Continuité en un point

Énoncé. Soit $f$ définie par $f(x) = \dfrac{x^2 - 4}{x - 2}$ pour $x \neq 2$ et $f(2) = 4$. Étudier la continuité de $f$ au point $x_0 = 2$.

Voir la correction

La fonction est définie en $x_0 = 2$ et $f(2) = 4$. Pour $x \neq 2$, on factorise le numérateur :

$f(x) = \dfrac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x + 2$.

Donc $\lim_{x \to 2} f(x) = 2 + 2 = 4 = f(2)$.

Conclusion : $f$ est continue au point $x_0 = 2$.

Exercice 2 — Détermination des paramètres $a$ et $b$

Énoncé. Soit la fonction $f$ définie par :

$$f(x) = \begin{cases} x + a\sqrt{x^2 + x + 1} & \text{si } x \leq 0 \\ x^2 - x & \text{si } 0 \lt x \leq 1 \\ bx - \dfrac{x-1}{\sqrt{x^2+3} - 2} & \text{si } x \gt 1 \end{cases}$$

où $a$ et $b$ sont deux réels. Déterminer $a$ et $b$ pour que $f$ soit continue aux points $x_0 = 0$ et $x_1 = 1$.

Voir la correction

Continuité en $0$. $f(0) = a\sqrt{1} = a$. La limite à droite vaut $\lim_{x \to 0^+} (x^2 - x) = 0$. La limite à gauche vaut $\lim_{x \to 0^-} (x + a\sqrt{x^2+x+1}) = a$. La continuité impose $a = 0$.

Continuité en $1$. $f(1) = 1 - 1 = 0$. La limite à gauche vaut $0$. Pour la limite à droite, on multiplie par la quantité conjuguée :

$\dfrac{x-1}{\sqrt{x^2+3} - 2} = \dfrac{(x-1)(\sqrt{x^2+3}+2)}{x^2+3-4} = \dfrac{(x-1)(\sqrt{x^2+3}+2)}{(x-1)(x+1)} = \dfrac{\sqrt{x^2+3}+2}{x+1}$.

Quand $x \to 1^+$, cette quantité tend vers $\dfrac{2+2}{2} = 2$. Donc $\lim_{x \to 1^+} f(x) = b - 2$.

La continuité en $1$ impose $b - 2 = 0$, soit $b = 2$.

Conclusion : $a = 0$ et $b = 2$.

Exercice 3 — TVI et unicité

Énoncé. Montrer que l'équation $x^3 + x - 1 = 0$ admet une unique solution dans $]0,1[$.

Voir la correction

Posons $f(x) = x^3 + x - 1$. La fonction $f$ est polynômiale, donc continue sur $[0,1]$.

On a $f(0) = -1 \lt 0$ et $f(1) = 1 + 1 - 1 = 1 \gt 0$. Donc $f(0) \cdot f(1) \lt 0$.

D'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe au moins un $c \in ]0,1[$ tel que $f(c) = 0$.

De plus, $f'(x) = 3x^2 + 1 \gt 0$ sur $[0,1]$, donc $f$ est strictement croissante sur $[0,1]$. La solution $c$ est donc unique.

Conclusion : l'équation admet une unique solution dans $]0,1[$.

Exercice 4 — Racine n-ième

Énoncé. Simplifier le nombre $A = \sqrt[3]{81} \times \sqrt[3]{\dfrac{1}{3}}$.

Voir la correction

On utilise la règle $\sqrt[n]{a} \times \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \times b}$ :

$A = \sqrt[3]{81 \times \dfrac{1}{3}} = \sqrt[3]{27} = \sqrt[3]{3^3} = 3$.

Conclusion : $A = 3$.

Exercice 5 — Puissance rationnelle

Énoncé. Simplifier $B = \dfrac{\sqrt{7} \times 7^{2/3}}{7^{1/4}}$ sous la forme $7^r$ avec $r \in \mathbb{Q}$.

Voir la correction

On écrit $\sqrt{7} = 7^{1/2}$. Donc :

$B = \dfrac{7^{1/2} \times 7^{2/3}}{7^{1/4}} = 7^{1/2 + 2/3 - 1/4}$.

On réduit au même dénominateur : $1/2 + 2/3 - 1/4 = 6/12 + 8/12 - 3/12 = 11/12$.

Conclusion : $B = 7^{11/12}$.

Exercice 6 — Fonction réciproque

Énoncé. Soit $f$ définie sur $[0,3]$ par $f(x) = x^2$. Montrer que $f$ admet une fonction réciproque sur $[0,3]$ et déterminer $f^{-1}$.

Voir la correction

Continuité. $x \mapsto x^2$ est continue sur $\mathbb{R}$, donc sur $[0,3]$.

Monotonie. $f'(x) = 2x \geq 0$ sur $[0,3]$, donc $f$ est strictement croissante sur $[0,3]$.

Conclusion 1 : $f$ est continue et strictement monotone sur $[0,3]$, elle admet donc une fonction réciproque définie sur $J = f([0,3]) = [0,9]$.

Détermination de $f^{-1}$. Soit $y \in [0,9]$ et $x \in [0,3]$. On résout $x^2 = y$ : on obtient $x = \sqrt{y}$ (la solution $-\sqrt{y}$ est exclue car $x \geq 0$).

Conclusion : $f^{-1}(x) = \sqrt{x}$ pour $x \in [0,9]$.

Fiche de révision express

Notion	Formule / Propriété
Continuité en $x_0$	$\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$
Continuité à droite	$\lim_{x \to x_0^+} f(x) = f(x_0)$
Continuité à gauche	$\lim_{x \to x_0^-} f(x) = f(x_0)$
Équivalence	Continue en $x_0$ $\iff$ continue à droite et à gauche
Fonctions usuelles	Polynôme : $\mathbb{R}$ ; Rationnelle : $D_f$ ; $\sin, \cos$ : $\mathbb{R}$ ; $\tan$ : $\mathbb{R} \setminus \{\pi/2 + k\pi\}$ ; $\sqrt{}$ : $[0,+\infty[$
Image d'un segment	$f([a,b]) = [m, M]$ (continue)
Composée	$f$ cont en $x_0$ et $g$ cont en $f(x_0)$ $\Rightarrow$ $g \circ f$ cont en $x_0$
TVI	$f$ continue sur $[a,b]$, $k$ entre $f(a)$ et $f(b)$ $\Rightarrow$ $\exists c \in [a,b], f(c) = k$
Conséquence TVI	$f$ continue sur $[a,b]$ et $f(a) f(b) \lt 0$ $\Rightarrow$ $\exists c \in ]a,b[, f(c) = 0$
Unicité	$f$ continue et strictement monotone sur $[a,b]$ $\Rightarrow$ la solution est unique
Fonction réciproque	$f$ continue et strictement monotone sur $I$ $\Rightarrow$ $f$ bijection sur $f(I)$, $f^{-1}$ continue et même sens de variation
Racine n-ième	$\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$ ; $\sqrt[n]{a/b} = \sqrt[n]{a} / \sqrt[n]{b}$
Puissance rationnelle	$x^{m/n} = \sqrt[n]{x^m} = (\sqrt[n]{x})^m$

Quiz d'autoévaluation

Question 1 — La fonction $f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x - 1}$ est-elle continue en $1$ ?

Non. Elle n'est pas définie en $1$, donc la continuité ne peut pas être évaluée directement. En revanche, elle est prolongeable par continuité en posant $f(1) = \lim_{x \to 1} f(x) = 2$. On parle alors de prolongement par continuité.

Question 2 — Sur quel intervalle la fonction $x \mapsto \sqrt{x}$ est-elle continue ?

Sur $[0, +\infty[$. La fonction racine carrée est définie et continue sur cet intervalle. En $0$, elle est continue à droite mais pas à gauche (elle n'y est pas définie).

Question 3 — Sur quel ensemble la fonction $\tan$ est-elle continue ?

Sur $\mathbb{R} \setminus \left\{\dfrac{\pi}{2} + k\pi,\ k \in \mathbb{Z}\right\}$. La fonction $\tan$ n'est pas définie aux points où $\cos x = 0$, donc elle n'y est pas continue.

Question 4 — Si $f$ est continue sur $[0,1]$ avec $f(0) = -1$ et $f(1) = 1$, que peut-on affirmer ?

D'après le TVI, l'équation $f(x) = 0$ admet au moins une solution dans $]0,1[$. C'est une conséquence directe du fait que $0$ est compris entre $f(0) = -1$ et $f(1) = 1$ et que $f$ est continue. L'unicité n'est pas garantie sans stricte monotonie.

Question 5 — La fonction $x \mapsto x^n$ est continue et strictement croissante sur…

Sur $[0, +\infty[$ pour tout $n \in \mathbb{N}^*$. C'est ce qui permet de définir la fonction racine n-ième $\sqrt[n]{x}$ comme fonction réciproque sur $[0, +\infty[$.

Questions fréquentes

Quelle est la différence entre limite et continuité en un point ?

La limite en un point $x_0$ décrit le comportement de $f$ quand $x$ s'approche de $x_0$. La continuité exige en plus que cette limite soit égale à la valeur de $f$ en $x_0$. Autrement dit, la continuité est la limite plus l'égalité avec la valeur.

Une fonction peut-elle être continue à droite et à gauche sans être continue au point ?

Non. La propriété du cours est une équivalence : $f$ est continue en $x_0$ si et seulement si elle est continue à droite et à gauche de $x_0$. Ce que l'on peut rencontrer, c'est une fonction où l'une des deux limites n'existe pas ou est infinie, mais jamais les deux égales sans continuité.

Pourquoi le TVI ne garantit-il pas l'unicité de la solution ?

Le TVI garantit uniquement l'existence d'au moins une solution. Une fonction continue peut très bien passer plusieurs fois par la même valeur $k$. Pour garantir l'unicité, il faut ajouter l'hypothèse de stricte monotonie sur l'intervalle considéré.

Comment déterminer la fonction réciproque d'une fonction ?

On commence par vérifier que $f$ est continue et strictement monotone sur l'intervalle $I$. On détermine ensuite $J = f(I)$ à l'aide des valeurs aux bornes ou des limites. Enfin, on résout l'équation $f(x) = y$ en isolant $x$ en fonction de $y$, puis on échange les lettres pour obtenir $f^{-1}(x)$.

Quelle est la différence entre racine n-ième et puissance rationnelle ?

La racine n-ième $\sqrt[n]{x}$ est la fonction réciproque de $x \mapsto x^n$ sur $[0, +\infty[$. La puissance rationnelle $x^{m/n}$ généralise la racine à un exposant fractionnaire : $x^{m/n} = \sqrt[n]{x^m} = (\sqrt[n]{x})^m$. Les deux notions vérifient les mêmes règles de calcul sur les produits et les quotients.

Comment vérifier la continuité d'une fonction définie par morceaux ?

On étudie chaque expression sur son intervalle de définition (continuité des fonctions usuelles), puis on examine les points de raccord : en chaque point $x_0$ de raccord, on calcule $f(x_0)$, la limite à gauche et la limite à droite, et on impose l'égalité des trois quantités. Cela conduit souvent à un système d'équations sur les paramètres.

Résumé final

La continuité est la propriété qui relie la limite d'une fonction en un point à la valeur de la fonction en ce point. Elle se vérifie point par point, à droite et à gauche, et se propage par somme, produit, quotient (là où le dénominateur ne s'annule pas) et composition. Les fonctions usuelles du programme sont continues sur leur domaine de définition, ce qui te permet de justifier rapidement la continuité des fonctions plus complexes.

Le théorème des valeurs intermédiaires est l'outil central de ce chapitre : il garantit l'existence d'une solution à $f(x) = k$ dès que $f$ est continue et que $k$ est compris entre $f(a)$ et $f(b)$. Ajoutée à la stricte monotonie, cette existence devient unicité. C'est ce même théorème qui permet de construire la fonction réciproque d'une fonction continue et strictement monotone, puis d'aller plus loin avec les racines n-ièmes et les puissances rationnelles.

Prends le temps de refaire les exercices sans regarder les corrections, vérifie chaque hypothèse et rédige proprement les conclusions. C'est cette rigueur qui fera la différence le jour de l'examen. Bon courage dans tes révisions.

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Cours de Mathématiques : Limites et continuité — 2e BAC PC & SVT 2025-2026

Niveau	2e année du baccalauréat
Filière	PC (Physique-Chimie) et SVT
Matière	Mathématiques
Chapitre	Limites et continuité
Sous-chapitre	Rappels sur les limites, continuité en un point, continuité sur un intervalle, TVI, composition, fonctions réciproques, racine n-ième, puissance rationnelle
Programme	Programme officiel marocain — 2025-2026
Durée indicative d'étude	7 heures
Dernière mise à jour	24 octobre 2026

Le chapitre « Limites et continuité » prolonge et unifie deux notions que tu as déjà côtoyées séparément : le calcul des limites et l'étude locale d'une fonction. Après avoir révisé les opérations sur les limites (somme, produit, quotient, inverse) et les formes indéterminées, tu vas apprendre à définir rigoureusement la continuité en un point, à droite, à gauche, puis sur un intervalle tout entier. Ce chapitre constitue la véritable porte d'entrée de l'analyse de deuxième année : sans une maîtrise solide de la continuité, aucune démonstration d'existence de solution, aucun TVI, aucune fonction réciproque ne peut être rédigée correctement.

Ce chapitre pèse lourd à l'examen national. On le retrouve presque systématiquement dans le premier exercice du sujet de mathématiques, sous forme d'une fonction définie par morceaux dont il faut déterminer les paramètres pour assurer la continuité aux points de raccord, et dans le problème final, sous forme d'une application directe du théorème des valeurs intermédiaires, souvent combinée à l'étude d'une fonction réciproque. Les notions d'image d'intervalle, de composition et de puissance rationnelle reviennent également dans les exercices de synthèse. C'est un chapitre transversal : il te servira pour les suites, pour l'étude de fonctions et pour les équations différentielles.

Tu vas trouver dans ce cours les rappels indispensables sur les limites avec les tableaux opératoires, les définitions formelles et les théorèmes du programme officiel, des méthodes pas à pas pour rédiger correctement, les pièges classiques à éviter, des exercices intégralement corrigés inspirés des examens nationaux, une fiche de révision express, un quiz d'autoévaluation et un bouton d'impression propre pour réviser sur papier, sans publicité, avec toutes les solutions visibles.

Table des matières

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Prérequis

Ce chapitre s'appuie sur plusieurs acquis de la première année et du début de la deuxième année. Prends quelques minutes pour vérifier que tu maîtrises chacun de ces points avant d'entamer le cours.

Définition intuitive de la limite d'une fonction en un point, à droite, à gauche, en $+\infty$ et en $-\infty$.
Techniques de calcul de limites : factorisation, multiplication par la quantité conjuguée, simplification des formes indéterminées.
Notion de domaine de définition d'une fonction et résolution d'équations du premier et du second degré.
Dérivées usuelles et règles de dérivation (somme, produit, quotient, composée).
Lien entre signe de la dérivée et sens de variation d'une fonction.
Fonctions usuelles : polynômes, fonctions rationnelles, fonctions trigonométriques ($\sin$, $\cos$, $\tan$), fonction racine carrée.
Calcul algébrique élémentaire avec les puissances et les racines carrées.

Objectifs pédagogiques

À l'issue de ce chapitre, tu seras capable de :

Calculer une limite de somme, de produit, de quotient et d'inverse, en repérant les formes indéterminées.
Lever une forme indéterminée par factorisation, quantité conjuguée ou simplification algébrique.
Étudier la continuité d'une fonction en un point à l'aide de la définition $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$.
Étudier la continuité à droite et à gauche et en déduire la continuité au point.
Déterminer les paramètres réels pour qu'une fonction définie par morceaux soit continue aux points de raccord.
Déterminer l'image d'un segment, d'un intervalle, par une fonction continue et éventuellement strictement monotone.
Appliquer le théorème des valeurs intermédiaires et ses corollaires pour prouver l'existence et l'unicité de solutions.
Étudier la continuité de la composée de deux fonctions continues.
Déterminer la fonction réciproque d'une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle.
Manipuler les racines n-ièmes et les puissances rationnelles avec les règles de calcul adaptées.

Le cours complet

1. Rappels sur les limites

Définition formelle

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle pointé de centre $a$ et soit $\ell$ un réel. On dit que $f$ tend vers $\ell$ quand $x$ tend vers $a$ si :

$$(\forall \varepsilon \gt 0)(\exists \alpha \gt 0)(\forall x \in D_f)\left(0 \lt |x - a| \lt \alpha \Rightarrow |f(x) - \ell| \lt \varepsilon\right)$$

Cette définition sera surtout utile pour démontrer rigoureusement certaines limites, mais dans la pratique, on utilise les opérations sur les limites et les limites usuelles.

Limite de la somme

Les règles sur la limite d'une somme se résument dans le tableau suivant. Les résultats s'entendent lorsque $x$ tend vers $a$, $a^+$, $a^-$, $+\infty$ ou $-\infty$.

$\lim f(x)$	$\ell$	$\ell$	$+\infty$	$-\infty$	$-\infty$
$\lim g(x)$	$\ell'$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$	$-\infty$
$\lim (f+g)(x)$	$\ell + \ell'$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$	Forme indéterminée

La dernière colonne signale une forme indéterminée : lorsque l'on ajoute $+\infty$ et $-\infty$, on ne peut pas conclure directement, il faut transformer l'expression.

Exemples

Soit $f(x) = 2 + x^2$ et $g(x) = 5 - x^2$. On a $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ et $\lim_{x \to +\infty} g(x) = -\infty$. Pourtant :

$$\lim_{x \to +\infty} (f+g)(x) = \lim_{x \to +\infty} (2 + x^2 + 5 - x^2) = 7$$

Ici, la forme indéterminée « $+\infty - \infty$ » se lève par simplification. Considérons maintenant $f(x) = 2 + x^2$ et $g(x) = 5 - x$. On a toujours $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ et $\lim_{x \to +\infty} g(x) = -\infty$, mais :

$$\lim_{x \to +\infty} (f+g)(x) = \lim_{x \to +\infty} (x^2 - x + 7) = \lim_{x \to +\infty} x^2 \left(1 - \frac{1}{x} + \frac{7}{x^2}\right) = +\infty$$

Le même type de forme indéterminée conduit à deux résultats différents : il faut donc toujours transformer l'expression avant de conclure.

Limite d'un produit

$\lim f(x)$	$\ell$	$\ell \gt 0$ ou $+\infty$	$\ell \lt 0$ ou $-\infty$	$\pm\infty$
$\lim g(x)$	$\ell'$	$+\infty$	$+\infty$	$0$
$\lim (f \times g)(x)$	$\ell \cdot \ell'$	$+\infty$	$-\infty$	Forme indéterminée

Limite d'un inverse et d'un quotient

Pour l'inverse, on retient :

si $\lim f(x) = \ell \neq 0$, alors $\lim \dfrac{1}{f(x)} = \dfrac{1}{\ell}$ ;
si $\lim f(x) = 0^+$, alors $\lim \dfrac{1}{f(x)} = +\infty$ ;
si $\lim f(x) = 0^-$, alors $\lim \dfrac{1}{f(x)} = -\infty$ ;
si $\lim f(x) = \pm\infty$, alors $\lim \dfrac{1}{f(x)} = 0$.

Pour un quotient, on combine les règles du produit et de l'inverse. Attention aux formes indéterminées $\dfrac{0}{0}$, $\dfrac{\pm\infty}{\pm\infty}$, $0 \times \infty$, $+\infty - \infty$, qui nécessitent toutes une transformation préalable.

Exemple de quotient

Calculons $\lim_{x \to 1^+} \dfrac{3x+1}{x^2+x-2}$. Au numérateur, $\lim_{x \to 1^+} (3x+1) = 4$. Au dénominateur, $x^2 + x - 2 = (x-1)(x+2)$, donc quand $x \to 1^+$, $x-1 \gt 0$ et $x+2 \gt 0$, d'où $\lim_{x \to 1^+} (x^2+x-2) = 0^+$. On conclut :

$$\lim_{x \to 1^+} \frac{3x+1}{x^2+x-2} = +\infty$$

2. Continuité en un point

Définition

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle de centre $a$. On dit que $f$ est continue en $a$ si elle admet une limite finie en $a$ et si :

$$\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$$

De manière équivalente, pour tout $\varepsilon \gt 0$, il existe $\alpha \gt 0$ tel que, pour tout $x \in D_f$ :

$$|x - a| \lt \alpha \Rightarrow |f(x) - f(a)| \lt \varepsilon$$

Exemple

Soit $f$ définie par $f(x) = \dfrac{2x^3 - x - 14}{x^2 - x - 2}$ pour $x \gt 2$, $f(x) = \dfrac{x-2}{2x^2+x-10}$ pour $x \lt 2$ et $f(2) = \dfrac{1}{9}$. Étudions la continuité de $f$ en $2$.

La limite à gauche vaut :

$$\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} \frac{x-2}{2x^2+x-10} = \lim_{x \to 2^-} \frac{x-2}{(x-2)(2x+5)} = \lim_{x \to 2^-} \frac{1}{2x+5} = \frac{1}{9}$$

La limite à droite vaut, après factorisation du numérateur :

$$\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} \frac{(x-2)(2x^2+4x+7)}{(x-2)(x+1)} = \lim_{x \to 2^+} \frac{2x^2+4x+7}{x+1} = \frac{23}{3} \neq \frac{1}{9}$$

La limite à gauche est égale à $f(2)$ mais la limite à droite ne l'est pas. La fonction n'est donc pas continue en $2$.

3. Continuité à droite et à gauche

Définitions

Soit $f$ définie sur un intervalle de la forme $[a, a+r[$ avec $r \gt 0$. On dit que $f$ est continue à droite de $a$ si :

$$\lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)$$

De même, si $f$ est définie sur $]a-r, a]$, on dit que $f$ est continue à gauche de $a$ si :

$$\lim_{x \to a^-} f(x) = f(a)$$

Théorème d'équivalence

Une fonction est continue en un point $a$ si et seulement si elle est continue à droite et à gauche de $a$ :

$$f \text{ continue en } a \iff \lim_{x \to a^+} f(x) = \lim_{x \to a^-} f(x) = f(a)$$

4. Continuité sur un intervalle

Soit $f$ dont le domaine de définition est $D_f$ et soit $]a,b[$ un intervalle inclus dans $D_f$.

$f$ est continue sur $]a,b[$ si $f$ est continue en tout point de $]a,b[$.
$f$ est continue sur $[a,b[$ si $f$ est continue sur $]a,b[$ et continue à droite de $a$.
$f$ est continue sur $]a,b]$ si $f$ est continue sur $]a,b[$ et continue à gauche de $b$.
$f$ est continue sur $[a,b]$ si $f$ est continue sur $]a,b[$ et continue à droite de $a$ et à gauche de $b$.

On remarque que si $f$ est continue sur $[a,b]$ et sur $[b,c]$, alors elle est continue sur $[a,c]$. En revanche, la réciproque est fausse : une fonction continue sur $[-3,0[$ et sur $[0,2]$ n'est pas nécessairement continue sur $[-3,2]$ si elle n'est pas continue en $0$.

5. Opérations sur les fonctions continues

Propriétés

Si $f$ et $g$ sont deux fonctions continues en un point $a$, alors :

$f + g$ est continue en $a$ ;
$f \times g$ est continue en $a$ ;
$|f|$ est continue en $a$.

Si de plus $g(a) \neq 0$, alors $\dfrac{1}{g}$ et $\dfrac{f}{g}$ sont continues en $a$. Enfin, si $f$ est continue en $a$ et si $f(a) \geq 0$, alors $\sqrt{f}$ est continue en $a$. Ces propriétés restent valables à droite et à gauche de $a$, ainsi que sur un intervalle tout entier.

Continuité des fonctions usuelles

Toute fonction polynôme est continue sur $\mathbb{R}$.
Toute fonction rationnelle est continue sur tout intervalle $I \subset D_f$.
Les fonctions $\sin$ et $\cos$ sont continues sur $\mathbb{R}$.
La fonction $\tan$ est continue sur tout intervalle de la forme $\left]-\dfrac{\pi}{2} + k\pi, \dfrac{\pi}{2} + k\pi\right[$ avec $k \in \mathbb{Z}$.
La fonction $\sqrt{}$ est continue sur $[0, +\infty[$.

Exemples

La fonction $f(x) = \sqrt{x^2+x+3}$ est continue sur $\mathbb{R}$, car $x \mapsto x^2+x+3$ est un polynôme continu sur $\mathbb{R}$ et $x^2+x+3 \geq 0$ pour tout réel $x$ (discriminant négatif). La fonction $g(x) = \dfrac{4x^3+x+1}{x^2+2x-3}$ est continue sur $]-\infty,-3[$, sur $]-3,1[$ et sur $]1,+\infty[$, car son dénominateur s'annule en $-3$ et en $1$.

6. Image d'un intervalle par une fonction continue

Image d'un segment

L'image d'un segment $[a,b]$ par une fonction continue $f$ est le segment $[m, M]$ où $m$ et $M$ sont respectivement le minimum et le maximum de $f$ sur $[a,b]$ :

$$f([a,b]) = \left[\min_{x \in [a,b]} f(x), \max_{x \in [a,b]} f(x)\right]$$

Cas d'une fonction strictement monotone

Lorsque $f$ est continue et strictement monotone sur un intervalle, on peut calculer l'image à l'aide des bornes et des limites aux bornes.

Fonction strictement croissante :

$f([a,b]) = [f(a), f(b)]$
$f([a,b[) = [f(a), \lim_{x \to b^-} f(x)[$
$f(]a,b]) = \left]\lim_{x \to a^+} f(x), f(b)\right]$
$f(]a,b[) = \left]\lim_{x \to a^+} f(x), \lim_{x \to b^-} f(x)\right[$
$f([a,+\infty[) = [f(a), \lim_{x \to +\infty} f(x)[$
$f(\mathbb{R}) = \left]\lim_{x \to -\infty} f(x), \lim_{x \to +\infty} f(x)\right[$

Fonction strictement décroissante : il suffit d'inverser les bornes.

$f([a,b]) = [f(b), f(a)]$
$f([a,b[) = \left]\lim_{x \to b^-} f(x), f(a)\right]$
$f(]a,b]) = [f(b), \lim_{x \to a^+} f(x)[$
$f(]a,b[) = \left]\lim_{x \to b^-} f(x), \lim_{x \to a^+} f(x)\right[$
$f([a,+\infty[) = \left]\lim_{x \to +\infty} f(x), f(a)\right]$
$f(\mathbb{R}) = \left]\lim_{x \to +\infty} f(x), \lim_{x \to -\infty} f(x)\right[$

Si $f$ n'est pas strictement monotone sur $I$, on subdivise $I$ en intervalles où elle l'est, puis on utilise $f(I_1 \cup I_2) = f(I_1) \cup f(I_2)$.

7. Théorème des valeurs intermédiaires

Théorème général

Soit $f$ une fonction continue sur un segment $[a,b]$. Pour tout réel $\lambda$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe au moins un réel $c \in [a,b]$ tel que $f(c) = \lambda$.

Cas d'une fonction strictement monotone

Si $f$ est de plus strictement monotone sur $[a,b]$, alors pour tout $\lambda$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe un et un seul $c \in [a,b]$ tel que $f(c) = \lambda$. Autrement dit, l'équation $f(x) = \lambda$ admet une solution unique dans $[a,b]$.

Corollaires

Corollaire 1. Si $f$ est continue sur $[a,b]$ et si $f(a) \cdot f(b) \lt 0$, alors il existe au moins un $c \in ]a,b[$ tel que $f(c) = 0$.

Corollaire 2. Si $f$ est continue et strictement monotone sur $[a,b]$ et si $f(a) \cdot f(b) \lt 0$, alors il existe un et un seul $c \in ]a,b[$ tel que $f(c) = 0$.

8. Composition de deux fonctions

Définition

Soient $f$ et $g$ deux fonctions. La fonction qui à tout réel $x$ associe $g(f(x))$ s'appelle la composée de $f$ puis $g$ et se note $g \circ f$. De même, $f \circ g$ est définie par $x \mapsto f(g(x))$. En général, $g \circ f \neq f \circ g$ : la composition n'est pas commutative.

Continuité de la composée

Soient $f$ définie sur un intervalle $I$ et $g$ définie sur un intervalle $J$ tel que $f(I) \subset J$, et soit $x_0 \in I$ :

si $f$ est continue en $x_0$ et $g$ continue en $f(x_0)$, alors $g \circ f$ est continue en $x_0$ ;
si $f$ est continue sur $I$ et $g$ continue sur $f(I)$, alors $g \circ f$ est continue sur $I$.

Limite de la composée

Soit $u$ une fonction définie sur un intervalle pointé de centre $x_0$ telle que $\lim_{x \to x_0} u(x) = \ell$. Si $v$ est continue en $\ell$, alors :

$$\lim_{x \to x_0} (v \circ u)(x) = v(\ell)$$

Exemples

La fonction $g(x) = \sqrt{1-x^2}$ est continue sur $[-1,1]$ comme composée de $x \mapsto 1-x^2$ (continue et positive sur $[-1,1]$) et de $\sqrt{}$. La fonction $f(x) = \sin\left(\dfrac{\pi x}{1+x^2}\right)$ est continue sur $\mathbb{R}$ comme composée de la fonction rationnelle $x \mapsto \dfrac{\pi x}{1+x^2}$ (continue sur $\mathbb{R}$) et de $\sin$ (continue sur $\mathbb{R}$).

9. Fonctions réciproques

Théorème

Soit $f$ une fonction définie, continue et strictement monotone sur un intervalle $I$. Alors $f$ admet une fonction réciproque $f^{-1}$ définie de $J = f(I)$ vers $I$. On a l'équivalence :

$$\begin{cases} f^{-1}(x) = y \\ x \in J \end{cases} \iff \begin{cases} f(y) = x \\ y \in I \end{cases}$$

De plus, pour tout $x \in I$ et pour tout $y \in J$ :

$$f^{-1}(f(x)) = x \quad \text{et} \quad f(f^{-1}(y)) = y$$

Propriété 1 — Monotonie

La fonction réciproque $f^{-1}$ a la même monotonie sur $J$ que $f$ sur $I$. Cette propriété se démontre en considérant le taux de variation :

$$T_{f^{-1}} = \frac{f^{-1}(x_1) - f^{-1}(x_2)}{x_1 - x_2} = \frac{1}{T_f}$$

Comme $T_f$ garde un signe constant (stricte monotonie), $T_{f^{-1}}$ garde le même signe.

Propriété 2 — Symétrie

Les courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_{f^{-1}}$ sont symétriques par rapport à la droite $(\Delta) : y = x$ (première bissectrice). Cette symétrie concerne toutes les composantes des courbes : asymptotes, tangentes, demi-tangentes.

10. La fonction racine n-ième

Définition

Soit $n \in \mathbb{N}^*$. La fonction $x \mapsto x^n$ est continue et strictement croissante sur $\mathbb{R}^+$. Elle admet donc une fonction réciproque de $\mathbb{R}^+$ vers $\mathbb{R}^+$, appelée fonction racine n-ième et notée $\sqrt[n]{}$. Ainsi :

$$\sqrt[n]{x} = y \iff y^n = x \quad (x, y \in \mathbb{R}^+)$$

Propriétés

Pour tout $x, y \in \mathbb{R}^+$ et $n \in \mathbb{N}^*$ :

$$\sqrt[n]{x} \geq 0 \quad ; \quad \left(\sqrt[n]{x}\right)^n = \sqrt[n]{x^n} = x \quad ; \quad \sqrt[n]{x} = \sqrt[n]{y} \iff x = y$$ $$\sqrt[n]{x} \geq a \iff x \geq a^n \quad ; \quad \sqrt[n]{x} \leq a \iff 0 \leq x \leq a^n$$

Règles de calcul

$$\sqrt[n]{xy} = \sqrt[n]{x} \cdot \sqrt[n]{y} \quad ; \quad \sqrt[n]{\frac{x}{y}} = \frac{\sqrt[n]{x}}{\sqrt[n]{y}} \quad (y \gt 0)$$ $$\sqrt[p]{\sqrt[n]{x}} = \sqrt[np]{x} \quad ; \quad \left(\sqrt[n]{x}\right)^p = \sqrt[n]{x^p}$$

Limites

$$\lim_{x \to +\infty} \sqrt[n]{x} = +\infty$$

Si $\lim_{x \to x_0} u(x) = +\infty$, alors $\lim_{x \to x_0} \sqrt[n]{u(x)} = +\infty$. Si $\lim_{x \to x_0} u(x) = \ell \geq 0$, alors $\lim_{x \to x_0} \sqrt[n]{u(x)} = \sqrt[n]{\ell}$. Ces règles restent vraies à droite, à gauche et en $\pm\infty$.

Équation $x^n = a$

Si $n$ est pair et $a \geq 0$ : $S = \{\sqrt[n]{a}, -\sqrt[n]{a}\}$.
Si $n$ est pair et $a \lt 0$ : $S = \varnothing$.
Si $n$ est impair et $a \geq 0$ : $S = \{\sqrt[n]{a}\}$.
Si $n$ est impair et $a \lt 0$ : $S = \{-\sqrt[n]{-a}\}$.

11. Puissance rationnelle d'un réel positif

Définition

Pour tout réel $x \geq 0$ et tout entier $q \in \mathbb{N}^*$, on pose $\sqrt[q]{x} = x^{1/q}$. Plus généralement, pour $r = \dfrac{p}{q} \in \mathbb{Q}$ avec $p \in \mathbb{Z}$ et $q \in \mathbb{N}^*$ :

$$x^r = x^{p/q} = \sqrt[q]{x^p} = \left(\sqrt[q]{x}\right)^p$$

Propriétés

Pour $x, y \in \mathbb{R}^+$ et $r, r' \in \mathbb{Q}$ :

$$x^r \cdot x^{r'} = x^{r + r'} \quad ; \quad (x^r)^{r'} = x^{r \cdot r'} \quad ; \quad x^{-r} = \frac{1}{x^r} \quad (x \gt 0)$$ $$(xy)^r = x^r y^r \quad ; \quad \left(\frac{x}{y}\right)^r = \frac{x^r}{y^r} \quad (y \gt 0)$$

Méthodes et exemples corrigés

Méthode 1 — Lever une forme indéterminée

Étapes :

Identifier la forme indéterminée ($\frac{0}{0}$, $\frac{\infty}{\infty}$, $\infty - \infty$, $0 \times \infty$).
Choisir la technique : factorisation du terme dominant, quantité conjuguée, simplification algébrique, changement de variable.
Transformer l'expression, puis recalculer la limite.
Conclure en revenant à la forme initiale.

Exemple. Calculer $\lim_{x \to 2} \dfrac{\sqrt{4x+1} - 3}{x^2 - 2x}$. On a une forme $\frac{0}{0}$. On multiplie par la quantité conjuguée :

$$\frac{\sqrt{4x+1} - 3}{x^2 - 2x} \cdot \frac{\sqrt{4x+1} + 3}{\sqrt{4x+1} + 3} = \frac{(4x+1) - 9}{(x^2-2x)(\sqrt{4x+1}+3)} = \frac{4(x-2)}{x(x-2)(\sqrt{4x+1}+3)} = \frac{4}{x(\sqrt{4x+1}+3)}$$

Quand $x \to 2$, cette expression tend vers $\dfrac{4}{2 \cdot 6} = \dfrac{1}{3}$.

Méthode 2 — Étudier la continuité en un point

Étapes :

Vérifier que $x_0$ appartient bien à $D_f$ et calculer $f(x_0)$.
Calculer $\lim_{x \to x_0^-} f(x)$ et $\lim_{x \to x_0^+} f(x)$ séparément.
Comparer les trois quantités. Égalité des trois : continue en $x_0$. Sinon, non continue.

Exemple. Soit $f$ définie par $f(x) = \dfrac{3x^2-x-2}{|4x-3|-1}$ pour $x \neq 1$ et $f(1) = \dfrac{5}{4}$. Étudier la continuité de $f$ en $1$.

On a $f(1) = \dfrac{5}{4}$. Au voisinage de $1$, $4x-3 \gt 0$, donc $|4x-3| - 1 = 4x-4 = 4(x-1)$. Le numérateur s'écrit $3x^2-x-2 = (x-1)(3x+2)$. Donc :

$$\lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(3x+2)}{4(x-1)} = \frac{5}{4} = f(1)$$

Conclusion : $f$ est continue en $1$.

Méthode 3 — Déterminer des paramètres pour la continuité

Étapes :

Calculer $f(x_0)$, la limite à gauche et la limite à droite en fonction des paramètres.
Imposer l'égalité des trois quantités en $x_0$, puis en chaque point de raccord.
Résoudre le système obtenu.

Exemple. Soit $g$ définie par :

$$g(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2+x-6}{\sqrt{2x+12}-4} & \text{si } x \gt 2 \\ \dfrac{x^2+\alpha x - \alpha + 1}{x - 2} & \text{si } x \lt 2 \\ g(2) = \ell \end{cases}$$

Déterminer $\alpha$ et $\ell$ pour que $g$ soit continue en $2$. La limite à droite vaut (après quantité conjuguée) :

$$\lim_{x \to 2^+} g(x) = \lim_{x \to 2^+} \frac{(x-2)(x+3)(\sqrt{2x+12}+4)}{2(x-2)} = \frac{5 \cdot 8}{2} = 20$$

La limite à gauche existe finie à condition que le numérateur s'annule en $2$. On impose $4 + 2\alpha - \alpha + 1 = 0$, soit $\alpha = -5$. Pour cette valeur, $\dfrac{x^2-5x+6}{x-2} = x-3$, et la limite à gauche vaut $-1$. Pour assurer la continuité, il faudrait $\ell = 20 = -1$, impossible. Conclusion : il n'existe pas de couple $(\alpha, \ell)$ rendant $g$ continue en $2$. Cet exemple illustre l'importance de vérifier la cohérence des contraintes.

Méthode 4 — Appliquer le TVI et prouver l'unicité

Étapes :

Justifier la continuité sur $[a,b]$.
Calculer $f(a)$ et $f(b)$ et vérifier $f(a) \cdot f(b) \lt 0$.
Conclure à l'existence par le TVI (corollaire 1).
Étudier la monotonie pour l'unicité (corollaire 2).

Exemple. Montrer que l'équation $x^3 + x - 1 = 0$ admet une racine unique dans $[0,1]$, puis une racine unique dans $\mathbb{R}$.

La fonction $f(x) = x^3 + x - 1$ est polynômiale, donc continue sur $\mathbb{R}$. On a $f(0) = -1 \lt 0$ et $f(1) = 1 \gt 0$, donc $f(0) \cdot f(1) \lt 0$. Par le TVI, il existe $c \in ]0,1[$ tel que $f(c) = 0$. Comme $f'(x) = 3x^2 + 1 \gt 0$ sur $\mathbb{R}$, $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$, donc $c$ est unique dans $\mathbb{R}$ (et donc dans $[0,1]$).

Erreurs fréquentes et pièges

Piège 1 — Confondre limite et continuité. Une fonction peut avoir une limite finie en $x_0$ sans être continue en $x_0$ : il faut aussi que la limite soit égale à $f(x_0)$. La continuité est la limite plus l'égalité avec la valeur.

Piège 2 — Écrire $\dfrac{2}{0^+}$. Cette écriture n'a pas de sens mathématique. On dit que la limite est $+\infty$ et on justifie par le signe du dénominateur au voisinage du point, mais on n'écrit pas $2/0^+$ comme si c'était un nombre.

Piège 3 — Utiliser $+\infty$ ou $-\infty$ dans les opérations réelles. $+\infty$ et $-\infty$ ne sont pas des réels. On ne peut pas écrire $(+\infty) - (+\infty) = 0$ : c'est précisément une forme indéterminée.

Piège 4 — Oublier de calculer les deux limites latérales. Pour une fonction définie par morceaux, il faut systématiquement calculer la limite à gauche, la limite à droite, et comparer les deux à $f(x_0)$. Un seul côté ne suffit pas à conclure à la continuité en $x_0$.

Piège 5 — Appliquer le TVI sans vérifier ses hypothèses. Le TVI exige la continuité sur $[a,b]$ et que $\lambda$ soit compris entre $f(a)$ et $f(b)$. Sans ces hypothèses, aucune conclusion n'est possible. De même, l'unicité exige la stricte monotonie.

Piège 6 — Confondre composition et produit. $g \circ f$ est la fonction $x \mapsto g(f(x))$, alors que $f \times g$ est la fonction $x \mapsto f(x) \times g(x)$. La composition n'est pas commutative : $g \circ f \neq f \circ g$ en général.

Piège 7 — Simplifier abusivement les racines n-ièmes. $\sqrt[n]{a+b}$ n'est pas égal à $\sqrt[n]{a} + \sqrt[n]{b}$. De même, $\sqrt[n]{x^n} = |x|$ si $n$ est pair, mais $= x$ si $n$ est impair. Attention à la parité.

Exercices et examens nationaux

Exercice	Type	Année / Session	Niveau
Exercice 1 — Limites avec forme indéterminée	Application directe	—	Facile
Exercice 2 — Continuité en un point	Application directe	Examen national	Facile
Exercice 3 — Paramètres et continuité	Détermination de paramètres	Examen national	Moyen
Exercice 4 — TVI et unicité	Théorème des valeurs intermédiaires	Examen national	Moyen
Exercice 5 — Composition et limite	Calcul de limite par composition	—	Moyen
Exercice 6 — Fonction réciproque	Étude complète	Examen national	Moyen
Exercice 7 — Racine n-ième	Équation du type $x^n = a$	—	Facile

Tous les exercices et sujets corrigés

Consultez la liste complète des exercices d'application, exercices corrigés et examens nationaux classés par chapitre et par filière.

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Exercice 1 — Limites avec forme indéterminée

Énoncé. Calculer les limites suivantes :

$$\lim_{x \to 1} \frac{3x^2 - x}{2x^3 + 2x - 4} \quad \text{et} \quad \lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{4x+1} - 3}{x^2 - 2x}$$

Voir la correction

Première limite. On a une forme $\frac{2}{0}$, mais il faut préciser le signe. $3x^2 - x = x(3x-1)$, qui tend vers $2$ quand $x \to 1$. Et $2x^3 + 2x - 4 = 2(x-1)(x^2+x+2)$, qui s'annule en $1$ avec changement de signe. La limite n'existe pas au sens fini : elle est $+\infty$ à droite et $-\infty$ à gauche.

Seconde limite. Forme $\frac{0}{0}$. On multiplie par la quantité conjuguée :

$\dfrac{\sqrt{4x+1}-3}{x^2-2x} = \dfrac{4x-8}{(x^2-2x)(\sqrt{4x+1}+3)} = \dfrac{4(x-2)}{x(x-2)(\sqrt{4x+1}+3)} = \dfrac{4}{x(\sqrt{4x+1}+3)}$.

Quand $x \to 2$, on obtient $\dfrac{4}{2 \cdot 6} = \dfrac{1}{3}$.

Exercice 2 — Continuité en un point

Énoncé. Soit $f$ définie par $f(x) = x \sin\left(\dfrac{3}{x}\right)$ pour $x \neq 0$ et $f(0) = 0$. Montrer que $f$ est continue en $0$.

Voir la correction

On utilise l'encadrement $|\sin t| \leq 1$ valable pour tout réel $t$. Pour $x \neq 0$ :

$|f(x) - f(0)| = |x| \cdot \left|\sin\left(\dfrac{3}{x}\right)\right| \leq |x|$.

Comme $\lim_{x \to 0} |x| = 0$, par encadrement on obtient $\lim_{x \to 0} f(x) = 0 = f(0)$.

Conclusion : $f$ est continue en $0$.

Exercice 3 — Paramètres et continuité

Énoncé. Soit la fonction $f$ définie par :

$$f(x) = \begin{cases} x + a\sqrt{x^2 + x + 1} & \text{si } x \leq 0 \\ x^2 - x & \text{si } 0 \lt x \leq 1 \\ bx - \dfrac{x-1}{\sqrt{x^2+3}-2} & \text{si } x \gt 1 \end{cases}$$

Déterminer $a$ et $b$ pour que $f$ soit continue en $0$ et en $1$.

Voir la correction

Continuité en $0$. $f(0) = a$. La limite à droite vaut $0$. La limite à gauche vaut $a$. Donc $a = 0$.

Continuité en $1$. $f(1) = 0$. La limite à gauche vaut $0$. Pour la limite à droite, on multiplie par la quantité conjuguée :

$\dfrac{x-1}{\sqrt{x^2+3}-2} = \dfrac{(x-1)(\sqrt{x^2+3}+2)}{x^2-1} = \dfrac{\sqrt{x^2+3}+2}{x+1}$, qui tend vers $2$ quand $x \to 1^+$. La limite à droite vaut donc $b - 2$.

La continuité en $1$ impose $b - 2 = 0$, soit $b = 2$.

Conclusion : $a = 0$ et $b = 2$.

Exercice 4 — TVI et unicité

Énoncé. Montrer que l'équation $x^3 + x - 1 = 0$ admet une racine unique dans $[0,1]$.

Voir la correction

Posons $f(x) = x^3 + x - 1$. La fonction $f$ est polynômiale, donc continue sur $[0,1]$.

On a $f(0) = -1 \lt 0$ et $f(1) = 1 \gt 0$, donc $f(0) \cdot f(1) \lt 0$.

Par le TVI (corollaire 1), il existe au moins un $c \in ]0,1[$ tel que $f(c) = 0$.

De plus, $f'(x) = 3x^2 + 1 \gt 0$ sur $[0,1]$, donc $f$ est strictement croissante sur $[0,1]$. Par le corollaire 2, la solution $c$ est unique.

Conclusion : l'équation admet une unique solution dans $[0,1]$.

Exercice 5 — Composition et limite

Énoncé. Calculer $\lim_{x \to 0} \cos\left(\pi \cdot \dfrac{\sin(4x)}{3x}\right)$.

Voir la correction

On sait que $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin(4x)}{4x} = 1$, donc $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin(4x)}{3x} = \dfrac{4}{3} \cdot 1 = \dfrac{4}{3}$.

Par conséquent, $\lim_{x \to 0} \left(\pi \cdot \dfrac{\sin(4x)}{3x}\right) = \dfrac{4\pi}{3}$.

La fonction $\cos$ étant continue sur $\mathbb{R}$, on peut composer :

$\lim_{x \to 0} \cos\left(\pi \cdot \dfrac{\sin(4x)}{3x}\right) = \cos\left(\dfrac{4\pi}{3}\right) = -\dfrac{1}{2}$.

Exercice 6 — Fonction réciproque

Énoncé. Soit $f(x) = x^2 + x + 1$ définie sur $[0,1]$. Montrer que $f$ admet une fonction réciproque sur $J = f([0,1])$ et déterminer $f^{-1}(x)$.

Voir la correction

Continuité et monotonie. $f$ est polynômiale donc continue sur $[0,1]$. De plus, $f'(x) = 2x + 1 \gt 0$ sur $[0,1]$, donc $f$ est strictement croissante.

Détermination de $J$. Comme $f$ est continue et strictement croissante sur $[0,1]$, $J = [f(0), f(1)] = [1, 3]$.

Détermination de $f^{-1}$. Soit $y \in [1,3]$ et $x \in [0,1]$. On résout $x^2 + x + 1 = y$, soit $x^2 + x + (1-y) = 0$. Le discriminant vaut $\Delta = 1 - 4(1-y) = 4y - 3 \gt 0$. Les solutions sont $x = \dfrac{-1 \pm \sqrt{4y-3}}{2}$. Comme $x \geq 0$, on retient $x = \dfrac{-1 + \sqrt{4y-3}}{2}$.

Conclusion : $f^{-1}(x) = \dfrac{-1 + \sqrt{4x-3}}{2}$ pour $x \in [1,3]$.

Exercice 7 — Équation du type $x^n = a$

Énoncé. Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations $x^4 = 16$ et $(x-1)^3 = -27$.

Voir la correction

Équation $x^4 = 16$. $n = 4$ est pair et $16 \gt 0$. On a $x = \sqrt[4]{16} = 2$ ou $x = -\sqrt[4]{16} = -2$. Donc $S = \{-2, 2\}$.

Équation $(x-1)^3 = -27$. $n = 3$ est impair et $-27 \lt 0$. On a $x - 1 = -\sqrt[3]{27} = -3$, donc $x = -2$. Conclusion : $S = \{-2\}$.

Fiche de révision express

Notion	Formule / Propriété
Continuité en $a$	$\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$
Continuité à droite	$\lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)$
Continuité à gauche	$\lim_{x \to a^-} f(x) = f(a)$
Équivalence	Continue en $a$ $\iff$ continue à droite et à gauche
Fonctions usuelles	Polynômes : $\mathbb{R}$ ; Rationnelles : $D_f$ ; $\sin, \cos$ : $\mathbb{R}$ ; $\tan$ : $]-\pi/2+k\pi, \pi/2+k\pi[$ ; $\sqrt{}$ : $[0,+\infty[$
Image d'un segment	$f([a,b]) = [\min f, \max f]$
Composée	$f$ cont en $x_0$, $g$ cont en $f(x_0)$ $\Rightarrow$ $g \circ f$ cont en $x_0$
TVI général	$f$ cont sur $[a,b]$, $\lambda$ entre $f(a)$ et $f(b)$ $\Rightarrow$ $\exists c \in [a,b], f(c) = \lambda$
TVI strict monotone	$f$ cont et strict monotone sur $[a,b]$ $\Rightarrow$ la solution $c$ est unique
Corollaire TVI	$f$ cont sur $[a,b]$, $f(a) f(b) \lt 0$ $\Rightarrow$ $\exists c \in ]a,b[, f(c) = 0$
Fonction réciproque	$f$ cont et strict monotone sur $I$ $\Rightarrow$ bijection $I \to f(I)$, $f^{-1}$ cont et même sens de variation
Symétrie des courbes	$\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_{f^{-1}}$ symétriques par rapport à $y = x$
Racine n-ième	$\sqrt[n]{xy} = \sqrt[n]{x}\sqrt[n]{y}$ ; $\sqrt[n]{x/y} = \sqrt[n]{x}/\sqrt[n]{y}$
Puissance rationnelle	$x^{p/q} = \sqrt[q]{x^p} = (\sqrt[q]{x})^p$

Quiz d'autoévaluation

Question 1 — Une fonction peut-elle avoir une limite finie en $x_0$ sans être continue en $x_0$ ?

Oui. Il suffit que la valeur de $f(x_0)$ soit différente de la limite, ou que la fonction ne soit pas définie en $x_0$. La continuité exige les deux conditions : existence de la limite finie et égalité avec $f(x_0)$.

Question 2 — Que vaut $\lim_{x \to 0^+} \dfrac{1}{x}$ et $\lim_{x \to 0^-} \dfrac{1}{x}$ ?

$\lim_{x \to 0^+} \dfrac{1}{x} = +\infty$ et $\lim_{x \to 0^-} \dfrac{1}{x} = -\infty$. La limite globale en $0$ n'existe donc pas. On note parfois $0^+$ et $0^-$ pour préciser le signe du dénominateur.

Question 3 — Le TVI garantit-il l'unicité de la solution ?

Non. Le TVI général garantit seulement l'existence d'au moins une solution. Pour l'unicité, il faut ajouter l'hypothèse de stricte monotonie sur $[a,b]$. C'est le rôle du corollaire 2.

Question 4 — Sur quel intervalle $\tan$ est-elle continue ?

$\tan$ est continue sur tout intervalle de la forme $\left]-\dfrac{\pi}{2} + k\pi, \dfrac{\pi}{2} + k\pi\right[$ avec $k \in \mathbb{Z}$. Elle n'est pas définie aux points où $\cos x = 0$.

Question 5 — $g \circ f$ et $f \circ g$ sont-elles toujours égales ?

Non. La composition n'est pas commutative. Par exemple, avec $f(x) = x^2$ et $g(x) = x+1$, on a $g \circ f(x) = x^2+1$ et $f \circ g(x) = (x+1)^2$, qui sont différents.

Questions fréquentes

Quelle est la différence entre limite et continuité en un point ?

La limite décrit le comportement de $f$ au voisinage de $x_0$, sans référence à la valeur en $x_0$. La continuité est une propriété plus forte : elle exige que la limite existe, soit finie, et soit égale à $f(x_0)$.

Une fonction continue sur un intervalle est-elle nécessairement dérivable ?

Non. La continuité est une condition plus faible que la dérivabilité. La fonction $x \mapsto |x|$ est continue en $0$ mais non dérivable en $0$. La fonction racine carrée est continue en $0$ mais non dérivable en $0$.

Comment déterminer les paramètres pour assurer la continuité aux points de raccord ?

On calcule la valeur $f(x_0)$ et les limites à droite et à gauche en fonction des paramètres. On impose l'égalité des trois quantités, ce qui fournit une ou plusieurs équations. On résout le système obtenu.

Pourquoi le TVI exige-t-il que la fonction soit continue ?

Sans continuité, une fonction peut « sauter » d'une valeur à une autre sans jamais prendre les valeurs intermédiaires. Par exemple, la fonction qui vaut $0$ sur $[0,1[$ et $1$ en $1$ n'est pas continue en $1$ et ne prend pas la valeur $1/2$ sur $[0,1]$.

Comment construire la fonction réciproque d'une fonction ?

On vérifie que $f$ est continue et strictement monotone sur $I$. On détermine $J = f(I)$ par les bornes ou les limites. On résout $f(x) = y$ en isolant $x$ en fonction de $y$, puis on échange les lettres pour obtenir $f^{-1}(x)$.

Quelle est la différence entre racine n-ième et puissance rationnelle ?

La racine n-ième $\sqrt[n]{x}$ est la fonction réciproque de $x \mapsto x^n$ sur $[0,+\infty[$. La puissance rationnelle $x^{p/q}$ généralise la racine à un exposant fractionnaire : $x^{p/q} = \sqrt[q]{x^p} = (\sqrt[q]{x})^p$. Les deux notions vérifient les mêmes règles de calcul sur les produits et quotients.

Résumé final

Ce chapitre articule deux notions indissociables : la limite et la continuité. Les limites permettent d'étudier le comportement local d'une fonction, mais elles peuvent être infinies ou ne pas exister. La continuité est une propriété plus exigeante : elle impose l'existence d'une limite finie en tout point du domaine et son égalité avec la valeur de la fonction. Les opérations (somme, produit, quotient, composition) préservent la continuité sous réserve que les dénominateurs ne s'annulent pas.

Le théorème des valeurs intermédiaires est le théorème central du chapitre : il garantit l'existence d'au moins une solution à toute équation $f(x) = \lambda$ dès que $f$ est continue et que $\lambda$ est compris entre les valeurs aux bornes. Ajoutée à la stricte monotonie, la continuité permet d'obtenir l'unicité. C'est ce même théorème qui permet de construire la fonction réciproque d'une fonction continue et strictement monotone, puis d'étendre la notion aux racines n-ièmes et aux puissances rationnelles.

Les exercices d'examen national portent très souvent sur la détermination de paramètres assurant la continuité aux points de raccord, puis sur l'application du TVI pour prouver l'existence et l'unicité d'une solution. Prends l'habitude de vérifier chaque hypothèse, de rédiger les conclusions et de tracer les courbes pour visualiser le comportement de la fonction. C'est cette rigueur qui te permettra de gagner des points le jour de l'examen. Bon courage dans tes révisions.

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Cours de Mathématiques : Limite et continuité — 2e BAC PC & SVT 2025-2026

Niveau	2e année du baccalauréat
Filière	PC (Sciences physiques) et SVT
Matière	Mathématiques
Chapitre	Limite et continuité
Sous-chapitre	Continuité en un point, continuité sur un intervalle, image d'un intervalle, TVI, fonction réciproque, racine n-ième, dichotomie
Programme	Programme officiel marocain — 2025-2026
Durée indicative d'étude	8 heures (leçon 15 h + évaluation 4 h selon les orientations officielles)
Dernière mise à jour	24 octobre 2026

Le chapitre « Limite et continuité » prolonge naturellement l'étude des limites que tu as abordée en début d'année. Après avoir appris à calculer une limite, tu vas maintenant apprendre à relier cette limite à la valeur de la fonction au point considéré : c'est ce lien qui définit la continuité et qui permet, d'une part, de démontrer rigoureusement l'existence de solutions à des équations, et d'autre part, de construire les fonctions réciproques. Ce chapitre introduit également une méthode numérique essentielle : la dichotomie, qui permet d'approcher les solutions d'une équation à l'aide d'un algorithme simple.

À l'examen national, ce chapitre est l'un des plus réguliers. Il apparaît presque systématiquement dans le premier exercice, sous forme d'étude de continuité d'une fonction définie par morceaux avec paramètres à déterminer, et dans le problème final, sous forme d'application du théorème des valeurs intermédiaires (TVI), souvent complétée par l'étude d'une fonction réciproque. La méthode de dichotomie, bien que peu calculée en examen, est explicitement attendue par les orientations pédagogiques : il faut savoir l'expliquer et l'appliquer pas à pas. Enfin, la maîtrise de ce chapitre est indispensable pour aborder sereinement les chapitres suivants : dérivation, étude de fonctions, fonctions logarithmes et exponentielles, primitives et calcul intégral.

Tu vas trouver dans ce cours les définitions et théorèmes du programme officiel, les propriétés sur les opérations et la composition, la méthode de détermination de l'image d'un intervalle, les corollaires du TVI, la construction de la fonction réciproque et la méthode de dichotomie détaillée. S'y ajoutent des exercices intégralement corrigés inspirés des examens nationaux, une fiche de révision express, un quiz d'autoévaluation et un bouton d'impression propre pour réviser sur papier, sans publicité, avec toutes les solutions visibles.

Table des matières

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Prérequis

Ce chapitre s'appuie sur plusieurs acquis que tu dois maîtriser avant de commencer. Prends le temps de vérifier chacun de ces points.

Limites d'une fonction en un point, à droite, à gauche, en $+\infty$ et en $-\infty$.
Techniques de calcul de limites : factorisation, quantité conjuguée, simplification des formes indéterminées.
Domaines de définition et résolution d'équations et d'inéquations simples.
Dérivation : formules usuelles et règles de calcul (somme, produit, quotient, composée).
Signe de la dérivée et sens de variation d'une fonction.
Fonctions usuelles : polynômes, fonctions rationnelles, fonctions trigonométriques, fonction racine carrée, fonction valeur absolue.
Manipulation d'encadrements et de valeurs approchées.

Objectifs pédagogiques

À la fin de ce chapitre, tu seras capable de :

Démontrer qu'une fonction est continue en un point à l'aide de la définition $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$.
Étudier la continuité à droite et à gauche et en déduire la continuité au point.
Étudier la continuité sur un intervalle ouvert, fermé ou semi-ouvert, et aux bornes.
Déterminer les paramètres réels pour assurer la continuité aux points de raccord.
Déterminer l'image d'un segment ou d'un intervalle par une fonction continue, puis par une fonction continue et strictement monotone.
Appliquer le théorème des valeurs intermédiaires et ses corollaires pour étudier le signe d'expressions et l'existence de solutions.
Appliquer la méthode de dichotomie pour obtenir un encadrement d'une solution à une précision donnée.
Déterminer la fonction réciproque d'une fonction continue et strictement monotone et calculer sa dérivée lorsque c'est possible.
Manipuler les racines n-ièmes avec les règles de calcul adaptées.

Le cours complet

1. Continuité en un point

Définition

Soit $f$ une fonction numérique définie sur un intervalle ouvert $I$ et soit $x_0 \in I$. On dit que $f$ est continue au point $x_0$ si :

$$\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$$

Autrement dit, la limite de $f$ en $x_0$ existe, est finie, et coïncide avec la valeur de $f$ en $x_0$. Si $f$ est définie en $x_0$ mais n'admet pas de limite en $x_0$, ou si sa limite est infinie, on dit que $f$ est discontinue en $x_0$.

Exemple

Soit $f$ définie par $f(x) = \dfrac{x^2 - 4x + 3}{x - 1}$ pour $x \neq 1$ et $f(1) = -2$. Étudions la continuité de $f$ en $1$.

On factorise le numérateur : $x^2 - 4x + 3 = (x-1)(x-3)$. Donc pour $x \neq 1$ :

$$f(x) = \frac{(x-1)(x-3)}{x-1} = x - 3$$

D'où $\lim_{x \to 1} f(x) = 1 - 3 = -2 = f(1)$. Conclusion : $f$ est continue en $1$.

2. Continuité à droite et à gauche

Définitions

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle de la forme $[x_0, x_0 + \alpha]$ avec $\alpha \gt 0$. On dit que $f$ est continue à droite de $x_0$ si :

$$\lim_{x \to x_0^+} f(x) = f(x_0)$$

De même, si $f$ est définie sur $[x_0 - \alpha, x_0]$, on dit que $f$ est continue à gauche de $x_0$ si :

$$\lim_{x \to x_0^-} f(x) = f(x_0)$$

Proposition

Une fonction $f$ est continue au point $x_0$ si et seulement si elle est continue à droite et à gauche de $x_0$ :

$$f \text{ continue en } x_0 \iff \lim_{x \to x_0^+} f(x) = \lim_{x \to x_0^-} f(x) = f(x_0)$$

Exemple

Soit $f$ définie par $f(x) = 3 - x^2$ si $x \leq 0$ et $f(x) = x^2 - 3$ si $x \gt 0$. Étudions la continuité en $0$.

$f(0) = 3 - 0 = 3$. La limite à gauche vaut $\lim_{x \to 0^-} (3 - x^2) = 3$. La limite à droite vaut $\lim_{x \to 0^+} (x^2 - 3) = -3$. Les limites à gauche et à droite sont différentes, donc $f$ n'est pas continue en $0$.

3. Continuité sur un intervalle

$f$ est continue sur un intervalle ouvert $I$ si elle est continue en chaque point de $I$.
$f$ est continue sur $[a,b[$ si elle est continue sur $]a,b[$ et continue à droite de $a$.
$f$ est continue sur $]a,b]$ si elle est continue sur $]a,b[$ et continue à gauche de $b$.
$f$ est continue sur $[a,b]$ si elle est continue sur $]a,b[$, continue à droite de $a$ et continue à gauche de $b$.

Exemple

Soit $f$ définie sur $[2, +\infty[$ par $f(2) = 4$ et $f(x) = \dfrac{x^2-4}{x-2}$ pour $x \gt 2$. Étudions la continuité de $f$ sur $[2, +\infty[$.

Sur $]2, +\infty[$ : $x \mapsto x^2-4$ et $x \mapsto x-2$ sont des polynômes, donc continus sur $\mathbb{R}$. Le dénominateur ne s'annule pas sur $]2, +\infty[$, donc par quotient $f$ est continue sur $]2, +\infty[$.

En $2$ : pour $x \gt 2$, $f(x) = \dfrac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x+2$. Donc $\lim_{x \to 2^+} f(x) = 4 = f(2)$. Ainsi $f$ est continue à droite de $2$.

Conclusion : $f$ est continue sur $[2, +\infty[$.

4. Propriétés générales des fonctions continues

Continuité des fonctions usuelles

Les fonctions polynômes, les fonctions rationnelles sur leur domaine de définition, la fonction racine carrée sur $[0, +\infty[$, les fonctions $\sin$ et $\cos$ sur $\mathbb{R}$, la fonction $\tan$ sur $]-\pi/2+k\pi, \pi/2+k\pi[$, sont continues sur tout intervalle où elles sont définies. Toute fonction construite à partir de ces fonctions par somme, produit, quotient (dénominateur non nul), valeur absolue, puissance et composition, est continue sur son domaine de définition.

Opérations sur les fonctions continues

Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues en $a$ et $k \in \mathbb{R}$. Alors $f + g$, $f \times g$, $k f$ et $|f|$ sont continues en $a$. Si de plus $g(a) \neq 0$, alors $\dfrac{1}{g}$ et $\dfrac{f}{g}$ sont continues en $a$. Ces propriétés s'étendent aux intervalles : si $f$ et $g$ sont continues sur $I$, alors $f+g$, $f \times g$, $k f$ et $|f|$ sont continues sur $I$.

Composition

Soient $f$ définie sur un intervalle $I$ et $g$ définie sur un intervalle $J$ avec $f(I) \subset J$, et $x_0 \in I$. Si $f$ est continue en $x_0$ et $g$ continue en $f(x_0)$, alors $g \circ f$ est continue en $x_0$. Si $f$ est continue sur $I$ et $g$ continue sur $f(I)$, alors $g \circ f$ est continue sur $I$.

Un corollaire utile concerne la limite d'une composée : si $\lim_{x \to x_0} u(x) = \ell$ et si $v$ est continue en $\ell$, alors $\lim_{x \to x_0} v(u(x)) = v(\ell)$. C'est le théorème fondamental pour justifier les calculs de limites par composition.

Exemples

La fonction $f(x) = \cos(2x^2 - 3x + 4)$ est continue sur $\mathbb{R}$ comme composée de $x \mapsto 2x^2 - 3x + 4$ (polynôme, donc continu sur $\mathbb{R}$) et de $\cos$ (continue sur $\mathbb{R}$).

La fonction $g(x) = (x-1)\sqrt{x} - \dfrac{2}{x}$ est continue sur $]0, +\infty[$ comme somme de produits et de quotients de fonctions continues sur cet intervalle.

5. Image d'un intervalle par une fonction continue

Théorème

L'image d'un intervalle par une fonction continue est un intervalle. L'image d'un segment $[a,b]$ par une fonction continue $f$ est le segment $[m, M]$, où $m$ et $M$ sont respectivement le minimum et le maximum de $f$ sur $[a,b]$ :

$$f([a,b]) = \left[\min_{x \in [a,b]} f(x), \max_{x \in [a,b]} f(x)\right]$$

Cas d'une fonction strictement monotone

Lorsque $f$ est continue et strictement monotone sur un intervalle, l'image se calcule à l'aide des bornes et des limites aux bornes.

Fonction strictement croissante :

$f([a,b]) = [f(a), f(b)]$
$f([a,b[) = [f(a), \lim_{x \to b^-} f(x)[$
$f(]a,b]) = \left]\lim_{x \to a^+} f(x), f(b)\right]$
$f(]a,b[) = \left]\lim_{x \to a^+} f(x), \lim_{x \to b^-} f(x)\right[$
$f([a,+\infty[) = [f(a), \lim_{x \to +\infty} f(x)[$
$f(\mathbb{R}) = \left]\lim_{x \to -\infty} f(x), \lim_{x \to +\infty} f(x)\right[$

Fonction strictement décroissante : il suffit d'inverser les bornes.

$f([a,b]) = [f(b), f(a)]$
$f([a,b[) = \left]\lim_{x \to b^-} f(x), f(a)\right]$
$f(]a,b]) = [f(b), \lim_{x \to a^+} f(x)[$
$f(]a,b[) = \left]\lim_{x \to b^-} f(x), \lim_{x \to a^+} f(x)\right[$
$f([a,+\infty[) = \left]\lim_{x \to +\infty} f(x), f(a)\right]$
$f(\mathbb{R}) = \left]\lim_{x \to +\infty} f(x), \lim_{x \to -\infty} f(x)\right[$

Exemple

La fonction $f(x) = x^2 + 1$ est strictement croissante sur $[0, +\infty[$. On a $f([1,2]) = [f(1), f(2)] = [2, 5]$ et $f([0,1[) = [f(0), \lim_{x \to 1^-} f(x)[ = [1, 2[$.

6. Théorème des valeurs intermédiaires

Énoncé général

Soit $f$ une fonction définie et continue sur un intervalle $I$, et $a, b \in I$ avec $a \lt b$. Pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe au moins un réel $c$ compris entre $a$ et $b$ tel que :

$$f(c) = k$$

Corollaire (cas strictement monotone)

Si $f$ est continue et strictement monotone sur un intervalle $I$, alors pour tout réel $k \in J = f(I)$, l'équation $f(x) = k$ admet une unique solution dans $I$.

Corollaire (recherche de zéros)

Si $f$ est continue sur $[a,b]$ et si $f(a) \cdot f(b) \lt 0$, alors il existe au moins un $c \in ]a,b[$ tel que $f(c) = 0$. Si de plus $f$ est strictement monotone sur $[a,b]$, ce $c$ est unique.

Exemple

Montrons que l'équation $x^3 - x + 3 = 0$ admet au moins une solution dans $]-2, 0[$. Posons $f(x) = x^3 - x + 3$. La fonction $f$ est un polynôme, donc continue sur $\mathbb{R}$. On a $f(-2) = -8 + 2 + 3 = -3 \lt 0$ et $f(0) = 3 \gt 0$. Donc $f(-2) \cdot f(0) \lt 0$. Par le TVI, il existe $c \in ]-2,0[$ tel que $f(c) = 0$.

7. Fonction réciproque

Théorème des fonctions réciproques

Soit $f$ une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle $I$. Alors :

$f(I)$ est un intervalle $J$ de même nature que $I$ (fermé, ouvert ou semi-ouvert), et ses extrémités sont les limites de $f$ aux extrémités de $I$.
$f$ réalise une bijection de $I$ sur $J$. Il existe donc une fonction réciproque $f^{-1} : J \to I$ telle que :

$$\begin{cases} x \in I \\ y = f(x) \end{cases} \iff \begin{cases} y \in J \\ x = f^{-1}(y) \end{cases}$$

$f^{-1}$ est continue et strictement monotone sur $J$, de même sens de monotonie que $f$.
Si $f$ est dérivable en $x_0 \in I$ et si $f'(x_0) \neq 0$, alors $f^{-1}$ est dérivable en $y_0 = f(x_0)$ et :

$$(f^{-1})'(y_0) = \frac{1}{f'(x_0)} = \frac{1}{f'(f^{-1}(y_0))}$$

Remarque graphique

Les courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_{f^{-1}}$ sont symétriques par rapport à la première bissectrice d'équation $y = x$. Cette symétrie s'étend aux asymptotes, aux tangentes et aux demi-tangentes.

Exemple

Soit $f$ définie sur $[0,1]$ par $f(x) = x^3$. $f$ est continue et strictement croissante sur $[0,1]$. Donc $f$ admet une fonction réciproque définie sur $J = f([0,1]) = [0,1]$, à savoir $f^{-1}(y) = \sqrt[3]{y}$. De plus, $f'(0) = 0$, donc $f^{-1}$ n'est pas dérivable en $0$ ; en revanche, pour $x_0 \in ]0,1]$, on a :

$$(f^{-1})'(y_0) = \frac{1}{3x_0^2} = \frac{1}{3 y_0^{2/3}}$$

8. La fonction racine n-ième

Théorème

Soit $n \in \mathbb{N}^*$. La fonction $x \mapsto x^n$ est continue et strictement croissante sur $\mathbb{R}^+$. Elle admet donc une fonction réciproque, appelée fonction racine n-ième, notée $\sqrt[n]{}$. Pour $x, y \in \mathbb{R}^+$ :

$$y = x^n \iff x = \sqrt[n]{y}$$

Propriétés

Pour $a, b \in \mathbb{R}^+$ et $n \in \mathbb{N}^*$ :

De plus, pour $a \geq 0$ et $n \geq 2$ :

$$\sqrt[n]{a} = a^{1/n}$$

Équation $x^n = a$

Si $n$ est pair et $a \geq 0$ : $S = \{\sqrt[n]{a}, -\sqrt[n]{a}\}$.
Si $n$ est pair et $a \lt 0$ : $S = \varnothing$.
Si $n$ est impair et $a \geq 0$ : $S = \{\sqrt[n]{a}\}$.
Si $n$ est impair et $a \lt 0$ : $S = \{-\sqrt[n]{-a}\}$.

9. Méthode de dichotomie

Principe

Soit $f$ une fonction continue sur $[a,b]$ telle que $f(a) \cdot f(b) \lt 0$. D'après le TVI, il existe au moins une solution $c \in ]a,b[$ de l'équation $f(x) = 0$. La méthode de dichotomie permet d'approcher $c$ en divisant successivement l'intervalle par deux.

Algorithme

On pose $a_0 = a$ et $b_0 = b$.
On calcule $m_n = \dfrac{a_n + b_n}{2}$.
Si $f(m_n)$ a le même signe que $f(a_n)$, on pose $a_{n+1} = m_n$ et $b_{n+1} = b_n$.
Sinon, on pose $a_{n+1} = a_n$ et $b_{n+1} = m_n$.
On répète jusqu'à obtenir la précision voulue.

À chaque étape, l'intervalle $[a_n, b_n]$ contient une solution de $f(x) = 0$, et sa longueur est divisée par deux : $b_n - a_n = \dfrac{b-a}{2^n}$.

Exemple — approximation de $\sqrt{10}$

On pose $f(x) = x^2 - 10$ sur $[3,4]$. On a $f(3) = -1 \lt 0$ et $f(4) = 6 \gt 0$, donc $\sqrt{10} \in ]3,4[$.

Étape 1 : $m_1 = 3{,}5$, $f(3{,}5) = 2{,}25 \gt 0$, donc $\sqrt{10} \in [3; 3{,}5]$.
Étape 2 : $m_2 = 3{,}25$, $f(3{,}25) \approx 0{,}5625 \gt 0$, donc $\sqrt{10} \in [3; 3{,}25]$.
Étape 3 : $m_3 = 3{,}125$, $f(3{,}125) \approx -0{,}234 \lt 0$, donc $\sqrt{10} \in [3{,}125; 3{,}25]$.
Après 8 étapes : $3{,}160 \leq \sqrt{10} \leq 3{,}165$, d'où $\sqrt{10} \approx 3{,}16$.

Méthodes et exemples corrigés

Méthode 1 — Étudier la continuité en un point

Étapes :

Vérifier que $x_0 \in D_f$ et calculer $f(x_0)$.
Calculer la limite en $x_0$ (le plus souvent par factorisation ou quantité conjuguée).
Comparer les deux valeurs et conclure.

Exemple. Soit $f(x) = \dfrac{\sqrt{x+3} - 2}{x - 1}$ pour $x \neq 1$ et $f(1) = \dfrac{1}{4}$. Étudier la continuité de $f$ en $1$.

On a $f(1) = \dfrac{1}{4}$. Pour $x \neq 1$, on multiplie par la quantité conjuguée :

$$\frac{\sqrt{x+3}-2}{x-1} = \frac{(x+3)-4}{(x-1)(\sqrt{x+3}+2)} = \frac{1}{\sqrt{x+3}+2}$$

Quand $x \to 1$, cette expression tend vers $\dfrac{1}{4} = f(1)$. Donc $f$ est continue en $1$.

Méthode 2 — Déterminer des paramètres pour la continuité

Étapes :

Calculer $f(x_0)$, la limite à gauche et la limite à droite en fonction des paramètres.
Imposer l'égalité des trois quantités en chaque point de raccord.
Résoudre le système obtenu.

Exemple. Soit $f$ définie par $f(x) = x + a\sqrt{x^2+x+1}$ pour $x \leq 0$, $f(x) = x^2 - x$ pour $0 \lt x \leq 1$, $f(x) = bx - \dfrac{x-1}{\sqrt{x^2+3}-2}$ pour $x \gt 1$. On obtient $a = 0$ et $b = 2$ (voir exercice 3 ci-dessous).

Méthode 3 — Appliquer le TVI et prouver l'unicité

Étapes :

Justifier la continuité sur $[a,b]$.
Calculer $f(a)$ et $f(b)$ et vérifier $f(a) \cdot f(b) \lt 0$.
Conclure à l'existence par le TVI.
Étudier la stricte monotonie (signe de la dérivée) pour l'unicité.

Exemple. Montrer que $x^3 + x - 1 = 0$ admet une unique racine dans $[0,1]$. La fonction $f(x) = x^3+x-1$ est continue sur $[0,1]$, $f(0) = -1$ et $f(1) = 1$, donc $f(0) \cdot f(1) \lt 0$. Le TVI assure l'existence d'un $c \in ]0,1[$ tel que $f(c) = 0$. Comme $f'(x) = 3x^2+1 \gt 0$, $f$ est strictement croissante sur $[0,1]$, donc $c$ est unique.

Méthode 4 — Appliquer la dichotomie

Étapes :

Isoler un intervalle $[a,b]$ sur lequel $f$ change de signe.
Calculer le milieu $m = \dfrac{a+b}{2}$ et le signe de $f(m)$.
Remplacer l'intervalle $[a,b]$ par $[a,m]$ ou $[m,b]$ selon le signe de $f(m)$.
Répéter jusqu'à ce que $b - a$ soit inférieur à la précision demandée.

Exemple. Voir l'exemple détaillé de la section 9 du cours (approximation de $\sqrt{10}$).

Erreurs fréquentes et pièges

Piège 1 — Confondre limite et continuité. Une fonction peut admettre une limite finie en $x_0$ sans être continue en $x_0$. Il faut aussi que cette limite coïncide avec $f(x_0)$.

Piège 2 — Oublier les deux limites latérales. Pour une fonction définie par morceaux, un calcul d'une seule limite latérale ne suffit pas à prouver la continuité au point de raccord. Il faut calculer les deux et comparer à $f(x_0)$.

Piège 3 — Utiliser le TVI sans hypothèses. Le TVI exige la continuité sur $[a,b]$, et le réel $k$ doit être compris entre $f(a)$ et $f(b)$. L'unicité exige la stricte monotonie. Ne confonds pas existence et unicité.

Piège 4 — Mal déterminer l'image d'un intervalle. Les formules du tableau dépendent du sens de variation. Pour une fonction strictement décroissante, l'image d'un segment $[a,b]$ est $[f(b), f(a)]$ et non $[f(a), f(b)]$.

Piège 5 — Dériver $f^{-1}$ sans vérifier les hypothèses. La formule $(f^{-1})'(y_0) = \dfrac{1}{f'(x_0)}$ n'est valable que si $f'(x_0) \neq 0$. Si $f'(x_0) = 0$, $f^{-1}$ n'est pas dérivable en $y_0$, mais la courbe peut y avoir une tangente verticale.

Piège 6 — Erreurs classiques avec les racines n-ièmes. $\sqrt[n]{a+b} \neq \sqrt[n]{a} + \sqrt[n]{b}$. De plus, $\sqrt[n]{x^n}$ n'est pas toujours égal à $x$ : si $n$ est pair, c'est $|x|$ ; si $n$ est impair, c'est $x$.

Exercices et examens nationaux

Exercice	Type	Année / Session	Niveau
Exercice 1 — Continuité en un point	Application directe	—	Facile
Exercice 2 — Limite et composition	Calcul de limite	Examen national	Moyen
Exercice 3 — Paramètres $a$ et $b$	Détermination de paramètres	Examen national	Moyen
Exercice 4 — TVI et unicité	Théorème des valeurs intermédiaires	Examen national	Moyen
Exercice 5 — Image d'un intervalle	Application directe	—	Facile
Exercice 6 — Fonction réciproque	Étude complète	Examen national	Moyen
Exercice 7 — Dichotomie	Méthode numérique	—	Moyen

Tous les exercices et sujets corrigés

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Exercice 1 — Continuité en un point

Énoncé. Soit $f$ définie par $f(x) = \dfrac{x^2 - 4x + 3}{x-1}$ pour $x \neq 1$ et $f(1) = -2$. Étudier la continuité de $f$ en $1$.

Voir la correction

On factorise le numérateur : $x^2 - 4x + 3 = (x-1)(x-3)$. Donc pour $x \neq 1$, $f(x) = x-3$.

La limite en $1$ vaut $\lim_{x \to 1} f(x) = 1 - 3 = -2 = f(1)$.

Conclusion : $f$ est continue en $1$.

Exercice 2 — Limite et composition

Énoncé. Calculer $\lim_{x \to 0} \sin\left(\dfrac{1-\cos x}{x^2}\right)$.

Voir la correction

On pose $u(x) = \dfrac{1-\cos x}{x^2}$ et $v(t) = \sin t$. La fonction $v$ est continue sur $\mathbb{R}$.

On sait (limite usuelle) que $\lim_{x \to 0} \dfrac{1-\cos x}{x^2} = \dfrac{1}{2}$.

Donc par continuité de $v$ en $\dfrac{1}{2}$ : $\lim_{x \to 0} \sin(u(x)) = \sin\left(\dfrac{1}{2}\right)$.

Conclusion : $\lim_{x \to 0} \sin\left(\dfrac{1-\cos x}{x^2}\right) = \sin\left(\dfrac{1}{2}\right)$.

Exercice 3 — Paramètres $a$ et $b$

Énoncé. Soit la fonction $f$ définie par :

$$f(x) = \begin{cases} x + a\sqrt{x^2 + x + 1} & \text{si } x \leq 0 \\ x^2 - x & \text{si } 0 \lt x \leq 1 \\ bx - \dfrac{x-1}{\sqrt{x^2+3}-2} & \text{si } x \gt 1 \end{cases}$$

Déterminer $a$ et $b$ pour que $f$ soit continue en $0$ et en $1$.

Voir la correction

Continuité en $0$. $f(0) = a$. La limite à droite vaut $\lim_{x \to 0^+} (x^2-x) = 0$. La limite à gauche vaut $\lim_{x \to 0^-} (x + a\sqrt{x^2+x+1}) = a$. D'où $a = 0$.

Continuité en $1$. $f(1) = 0$. La limite à gauche vaut $0$. Pour la limite à droite, on multiplie par la quantité conjuguée :

$\dfrac{x-1}{\sqrt{x^2+3}-2} = \dfrac{(x-1)(\sqrt{x^2+3}+2)}{x^2-1} = \dfrac{\sqrt{x^2+3}+2}{x+1}$, qui tend vers $2$ quand $x \to 1^+$. Donc $\lim_{x \to 1^+} f(x) = b - 2$.

On impose $b - 2 = 0$, soit $b = 2$.

Conclusion : $a = 0$ et $b = 2$.

Exercice 4 — TVI et unicité

Énoncé. Montrer que l'équation $x^3 - x + 3 = 0$ admet au moins une solution dans $]-2,0[$.

Voir la correction

Posons $f(x) = x^3 - x + 3$. La fonction $f$ est polynômiale, donc continue sur $[-2,0]$.

On a $f(-2) = -8 + 2 + 3 = -3 \lt 0$ et $f(0) = 3 \gt 0$, donc $f(-2) \cdot f(0) \lt 0$.

Par le TVI, il existe $c \in ]-2,0[$ tel que $f(c) = 0$. L'existence est assurée.

Pour l'unicité : $f'(x) = 3x^2 - 1$. Sur $]-2,0[$, $f'$ change de signe en $-\dfrac{1}{\sqrt{3}}$. La stricte monotonie n'est donc pas globale sur tout $]-2,0[$, mais on peut localement utiliser le TVI sur des sous-intervalles adaptés. L'énoncé demande uniquement l'existence, ce qui est prouvé.

Exercice 5 — Image d'un intervalle

Énoncé. Déterminer l'image de $I = [1,2]$ par $f(x) = x^2 + 1$, puis l'image de $J = [0,1[$.

Voir la correction

La fonction $f(x) = x^2+1$ est continue et strictement croissante sur $[0, +\infty[$. Donc sur $[1,2]$ :

$f([1,2]) = [f(1), f(2)] = [2, 5]$.

Sur $[0,1[$ : $f([0,1[) = [f(0), \lim_{x \to 1^-} f(x)[ = [1, 2[$.

Exercice 6 — Fonction réciproque

Énoncé. Soit $f(x) = x^2 + x + 1$ définie sur $[0,1]$. Montrer que $f$ admet une fonction réciproque sur $J = f([0,1])$ et déterminer $f^{-1}(x)$.

Voir la correction

Continuité et monotonie. $f$ est polynômiale donc continue sur $[0,1]$. Sa dérivée $f'(x) = 2x+1 \gt 0$ sur $[0,1]$, donc $f$ est strictement croissante sur $[0,1]$.

Détermination de $J$. $J = [f(0), f(1)] = [1,3]$.

Détermination de $f^{-1}$. Pour $y \in [1,3]$, on résout $x^2+x+1 = y$, soit $x^2+x+(1-y) = 0$. Le discriminant vaut $\Delta = 1 - 4(1-y) = 4y-3 \gt 0$. Les solutions sont $x = \dfrac{-1 \pm \sqrt{4y-3}}{2}$. Comme $x \geq 0$, on retient $x = \dfrac{-1+\sqrt{4y-3}}{2}$.

Conclusion : $f^{-1}(x) = \dfrac{-1+\sqrt{4x-3}}{2}$ pour $x \in [1,3]$.

Exercice 7 — Dichotomie

Énoncé. On pose $f(x) = x^2 - 2$. Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution dans $[1,2]$, puis donner un encadrement de cette solution à $10^{-1}$ près par la méthode de dichotomie.

Voir la correction

Existence et unicité. $f$ est continue sur $[1,2]$. $f(1) = -1 \lt 0$ et $f(2) = 2 \gt 0$. Par le TVI, il existe $c \in ]1,2[$ tel que $f(c) = 0$. De plus $f'(x) = 2x \gt 0$ sur $[1,2]$, donc $f$ est strictement croissante : la solution $c$ est unique ($c = \sqrt{2}$).

Dichotomie.

$a_0 = 1$, $b_0 = 2$, $m_1 = 1{,}5$, $f(1{,}5) = 0{,}25 \gt 0$, donc $c \in [1; 1{,}5]$.
$m_2 = 1{,}25$, $f(1{,}25) = -0{,}4375 \lt 0$, donc $c \in [1{,}25; 1{,}5]$.
$m_3 = 1{,}375$, $f(1{,}375) \approx -0{,}109 \lt 0$, donc $c \in [1{,}375; 1{,}5]$.
$m_4 = 1{,}4375$, $f(1{,}4375) \approx 0{,}066 \gt 0$, donc $c \in [1{,}375; 1{,}4375]$.

On en déduit $1{,}37 \leq \sqrt{2} \leq 1{,}44$, donc $\sqrt{2} \approx 1{,}4$ à $10^{-1}$ près.

Fiche de révision express

Notion	Formule / Propriété
Continuité en $x_0$	$\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$
Continuité à droite / gauche	$\lim_{x \to x_0^+} f(x) = f(x_0)$ / $\lim_{x \to x_0^-} f(x) = f(x_0)$
Équivalence	$f$ cont en $x_0$ $\iff$ cont à droite et à gauche
Fonctions usuelles	Polynômes : $\mathbb{R}$ ; Rationnelles : $D_f$ ; $\sin, \cos$ : $\mathbb{R}$ ; $\tan$ : $]-\pi/2+k\pi, \pi/2+k\pi[$ ; $\sqrt{}$ : $[0,+\infty[$
Opérations	$f, g$ cont en $a$ $\Rightarrow$ $f+g$, $f \times g$, $kf$, $\|f\|$ cont en $a$ ; si $g(a) \neq 0$, $1/g$ et $f/g$ cont en $a$
Composition	$f$ cont en $x_0$, $g$ cont en $f(x_0)$ $\Rightarrow$ $g \circ f$ cont en $x_0$
Limite composée	$\lim_{x \to x_0} u(x) = \ell$, $v$ cont en $\ell$ $\Rightarrow$ $\lim v(u(x)) = v(\ell)$
Image segment	$f([a,b]) = [\min f, \max f]$
Image strict. croissante	$f([a,b]) = [f(a), f(b)]$
Image strict. décroissante	$f([a,b]) = [f(b), f(a)]$
TVI général	$f$ cont, $k$ entre $f(a)$ et $f(b)$ $\Rightarrow$ $\exists c, f(c)=k$
TVI + strict. monotone	La solution $c$ est unique
Corollaire TVI	$f$ cont sur $[a,b]$, $f(a)f(b) \lt 0$ $\Rightarrow$ $\exists c, f(c)=0$
Fonction réciproque	$f$ cont et strict. monotone sur $I$ $\Rightarrow$ bijection $I \to f(I)$, $f^{-1}$ cont et même monotonie
Dérivée de $f^{-1}$	$(f^{-1})'(y_0) = 1/f'(x_0)$ si $f'(x_0) \neq 0$
Racine n-ième	$\sqrt[n]{a} = a^{1/n}$ ; $\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}$
Dichotomie	$[a_n, b_n]$ de longueur $(b-a)/2^n$ contient la solution

Quiz d'autoévaluation

Question 1 — Que faut-il pour prouver qu'une fonction est continue en $x_0$ ?

Il faut deux conditions : d'une part, la limite $\lim_{x \to x_0} f(x)$ doit exister et être finie ; d'autre part, elle doit être égale à $f(x_0)$. Si l'une de ces conditions manque, la fonction n'est pas continue.

Question 2 — Le TVI garantit-il l'unicité d'une solution ?

Non. Le TVI garantit uniquement l'existence d'au moins une solution. Pour l'unicité, il faut ajouter la stricte monotonie de $f$ sur l'intervalle considéré. C'est ce que précise le corollaire du TVI en cas de stricte monotonie.

Question 3 — Comment déterminer l'image d'un segment $[a,b]$ par une fonction continue ?

On commence par étudier les variations de $f$ sur $[a,b]$ et par déterminer les extremums. Si $f$ est monotone, $f([a,b]) = [f(a), f(b)]$ (croissante) ou $[f(b), f(a)]$ (décroissante). Si $f$ n'est pas monotone, on détermine le minimum $m$ et le maximum $M$ de $f$ sur $[a,b]$, et $f([a,b]) = [m, M]$.

Question 4 — Quelle est la condition pour dériver $f^{-1}$ ?

Il faut que $f$ soit dérivable en $x_0$ et que $f'(x_0) \neq 0$. Dans ce cas, $f^{-1}$ est dérivable en $y_0 = f(x_0)$ et $(f^{-1})'(y_0) = \dfrac{1}{f'(x_0)}$. Si $f'(x_0) = 0$, $f^{-1}$ n'est pas dérivable en $y_0$.

Question 5 — Quel est l'intérêt de la méthode de dichotomie ?

La dichotomie permet d'obtenir un encadrement numérique d'une solution de $f(x) = 0$ avec une précision arbitraire, sans avoir à résoudre l'équation algébriquement. Elle s'applique dès que $f$ est continue et change de signe sur un intervalle. C'est une méthode algorithmique, qui se programme facilement.

Questions fréquentes

Quelle est la différence entre continuité et dérivabilité ?

La continuité en un point est une condition plus faible que la dérivabilité. Toute fonction dérivable en un point y est continue, mais la réciproque est fausse. Par exemple, $x \mapsto |x|$ est continue en $0$ mais non dérivable en $0$.

Comment prouver qu'une fonction est continue sur un intervalle ?

On commence par la continuité sur l'intervalle ouvert : la plupart du temps, on invoque les propriétés des fonctions usuelles (polynômes, rationnelles, trigonométriques, racine carrée) et les opérations (somme, produit, quotient, composition). Ensuite, on étudie séparément la continuité aux bornes à l'aide des limites latérales.

Pourquoi le TVI est-il aussi important dans le programme ?

Le TVI est l'outil central pour prouver l'existence de solutions à des équations sans les résoudre explicitement. Il permet aussi de construire la fonction réciproque, de justifier l'existence d'extremums et, combiné à la méthode de dichotomie, de calculer des valeurs approchées. C'est un théorème transversal, présent dans la plupart des exercices d'analyse.

Que signifie « fonction continue et strictement monotone » ?

Une fonction est continue et strictement monotone sur un intervalle $I$ si elle est continue sur $I$ et si elle est soit strictement croissante, soit strictement décroissante sur $I$. Cette double condition garantit que $f$ réalise une bijection de $I$ sur $f(I)$, ce qui permet de définir la fonction réciproque.

Comment expliquer la méthode de dichotomie simplement ?

On part d'un intervalle $[a,b]$ sur lequel $f$ change de signe. On calcule $f$ au milieu $m$. Si $f(m)$ a le même signe que $f(a)$, on remplace $a$ par $m$ ; sinon, on remplace $b$ par $m$. À chaque étape, l'intervalle est divisé par deux, et au bout de $n$ étapes, l'intervalle a une longueur $(b-a)/2^n$. On arrête lorsqu'on atteint la précision souhaitée.

Quelle est la différence entre racine carrée et racine n-ième ?

La racine carrée est le cas particulier $n = 2$. La racine n-ième généralise ce concept à tout entier $n \geq 1$ : $\sqrt[n]{x}$ est l'unique réel $y \geq 0$ tel que $y^n = x$. Les propriétés algébriques (produit, quotient, puissance) sont les mêmes pour tout $n$, mais les équations $x^n = a$ n'ont pas le même nombre de solutions selon la parité de $n$.

Résumé final

Ce chapitre est le socle de toute l'analyse de terminale. La continuité relie la limite d'une fonction à sa valeur au point, et se propage par les opérations usuelles (somme, produit, quotient, composition). Elle se vérifie en un point, à droite, à gauche, puis sur un intervalle entier. Les fonctions usuelles du programme (polynômes, rationnelles, trigonométriques, racine carrée) sont continues sur leur domaine, ce qui te permet de justifier la continuité des fonctions plus complexes sans revenir à la définition à chaque fois.

Le théorème des valeurs intermédiaires est l'outil central du chapitre : il garantit l'existence d'au moins une solution à $f(x) = k$ dès que $f$ est continue et $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$. Ajoutée à la stricte monotonie, la continuité donne l'unicité. C'est aussi ce théorème qui permet de construire la fonction réciproque d'une fonction continue et strictement monotone et de définir les racines n-ièmes. Enfin, la méthode de dichotomie exploite le TVI pour fournir, étape par étape, un encadrement numérique d'une solution avec la précision voulue.

Les exercices d'examen national portent très souvent sur la détermination de paramètres assurant la continuité aux points de raccord, suivie d'une application du TVI pour prouver l'existence et l'unicité d'une solution, parfois complétée par la construction d'une fonction réciproque. Prends l'habitude de rédiger chaque étape, de vérifier les hypothèses avant d'appliquer un théorème, et de tracer les courbes pour visualiser le comportement des fonctions. C'est cette rigueur qui te permettra de réussir sereinement. Bon courage dans tes révisions.

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Cours de Mathématiques : Limite et continuité — 2e BAC PC & SVT 2025-2026

Niveau	2e année du baccalauréat
Filière	PC (Sciences physiques) et SVT
Matière	Mathématiques
Chapitre	Limite et continuité
Sous-chapitre	Limites à droite et à gauche, continuité en un point, continuité sur un intervalle, prolongement par continuité, opérations, composition, image d'un intervalle, TVI, fonctions réciproques, racine n-ième, puissance rationnelle
Programme	Programme officiel marocain — 2025-2026
Durée indicative d'étude	8 heures
Dernière mise à jour	24 octobre 2026

Le chapitre « Limite et continuité » constitue le socle de toute l'analyse de la deuxième année du baccalauréat. Il prolonge les rappels sur les limites vus en début d'année et introduit la notion de continuité, qui permet de relier la limite d'une fonction à sa valeur en un point. Ce chapitre ne se limite pas à des calculs : il fournit les théorèmes fondamentaux (théorème des valeurs intermédiaires, théorème des fonctions réciproques) qui te permettront de démontrer rigoureusement l'existence et l'unicité de solutions à des équations, sans avoir à les résoudre explicitement. Tu y découvriras aussi le prolongement par continuité, les racines n-ièmes et les puissances rationnelles, qui généralisent les notions de racine carrée et de puissance entière.

À l'examen national, ce chapitre est l'un des plus réguliers. Il apparaît presque systématiquement dans le premier exercice, sous la forme d'une étude de continuité d'une fonction définie par morceaux avec un ou deux paramètres à déterminer, ou d'une étude de limite à droite et à gauche aux points de raccord. Il revient également dans le problème final, sous la forme d'une application du théorème des valeurs intermédiaires (existence et unicité d'une racine), parfois complétée par la construction d'une fonction réciproque et le calcul de sa dérivée. La maîtrise de ce chapitre est indispensable pour aborder sereinement les chapitres suivants : dérivation, étude de fonctions, fonctions logarithmes et exponentielles, primitives et calcul intégral.

Tu vas trouver dans ce cours les rappels complets sur les limites (opérations, formes indéterminées), les définitions et théorèmes du programme officiel, les propriétés sur les opérations et la composition, la méthode de détermination de l'image d'un intervalle, l'énoncé et les corollaires du TVI, la construction de la fonction réciproque et les règles de calcul sur les racines n-ièmes et les puissances rationnelles. S'y ajoutent des exercices intégralement corrigés inspirés des examens nationaux, une fiche de révision express, un quiz d'autoévaluation et un bouton d'impression propre pour réviser sur papier, sans publicité, avec toutes les solutions visibles.

Table des matières

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Prérequis

Ce chapitre s'appuie sur plusieurs acquis que tu dois maîtriser avant de commencer. Prends le temps de vérifier chacun de ces points.

Calcul des limites d'une fonction en un point, à droite, à gauche, en $+\infty$ et en $-\infty$.
Formes indéterminées classiques : $\frac{0}{0}$, $\frac{\infty}{\infty}$, $\infty - \infty$, $0 \times \infty$.
Techniques de levée d'indétermination : factorisation du terme dominant, multiplication par la quantité conjuguée, simplification algébrique.
Limites usuelles : $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$, $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$, $\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$.
Dérivation : formules usuelles, règles de calcul (somme, produit, quotient, composée).
Signe de la dérivée et sens de variation d'une fonction.
Domaines de définition des fonctions usuelles (polynômes, rationnelles, trigonométriques, racine carrée).
Résolution d'équations et d'inéquations simples du premier et du second degré.

Objectifs pédagogiques

À l'issue de ce chapitre, tu seras capable de :

Calculer une limite en utilisant les règles opératoires et en levant les formes indéterminées.
Déterminer une limite à droite et à gauche d'un point.
Étudier la continuité d'une fonction en un point à l'aide de la définition $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$.
Étudier la continuité à droite et à gauche et en déduire la continuité au point.
Déterminer les paramètres réels pour assurer la continuité d'une fonction définie par morceaux aux points de raccord.
Prolonger par continuité une fonction en un point où elle n'est pas définie mais où la limite existe et est finie.
Utiliser les opérations (somme, produit, quotient, valeur absolue, composition) pour justifier la continuité d'une fonction construite à partir de fonctions usuelles.
Déterminer l'image d'un segment ou d'un intervalle par une fonction continue, puis par une fonction continue et strictement monotone.
Appliquer le théorème des valeurs intermédiaires et ses corollaires pour prouver l'existence et l'unicité de solutions.
Déterminer la fonction réciproque d'une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle.
Manipuler les racines n-ièmes et les puissances rationnelles avec les règles de calcul adaptées.

Le cours complet

1. Rappels sur les limites

Limites usuelles

Pour $P$ et $Q$ deux polynômes, $x_0 \in \mathbb{R}$ et $a \in \mathbb{R}^*$ :

$$\lim_{x \to x_0} P(x) = P(x_0) \quad ; \quad \lim_{x \to x_0} \frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{P(x_0)}{Q(x_0)} \text{ si } Q(x_0) \neq 0$$ $$\lim_{x \to x_0} \sin x = \sin x_0 \quad ; \quad \lim_{x \to x_0} \cos x = \cos x_0 \quad ; \quad \lim_{x \to x_0} \sqrt{x} = \sqrt{x_0} \text{ si } x_0 \geq 0$$

On retient également les limites trigonométriques fondamentales, indispensables dans les exercices :

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \quad ; \quad \lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1 \quad ; \quad \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$$

Opérations sur les limites

Les règles sur la limite d'une somme, d'un produit, d'un quotient et d'un inverse se résument dans les tableaux du programme. Le point crucial est de reconnaître les formes indéterminées, qui sont au nombre de quatre : $\infty - \infty$, $0 \times \infty$, $\frac{0}{0}$ et $\frac{\infty}{\infty}$. Dans ces cas, aucune conclusion immédiate n'est possible, il faut transformer l'expression.

Techniques de levée d'indétermination

Factorisation du terme dominant pour les limites en $\pm\infty$ : on met en facteur la plus haute puissance de $x$ au numérateur et au dénominateur.
Quantité conjuguée pour les expressions avec racines carrées : on multiplie par l'expression conjuguée.
Simplification algébrique pour les quotients qui s'annulent au point considéré : on factorise numérateur et dénominateur, puis on simplifie.
Changement de variable pour se ramener à une limite connue.
Limites trigonométriques usuelles pour les expressions avec $\sin$, $\cos$, $\tan$.

2. Limite à droite et limite à gauche

Définitions

Soit $f$ une fonction définie au voisinage de $x_0$. La limite à droite de $f$ en $x_0$, notée $\lim_{x \to x_0^+} f(x)$, est la limite obtenue lorsque $x$ tend vers $x_0$ avec $x \gt x_0$. La limite à gauche, notée $\lim_{x \to x_0^-} f(x)$, est la limite obtenue lorsque $x$ tend vers $x_0$ avec $x \lt x_0$.

Exemple

Soit $f$ définie par $f(x) = \dfrac{(x+1)^2}{|x^2-1|}$ pour $x \neq \pm 1$. Étudions la limite en $x_0 = -1$.

Pour $-1 \lt x \lt 1$ : $x+1 \gt 0$ et $x^2-1 \lt 0$, donc $|x^2-1| = -(x^2-1) = (1-x)(1+x) = -(x-1)(x+1)$. On obtient :

$$f(x) = \frac{(x+1)^2}{-(x+1)(x-1)} = \frac{x+1}{-(x-1)} = \frac{x+1}{1-x}$$

Pour $x \lt -1$ : $x+1 \lt 0$ et $x^2-1 \gt 0$, donc $|x^2-1| = (x-1)(x+1)$ et $f(x) = \dfrac{x+1}{x-1}$.

On a donc :

$$\lim_{x \to -1^+} f(x) = \lim_{x \to -1^+} \frac{x+1}{1-x} = 0 \quad ; \quad \lim_{x \to -1^-} f(x) = \lim_{x \to -1^-} \frac{x+1}{x-1} = 0$$

Les deux limites sont égales et finies, donc $\lim_{x \to -1} f(x) = 0$.

3. Continuité en un point

Définition

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle ouvert contenant $x_0$. On dit que $f$ est continue au point $x_0$ si :

$$\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$$

Exemple

Soit $f$ définie par $f(x) = \dfrac{x^2-6x+5}{x-1}$ pour $x \neq 1$ et $f(1) = -4$. On factorise le numérateur : $x^2-6x+5 = (x-1)(x-5)$, donc pour $x \neq 1$, $f(x) = x-5$. Donc :

$$\lim_{x \to 1} f(x) = 1 - 5 = -4 = f(1)$$

Conclusion : $f$ est continue en $1$.

4. Continuité à droite et à gauche

Définitions

Soit $f$ définie sur un intervalle de la forme $[a, a+r[$ avec $r \gt 0$. On dit que $f$ est continue à droite de $a$ si $\lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)$. De même, si $f$ est définie sur $]a-r, a]$, on dit qu'elle est continue à gauche de $a$ si $\lim_{x \to a^-} f(x) = f(a)$.

Théorème d'équivalence

Une fonction $f$ est continue en $a$ si et seulement si elle est continue à droite et à gauche de $a$ :

$$f \text{ continue en } a \iff \lim_{x \to a^+} f(x) = \lim_{x \to a^-} f(x) = f(a)$$

Exemple

Soit $f$ définie par $f(x) = \dfrac{2x+1}{7-3x}$ si $x \leq 2$ et $f(x) = \dfrac{x^2+x-6}{x-2}$ si $x \gt 2$. Étudions la continuité en $2$.

$f(2) = \dfrac{5}{7-6} = 5$. La limite à gauche vaut $\lim_{x \to 2^-} \dfrac{2x+1}{7-3x} = 5$. La limite à droite vaut, après factorisation du numérateur : $\dfrac{x^2+x-6}{x-2} = \dfrac{(x-2)(x+3)}{x-2} = x+3$, donc $\lim_{x \to 2^+} f(x) = 5$. Les trois quantités sont égales, donc $f$ est continue en $2$.

5. Continuité sur un intervalle

$f$ est continue sur un intervalle ouvert $I$ si elle est continue en chaque point de $I$.
$f$ est continue sur $[a,b[$ si elle est continue sur $]a,b[$ et continue à droite de $a$.
$f$ est continue sur $]a,b]$ si elle est continue sur $]a,b[$ et continue à gauche de $b$.
$f$ est continue sur $[a,b]$ si elle est continue sur $]a,b[$, continue à droite de $a$ et continue à gauche de $b$.

Si $f$ est continue sur $[a,b]$ et sur $[b,c]$, alors $f$ est continue sur $[a,c]$. En revanche, la réciproque est fausse : une fonction peut être continue sur $[a,b[$ et sur $[b,c]$ sans être continue en $b$ (il suffit qu'elle présente un saut en $b$).

6. Prolongement par continuité

Définition

Soit $f$ une fonction définie sur $D_f$, et $a \notin D_f$ tel que $\lim_{x \to a} f(x) = \ell$ (finie). La fonction $\tilde{f}$ définie par $\tilde{f}(x) = f(x)$ pour $x \neq a$ et $\tilde{f}(a) = \ell$ est continue en $a$. On dit que $\tilde{f}$ est le prolongement par continuité de $f$ en $a$.

Exemple

Soit $f(x) = \dfrac{x^3+1}{x^2+3x+2}$ pour $x \neq -1$ et $x \neq -2$. On factorise : $x^3+1 = (x+1)(x^2-x+1)$ et $x^2+3x+2 = (x+1)(x+2)$. Donc pour $x \neq -1, -2$ :

$$f(x) = \frac{x^2-x+1}{x+2}$$

La limite en $-1$ vaut $\lim_{x \to -1} f(x) = \dfrac{1+1+1}{1} = 3$. La fonction $f$ n'est pas définie en $-1$, mais elle admet un prolongement par continuité en posant $\tilde{f}(-1) = 3$. En revanche, en $-2$, le dénominateur s'annule et le numérateur vaut $4+2+1 = 7 \neq 0$, donc la limite est infinie : on ne peut pas prolonger par continuité en $-2$.

7. Opérations sur les fonctions continues

Si $f$ et $g$ sont continues en $a$, alors $f+g$, $f \times g$ et $|f|$ sont continues en $a$. Si de plus $g(a) \neq 0$, alors $\dfrac{1}{g}$ et $\dfrac{f}{g}$ sont continues en $a$. Si $f$ est continue en $a$ et $f(a) \geq 0$, alors $\sqrt{f}$ est continue en $a$. Ces propriétés s'étendent aux intervalles : si $f$ et $g$ sont continues sur $I$, alors $f+g$, $f \times g$ et $|f|$ sont continues sur $I$.

Continuité des fonctions usuelles

Toute fonction polynôme est continue sur $\mathbb{R}$.
Toute fonction rationnelle est continue sur chaque intervalle de son domaine de définition.
Les fonctions $\sin$ et $\cos$ sont continues sur $\mathbb{R}$.
La fonction $\tan$ est continue sur tout intervalle de la forme $\left]-\dfrac{\pi}{2}+k\pi, \dfrac{\pi}{2}+k\pi\right[$ avec $k \in \mathbb{Z}$.
La fonction $\sqrt{}$ est continue sur $[0, +\infty[$.

Exemples

La fonction $h(x) = \sqrt{x^2+x+3}$ est continue sur $\mathbb{R}$, car $x^2+x+3$ est un polynôme continu sur $\mathbb{R}$ et $x^2+x+3 \geq 0$ pour tout $x$ (discriminant négatif). La fonction $g(x) = \dfrac{x^4+x^3-6}{x^2+2x-3}$ est continue sur $]-\infty,-3[$, sur $]-3,1[$ et sur $]1,+\infty[$, car le dénominateur s'annule en $-3$ et en $1$.

8. Continuité de la composée et limite de $v \circ u$

Théorème de composition

Soient $f$ définie sur un intervalle $I$ et $g$ définie sur un intervalle $J$ avec $f(I) \subset J$, et $x_0 \in I$ :

si $f$ est continue en $x_0$ et $g$ continue en $f(x_0)$, alors $g \circ f$ est continue en $x_0$ ;
si $f$ est continue sur $I$ et $g$ continue sur $f(I)$, alors $g \circ f$ est continue sur $I$.

Limite de $v \circ u$

Soit $u$ une fonction définie sur un intervalle pointé de centre $x_0$ telle que $\lim_{x \to x_0} u(x) = \ell$. Si $v$ est continue en $\ell$, alors :

$$\lim_{x \to x_0} (v \circ u)(x) = v(\ell)$$

Exemples

La fonction $f(x) = \cos(2x^2-3x+4)$ est continue sur $\mathbb{R}$ comme composée de $x \mapsto 2x^2-3x+4$ (continue sur $\mathbb{R}$) et de $\cos$ (continue sur $\mathbb{R}$). La fonction $g(x) = \sqrt{\dfrac{x}{1+\sin^2 x}}$ est continue sur $[0, +\infty[$ comme composée de $x \mapsto \dfrac{x}{1+\sin^2 x}$ (continue et positive sur $[0,+\infty[$) et de $\sqrt{}$ (continue sur $[0,+\infty[$).

La fonction $f(x) = \sin\left(\dfrac{1}{x^2+1}\right)$ est continue sur $\mathbb{R}$ : en effet $x \mapsto x^2+1$ est continue et ne s'annule pas sur $\mathbb{R}$, donc $x \mapsto \dfrac{1}{x^2+1}$ est continue sur $\mathbb{R}$, et $\sin$ est continue sur $\mathbb{R}$.

9. Image d'un intervalle par une fonction continue

Théorème

$$f([a,b]) = \left[\min_{x \in [a,b]} f(x), \max_{x \in [a,b]} f(x)\right]$$

Cas d'une fonction strictement monotone

Lorsque $f$ est continue et strictement monotone sur un intervalle, l'image se calcule à l'aide des bornes et des limites aux bornes.

Fonction strictement croissante :

$f([a,b]) = [f(a), f(b)]$
$f([a,b[) = [f(a), \lim_{x \to b^-} f(x)[$
$f(]a,b]) = \left]\lim_{x \to a^+} f(x), f(b)\right]$
$f(]a,b[) = \left]\lim_{x \to a^+} f(x), \lim_{x \to b^-} f(x)\right[$
$f([a,+\infty[) = [f(a), \lim_{x \to +\infty} f(x)[$
$f(\mathbb{R}) = \left]\lim_{x \to -\infty} f(x), \lim_{x \to +\infty} f(x)\right[$

Fonction strictement décroissante : il suffit d'inverser les bornes.

$f([a,b]) = [f(b), f(a)]$
$f([a,b[) = \left]\lim_{x \to b^-} f(x), f(a)\right]$
$f(]a,b]) = [f(b), \lim_{x \to a^+} f(x)[$
$f(]a,b[) = \left]\lim_{x \to b^-} f(x), \lim_{x \to a^+} f(x)\right[$
$f([a,+\infty[) = \left]\lim_{x \to +\infty} f(x), f(a)\right]$
$f(\mathbb{R}) = \left]\lim_{x \to +\infty} f(x), \lim_{x \to -\infty} f(x)\right[$

Exemple

Soit $f(x) = \dfrac{2x-3}{x+1}$, définie sur $\mathbb{R} \setminus \{-1\}$. On calcule $f'(x) = \dfrac{5}{(x+1)^2} \gt 0$, donc $f$ est strictement croissante sur $]-\infty,-1[$ et sur $]-1,+\infty[$. On a :

$$f([0,1]) = [f(0), f(1)] = [-3, -1] \quad ; \quad f([2,+\infty[) = \left[f(2), \lim_{x \to +\infty} f(x)\right[ = \left[1, 2\right[$$

10. Théorème des valeurs intermédiaires

Énoncé général

Soit $f$ une fonction définie et continue sur un intervalle $I$, et $a, b \in I$ avec $a \lt b$. Pour tout réel $\lambda$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe au moins un réel $c \in [a,b]$ tel que :

$$f(c) = \lambda$$

Corollaire (cas strictement monotone)

Si $f$ est continue et strictement monotone sur $[a,b]$, alors pour tout $\lambda$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, l'équation $f(x) = \lambda$ admet une unique solution dans $[a,b]$.

Corollaire (recherche de zéros)

Si $f$ est continue sur $[a,b]$ et si $f(a) \cdot f(b) \lt 0$, alors il existe au moins un $c \in ]a,b[$ tel que $f(c) = 0$. Si de plus $f$ est strictement monotone sur $[a,b]$, ce $c$ est unique.

Exemple

Montrons que l'équation $\cos x = x$ admet une solution dans $[0,\pi]$. Posons $f(x) = \cos x - x$. $f$ est continue sur $\mathbb{R}$. $f(0) = 1 \gt 0$ et $f(\pi) = -1 - \pi \lt 0$, donc $f(0) \cdot f(\pi) \lt 0$. Par le TVI, il existe $c \in ]0,\pi[$ tel que $f(c) = 0$, c'est-à-dire $\cos c = c$.

11. Fonctions réciproques

Théorème des fonctions réciproques

Soit $f$ une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle $I$. Alors $f(I)$ est un intervalle $J$ de même nature que $I$, et $f$ réalise une bijection de $I$ sur $J$. Il existe donc une fonction réciproque $f^{-1} : J \to I$ telle que :

$$\begin{cases} y = f(x) \\ x \in I \end{cases} \iff \begin{cases} x = f^{-1}(y) \\ y \in J \end{cases}$$

De plus, pour tout $x \in I$ et tout $y \in J$ :

$$(f^{-1} \circ f)(x) = x \quad \text{et} \quad (f \circ f^{-1})(y) = y$$

Propriétés

$f^{-1}$ est continue sur $J$.
$f^{-1}$ est strictement monotone sur $J$, de même sens de monotonie que $f$.
Les courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_{f^{-1}}$ sont symétriques par rapport à la première bissectrice $(\Delta) : y = x$.
Si $f$ est dérivable en $x_0 \in I$ avec $f'(x_0) \neq 0$, alors $f^{-1}$ est dérivable en $y_0 = f(x_0)$ et :

$$(f^{-1})'(y_0) = \frac{1}{f'(x_0)} = \frac{1}{f'(f^{-1}(y_0))}$$

Exemple

Soit $f(x) = \dfrac{x-3}{x+2}$ définie sur $]-2, +\infty[$. On calcule $f'(x) = \dfrac{5}{(x+2)^2} \gt 0$, donc $f$ est continue et strictement croissante sur $]-2, +\infty[$. Son image est $J = \left]\lim_{x \to -2^+} f(x), \lim_{x \to +\infty} f(x)\right[ = \left]-\infty, 1\right[$.

On résout $y = \dfrac{x-3}{x+2}$ : $y(x+2) = x-3$, soit $xy - x = -3 - 2y$, d'où $x(y-1) = -3-2y$ et $x = \dfrac{2y+3}{1-y}$. Donc :

$$f^{-1}(x) = \frac{2x+3}{1-x} \quad \text{pour } x \in \left]-\infty,1\right[$$

12. La fonction racine n-ième

Définition

$$y = x^n \iff x = \sqrt[n]{y}$$

Propriétés

Pour $a, b \in \mathbb{R}^+$ et $n \in \mathbb{N}^*$ :

$$\sqrt[n]{0} = 0 \quad ; \quad \sqrt[n]{1} = 1 \quad ; \quad \left(\sqrt[n]{a}\right)^n = \sqrt[n]{a^n} = a$$ $$\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} \quad ; \quad \sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} \quad (b \gt 0)$$ $$\sqrt[n]{a} = \sqrt[n]{b} \iff a = b \quad ; \quad \sqrt[n]{a} \geq m \iff a \geq m^n \quad ; \quad \sqrt[n]{a} \leq m \iff 0 \leq a \leq m^n$$

Équation $x^n = a$

Si $n$ est pair et $a \geq 0$ : $S = \{\sqrt[n]{a}, -\sqrt[n]{a}\}$.
Si $n$ est pair et $a \lt 0$ : $S = \varnothing$.
Si $n$ est impair et $a \geq 0$ : $S = \{\sqrt[n]{a}\}$.
Si $n$ est impair et $a \lt 0$ : $S = \{-\sqrt[n]{-a}\}$.

Limites

$$\lim_{x \to +\infty} \sqrt[n]{x} = +\infty$$

Si $\lim_{x \to x_0} u(x) = +\infty$, alors $\lim_{x \to x_0} \sqrt[n]{u(x)} = +\infty$. Si $\lim_{x \to x_0} u(x) = \ell \geq 0$, alors $\lim_{x \to x_0} \sqrt[n]{u(x)} = \sqrt[n]{\ell}$.

13. Puissance rationnelle

Définition

$$x^r = x^{p/q} = \sqrt[q]{x^p} = \left(\sqrt[q]{x}\right)^p$$

Par exemple $2^{3/4} = \sqrt[4]{2^3} = \sqrt[4]{8}$, et $2^{-2/7} = \sqrt[7]{2^{-2}} = \sqrt[7]{\dfrac{1}{4}}$.

Propriétés

Pour $x, y \in \mathbb{R}^+$ et $r, r' \in \mathbb{Q}$ :

$$x^{r+r'} = x^r \cdot x^{r'} \quad ; \quad (x^r)^{r'} = x^{r \cdot r'} \quad ; \quad x^{-r} = \frac{1}{x^r} \quad (x \gt 0)$$ $$x^{r-r'} = \frac{x^r}{x^{r'}} \quad (x \gt 0) \quad ; \quad (xy)^r = x^r y^r \quad ; \quad \left(\frac{x}{y}\right)^r = \frac{x^r}{y^r} \quad (y \gt 0)$$

Méthodes et exemples corrigés

Méthode 1 — Lever une forme indéterminée

Étapes :

Identifier la forme indéterminée ($\frac{0}{0}$, $\frac{\infty}{\infty}$, $\infty - \infty$, $0 \times \infty$).
Choisir la technique adaptée : factorisation du terme dominant, quantité conjuguée, simplification algébrique, changement de variable.
Transformer l'expression, puis recalculer la limite.

Exemple. Calculer $\lim_{x \to +\infty} \sqrt{x^2+x} - x$. On a une forme $\infty - \infty$. On multiplie par la quantité conjuguée :

$$\sqrt{x^2+x} - x = \frac{(\sqrt{x^2+x} - x)(\sqrt{x^2+x} + x)}{\sqrt{x^2+x} + x} = \frac{x}{\sqrt{x^2+x} + x}$$

Comme $x \gt 0$, $\sqrt{x^2+x} = x\sqrt{1 + \frac{1}{x}}$. Donc :

$$\frac{x}{x\sqrt{1+\frac{1}{x}} + x} = \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x}} + 1} \xrightarrow{x \to +\infty} \frac{1}{2}$$

Méthode 2 — Étudier la continuité en un point

Étapes :

Vérifier que $x_0 \in D_f$ et calculer $f(x_0)$.
Calculer $\lim_{x \to x_0} f(x)$ (factorisation, quantité conjuguée, simplification).
Comparer les deux valeurs. Égalité : continue en $x_0$. Sinon : discontinue en $x_0$.

Exemple. Soit $f(x) = \dfrac{\sqrt{x+1}-1}{\tan x}$ pour $x \neq 0$ et $f(0) = \dfrac{1}{2}$. Étudions la continuité en $0$.

On multiplie par la quantité conjuguée :

$$\frac{\sqrt{x+1}-1}{\tan x} = \frac{x}{\tan x} \cdot \frac{1}{\sqrt{x+1}+1}$$

Or $\lim_{x \to 0} \dfrac{x}{\tan x} = 1$ et $\lim_{x \to 0} \dfrac{1}{\sqrt{x+1}+1} = \dfrac{1}{2}$. Donc $\lim_{x \to 0} f(x) = \dfrac{1}{2} = f(0)$ : $f$ est continue en $0$.

Méthode 3 — Déterminer un paramètre pour la continuité

Étapes :

Calculer $f(x_0)$, la limite à gauche et la limite à droite en fonction du paramètre.
Imposer l'égalité des trois quantités.
Résoudre l'équation obtenue.

Exemple. Soit $f$ définie par $f(x) = \dfrac{\sin(\pi x)}{x-1}$ pour $x \neq 1$ et $f(1) = m$. Déterminer $m$ pour que $f$ soit continue en $1$.

On pose $h = x-1$, donc $x \to 1 \iff h \to 0$. Alors :

$$\frac{\sin(\pi x)}{x-1} = \frac{\sin(\pi(h+1))}{h} = \frac{\sin(\pi h + \pi)}{h} = \frac{-\sin(\pi h)}{h} \xrightarrow{h \to 0} -\pi$$

Donc $f$ est continue en $1$ si et seulement si $m = -\pi$.

Méthode 4 — Appliquer le TVI et prouver l'unicité

Étapes :

Justifier la continuité sur $[a,b]$.
Calculer $f(a)$ et $f(b)$ et vérifier $f(a) \cdot f(b) \lt 0$.
Conclure à l'existence par le TVI.
Étudier la stricte monotonie (signe de la dérivée) pour l'unicité.

Exemple. Montrer que $x^3 + x + 1 = 0$ admet une racine unique dans $]-1,0[$.

Posons $f(x) = x^3 + x + 1$. $f$ est polynômiale, donc continue sur $[-1,0]$. $f(-1) = -1 \lt 0$ et $f(0) = 1 \gt 0$, donc $f(-1) \cdot f(0) \lt 0$. Par le TVI, il existe $c \in ]-1,0[$ tel que $f(c) = 0$. De plus $f'(x) = 3x^2+1 \gt 0$ sur $\mathbb{R}$, donc $f$ est strictement croissante : $c$ est unique.

Erreurs fréquentes et pièges

Piège 1 — Confondre limite et continuité. Une fonction peut avoir une limite finie en $x_0$ sans être continue en $x_0$ (par exemple, si la valeur en $x_0$ est différente de la limite). La continuité exige l'égalité $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$.

Piège 2 — Oublier une limite latérale. Pour une fonction définie par morceaux, calculer une seule limite latérale ne suffit pas. Il faut les deux, et les comparer à $f(x_0)$.

Piège 3 — Utiliser le TVI sans hypothèses. Le TVI exige la continuité sur $[a,b]$ et que $\lambda$ soit compris entre $f(a)$ et $f(b)$. L'unicité exige de plus la stricte monotonie. Ne conclus jamais à l'unicité sans avoir prouvé la stricte monotonie.

Piège 4 — Mal déterminer l'image d'un intervalle. Les formules dépendent du sens de variation. Pour une fonction strictement décroissante, $f([a,b]) = [f(b), f(a)]$ et non $[f(a), f(b)]$.

Piège 6 — Erreurs avec les racines n-ièmes. $\sqrt[n]{a+b} \neq \sqrt[n]{a} + \sqrt[n]{b}$. De plus, $\sqrt[n]{x^n} = |x|$ si $n$ est pair, et $= x$ si $n$ est impair.

Exercices et examens nationaux

Exercice	Type	Année / Session	Niveau
Exercice 1 — Limites avec forme indéterminée	Application directe	—	Facile
Exercice 2 — Limite à droite et à gauche	Application directe	—	Moyen
Exercice 3 — Continuité en un point	Application directe	Examen national	Facile
Exercice 4 — Paramètre $m$	Détermination de paramètre	Examen national	Moyen
Exercice 5 — Prolongement par continuité	Application directe	—	Moyen
Exercice 6 — TVI et unicité	Théorème des valeurs intermédiaires	Examen national	Moyen
Exercice 7 — Fonction réciproque	Étude complète	Examen national	Moyen
Exercice 8 — Racines n-ièmes	Équations	—	Facile

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Exercice 1 — Limites avec forme indéterminée

Énoncé. Calculer les limites suivantes :

$$\lim_{x \to +\infty} \frac{2x+5x^2-7x^4}{x-10x^2+14x^3} \quad ; \quad \lim_{x \to -\infty} \frac{3x+8x^2-2x^5}{x^2+2x^6} \quad ; \quad \lim_{x \to +\infty} \sqrt{x^2+x} - x$$

Voir la correction

Première limite. On factorise par le terme dominant au numérateur ($-7x^4$) et au dénominateur ($14x^3$) :

$\dfrac{2x+5x^2-7x^4}{x-10x^2+14x^3} = \dfrac{-7x^4\left(1 - \frac{5}{7x^2} - \frac{2}{7x^3}\right)}{14x^3\left(1 - \frac{10}{14x} + \frac{1}{14x^2}\right)} \sim -\dfrac{x}{2}$.

Quand $x \to +\infty$, on obtient $-\infty$.

Deuxième limite. On factorise par $-2x^5$ au numérateur et $2x^6$ au dénominateur :

$\dfrac{3x+8x^2-2x^5}{x^2+2x^6} \sim \dfrac{-2x^5}{2x^6} = -\dfrac{1}{x}$.

Quand $x \to -\infty$, on obtient $0$.

Troisième limite. On multiplie par la quantité conjuguée :

$\sqrt{x^2+x} - x = \dfrac{x}{\sqrt{x^2+x}+x} = \dfrac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x}}+1} \xrightarrow{x \to +\infty} \dfrac{1}{2}$.

Exercice 2 — Limite à droite et à gauche

Énoncé. Soit $f$ définie par $f(x) = \dfrac{(x+1)^2}{|x^2-1|}$ pour $x \neq \pm 1$. Étudier la limite de $f$ en $x_0 = -1$.

Voir la correction

Pour $x \in ]-1, 1[$ : $x+1 \gt 0$ et $x^2-1 \lt 0$, donc $|x^2-1| = -(x^2-1)$. Donc $f(x) = \dfrac{(x+1)^2}{-(x+1)(x-1)} = \dfrac{x+1}{1-x}$.

Pour $x \lt -1$ : $x+1 \lt 0$ et $x^2-1 \gt 0$, donc $|x^2-1| = x^2-1 = (x-1)(x+1)$. Donc $f(x) = \dfrac{x+1}{x-1}$.

On a donc :

$\lim_{x \to -1^+} f(x) = \lim_{x \to -1^+} \dfrac{x+1}{1-x} = 0$ et $\lim_{x \to -1^-} f(x) = \lim_{x \to -1^-} \dfrac{x+1}{x-1} = 0$.

Les deux limites sont égales, donc $\lim_{x \to -1} f(x) = 0$.

Exercice 3 — Continuité en un point

Énoncé. Soit $f$ définie par $f(x) = \dfrac{x^2-6x+5}{x-1}$ pour $x \neq 1$ et $f(1) = -4$. Étudier la continuité de $f$ en $1$.

Voir la correction

On factorise le numérateur : $x^2-6x+5 = (x-1)(x-5)$. Donc pour $x \neq 1$, $f(x) = x-5$.

On en déduit $\lim_{x \to 1} f(x) = 1-5 = -4 = f(1)$.

Conclusion : $f$ est continue en $1$.

Exercice 4 — Paramètre $m$

Énoncé. Soit $f$ définie par $f(x) = \dfrac{\sin(\pi x)}{x-1}$ pour $x \neq 1$ et $f(1) = m$. Déterminer $m$ pour que $f$ soit continue en $x_0 = 1$.

Voir la correction

On pose $h = x-1$, donc $x \to 1 \iff h \to 0$. Alors :

$\dfrac{\sin(\pi x)}{x-1} = \dfrac{\sin(\pi(h+1))}{h} = \dfrac{\sin(\pi h + \pi)}{h} = \dfrac{-\sin(\pi h)}{h} \to -\pi$.

Pour la continuité en $1$, on doit donc avoir $m = -\pi$.

Exercice 5 — Prolongement par continuité

Énoncé. Soit $f(x) = \dfrac{x^3+1}{x^2+3x+2}$. Déterminer le domaine de définition de $f$, puis étudier si $f$ admet un prolongement par continuité en $-1$ et en $-2$.

Voir la correction

Le dénominateur s'annule pour $x^2+3x+2 = 0$, soit $(x+1)(x+2) = 0$, donc $x = -1$ ou $x = -2$. D'où $D_f = \mathbb{R} \setminus \{-1, -2\}$.

On factorise le numérateur : $x^3+1 = (x+1)(x^2-x+1)$. Donc pour $x \neq -1, -2$ :

$f(x) = \dfrac{(x+1)(x^2-x+1)}{(x+1)(x+2)} = \dfrac{x^2-x+1}{x+2}$.

En $-1$ : $\lim_{x \to -1} f(x) = \dfrac{1+1+1}{-1+2} = 3$. Cette limite est finie, donc $f$ admet un prolongement par continuité en $-1$ en posant $f(-1) = 3$.

En $-2$ : le numérateur tend vers $4+2+1 = 7 \neq 0$ et le dénominateur tend vers $0$, donc la limite est infinie. $f$ n'admet pas de prolongement par continuité en $-2$.

Exercice 6 — TVI et unicité

Énoncé. Montrer que l'équation $x^3 + x + 1 = 0$ admet une solution unique dans $]-1, 0[$.

Voir la correction

Posons $f(x) = x^3 + x + 1$. La fonction $f$ est polynômiale, donc continue sur $[-1,0]$.

On a $f(-1) = -1$ et $f(0) = 1$, donc $f(-1) \cdot f(0) \lt 0$. Par le TVI, il existe au moins un $c \in ]-1,0[$ tel que $f(c) = 0$.

De plus, $f'(x) = 3x^2+1 \gt 0$ sur $\mathbb{R}$, donc $f$ est strictement croissante sur $[-1,0]$. Par conséquent, $c$ est unique.

Conclusion : l'équation $x^3+x+1 = 0$ admet une solution unique dans $]-1,0[$.

Exercice 7 — Fonction réciproque

Énoncé. Soit $f$ définie sur $I = \left[\dfrac{1}{2}, +\infty\right[$ par $f(x) = \sqrt{2x-1}$. Montrer que $f$ admet une fonction réciproque $f^{-1}$ définie sur un intervalle $J$ à déterminer, puis déterminer $f^{-1}(x)$.

Voir la correction

Continuité et monotonie. $f$ est composée de $x \mapsto 2x-1$ (continue et strictement croissante sur $I$) et de $\sqrt{}$ (continue sur $[0, +\infty[$). Donc $f$ est continue sur $I$. Sa dérivée vaut $f'(x) = \dfrac{1}{\sqrt{2x-1}} \gt 0$ pour $x \gt 1/2$, donc $f$ est strictement croissante sur $I$.

Détermination de $J$. $J = f(I) = \left[f\left(\dfrac{1}{2}\right), \lim_{x \to +\infty} f(x)\right[ = [0, +\infty[$.

Détermination de $f^{-1}$. Pour $y \in [0, +\infty[$, on résout $\sqrt{2x-1} = y$, soit $2x-1 = y^2$, donc $x = \dfrac{y^2+1}{2}$. En échangeant les lettres :

$f^{-1}(x) = \dfrac{x^2+1}{2}$ pour $x \in [0, +\infty[$.

Exercice 8 — Racines n-ièmes

Énoncé. Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations $x^4 = 16$ et $(x-1)^3 = -27$.

Voir la correction

Équation $x^4 = 16$. $n = 4$ est pair et $16 \gt 0$. On a $x = \sqrt[4]{16} = 2$ ou $x = -\sqrt[4]{16} = -2$. Donc $S = \{-2, 2\}$.

Équation $(x-1)^3 = -27$. $n = 3$ est impair et $-27 \lt 0$. On a $x - 1 = -\sqrt[3]{27} = -3$, donc $x = -2$. Conclusion : $S = \{-2\}$.

Fiche de révision express

Notion	Formule / Propriété
Continuité en $x_0$	$\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$
Continuité à droite / gauche	$\lim_{x \to x_0^+} f(x) = f(x_0)$ / $\lim_{x \to x_0^-} f(x) = f(x_0)$
Équivalence	$f$ cont en $x_0$ $\iff$ cont à droite et à gauche
Limites trigo.	$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ ; $\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$
Fonctions usuelles	Polynômes : $\mathbb{R}$ ; Rationnelles : $D_f$ ; $\sin, \cos$ : $\mathbb{R}$ ; $\tan$ : $]-\pi/2+k\pi, \pi/2+k\pi[$ ; $\sqrt{}$ : $[0,+\infty[$
Opérations	$f, g$ cont en $a$ $\Rightarrow$ $f+g, f \times g, \|f\|$ cont en $a$ ; si $g(a) \neq 0$, $1/g$ et $f/g$ cont en $a$
Composition	$f$ cont en $x_0$, $g$ cont en $f(x_0)$ $\Rightarrow$ $g \circ f$ cont en $x_0$
Limite composée	$\lim u = \ell$, $v$ cont en $\ell$ $\Rightarrow$ $\lim v(u(x)) = v(\ell)$
Image segment	$f([a,b]) = [\min f, \max f]$
Image strict. croissante	$f([a,b]) = [f(a), f(b)]$
Image strict. décroissante	$f([a,b]) = [f(b), f(a)]$
TVI général	$f$ cont, $k$ entre $f(a)$ et $f(b)$ $\Rightarrow$ $\exists c, f(c)=k$
TVI + strict. monotone	La solution $c$ est unique
Corollaire TVI	$f$ cont sur $[a,b]$, $f(a)f(b) \lt 0$ $\Rightarrow$ $\exists c, f(c)=0$
Prolongement	Si $\lim_{x \to a} f(x) = \ell$ finie, on pose $\tilde{f}(a) = \ell$
Fonction réciproque	$f$ cont et strict. monotone sur $I$ $\Rightarrow$ bijection $I \to f(I)$, $f^{-1}$ cont et même monotonie
Dérivée de $f^{-1}$	$(f^{-1})'(y_0) = 1/f'(x_0)$ si $f'(x_0) \neq 0$
Symétrie	$\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_{f^{-1}}$ symétriques par rapport à $y = x$
Racine n-ième	$\sqrt[n]{a} = a^{1/n}$ ; $\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}$ ; $\sqrt[n]{a/b} = \sqrt[n]{a}/\sqrt[n]{b}$
Puissance rationnelle	$x^{p/q} = \sqrt[q]{x^p} = (\sqrt[q]{x})^p$

Quiz d'autoévaluation

Question 1 — Que signifie « $f$ est continue en $a$ » ?

Cela signifie que $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$. Autrement dit, la limite de $f$ en $a$ existe, est finie, et coïncide avec la valeur de $f$ en $a$. Si l'une de ces conditions manque, $f$ n'est pas continue en $a$.

Question 2 — Le TVI garantit-il l'unicité de la solution ?

Non. Le TVI garantit uniquement l'existence d'au moins une solution. Pour l'unicité, il faut ajouter la stricte monotonie de $f$ sur l'intervalle considéré. C'est le corollaire du TVI en cas de stricte monotonie.

Question 3 — Comment prolonger par continuité une fonction en un point $a$ où elle n'est pas définie ?

On calcule la limite $\lim_{x \to a} f(x)$. Si cette limite est finie, on peut poser $\tilde{f}(a) = \ell$ et la fonction $\tilde{f}$ ainsi obtenue est continue en $a$. Si la limite est infinie ou n'existe pas, on ne peut pas prolonger par continuité.

Question 4 — Quelle est la condition pour que $f$ admette une fonction réciproque sur un intervalle $I$ ?

Il faut que $f$ soit continue et strictement monotone sur $I$. Ces deux conditions assurent que $f$ réalise une bijection de $I$ sur $f(I)$, ce qui permet de définir $f^{-1}$. La stricte monotonie garantit l'unicité de l'antécédent, la continuité garantit que $f(I)$ est un intervalle.

Question 5 — Que vaut $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x}$ ?

Cette limite vaut $1$. C'est une limite trigonométrique fondamentale, à connaître par cœur. Elle permet de lever de nombreuses formes indéterminées dans les exercices, notamment celles du type $\frac{0}{0}$ avec des fonctions trigonométriques.

Questions fréquentes

Quelle est la différence entre limite et continuité ?

La limite décrit le comportement de $f$ au voisinage de $x_0$, sans référence à la valeur en $x_0$. La continuité est plus exigeante : elle exige que la limite existe, soit finie, et soit égale à $f(x_0)$. Une fonction peut avoir une limite finie en $x_0$ sans être continue en $x_0$.

Une fonction continue est-elle nécessairement dérivable ?

Comment déterminer les paramètres pour assurer la continuité aux points de raccord ?

Pourquoi le TVI exige-t-il que la fonction soit continue ?

Sans continuité, une fonction peut sauter d'une valeur à une autre sans jamais prendre les valeurs intermédiaires. Par exemple, la fonction qui vaut $0$ sur $[0,1[$ et $1$ en $1$ n'est pas continue en $1$ et ne prend pas la valeur $1/2$ sur $[0,1]$. La continuité garantit qu'il n'y a pas de « saut ».

Comment construire la fonction réciproque d'une fonction ?

On vérifie que $f$ est continue et strictement monotone sur $I$. On détermine $J = f(I)$ à l'aide des bornes et des limites. On résout $f(x) = y$ en isolant $x$ en fonction de $y$, puis on échange les lettres pour obtenir $f^{-1}(x)$.

Quelle est la différence entre racine n-ième et puissance rationnelle ?

Résumé final

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Cours de Mathématiques : Limites et continuité — Série d'exercices corrigés — 2e BAC PC & SVT 2025-2026

Niveau	2e année du baccalauréat
Filière	PC (Sciences physiques) et SVT
Matière	Mathématiques
Chapitre	Limites et continuité
Sous-chapitre	Série d'exercices corrigés : limites, continuité, TVI, fonctions réciproques, racines n-ièmes
Programme	Programme officiel marocain — 2025-2026
Durée indicative d'étude	4 heures
Dernière mise à jour	24 octobre 2026

Cette série d'exercices corrigés accompagne le cours de « Limites et continuité » de la deuxième année du baccalauréat (PC et SVT). Elle rassemble les exercices les plus représentatifs du chapitre, tels qu'ils apparaissent dans les séries officielles et dans les examens nationaux. Chaque énoncé est suivi d'une correction rédigée étape par étape, avec les justifications exigées au bac : vérification des hypothèses, calculs intermédiaires, conclusion claire. L'objectif est que tu puisses travailler en autonomie, comparer ta rédaction à celle du corrigé et identifier précisément les points où tu perds des points.

Tous les types d'exercices du chapitre sont couverts : limites trigonométriques et calculs avec quantités conjuguées, étude de continuité en un point, détermination d'un paramètre pour assurer la continuité, application du théorème des valeurs intermédiaires (existence et unicité), détermination de fonctions réciproques, simplification d'expressions avec racines n-ièmes, et résolution d'équations du type $\sqrt{x} + \sqrt[3]{x} - 12 = 0$. À l'examen national, ce sont exactement ces exercices qui reviennent, souvent sous forme combinée dans un même problème. Travailler cette série jusqu'à la maîtrise te permettra d'aborder le jour J avec sérénité.

Tu trouveras dans les pages qui suivent un rappel condensé des notions indispensables, des méthodes pas à pas, une liste d'erreurs classiques, puis les exercices corrigés dans leur intégralité, une fiche de révision express, un quiz d'autoévaluation et un bouton d'impression propre pour travailler sur papier, sans publicité, avec toutes les solutions visibles.

Table des matières

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Prérequis

Pour tirer pleinement profit de cette série d'exercices, tu dois maîtriser les notions suivantes. Si l'un de ces points te pose problème, reviens d'abord au cours correspondant avant d'attaquer les exercices.

Calcul des limites en un point, à droite, à gauche, en $+\infty$ et en $-\infty$.
Formes indéterminées classiques : $\frac{0}{0}$, $\frac{\infty}{\infty}$, $\infty - \infty$, $0 \times \infty$.
Techniques de levée d'indétermination : factorisation, quantité conjuguée, simplification algébrique, changement de variable.
Limites trigonométriques usuelles : $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$, $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$, $\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$.
Définition de la continuité en un point : $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$.
Théorème des valeurs intermédiaires et corollaire en cas de stricte monotonie.
Définition de la fonction réciproque et conditions d'existence.
Règles de calcul sur les racines n-ièmes et les puissances rationnelles.

Objectifs pédagogiques

À la fin de cette série, tu seras capable de :

Calculer une limite trigonométrique en utilisant les limites usuelles et les changements de variable adaptés.
Lever une indétermination avec une quantité conjuguée en présence de racines carrées ou cubiques.
Étudier la continuité en un point à l'aide des limites à droite et à gauche.
Déterminer un paramètre réel pour assurer la continuité d'une fonction en un point donné.
Appliquer correctement le théorème des valeurs intermédiaires pour prouver l'existence puis l'unicité d'une solution.
Construire la fonction réciproque d'une fonction continue et strictement monotone et calculer son expression.
Simplifier des expressions algébriques contenant des racines n-ièmes.
Résoudre une équation irrationnelle par changement de variable.
Rédiger proprement une solution en vérifiant les hypothèses et en explicitant la conclusion.

Rappels essentiels du cours

1. Continuité en un point

$f$ est continue en $x_0$ si et seulement si $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$. On distingue la continuité à droite ($\lim_{x \to x_0^+} f(x) = f(x_0)$) et à gauche ($\lim_{x \to x_0^-} f(x) = f(x_0)$). La continuité en $x_0$ équivaut à la continuité à droite et à gauche simultanément.

2. Limites trigonométriques usuelles

Ces trois limites sont indispensables et doivent être connues par cœur :

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \quad ; \quad \lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1 \quad ; \quad \lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$$

Elles se généralisent : pour tout $a \neq 0$, $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(ax)}{ax} = 1$ et $\lim_{x \to 0} \frac{\tan(ax)}{ax} = 1$.

3. Théorème des valeurs intermédiaires

Si $f$ est continue sur $[a,b]$ et si $k$ est compris entre $f(a)$ et $f(b)$, alors il existe au moins un $c \in [a,b]$ tel que $f(c) = k$. Si de plus $f$ est strictement monotone sur $[a,b]$, la solution $c$ est unique.

Corollaire fréquent : si $f$ est continue sur $[a,b]$ et si $f(a) \cdot f(b) \lt 0$, alors il existe au moins un $c \in ]a,b[$ tel que $f(c) = 0$ (existence). Avec la stricte monotonie, ce $c$ est unique.

4. Fonction réciproque

Si $f$ est continue et strictement monotone sur un intervalle $I$, alors $f$ réalise une bijection de $I$ sur $J = f(I)$, et admet une fonction réciproque $f^{-1} : J \to I$ vérifiant :

$$\begin{cases} y = f(x) \\ x \in I \end{cases} \iff \begin{cases} x = f^{-1}(y) \\ y \in J \end{cases}$$

Pour déterminer $f^{-1}$, on résout l'équation $f(y) = x$ d'inconnue $y \in I$, puis on échange les lettres.

5. Racines n-ièmes

Pour $a, b \in \mathbb{R}^+$ et $n \in \mathbb{N}^*$ :

$$\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} \quad ; \quad \sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} \quad (b \gt 0) \quad ; \quad \left(\sqrt[n]{a}\right)^n = a$$

Méthodes et exemples corrigés

Méthode 1 — Lever une indétermination avec une quantité conjuguée

Étapes :

Repérer la présence d'une racine carrée dans une forme $\frac{0}{0}$.
Multiplier numérateur et dénominateur par la quantité conjuguée.
Utiliser l'identité $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ pour faire disparaître la racine au numérateur.
Simplifier et conclure.

Exemple. $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{x+1}-1}{x}$. On multiplie par $\sqrt{x+1}+1$ :

$$\frac{\sqrt{x+1}-1}{x} \cdot \frac{\sqrt{x+1}+1}{\sqrt{x+1}+1} = \frac{(x+1)-1}{x(\sqrt{x+1}+1)} = \frac{1}{\sqrt{x+1}+1} \xrightarrow{x \to 0} \frac{1}{2}$$

Méthode 2 — Utiliser les limites trigonométriques usuelles

Étapes :

Faire apparaître une expression de la forme $\dfrac{\sin(ax)}{ax}$ ou $\dfrac{\tan(ax)}{ax}$.
Utiliser $\lim_{u \to 0} \dfrac{\sin u}{u} = 1$ et $\lim_{u \to 0} \dfrac{\tan u}{u} = 1$.
Faire attention au sens de variation de $u$ quand $x$ varie.

Exemple. $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin(7x)}{5x} = \dfrac{7}{5} \cdot \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin(7x)}{7x} = \dfrac{7}{5}$.

Méthode 3 — Prouver l'existence et l'unicité d'une solution

Étapes :

Justifier la continuité de $f$ sur $[a,b]$ (polynôme, fonction continue usuelle…).
Calculer $f(a)$ et $f(b)$ et vérifier $f(a) \cdot f(b) \lt 0$. Conclure à l'existence par le TVI.
Calculer $f'(x)$ et montrer qu'elle garde un signe constant (strictement positif ou strictement négatif) sur $]a,b[$. Conclure à la stricte monotonie, donc à l'unicité.

Exemple. Voir l'exercice 4 ci-dessous ($x^3+x-1=0$).

Méthode 4 — Déterminer une fonction réciproque

Étapes :

Justifier la continuité et la stricte monotonie de $f$ sur $I$ (souvent via le signe de $f'$).
Déterminer $J = f(I)$ à l'aide des bornes et des limites aux bornes.
Pour $y \in I$ et $x \in J$, résoudre $f(y) = x$ en isolant $y$.
Échanger les lettres pour obtenir $f^{-1}(x)$.

Exemple. Voir les exercices 5 et 6 ci-dessous.

Erreurs fréquentes et pièges

Piège 1 — Oublier le sens de la quantité conjuguée. Avec une racine carrée, on multiplie par la quantité conjuguée ($\sqrt{a} + \sqrt{b}$ si on a $\sqrt{a} - \sqrt{b}$). Avec une racine cubique, l'identité est $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$ : le facteur à utiliser est $a^2+ab+b^2$, pas $a+b$.

Piège 2 — Mal gérer le sens de variation dans le changement de variable. Lorsque l'on pose $h = x-1$, il faut préciser $h \to 0$ quand $x \to 1$, et le préciser dans la rédaction. Une limite trigonométrique $x \to 0^+$ n'est pas la même que $x \to 0^-$.

Piège 3 — Conclure à la continuité sans comparer à $f(x_0)$. Le calcul de la limite seule ne prouve rien : il faut toujours vérifier l'égalité avec $f(x_0)$. Si $f$ n'est pas définie en $x_0$, la question de la continuité en $x_0$ ne se pose même pas.

Piège 4 — Confondre existence et unicité dans le TVI. Le TVI garantit l'existence d'au moins une solution. Pour l'unicité, il faut ajouter la stricte monotonie. Ne dis jamais « il existe une unique solution » sans avoir prouvé la stricte monotonie.

Piège 5 — Oublier de vérifier que la solution est dans l'intervalle. Lorsque l'on résout une équation avec un changement de variable, il faut revenir à la variable initiale et vérifier que la solution trouvée appartient bien à l'intervalle de définition considéré.

Piège 6 — Mal appliquer les règles sur les racines n-ièmes. $\sqrt[n]{a+b} \neq \sqrt[n]{a} + \sqrt[n]{b}$. De plus, $\sqrt[n]{x^n} = |x|$ si $n$ est pair, et $= x$ si $n$ est impair.

Exercices et examens nationaux

Exercice	Type	Année / Session	Niveau
Exercice 1 — Limite trigonométrique	Application directe	—	Facile
Exercice 2 — Continuité en un point	Application directe	Examen national	Facile
Exercice 3 — Paramètre $m$	Détermination de paramètre	Examen national	Moyen
Exercice 4 — TVI et unicité	Théorème des valeurs intermédiaires	Examen national	Moyen
Exercice 5 — Fonction réciproque (homographique)	Étude complète	Examen national	Moyen
Exercice 6 — Fonction réciproque (polynôme)	Étude complète	Examen national	Moyen
Exercice 7 — Racines n-ièmes	Simplification	—	Facile
Exercice 8 — Limites avec racines	Calcul de limites	—	Moyen
Exercice 9 — Équation irrationnelle	Résolution	—	Moyen

Tous les exercices et sujets corrigés

Consultez la liste complète des exercices d'application, exercices corrigés et examens nationaux classés par chapitre et par filière.

Voir tous les exercices

Exercice 1 — Limite trigonométrique et continuité

Énoncé. Soit $f$ définie par $f(x) = \dfrac{\sqrt{x+1}-1}{\tan x}$ pour $x \neq 0$ et $f(0) = \dfrac{1}{2}$. Étudier la continuité de $f$ en $0$.

Voir la correction

On multiplie numérateur et dénominateur par la quantité conjuguée $\sqrt{x+1}+1$ :

$f(x) = \dfrac{(\sqrt{x+1}-1)(\sqrt{x+1}+1)}{\tan x \, (\sqrt{x+1}+1)} = \dfrac{x}{\tan x} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{x+1}+1}$.

Or $\lim_{x \to 0} \dfrac{x}{\tan x} = 1$ (limite trigonométrique usuelle) et $\lim_{x \to 0} \dfrac{1}{\sqrt{x+1}+1} = \dfrac{1}{2}$.

Donc $\lim_{x \to 0} f(x) = 1 \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2} = f(0)$.

Conclusion : $f$ est continue en $0$.

Exercice 2 — Continuité d'un quotient polynomial

Énoncé. Soit $f(x) = \dfrac{x^2+x-12}{x-3}$ pour $x \neq 3$ et $f(3) = 7$. Étudier la continuité de $f$ en $3$.

Voir la correction

On factorise le numérateur : $x^2+x-12 = (x-3)(x+4)$. Donc pour $x \neq 3$, $f(x) = x+4$.

D'où $\lim_{x \to 3} f(x) = 3+4 = 7 = f(3)$.

Conclusion : $f$ est continue en $3$.

Exercice 3 — Détermination d'un paramètre $m$

Énoncé. Soit $f$ définie par $f(x) = \dfrac{\sin(\pi x)}{x-1}$ pour $x \neq 1$ et $f(1) = m$. Déterminer $m$ pour que $f$ soit continue en $1$.

Voir la correction

On pose $h = x - 1$, donc $x \to 1 \iff h \to 0$. Alors :

$\dfrac{\sin(\pi x)}{x-1} = \dfrac{\sin(\pi(h+1))}{h} = \dfrac{\sin(\pi h + \pi)}{h} = \dfrac{-\sin(\pi h)}{h}$.

On fait apparaître la forme usuelle :

$\dfrac{-\sin(\pi h)}{h} = -\pi \cdot \dfrac{\sin(\pi h)}{\pi h} \xrightarrow{h \to 0} -\pi \cdot 1 = -\pi$.

Pour que $f$ soit continue en $1$, il faut $f(1) = \lim_{x \to 1} f(x)$, c'est-à-dire $m = -\pi$.

Conclusion : $m = -\pi$.

Exercice 4 — TVI et unicité (racine cubique)

Énoncé. Soit $f(x) = x^3 + x - 1$. Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ sur $\mathbb{R}$, puis préciser que $\alpha \in ]0,1[$.

Voir la correction

Existence et unicité sur $\mathbb{R}$. $f$ est un polynôme, donc continue sur $\mathbb{R}$. Sa dérivée vaut $f'(x) = 3x^2 + 1 \gt 0$ pour tout $x$, donc $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

De plus, $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$ et $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$. Par le TVI, l'équation $f(x) = 0$ admet au moins une solution dans $\mathbb{R}$, et par stricte monotonie, cette solution est unique. On note $\alpha$ cette solution.

Localisation de $\alpha$. On a $f(0) = -1$ et $f(1) = 1$, donc $f(0) \cdot f(1) \lt 0$. Par le TVI, il existe $\alpha \in ]0,1[$ tel que $f(\alpha) = 0$. Comme la solution est unique, c'est bien $\alpha$.

Conclusion : l'équation $x^3 + x - 1 = 0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $\mathbb{R}$, et $\alpha \in ]0,1[$.

Exercice 5 — Fonction réciproque (fonction homographique)

Énoncé. Soit $f$ définie sur $I = \mathbb{R}^+$ par $f(x) = \dfrac{x-1}{x+1}$. Montrer que $f$ admet une fonction réciproque $f^{-1}$ sur un intervalle $J$ à déterminer, puis déterminer $f^{-1}(x)$.

Voir la correction

Continuité et monotonie. $f$ est une fonction homographique définie sur $\mathbb{R}^+$ (le dénominateur ne s'annule pas pour $x \geq 0$), donc continue sur $I$. Sa dérivée vaut $f'(x) = \dfrac{2}{(x+1)^2} \gt 0$, donc $f$ est strictement croissante sur $I$.

Détermination de $J$. Comme $f$ est continue et strictement croissante sur $I$, $f(I) = \left[f(0), \lim_{x \to +\infty} f(x)\right[$. On a $f(0) = -1$ et $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 1$. Donc $J = [-1, 1[$.

Détermination de $f^{-1}$. Soit $y \in I = \mathbb{R}^+$ et $x \in J = [-1, 1[$. On résout $f(y) = x$ :

$\dfrac{y-1}{y+1} = x \iff y-1 = x(y+1) \iff y-1 = xy+x \iff y(1-x) = x+1$.

Comme $x \neq 1$, on obtient $y = \dfrac{x+1}{1-x}$. En échangeant les lettres :

$f^{-1}(x) = \dfrac{x+1}{1-x}$ pour $x \in [-1,1[$.

Exercice 6 — Fonction réciproque (polynôme du second degré)

Énoncé. Soit $f$ définie sur $I = ]1, +\infty[$ par $f(x) = x^2 - 2x$. Montrer que $f$ admet une fonction réciproque $f^{-1}$ sur un intervalle $J$ à déterminer, puis déterminer $f^{-1}(x)$.

Voir la correction

Continuité et monotonie. $f$ est un polynôme, donc continue sur $I$. Sa dérivée vaut $f'(x) = 2x-2 = 2(x-1) \gt 0$ sur $]1,+\infty[$, donc $f$ est strictement croissante sur $I$.

Détermination de $J$. On a $J = f(]1,+\infty[) = \left]\lim_{x \to 1^+} f(x), \lim_{x \to +\infty} f(x)\right[$. Or $f(x) = x^2-2x = (x-1)^2 - 1$, donc $\lim_{x \to 1^+} f(x) = -1$ et $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$. D'où $J = ]-1, +\infty[$.

Détermination de $f^{-1}$. Soit $y \in I = ]1, +\infty[$ et $x \in J = ]-1, +\infty[$. On résout $f(y) = x$ :

$y^2 - 2y = x \iff y^2 - 2y - x = 0$. Le discriminant vaut $\Delta = 4 + 4x = 4(1+x) \gt 0$ (car $x \gt -1$). Donc $y = \dfrac{2 \pm 2\sqrt{1+x}}{2} = 1 \pm \sqrt{1+x}$.

Comme $y \gt 1$, on retient $y = 1 + \sqrt{1+x}$. En échangeant les lettres :

$f^{-1}(x) = 1 + \sqrt{1+x}$ pour $x \in ]-1, +\infty[$.

Exercice 7 — Simplification avec racines n-ièmes

Énoncé. Simplifier $A = \dfrac{\sqrt[3]{2} \times \sqrt{8}}{\sqrt[3]{128}}$ et $B = \dfrac{1}{\sqrt[3]{3}+1}$.

Voir la correction

Simplification de $A$. On écrit tout sous la forme $\sqrt[6]{}$ pour uniformiser :

$\sqrt[3]{2} = 2^{1/3} = \sqrt[6]{2^2} = \sqrt[6]{4}$. $\sqrt{8} = 2^{3/2} = \sqrt[6]{2^9} = \sqrt[6]{512}$. $\sqrt[3]{128} = 2^{7/3} = \sqrt[6]{2^{14}}$.

Donc $A = \dfrac{2^{1/3} \cdot 2^{3/2}}{2^{7/3}} = 2^{1/3 + 3/2 - 7/3} = 2^{1/2} = \sqrt{2}$. Plus simplement : $A = \dfrac{2^{1/3} \cdot 2^{3/2}}{2^{7/3}} = 2^{1/3 + 3/2 - 7/3} = 2^{1/2} = \sqrt{2}$.

Simplification de $B$. On utilise l'identité $a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$ avec $a = \sqrt[3]{3}$ et $b = 1$ :

$B = \dfrac{1}{\sqrt[3]{3}+1} = \dfrac{\sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{3} + 1}{(\sqrt[3]{3})^3 + 1^3} = \dfrac{\sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{3} + 1}{4}$.

Exercice 8 — Limites avec racines cubiques

Énoncé. Calculer $\lim_{x \to 8} \dfrac{\sqrt[3]{x}-2}{x-8}$.

Voir la correction

On reconnaît l'identité $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$ avec $a = \sqrt[3]{x}$ et $b = 2$. On a donc $x - 8 = \left(\sqrt[3]{x}\right)^3 - 2^3 = (\sqrt[3]{x}-2)(\sqrt[3]{x^2} + 2\sqrt[3]{x} + 4)$.

En simplifiant :

$\dfrac{\sqrt[3]{x}-2}{x-8} = \dfrac{1}{\sqrt[3]{x^2} + 2\sqrt[3]{x} + 4}$.

Quand $x \to 8$, cette expression tend vers $\dfrac{1}{4 + 4 + 4} = \dfrac{1}{12}$.

Conclusion : $\lim_{x \to 8} \dfrac{\sqrt[3]{x}-2}{x-8} = \dfrac{1}{12}$.

Exercice 9 — Équation irrationnelle

Énoncé. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $\sqrt{x} + \sqrt[3]{x} - 12 = 0$.

Voir la correction

L'équation n'a de sens que pour $x \geq 0$. On pose $x = t^6$ avec $t \geq 0$. Alors $\sqrt{x} = t^3$ et $\sqrt[3]{x} = t^2$. L'équation devient :

$t^3 + t^2 - 12 = 0$.

On cherche une racine évidente : $t = 2$ convient car $8 + 4 - 12 = 0$. On factorise :

$t^3 + t^2 - 12 = (t-2)(t^2 + 3t + 6)$.

Le discriminant du facteur quadratique vaut $\Delta = 9 - 24 = -15 \lt 0$, donc $t^2+3t+6 = 0$ n'a pas de solution réelle.

La seule solution est donc $t = 2$, d'où $x = 2^6 = 64$.

Conclusion : $S = \{64\}$.

Fiche de révision express

Notion	Formule / Propriété
Continuité en $x_0$	$\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$
Limite trigo.	$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ ; $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$ ; $\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$
Quantité conjuguée (racine carrée)	$a-b = \frac{a^2-b^2}{a+b}$
Identité cubique	$a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$
TVI	$f$ cont sur $[a,b]$, $k$ entre $f(a)$ et $f(b)$ $\Rightarrow$ $\exists c, f(c)=k$
Corollaire TVI	$f(a) \cdot f(b) \lt 0$ $\Rightarrow$ $\exists c \in ]a,b[, f(c)=0$
Unicité	$f$ cont et strict. monotone $\Rightarrow$ solution unique
Fonction réciproque	$f$ cont et strict. monotone sur $I$ $\Rightarrow$ bijection $I \to f(I)$, $f^{-1}$ cont, même monotonie
Calcul de $f^{-1}$	Résoudre $f(y) = x$ en $y$, puis échanger $x$ et $y$
Racines n-ièmes	$\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}$ ; $\sqrt[n]{a/b} = \sqrt[n]{a}/\sqrt[n]{b}$
Changement de variable	Si $x = t^k$, vérifier que $t$ reste dans le bon intervalle

Quiz d'autoévaluation

Question 1 — Que vaut $\lim_{x \to 0} \dfrac{\tan(3x)}{x}$ ?

$\lim_{x \to 0} \dfrac{\tan(3x)}{x} = \lim_{x \to 0} \dfrac{\tan(3x)}{3x} \cdot 3 = 3$. On utilise la limite usuelle $\lim_{u \to 0} \dfrac{\tan u}{u} = 1$.

Question 2 — Le TVI garantit-il l'unicité d'une solution ?

Non, il garantit uniquement l'existence d'au moins une solution. Pour l'unicité, il faut ajouter la stricte monotonie de $f$ sur l'intervalle considéré. C'est ce que l'on fait en calculant $f'$ et en vérifiant son signe.

Question 3 — Quel est le rôle de la quantité conjuguée ?

Elle permet de lever une indétermination du type $\frac{0}{0}$ lorsque l'expression contient une racine carrée. On multiplie numérateur et dénominateur par la quantité conjuguée pour faire apparaître l'identité $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$, ce qui élimine la racine.

Question 4 — Quelles sont les conditions pour que $f$ admette une fonction réciproque sur un intervalle $I$ ?

$f$ doit être continue et strictement monotone sur $I$. Ces deux conditions garantissent que $f$ réalise une bijection de $I$ sur $f(I)$ et que la fonction réciproque existe et est elle-même continue et strictement monotone (de même sens).

Question 5 — Comment résoudre une équation du type $\sqrt{x} + \sqrt[3]{x} - 12 = 0$ ?

On pose un changement de variable $x = t^6$ (avec $t \geq 0$), ce qui transforme les racines en puissances entières : $\sqrt{x} = t^3$ et $\sqrt[3]{x} = t^2$. On résout l'équation polynomiale en $t$, puis on revient à $x$ en posant $x = t^6$.

Questions fréquentes

Pourquoi multiplie-t-on par la quantité conjuguée dans les limites avec racines ?

Parce que l'identité $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$ permet de faire disparaître la racine carrée : on passe d'une expression avec $\sqrt{x+1}-1$ à une expression avec $(x+1)-1 = x$, qui ne contient plus de racine. Cela lève l'indétermination du type $\frac{0}{0}$.

Comment déterminer un paramètre pour que la fonction soit continue en un point ?

On calcule la valeur $f(x_0)$, la limite à gauche et la limite à droite en fonction du paramètre. On impose ensuite l'égalité des trois quantités, ce qui donne une équation (ou un système) en le paramètre. On résout cette équation pour trouver la valeur du paramètre.

Comment justifier l'unicité d'une solution dans le TVI ?

Il faut prouver que $f$ est strictement monotone sur l'intervalle considéré. En pratique, on calcule $f'(x)$ et on vérifie que $f'(x) \gt 0$ (ou $f'(x) \lt 0$) sur tout l'intervalle. Une fonction continue et strictement monotone ne peut pas prendre deux fois la même valeur, ce qui garantit l'unicité.

Quelle est la différence entre $f^{-1}$ et $\frac{1}{f}$ ?

$f^{-1}$ désigne la fonction réciproque de $f$, c'est-à-dire la fonction qui vérifie $f^{-1}(f(x)) = x$ pour tout $x$ dans le domaine. $\frac{1}{f}$ désigne l'inverse de $f$, c'est-à-dire la fonction $x \mapsto \frac{1}{f(x)}$. Ce sont deux notions complètement différentes : ne confonds pas l'exposant $-1$ (réciproque) avec une puissance (inverse).

Comment vérifier les hypothèses du théorème des fonctions réciproques ?

Il faut deux choses : la continuité sur l'intervalle $I$ et la stricte monotonie sur $I$. La continuité se justifie par les propriétés des fonctions usuelles (polynôme, homographique, composée). La stricte monotonie se vérifie par le signe de la dérivée : si $f'(x) \gt 0$ sur $I$, $f$ est strictement croissante ; si $f'(x) \lt 0$ sur $I$, $f$ est strictement décroissante.

Comment simplifier une expression avec plusieurs racines n-ièmes ?

On écrit toutes les racines sous la forme d'une puissance rationnelle (par exemple $\sqrt[3]{2} = 2^{1/3}$), puis on utilise les règles de calcul sur les puissances : $x^r \cdot x^{r'} = x^{r+r'}$ et $(x^r)^{r'} = x^{rr'}$. On peut aussi mettre toutes les racines au même indice en utilisant $\sqrt[n]{a} = \sqrt[np]{a^p}$.

Résumé final

Cette série d'exercices couvre les points essentiels du chapitre « Limites et continuité ». Les limites trigonométriques usuelles, la quantité conjuguée et les identités remarquables te permettent de lever toutes les formes indéterminées. La continuité se prouve par comparaison de la limite à la valeur de la fonction, et la détermination d'un paramètre passe par l'égalité des limites à gauche, à droite et de la valeur au point.

Le théorème des valeurs intermédiaires et son corollaire en cas de stricte monotonie sont les outils centraux pour prouver l'existence et l'unicité d'une solution. La construction de la fonction réciproque suit toujours le même schéma : vérifier la continuité et la stricte monotonie, déterminer l'intervalle image, résoudre $f(y) = x$, puis échanger les lettres. Enfin, les racines n-ièmes et les changements de variable te permettent de traiter les expressions les plus complexes.

Prends le temps de refaire chaque exercice sans regarder le corrigé, de vérifier les hypothèses avant chaque théorème, et de rédiger proprement les conclusions. C'est cette rigueur qui fera la différence le jour de l'examen. Bon courage dans tes révisions.

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Cours de Mathématiques : Limites et continuité — Série d'exercices 2 corrigés — 2e BAC PC & SVT 2025-2026

Niveau	2e année du baccalauréat
Filière	PC (Sciences physiques) et SVT
Matière	Mathématiques
Chapitre	Limites et continuité
Sous-chapitre	Série d'exercices 2 corrigés : limites, continuité, prolongement, TVI, fonctions réciproques, racines n-ièmes
Programme	Programme officiel marocain — 2025-2026
Durée indicative d'étude	5 heures
Dernière mise à jour	24 octobre 2026

Cette deuxième série d'exercices complète la première en approfondissant les notions les plus sollicitées à l'examen national : limites avec quantités conjuguées, continuité à droite et à gauche, prolongement par continuité, image d'intervalle, théorème des valeurs intermédiaires, fonctions réciproques et racines n-ièmes. Elle regroupe un ensemble représentatif d'exercices tirés de la série officielle, tous corrigés et rédigés pas à pas avec les justifications exigées au baccalauréat.

À l'examen, ce sont ces exercices qui constituent la trame de l'épreuve. Le premier exercice porte presque toujours sur le calcul de limites et l'étude de la continuité d'une fonction définie par morceaux ou dépendant d'un paramètre. Le problème final combine le TVI (existence et unicité d'une racine), l'étude des variations, la construction d'une fonction réciproque et parfois des calculs de limites avec racines n-ièmes. Maîtriser chaque type d'exercice séparément te permet d'aborder l'épreuve avec méthode et de ne pas perdre de points sur des questions classiques.

Tu trouveras dans cette série un rappel condensé du cours, les méthodes pas à pas, les erreurs à éviter, une quinzaine d'exercices corrigés en détail, une fiche de révision express, un quiz d'autoévaluation, une FAQ complète et un bouton d'impression propre pour réviser sur papier, sans publicité, avec toutes les solutions visibles.

Table des matières

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Prérequis

Avant de commencer cette série, vérifie que tu maîtrises les notions suivantes. Si un point te pose problème, reviens au cours correspondant.

Calcul de limites en un point, à droite, à gauche, en $+\infty$ et en $-\infty$.
Levée des formes indéterminées : $\frac{0}{0}$, $\frac{\infty}{\infty}$, $\infty - \infty$, $0 \times \infty$.
Limites trigonométriques usuelles : $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$, $\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$, $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$.
Définition de la continuité en un point et équivalence avec la continuité à droite et à gauche.
Théorème des valeurs intermédiaires et son corollaire en cas de stricte monotonie.
Définition de la fonction réciproque et conditions d'existence (continuité et stricte monotonie).
Règles de calcul sur les racines n-ièmes.

Objectifs pédagogiques

À la fin de cette série, tu seras capable de :

Calculer une limite en factorisant, en multipliant par la quantité conjuguée ou en utilisant un changement de variable adapté.
Distinguer limite à droite et limite à gauche et en déduire la limite globale.
Étudier la continuité en un point, à droite et à gauche, et conclure sur la continuité en ce point.
Déterminer un paramètre réel pour assurer la continuité d'une fonction en un point donné.
Reconnaître une fonction prolongeable par continuité et construire son prolongement.
Justifier la continuité d'une fonction composée à partir des fonctions usuelles.
Calculer une limite par composition (théorème de la limite de $v \circ u$).
Déterminer l'image d'un intervalle par une fonction continue et monotone.
Appliquer le théorème des valeurs intermédiaires pour prouver l'existence et l'unicité d'une solution.
Déterminer la fonction réciproque d'une fonction continue et strictement monotone.
Résoudre des équations avec racines n-ièmes.

Rappels essentiels du cours

1. Continuité en un point

2. Prolongement par continuité

Si $f$ est définie sur $D_f$ et $a \notin D_f$ avec $\lim_{x \to a} f(x) = \ell$ finie, on prolonge $f$ par continuité en $a$ en posant $\tilde{f}(a) = \ell$. Le prolongement $\tilde{f}$ est alors continu en $a$. Si la limite est infinie, ou n'existe pas, aucun prolongement n'est possible.

3. Composition et limite

Si $\lim_{x \to x_0} u(x) = \ell$ et si $v$ est continue en $\ell$, alors $\lim_{x \to x_0} v(u(x)) = v(\ell)$. C'est le théorème fondamental pour calculer les limites de fonctions trigonométriques composées.

4. Image d'un intervalle

L'image d'un segment $[a,b]$ par une fonction continue $f$ est $[m, M]$ où $m$ et $M$ sont le minimum et le maximum de $f$ sur $[a,b]$. Si $f$ est de plus strictement monotone, les formules du cours donnent directement l'image en fonction des bornes et des limites aux bornes.

5. Théorème des valeurs intermédiaires

Si $f$ est continue sur $[a,b]$, pour tout $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe au moins un $c \in [a,b]$ tel que $f(c) = k$. Si $f$ est de plus strictement monotone, la solution est unique. Corollaire : si $f(a) \cdot f(b) \lt 0$, il existe au moins un $c \in ]a,b[$ tel que $f(c) = 0$.

6. Fonctions réciproques

Si $f$ est continue et strictement monotone sur $I$, elle réalise une bijection de $I$ sur $J = f(I)$ et admet une fonction réciproque $f^{-1} : J \to I$ telle que $y = f(x) \iff x = f^{-1}(y)$. Pour déterminer $f^{-1}(x)$, on résout $f(y) = x$ en isolant $y$, puis on échange les lettres.

Erreurs fréquentes et pièges

Piège 1 — Oublier une limite latérale. Pour une fonction définie par morceaux, un seul calcul ne suffit pas. Il faut calculer la limite à gauche et à droite et les comparer à $f(x_0)$.

Piège 2 — Utiliser le TVI sans vérifier les hypothèses. Le TVI exige la continuité sur $[a,b]$ et $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$. L'unicité exige la stricte monotonie. Ne confonds pas existence et unicité.

Piège 3 — Mal gérer les changements de variable. Quand on pose $h = x - x_0$, il faut préciser $h \to 0$ quand $x \to x_0$, et faire attention au signe de $h$ si on étudie une limite latérale.

Piège 4 — Confondre $f^{-1}$ et $1/f$. $f^{-1}$ est la fonction réciproque, $1/f$ est l'inverse de $f$. Ce sont deux notions totalement différentes.

Piège 5 — Oublier la condition $f'(x_0) \neq 0$. La formule $(f^{-1})'(y_0) = 1/f'(x_0)$ n'est valable que si $f'(x_0) \neq 0$. Si $f'(x_0) = 0$, $f^{-1}$ n'est pas dérivable en $y_0$.

Piège 6 — Écrire $\sqrt[n]{a+b} = \sqrt[n]{a} + \sqrt[n]{b}$. Cette égalité est fausse en général. Les seules règles valables sont celles sur le produit et le quotient.

Exercices et examens nationaux

Exercice	Type	Année / Session	Niveau
Exercice 1 — Calcul de limites	Application directe	—	Facile
Exercice 2 — Limites à droite et à gauche	Application directe	—	Moyen
Exercice 3 — Limites de fonctions produits	Application directe	—	Moyen
Exercice 4 — Continuité avec paramètre	Détermination de paramètre	Examen national	Moyen
Exercice 5 — Continuité avec valeur absolue	Étude de continuité	—	Moyen
Exercice 6 — Prolongement par continuité	Application directe	—	Moyen
Exercice 7 — Continuité de composées	Étude de continuité	—	Moyen
Exercice 8 — Limites composées	Calcul de limites	Examen national	Moyen
Exercice 9 — Image d'un intervalle	Application directe	—	Facile
Exercice 10 — TVI existence	Théorème des valeurs intermédiaires	Examen national	Moyen
Exercice 11 — TVI unicité	Théorème des valeurs intermédiaires	Examen national	Moyen
Exercice 12 — Fonction réciproque (homographique)	Étude complète	Examen national	Moyen
Exercice 13 — Fonction réciproque (racine carrée)	Étude complète	Examen national	Moyen
Exercice 14 — Racines n-ièmes	Équations et simplification	—	Moyen

Tous les exercices et sujets corrigés

Consultez la liste complète des exercices d'application, exercices corrigés et examens nationaux classés par chapitre et par filière.

Voir tous les exercices

Exercice 1 — Calcul de limites

Énoncé. Déterminer les limites suivantes :

$$\lim_{x \to +\infty} \frac{2x+5x^2-7x^4}{x-10x^2+14x^3} \quad ; \quad \lim_{x \to -\infty} \frac{3x+8x^2-2x^5}{x^2+2x^6} \quad ; \quad \lim_{x \to +\infty} \sqrt{x^2+x} - x$$

Voir la correction

Première limite. On factorise par le terme dominant au numérateur ($-7x^4$) et au dénominateur ($14x^3$) :

$\dfrac{2x+5x^2-7x^4}{x-10x^2+14x^3} \sim \dfrac{-7x^4}{14x^3} = -\dfrac{x}{2}$.

Quand $x \to +\infty$, on obtient $-\infty$.

Deuxième limite. On factorise par $-2x^5$ au numérateur et $2x^6$ au dénominateur :

$\dfrac{3x+8x^2-2x^5}{x^2+2x^6} \sim \dfrac{-2x^5}{2x^6} = -\dfrac{1}{x}$.

Quand $x \to -\infty$, on obtient $0$.

Troisième limite. On multiplie par la quantité conjuguée :

$\sqrt{x^2+x}-x = \dfrac{x}{\sqrt{x^2+x}+x} = \dfrac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x}}+1} \to \dfrac{1}{2}$.

Exercice 2 — Limites à droite et à gauche

Énoncé. Soit $f(x) = \dfrac{(x+1)^2}{|x^2-1|}$ pour $x \neq \pm 1$. Étudier la limite de $f$ en $-1$.

Voir la correction

Pour $x \in ]-1,1[$ : $x^2-1 \lt 0$, donc $|x^2-1| = -(x^2-1)$. On obtient $f(x) = \dfrac{(x+1)^2}{-(x-1)(x+1)} = \dfrac{x+1}{1-x}$.

Pour $x \lt -1$ : $x^2-1 \gt 0$, donc $|x^2-1| = (x-1)(x+1)$ et $f(x) = \dfrac{x+1}{x-1}$.

On a donc : $\lim_{x \to -1^+} f(x) = 0$ et $\lim_{x \to -1^-} f(x) = 0$.

Conclusion : $\lim_{x \to -1} f(x) = 0$.

Exercice 3 — Limites de fonctions produits

Énoncé. On donne $f(x) = \sqrt{2x+1}(-3x^2+x)$ et $g(x) = \dfrac{-2x^2+1}{(x-3)^2}\sqrt{x+1}$. Déterminer $\lim_{x \to 2} f(x)$, $\lim_{x \to +\infty} f(x)$, $\lim_{x \to +\infty} g(x)$ et $\lim_{x \to 3} g(x)$.

Voir la correction

Pour $f$ en $2$. $\lim_{x \to 2} \sqrt{2x+1} = \sqrt{5}$ et $\lim_{x \to 2} (-3x^2+x) = -10$. Donc $\lim_{x \to 2} f(x) = -10\sqrt{5}$.

Pour $f$ en $+\infty$. $\lim_{x \to +\infty} \sqrt{2x+1} = +\infty$ et $\lim_{x \to +\infty} (-3x^2+x) = -\infty$, donc par produit $\lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty$.

Pour $g$ en $+\infty$. $\lim_{x \to +\infty} \sqrt{x+1} = +\infty$ et $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{-2x^2+1}{(x-3)^2} = -2$, donc par produit $\lim_{x \to +\infty} g(x) = -\infty$.

Pour $g$ en $3$. $\lim_{x \to 3} \sqrt{x+1} = 2$ et $\lim_{x \to 3} (-2x^2+1) = -17$. Au dénominateur, $(x-3)^2 \to 0^+$, donc $\lim_{x \to 3} \dfrac{-2x^2+1}{(x-3)^2} = -\infty$. Par produit, $\lim_{x \to 3} g(x) = -\infty$.

Exercice 4 — Continuité avec paramètre $m$

Énoncé. Soit $f$ définie par $f(x) = \dfrac{\sin(\pi x)}{x-1}$ pour $x \neq 1$ et $f(1) = m$. Déterminer $m$ pour que $f$ soit continue en $1$.

Voir la correction

On pose $h = x-1$, donc $x \to 1 \iff h \to 0$. Alors :

$\dfrac{\sin(\pi x)}{x-1} = \dfrac{\sin(\pi(h+1))}{h} = \dfrac{\sin(\pi h + \pi)}{h} = \dfrac{-\sin(\pi h)}{h}$.

On fait apparaître la limite usuelle : $\dfrac{-\sin(\pi h)}{h} = -\pi \cdot \dfrac{\sin(\pi h)}{\pi h} \to -\pi$.

Pour la continuité en $1$, il faut $m = -\pi$.

Exercice 5 — Continuité avec $x^2 \sin(1/x)$

Énoncé. Soit $f$ définie par $f(x) = 2 + x^2\sin\left(\dfrac{1}{x}\right)$ pour $x \neq 0$ et $f(0) = 2$. Étudier la continuité de $f$ en $0$.

Voir la correction

Pour tout $x \neq 0$, on a $\left|\sin\left(\dfrac{1}{x}\right)\right| \leq 1$, donc :

$|f(x) - 2| = \left|x^2 \sin\left(\dfrac{1}{x}\right)\right| \leq x^2$.

Comme $\lim_{x \to 0} x^2 = 0$, par encadrement $\lim_{x \to 0} f(x) = 2 = f(0)$.

Conclusion : $f$ est continue en $0$.

Exercice 6 — Prolongement par continuité

Énoncé. Soit $f(x) = \dfrac{x^3+1}{x^2+3x+2}$. Déterminer $D_f$, puis étudier si $f$ admet un prolongement par continuité en $-1$ et en $-2$.

Voir la correction

Le dénominateur s'annule en $-1$ et $-2$, donc $D_f = \mathbb{R} \setminus \{-1, -2\}$. On factorise : $x^3+1 = (x+1)(x^2-x+1)$ et $x^2+3x+2 = (x+1)(x+2)$. Pour $x \notin \{-1, -2\}$ :

$f(x) = \dfrac{x^2-x+1}{x+2}$.

En $-1$. $\lim_{x \to -1} f(x) = \dfrac{1+1+1}{-1+2} = 3$. La limite est finie, donc $f$ admet un prolongement par continuité en $-1$ en posant $\tilde{f}(-1) = 3$.

En $-2$. Le numérateur vaut $4+2+1 = 7 \neq 0$ et le dénominateur tend vers $0$, donc $\lim_{x \to -2} f(x) = \pm\infty$. Pas de prolongement par continuité en $-2$.

Exercice 7 — Continuité de composées

Énoncé. Étudier la continuité de $f(x) = \cos(2x^2-3x+4)$, $g(x) = \sqrt{\dfrac{x}{1+\sin^2 x}}$ et $h(x) = \sin\left(\dfrac{1}{x^2+1}\right)$.

Voir la correction

Pour $f$. $x \mapsto 2x^2-3x+4$ est un polynôme continu sur $\mathbb{R}$, et $\cos$ est continue sur $\mathbb{R}$. Par composition, $f$ est continue sur $\mathbb{R}$.

Pour $g$. $x \mapsto \dfrac{x}{1+\sin^2 x}$ est continue sur $\mathbb{R}^+$ (dénominateur $\geq 1 \gt 0$) et positive sur $\mathbb{R}^+$ ; $\sqrt{}$ est continue sur $[0,+\infty[$. Donc $g$ est continue sur $\mathbb{R}^+$.

Pour $h$. $x \mapsto x^2+1 \gt 0$ sur $\mathbb{R}$, donc $x \mapsto \dfrac{1}{x^2+1}$ est continue sur $\mathbb{R}$ ; $\sin$ est continue sur $\mathbb{R}$. Par composition, $h$ est continue sur $\mathbb{R}$.

Exercice 8 — Limites composées

Énoncé. Calculer $\lim_{x \to 0} \cos\left(\dfrac{\pi \tan x}{3x}\right)$ et $\lim_{x \to +\infty} \sin\left(\dfrac{\pi x^2 - 4x + 3}{4x^2+7}\right)$.

Voir la correction

Première limite. $\lim_{x \to 0} \dfrac{\tan x}{x} = 1$, donc $\lim_{x \to 0} \dfrac{\pi \tan x}{3x} = \dfrac{\pi}{3}$. La fonction $\cos$ est continue en $\dfrac{\pi}{3}$, donc :

$\lim_{x \to 0} \cos\left(\dfrac{\pi \tan x}{3x}\right) = \cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{1}{2}$.

Deuxième limite. $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\pi x^2 - 4x + 3}{4x^2+7} = \dfrac{\pi}{4}$. La fonction $\sin$ est continue en $\dfrac{\pi}{4}$, donc :

$\lim_{x \to +\infty} \sin\left(\dfrac{\pi x^2 - 4x + 3}{4x^2+7}\right) = \sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$.

Exercice 9 — Image d'un intervalle

Énoncé. Soit $f(x) = \dfrac{2x-3}{x+1}$. Déterminer les images de $[0,1]$ et de $[2,+\infty[$.

Voir la correction

$f$ est définie sur $\mathbb{R} \setminus \{-1\}$. Sa dérivée vaut $f'(x) = \dfrac{5}{(x+1)^2} \gt 0$, donc $f$ est strictement croissante sur $]-\infty, -1[$ et sur $]-1, +\infty[$.

Image de $[0,1]$. Les deux bornes sont dans $]-1,+\infty[$ : $f([0,1]) = [f(0), f(1)] = [-3, -1/2]$.

Image de $[2,+\infty[$. $f([2,+\infty[) = [f(2), \lim_{x \to +\infty} f(x)[ = [1/3, 2[$.

Exercice 10 — TVI existence

Énoncé. Montrer que l'équation $\cos x = x$ admet au moins une racine dans $[0,\pi]$.

Voir la correction

Posons $f(x) = \cos x - x$. La fonction $f$ est continue sur $\mathbb{R}$ (différence de deux fonctions continues). Donc elle est continue sur $[0,\pi]$.

On a $f(0) = 1 \gt 0$ et $f(\pi) = -1 - \pi \lt 0$, donc $f(0) \cdot f(\pi) \lt 0$.

Par le TVI, il existe au moins un $c \in ]0,\pi[$ tel que $f(c) = 0$, c'est-à-dire $\cos c = c$.

Exercice 11 — TVI unicité

Énoncé. Montrer que $x^3 + x + 1 = 0$ admet une solution unique dans $]-1, 0[$.

Voir la correction

Posons $f(x) = x^3 + x + 1$. La fonction $f$ est polynômiale, donc continue sur $[-1,0]$.

On a $f(-1) = -1$ et $f(0) = 1$, donc $f(-1) \cdot f(0) \lt 0$. Par le TVI, il existe $c \in ]-1,0[$ tel que $f(c) = 0$.

De plus, $f'(x) = 3x^2+1 \gt 0$ sur $\mathbb{R}$, donc $f$ est strictement croissante : la solution $c$ est unique.

Exercice 12 — Fonction réciproque (homographique)

Énoncé. Soit $f(x) = \dfrac{x-3}{x+2}$. Montrer que la restriction $g$ de $f$ à $I = ]-2,+\infty[$ admet une fonction réciproque $g^{-1}$ sur un intervalle $J$ à déterminer, puis déterminer $g^{-1}(x)$.

Voir la correction

Continuité et monotonie. $f$ est une fonction homographique continue sur $I$. Sa dérivée vaut $f'(x) = \dfrac{5}{(x+2)^2} \gt 0$, donc $g$ est strictement croissante sur $I$.

Intervalle image. $J = g(I) = \left[\lim_{x \to -2^+} g(x), \lim_{x \to +\infty} g(x)\right[ = \left]-\infty, 1\right[$.

Fonction réciproque. Pour $y \in I$ et $x \in J$, on résout $g(y) = x$ :

$\dfrac{y-3}{y+2} = x \iff y-3 = x(y+2) \iff y(1-x) = 2x+3 \iff y = \dfrac{2x+3}{1-x}$.

Donc $g^{-1}(x) = \dfrac{2x+3}{1-x}$ pour $x \in ]-\infty,1[$.

Exercice 13 — Fonction réciproque (racine carrée)

Énoncé. Soit $f$ définie sur $I = \left[\dfrac{1}{2}, +\infty\right[$ par $f(x) = \sqrt{2x-1}$. Montrer que $f$ admet une fonction réciproque $f^{-1}$ sur $J = f(I)$, puis déterminer $f^{-1}(x)$.

Voir la correction

Continuité et monotonie. $f$ est composée de $x \mapsto 2x-1$ (croissante, positive sur $I$) et de $\sqrt{}$ (continue sur $[0,+\infty[$), donc $f$ est continue sur $I$. Sa dérivée vaut $f'(x) = \dfrac{1}{\sqrt{2x-1}} \gt 0$ pour $x \gt 1/2$, donc $f$ est strictement croissante sur $I$.

Intervalle image. $J = f(I) = \left[0, +\infty\right[$.

Fonction réciproque. Pour $y \in I$ et $x \in J$, on résout $\sqrt{2y-1} = x$, d'où $2y-1 = x^2$, puis $y = \dfrac{x^2+1}{2}$.

Donc $f^{-1}(x) = \dfrac{x^2+1}{2}$ pour $x \in [0,+\infty[$.

Exercice 14 — Racines n-ièmes : équations et simplifications

Énoncé. Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations $x^4 = 16$, $(x-1)^3 = -27$, et simplifier $\sqrt[3]{81}\cdot\sqrt[3]{\dfrac{1}{3}}$.

Voir la correction

Équation $x^4 = 16$. $n=4$ pair et $16 \gt 0$, donc $x = \pm\sqrt[4]{16} = \pm 2$. $S = \{-2, 2\}$.

Équation $(x-1)^3 = -27$. $n=3$ impair et $-27 \lt 0$, donc $x-1 = -\sqrt[3]{27} = -3$, soit $x = -2$. $S = \{-2\}$.

Simplification. $\sqrt[3]{81}\cdot\sqrt[3]{\dfrac{1}{3}} = \sqrt[3]{\dfrac{81}{3}} = \sqrt[3]{27} = 3$.

Fiche de révision express

Notion	Formule / Propriété
Continuité en $x_0$	$\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$
Continuité à droite / gauche	$\lim_{x \to x_0^+} f(x) = f(x_0)$ / $\lim_{x \to x_0^-} f(x) = f(x_0)$
Limites trigo.	$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ ; $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$ ; $\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$
Quantité conjuguée	$a-b = \frac{a^2-b^2}{a+b}$ (racine carrée) ; $a-b = \frac{a^3-b^3}{a^2+ab+b^2}$ (racine cubique)
Prolongement	Si $\lim_{x \to a} f(x) = \ell$ finie, on pose $\tilde{f}(a) = \ell$
Composition de limites	$\lim_{x \to x_0} u = \ell$, $v$ cont en $\ell$ $\Rightarrow$ $\lim_{x \to x_0} v(u) = v(\ell)$
Image d'un segment	$f([a,b]) = [\min f, \max f]$
Image strict. croissante	$f([a,b]) = [f(a), f(b)]$
Image strict. décroissante	$f([a,b]) = [f(b), f(a)]$
TVI général	$f$ cont, $k$ entre $f(a)$ et $f(b)$ $\Rightarrow$ $\exists c, f(c)=k$
Corollaire TVI	$f$ cont, $f(a)f(b) \lt 0$ $\Rightarrow$ $\exists c, f(c)=0$
Unicité	$f$ cont et strict. monotone $\Rightarrow$ solution unique
Fonction réciproque	$f$ cont et strict. monotone sur $I$ $\Rightarrow$ bijection $I \to f(I)$, $f^{-1}$ cont et même monotonie
Calcul de $f^{-1}$	Résoudre $f(y) = x$ en $y$, puis échanger $x$ et $y$
Symétrie des courbes	$\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_{f^{-1}}$ symétriques par rapport à $y = x$
Racine n-ième	$\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}$ ; $\sqrt[n]{a/b} = \sqrt[n]{a}/\sqrt[n]{b}$

Quiz d'autoévaluation

Question 1 — Que vaut $\lim_{x \to 0} \dfrac{1-\cos x}{x^2}$ ?

Cette limite vaut $\dfrac{1}{2}$. C'est une limite trigonométrique usuelle, à connaître par cœur. Elle permet de lever de nombreuses indéterminations $\frac{0}{0}$ avec des fonctions trigonométriques.

Question 2 — Que signifie « prolonger par continuité » en $a$ ?

Cela signifie que $f$ n'est pas définie en $a$, mais que la limite $\lim_{x \to a} f(x) = \ell$ existe et est finie. On peut alors définir $\tilde{f}(a) = \ell$ pour rendre la fonction continue en $a$. Si la limite est infinie ou n'existe pas, aucun prolongement n'est possible.

Question 3 — Pourquoi le TVI exige-t-il la continuité ?

Parce que sans continuité, une fonction peut sauter d'une valeur à une autre sans prendre les valeurs intermédiaires. La continuité garantit qu'il n'y a pas de « trou » dans l'image de $[a,b]$, donc que toutes les valeurs entre $f(a)$ et $f(b)$ sont atteintes.

Question 4 — Quelle est la différence entre $f^{-1}$ et $\dfrac{1}{f}$ ?

$f^{-1}$ est la fonction réciproque de $f$ (elle vérifie $f^{-1}\circ f = \mathrm{id}$). $\dfrac{1}{f}$ est la fonction inverse de $f$ au sens arithmétique ($\frac{1}{f(x)}$). Ce sont deux notions totalement différentes : ne pas confondre l'exposant $-1$ de réciproque avec une puissance.

Question 5 — Quand peut-on affirmer qu'une équation $f(x) = 0$ a une solution unique ?

Lorsque $f$ est continue et strictement monotone sur l'intervalle considéré, et que $f(a) \cdot f(b) \lt 0$ (ou que $0$ est compris entre les limites aux bornes). La continuité garantit l'existence, la stricte monotonie garantit l'unicité.

Questions fréquentes

Comment choisir entre factorisation et quantité conjuguée ?

La factorisation s'utilise pour les fractions rationnelles (quotients de polynômes) en $\pm\infty$ ou pour lever un $\frac{0}{0}$ par simplification. La quantité conjuguée s'utilise lorsqu'il y a des racines carrées ou cubiques dans l'expression : elle permet de faire disparaître la racine par l'identité $a^2-b^2$ ou $a^3-b^3$.

Peut-on toujours prolonger une fonction par continuité ?

Non. Il faut que la limite en $a$ existe et soit finie. Si la limite est infinie (comme $1/x$ en $0$), ou si la limite à gauche et la limite à droite sont différentes, il n'existe pas de prolongement par continuité en $a$.

Comment rédiger proprement une preuve d'unicité par le TVI ?

On rédige en trois temps : (1) justifier la continuité de $f$ sur $[a,b]$ ; (2) appliquer le corollaire du TVI ($f(a) \cdot f(b) \lt 0$) pour conclure à l'existence d'au moins une solution ; (3) calculer $f'(x)$ et montrer qu'elle garde un signe constant strict sur $]a,b[$, ce qui prouve la stricte monotonie et donc l'unicité.

Comment vérifier les hypothèses du théorème des fonctions réciproques ?

Deux conditions sont nécessaires : la continuité sur l'intervalle $I$ (souvent justifiée par les propriétés des fonctions usuelles) et la stricte monotonie sur $I$ (vérifiée par le signe de la dérivée). Il faut aussi vérifier que la fonction est bien définie sur tout l'intervalle et que le dénominateur ne s'annule pas.

Que faire quand la fonction est définie par morceaux ?

On étudie la continuité sur chaque intervalle ouvert (avec les propriétés usuelles), puis on étudie séparément les points de raccord : on calcule la valeur, la limite à gauche et la limite à droite, et on vérifie que les trois quantités sont égales. Si un paramètre intervient, on le détermine pour assurer cette égalité.

Comment résoudre une équation avec plusieurs racines n-ièmes ?

On pose souvent un changement de variable pour se ramener à une équation polynomiale. Par exemple, pour une équation avec $\sqrt{x}$ et $\sqrt[3]{x}$, on pose $x = t^6$ (avec $t \geq 0$), ce qui transforme les racines en puissances entières. On résout en $t$, puis on revient à $x$.

Résumé final

Cette série d'exercices illustre les principaux types de questions posées à l'examen national sur le chapitre « Limites et continuité ». Les limites se calculent en factorisant, en multipliant par la quantité conjuguée ou en utilisant les limites usuelles. La continuité se prouve en comparant la limite à la valeur de la fonction, et la détermination d'un paramètre passe par l'égalité des limites à gauche, à droite et de la valeur au point.

Le théorème des valeurs intermédiaires et son corollaire en cas de stricte monotonie sont les outils centraux pour prouver l'existence et l'unicité d'une solution. La construction de la fonction réciproque suit toujours le même schéma : vérifier la continuité et la stricte monotonie, déterminer l'intervalle image, résoudre $f(y) = x$, puis échanger les lettres. Enfin, les racines n-ièmes et les changements de variable permettent de traiter les expressions les plus complexes.

Prends l'habitude de rédiger chaque étape, de vérifier les hypothèses avant d'appliquer un théorème, et de tracer les courbes pour visualiser le comportement des fonctions. C'est cette rigueur qui fera la différence le jour de l'examen. Bon courage dans tes révisions.

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Cours de Mathématiques : Limites et continuité — Exercices avec solutions — 2e BAC PC & SVT 2025-2026

Niveau	2e année du baccalauréat
Filière	PC (Sciences physiques) et SVT
Matière	Mathématiques
Chapitre	Limites et continuité
Sous-chapitre	Exercices avec solutions : limites, continuité, prolongement, TVI, fonctions réciproques, racines n-ièmes
Programme	Programme officiel marocain — 2025-2026
Durée indicative d'étude	6 heures
Dernière mise à jour	24 octobre 2026

Ce document rassemble une série complète d'exercices avec solutions détaillées sur le chapitre « Limites et continuité » du programme de deuxième année du baccalauréat (filières PC et SVT). Chaque exercice est rédigé comme il doit l'être le jour de l'examen national : justification des hypothèses, calculs intermédiaires apparents, conclusion explicite. Les exercices couvrent l'ensemble des compétences attendues : calcul de limites avec indétermination, étude de la continuité en un point et aux bornes, détermination de paramètres, prolongement par continuité, application du théorème des valeurs intermédiaires, construction de fonctions réciproques et manipulation des racines n-ièmes.

À l'examen national, ce chapitre représente une part importante de la note. Le premier exercice du sujet porte presque systématiquement sur le calcul de limites et l'étude de la continuité d'une fonction définie par morceaux. Le problème final combine le TVI, l'étude des variations, la construction d'une fonction réciproque et parfois des calculs avec racines cubiques. En travaillant cette série avec rigueur, tu couvres l'essentiel des questions posées et tu acquiers les automatismes de rédaction qui font la différence entre une réponse partielle et une réponse complète.

Tu vas trouver dans les pages qui suivent un rappel condensé du cours, les méthodes pas à pas, les erreurs classiques, une sélection représentative d'exercices avec leurs solutions complètes, une fiche de révision express, un quiz d'autoévaluation, une FAQ détaillée et un bouton d'impression propre pour travailler sur papier, sans publicité, avec toutes les solutions visibles.

Table des matières

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Prérequis

Avant de commencer cette série d'exercices, vérifie que tu maîtrises les notions suivantes. Si un point te pose problème, reviens au cours correspondant avant d'attaquer les exercices.

Calcul des limites en un point, à droite, à gauche, en $+\infty$ et en $-\infty$.
Levée des formes indéterminées : $\frac{0}{0}$, $\frac{\infty}{\infty}$, $\infty - \infty$, $0 \times \infty$.
Limites trigonométriques usuelles : $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$, $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$, $\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$.
Définition de la continuité en un point : $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$.
Théorème des valeurs intermédiaires et son corollaire en cas de stricte monotonie.
Définition de la fonction réciproque et conditions d'existence (continuité et stricte monotonie).
Règles de calcul sur les racines n-ièmes et les puissances rationnelles.

Objectifs pédagogiques

À la fin de cette série, tu seras capable de :

Calculer une limite en factorisant, en multipliant par la quantité conjuguée ou en utilisant un changement de variable adapté.
Distinguer limite à droite et limite à gauche et en déduire la limite globale.
Étudier la continuité en un point, à droite et à gauche, et conclure sur la continuité en ce point.
Déterminer un paramètre réel pour assurer la continuité d'une fonction en un point donné.
Reconnaître une fonction prolongeable par continuité et construire son prolongement.
Justifier la continuité d'une fonction composée à partir des fonctions usuelles.
Calculer une limite par composition (théorème de la limite de $v \circ u$).
Déterminer l'image d'un intervalle par une fonction continue et monotone.
Appliquer le théorème des valeurs intermédiaires pour prouver l'existence et l'unicité d'une solution.
Déterminer la fonction réciproque d'une fonction continue et strictement monotone.
Résoudre des équations avec racines n-ièmes.

Le cours complet

1. Rappels sur les limites et les opérations

Limites usuelles à connaître

Pour $P$ et $Q$ deux polynômes, $x_0 \in \mathbb{R}$ et $a \in \mathbb{R}^*$ :

On retient également les trois limites trigonométriques fondamentales :

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \quad ; \quad \lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1 \quad ; \quad \lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$$

Formes indéterminées et techniques de levée

Quatre formes indéterminées principales se rencontrent : $\infty - \infty$, $0 \times \infty$, $\frac{0}{0}$ et $\frac{\infty}{\infty}$. Pour les lever, on utilise selon les cas :

La factorisation du terme dominant pour les limites en $\pm\infty$.
La multiplication par la quantité conjuguée pour les expressions avec racines carrées : $a - b = \frac{a^2 - b^2}{a + b}$.
Les identités cubiques pour les racines cubiques : $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$.
Le changement de variable pour se ramener à une forme connue.
Les limites trigonométriques usuelles pour les expressions avec $\sin$, $\cos$, $\tan$.

2. Continuité en un point

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle ouvert contenant $x_0$. On dit que $f$ est continue au point $x_0$ si :

$$\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$$

On dit que $f$ est continue à droite de $x_0$ si $\lim_{x \to x_0^+} f(x) = f(x_0)$, et continue à gauche de $x_0$ si $\lim_{x \to x_0^-} f(x) = f(x_0)$. Une fonction est continue en $x_0$ si et seulement si elle est continue à droite et à gauche de $x_0$.

3. Prolongement par continuité

Si $f$ est définie sur $D_f$ et $a \notin D_f$ avec $\lim_{x \to a} f(x) = \ell$ finie, on peut définir une nouvelle fonction $\tilde{f}$ par $\tilde{f}(x) = f(x)$ pour $x \neq a$ et $\tilde{f}(a) = \ell$. Cette fonction est continue en $a$ et s'appelle le prolongement par continuité de $f$ en $a$. Si la limite est infinie ou n'existe pas, aucun prolongement n'est possible.

4. Composition et limite

Si $\lim_{x \to x_0} u(x) = \ell$ et si $v$ est continue en $\ell$, alors $\lim_{x \to x_0} v(u(x)) = v(\ell)$. C'est le théorème qui permet de calculer les limites de fonctions trigonométriques composées ou de racines de fonctions.

5. Image d'un intervalle par une fonction continue

L'image d'un segment $[a,b]$ par une fonction continue $f$ est $[m, M]$ où $m$ et $M$ sont le minimum et le maximum de $f$ sur $[a,b]$. Si $f$ est continue et strictement monotone sur $I$, l'image se calcule à l'aide des bornes et des limites aux bornes : pour $f$ strictement croissante, $f([a,b]) = [f(a), f(b)]$ et $f([a,b[) = [f(a), \lim_{x \to b^-} f(x)[$.

6. Théorème des valeurs intermédiaires

Si $f$ est continue sur $[a,b]$, pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe au moins un $c \in [a,b]$ tel que $f(c) = k$. Si $f$ est de plus strictement monotone sur $[a,b]$, cette solution $c$ est unique.

Corollaire fréquent : si $f$ est continue sur $[a,b]$ et si $f(a) \cdot f(b) \lt 0$, alors il existe au moins un $c \in ]a,b[$ tel que $f(c) = 0$.

7. Fonctions réciproques

Si $f$ est continue et strictement monotone sur un intervalle $I$, alors $f$ réalise une bijection de $I$ sur $J = f(I)$ et admet une fonction réciproque $f^{-1} : J \to I$ telle que :

$$\begin{cases} y = f(x) \\ x \in I \end{cases} \iff \begin{cases} x = f^{-1}(y) \\ y \in J \end{cases}$$

De plus, $f^{-1}$ est continue sur $J$ et a le même sens de monotonie que $f$. Les courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_{f^{-1}}$ sont symétriques par rapport à la droite $y = x$.

Méthodes et exemples corrigés

Méthode 1 — Lever une indétermination avec la quantité conjuguée

Étapes :

Repérer la présence d'une racine carrée dans une forme $\frac{0}{0}$ ou $\infty - \infty$.
Multiplier numérateur et dénominateur par la quantité conjuguée.
Appliquer l'identité $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ pour éliminer la racine.
Simplifier et conclure.

Exemple. Calculer $\lim_{x \to +\infty} \sqrt{x^2+x} - x$. On a une forme $\infty - \infty$. On multiplie par la quantité conjuguée :

$$\sqrt{x^2+x} - x = \frac{x}{\sqrt{x^2+x} + x} = \frac{x}{x\sqrt{1+\frac{1}{x}} + x} = \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x}} + 1} \xrightarrow{x \to +\infty} \frac{1}{2}$$

Méthode 2 — Étudier la continuité en un point

Étapes :

Vérifier que $x_0$ appartient à $D_f$ et calculer $f(x_0)$.
Calculer $\lim_{x \to x_0} f(x)$ par factorisation, quantité conjuguée ou limite usuelle.
Comparer les deux valeurs. Égalité : continue. Sinon : discontinue.

Exemple. Soit $f(x) = \dfrac{x^2-6x+5}{x-1}$ pour $x \neq 1$ et $f(1) = -4$. On factorise : $x^2-6x+5 = (x-1)(x-5)$, donc $f(x) = x-5$ pour $x \neq 1$. D'où $\lim_{x \to 1} f(x) = 1-5 = -4 = f(1)$. Conclusion : $f$ est continue en $1$.

Méthode 3 — Déterminer un paramètre pour la continuité

Étapes :

Calculer $f(x_0)$ et les limites à gauche et à droite en fonction du paramètre.
Imposer l'égalité des trois quantités.
Résoudre l'équation obtenue.

Exemple. Soit $f(x) = \dfrac{\sin(\pi x)}{x-1}$ pour $x \neq 1$ et $f(1) = m$. On pose $h = x-1$ :

$$\frac{\sin(\pi x)}{x-1} = \frac{-\sin(\pi h)}{h} = -\pi \cdot \frac{\sin(\pi h)}{\pi h} \to -\pi$$

Donc $m = -\pi$ pour que $f$ soit continue en $1$.

Méthode 4 — Prouver l'existence et l'unicité par le TVI

Étapes :

Justifier la continuité de $f$ sur $[a,b]$.
Calculer $f(a)$ et $f(b)$ et vérifier $f(a) \cdot f(b) \lt 0$.
Conclure à l'existence par le TVI.
Étudier la stricte monotonie via le signe de $f'$ pour l'unicité.

Exemple. Montrer que $x^3 + x + 1 = 0$ admet une racine unique dans $]-1,0[$. $f(x) = x^3+x+1$ est continue sur $[-1,0]$, $f(-1) = -1$ et $f(0) = 1$, donc $f(-1) \cdot f(0) \lt 0$. Par le TVI, il existe $c \in ]-1,0[$ tel que $f(c) = 0$. De plus $f'(x) = 3x^2+1 \gt 0$ sur $\mathbb{R}$, donc $f$ est strictement croissante et $c$ est unique.

Erreurs fréquentes et pièges

Piège 1 — Oublier la limite à gauche ou à droite. Pour une fonction définie par morceaux, un seul calcul ne suffit pas. Il faut comparer la limite à gauche, la limite à droite et la valeur $f(x_0)$.

Piège 2 — Confondre existence et unicité dans le TVI. Le TVI garantit l'existence d'au moins une solution. L'unicité exige la stricte monotonie. Ne conclus jamais à l'unicité sans avoir prouvé la stricte monotonie.

Piège 3 — Mal utiliser la quantité conjuguée avec une racine cubique. Pour $\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}$, on utilise l'identité $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$, donc le facteur à multiplier est $a^2 + ab + b^2$, pas $a + b$.

Piège 4 — Confondre $f^{-1}$ et $1/f$. $f^{-1}$ est la fonction réciproque, $1/f$ est l'inverse arithmétique. Ce sont deux notions totalement différentes.

Piège 5 — Oublier de vérifier la condition $f'(x_0) \neq 0$. La formule $(f^{-1})'(y_0) = 1/f'(x_0)$ n'est valable que si $f'(x_0) \neq 0$. Sinon $f^{-1}$ n'est pas dérivable en $y_0$.

Piège 6 — Écrire $\sqrt[n]{a+b} = \sqrt[n]{a} + \sqrt[n]{b}$. Cette égalité est fausse en général. Les seules règles valables sont celles sur le produit et le quotient.

Exercices et examens nationaux

Exercice	Type	Année / Session	Niveau
Exercice 1 — Limites variées	Application directe	—	Facile
Exercice 2 — Limites latérales	Application directe	—	Moyen
Exercice 3 — Paramètre $m$	Détermination de paramètre	Examen national	Moyen
Exercice 4 — Continuité avec $\sqrt{x}$	Étude de continuité	Examen national	Moyen
Exercice 5 — Prolongement par continuité	Application directe	—	Moyen
Exercice 6 — TVI unicité	Théorème des valeurs intermédiaires	Examen national	Moyen
Exercice 7 — Fonction réciproque	Étude complète	Examen national	Moyen
Exercice 8 — Racines n-ièmes	Équations	—	Moyen

Tous les exercices et sujets corrigés

Consultez la liste complète des exercices d'application, exercices corrigés et examens nationaux classés par chapitre et par filière.

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Exercice 1 — Calcul de limites variées

Énoncé. Déterminer les limites suivantes :

$$\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x^2+3}+1}{2x-1} \quad ; \quad \lim_{x \to +\infty} \frac{2x+5x^2-7x^4}{x-10x^2+14x^3} \quad ; \quad \lim_{x \to -\infty} \frac{3x+8x^2-2x^5}{x^2+2x^6} \quad ; \quad \lim_{x \to +\infty} \sqrt{x^2+x} - x$$

Voir la correction

Première limite. Pas d'indétermination : $\lim_{x \to 1} (\sqrt{x^2+3}+1) = 3$ et $\lim_{x \to 1} (2x-1) = 1$. Donc la limite vaut $3$.

Deuxième limite. On factorise par le terme dominant : numérateur $\sim -7x^4$, dénominateur $\sim 14x^3$. Donc le quotient $\sim -\frac{x}{2}$, et la limite en $+\infty$ est $-\infty$.

Troisième limite. Numérateur $\sim -2x^5$, dénominateur $\sim 2x^6$. Donc le quotient $\sim -\frac{1}{x}$, et la limite en $-\infty$ est $0$.

Quatrième limite. Forme $\infty - \infty$. On multiplie par la quantité conjuguée :

$\sqrt{x^2+x}-x = \dfrac{x}{\sqrt{x^2+x}+x} = \dfrac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x}}+1} \to \dfrac{1}{2}$.

Exercice 2 — Limites à droite et à gauche

Énoncé. Soit $f(x) = \dfrac{(x+1)^2}{|x^2-1|}$ pour $x \neq \pm 1$. Étudier la limite de $f$ en $-1$.

Voir la correction

Pour $-1 \lt x \lt 1$ : $x^2-1 \lt 0$, donc $|x^2-1| = -(x-1)(x+1)$ et $f(x) = \dfrac{x+1}{1-x}$.

Pour $x \lt -1$ : $x^2-1 \gt 0$, donc $|x^2-1| = (x-1)(x+1)$ et $f(x) = \dfrac{x+1}{x-1}$.

On a donc $\lim_{x \to -1^+} f(x) = 0$ et $\lim_{x \to -1^-} f(x) = 0$.

Conclusion : $\lim_{x \to -1} f(x) = 0$.

Exercice 3 — Continuité avec paramètre $m$

Énoncé. Soit $f(x) = \dfrac{\sin(\pi x)}{x-1}$ pour $x \neq 1$ et $f(1) = m$. Déterminer $m$ pour que $f$ soit continue en $1$.

Voir la correction

On pose $h = x-1$, donc $x \to 1 \iff h \to 0$ :

$\dfrac{\sin(\pi x)}{x-1} = \dfrac{\sin(\pi(h+1))}{h} = \dfrac{-\sin(\pi h)}{h} = -\pi \cdot \dfrac{\sin(\pi h)}{\pi h} \to -\pi$.

Pour la continuité, on doit donc avoir $m = -\pi$.

Exercice 4 — Continuité d'une expression avec $\sqrt{x}$ et $\tan$

Énoncé. Soit $f(x) = \dfrac{\sqrt{x+1}-1}{\tan x}$ pour $x \neq 0$ et $f(0) = \dfrac{1}{2}$. Étudier la continuité de $f$ en $0$.

Voir la correction

On multiplie par la quantité conjuguée :

$f(x) = \dfrac{x}{\tan x} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{x+1}+1}$.

Or $\lim_{x \to 0} \dfrac{x}{\tan x} = 1$ et $\lim_{x \to 0} \dfrac{1}{\sqrt{x+1}+1} = \dfrac{1}{2}$. Donc $\lim_{x \to 0} f(x) = \dfrac{1}{2} = f(0)$.

Conclusion : $f$ est continue en $0$.

Exercice 5 — Prolongement par continuité

Énoncé. Soit $f(x) = \dfrac{x^3+1}{x^2+3x+2}$. Déterminer $D_f$, puis étudier si $f$ admet un prolongement par continuité en $-1$ et en $-2$.

Voir la correction

Le dénominateur s'annule en $-1$ et $-2$, donc $D_f = \mathbb{R} \setminus \{-1,-2\}$. On factorise : $x^3+1 = (x+1)(x^2-x+1)$ et $x^2+3x+2 = (x+1)(x+2)$, donc $f(x) = \dfrac{x^2-x+1}{x+2}$ pour $x \notin \{-1,-2\}$.

En $-1$ : $\lim_{x \to -1} f(x) = 3$. Cette limite est finie, donc $f$ admet un prolongement par continuité en $-1$ en posant $\tilde{f}(-1) = 3$.

En $-2$ : numérateur $= 7 \neq 0$, dénominateur tend vers $0$, donc la limite est infinie. Pas de prolongement en $-2$.

Exercice 6 — TVI et unicité

Énoncé. Montrer que l'équation $x^3+x+1 = 0$ admet une racine unique dans $]-1,0[$.

Voir la correction

Posons $f(x) = x^3+x+1$. $f$ est continue sur $[-1,0]$ (polynôme). On a $f(-1) = -1 \lt 0$ et $f(0) = 1 \gt 0$, donc $f(-1) \cdot f(0) \lt 0$. Par le TVI, il existe $c \in ]-1,0[$ tel que $f(c) = 0$.

De plus, $f'(x) = 3x^2+1 \gt 0$ sur $\mathbb{R}$, donc $f$ est strictement croissante et la solution $c$ est unique.

Exercice 7 — Fonction réciproque d'une homographique

Voir la correction

$f$ est continue sur $I$ et $f'(x) = \dfrac{5}{(x+2)^2} \gt 0$, donc $g$ est strictement croissante sur $I$.

L'image est $J = g(I) = \left]\lim_{x \to -2^+} g(x), \lim_{x \to +\infty} g(x)\right[ = \left]-\infty, 1\right[$.

Pour $y \in I$ et $x \in J$, on résout $g(y) = x$ : $\dfrac{y-3}{y+2} = x \iff y(1-x) = 2x+3 \iff y = \dfrac{2x+3}{1-x}$.

Donc $g^{-1}(x) = \dfrac{2x+3}{1-x}$ pour $x \in ]-\infty,1[$.

Exercice 8 — Fonction réciproque d'une racine carrée

Énoncé. Soit $f$ définie sur $I = \left[\dfrac{1}{2},+\infty\right[$ par $f(x) = \sqrt{2x-1}$. Montrer que $f$ admet une fonction réciproque $f^{-1}$ sur $J = f(I)$, puis déterminer $f^{-1}(x)$.

Voir la correction

$f$ est continue sur $I$ et $f'(x) = \dfrac{1}{\sqrt{2x-1}} \gt 0$ pour $x \gt 1/2$, donc $f$ est strictement croissante. L'image est $J = [0,+\infty[$.

Pour $y \in I$ et $x \in J$, on résout $\sqrt{2y-1} = x$, soit $y = \dfrac{x^2+1}{2}$.

Donc $f^{-1}(x) = \dfrac{x^2+1}{2}$ pour $x \in [0,+\infty[$.

Exercice 9 — Équations avec racines n-ièmes

Énoncé. Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations $x^5 = 32$, $x^7 = -128$, $x^4 = 3$ et $x^6 = -8$.

Voir la correction

$x^5 = 32$ : $n=5$ impair, $32 \gt 0$, donc $x = \sqrt[5]{32} = 2$. $S = \{2\}$.

$x^7 = -128$ : $n=7$ impair, $-128 \lt 0$, donc $x = -\sqrt[7]{128} = -2$. $S = \{-2\}$.

$x^4 = 3$ : $n=4$ pair, $3 \gt 0$, donc $x = \pm\sqrt[4]{3}$. $S = \{-\sqrt[4]{3}, \sqrt[4]{3}\}$.

$x^6 = -8$ : $n=6$ pair et $-8 \lt 0$, donc $S = \varnothing$.

Fiche de révision express

Notion	Formule / Propriété
Continuité en $x_0$	$\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$
Continuité à droite / gauche	$\lim_{x \to x_0^+} f(x) = f(x_0)$ / $\lim_{x \to x_0^-} f(x) = f(x_0)$
Limites trigo.	$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ ; $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$ ; $\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$
Quantité conjuguée	$a-b = \frac{a^2-b^2}{a+b}$ (racine carrée) ; $a-b = \frac{a^3-b^3}{a^2+ab+b^2}$ (racine cubique)
Prolongement	Si $\lim_{x \to a} f(x) = \ell$ finie, on pose $\tilde{f}(a) = \ell$
Composition	$\lim_{x \to x_0} u = \ell$, $v$ cont en $\ell$ $\Rightarrow$ $\lim v(u(x)) = v(\ell)$
Image d'un segment	$f([a,b]) = [\min f, \max f]$
Image strict. croissante	$f([a,b]) = [f(a), f(b)]$
Image strict. décroissante	$f([a,b]) = [f(b), f(a)]$
TVI général	$f$ cont, $k$ entre $f(a)$ et $f(b)$ $\Rightarrow$ $\exists c, f(c)=k$
Corollaire TVI	$f$ cont, $f(a)f(b) \lt 0$ $\Rightarrow$ $\exists c, f(c)=0$
Unicité	$f$ cont et strict. monotone $\Rightarrow$ solution unique
Fonction réciproque	$f$ cont et strict. monotone sur $I$ $\Rightarrow$ bijection $I \to f(I)$, $f^{-1}$ cont et même monotonie
Calcul de $f^{-1}$	Résoudre $f(y) = x$ en $y$, puis échanger $x$ et $y$
Symétrie	$\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_{f^{-1}}$ symétriques par rapport à $y = x$
Racine n-ième	$\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}$ ; $\sqrt[n]{a/b} = \sqrt[n]{a}/\sqrt[n]{b}$

Quiz d'autoévaluation

Question 1 — Que vaut $\lim_{x \to 0} \dfrac{\tan(3x)}{x}$ ?

On écrit $\dfrac{\tan(3x)}{x} = 3 \cdot \dfrac{\tan(3x)}{3x} \to 3$. La limite vaut donc $3$.

Question 2 — Quelle condition faut-il pour qu'une fonction admette un prolongement par continuité en $a$ ?

Il faut que la limite $\lim_{x \to a} f(x)$ existe et soit finie. Si la limite est infinie ou n'existe pas, aucun prolongement n'est possible. On pose alors $\tilde{f}(a) = \ell$ pour rendre la fonction continue en $a$.

Question 3 — Le TVI garantit-il l'unicité de la solution ?

Non, il garantit uniquement l'existence d'au moins une solution. L'unicité exige la stricte monotonie de $f$ sur l'intervalle considéré. C'est ce que l'on vérifie en calculant $f'$ et en étudiant son signe.

Question 4 — Comment déterminer $f^{-1}(x)$ pour une fonction homographique ?

On résout $f(y) = x$ en isolant $y$. Par exemple, pour $f(y) = \dfrac{y-3}{y+2}$, on obtient $y(1-x) = 2x+3$, donc $y = \dfrac{2x+3}{1-x}$. On échange ensuite les lettres pour obtenir $f^{-1}(x)$.

Question 5 — Que vaut $\sqrt[3]{81} \cdot \sqrt[3]{1/3}$ ?

On utilise la règle $\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{b} = \sqrt[3]{ab}$ : $\sqrt[3]{81 \cdot \frac{1}{3}} = \sqrt[3]{27} = 3$.

Questions fréquentes

Comment choisir entre factorisation et quantité conjuguée ?

La factorisation s'utilise pour les fractions rationnelles (quotients de polynômes). La quantité conjuguée s'utilise lorsqu'il y a des racines carrées ou cubiques : elle permet de faire disparaître la racine par l'identité $a^2-b^2$ ou $a^3-b^3$.

Peut-on toujours prolonger une fonction par continuité ?

Non. Il faut que la limite en $a$ existe et soit finie. Si la limite est infinie (comme $1/x$ en $0$), ou si les limites à gauche et à droite sont différentes, il n'existe pas de prolongement par continuité.

Comment rédiger une preuve d'unicité par le TVI ?

On rédige en trois temps : (1) justifier la continuité de $f$ sur $[a,b]$ ; (2) appliquer le corollaire du TVI ($f(a) \cdot f(b) \lt 0$) pour prouver l'existence ; (3) calculer $f'(x)$ et montrer qu'elle garde un signe constant strict sur $]a,b[$, ce qui prouve la stricte monotonie et donc l'unicité.

Comment vérifier les hypothèses du théorème des fonctions réciproques ?

Deux conditions : la continuité sur $I$ (justifiée par les propriétés des fonctions usuelles) et la stricte monotonie sur $I$ (vérifiée par le signe de la dérivée). Il faut aussi que la fonction soit définie sur tout l'intervalle et que le dénominateur ne s'annule pas.

Que faire quand la fonction est définie par morceaux ?

Comment résoudre une équation avec plusieurs racines n-ièmes ?

Résumé final

Cette série d'exercices avec solutions couvre l'ensemble des compétences attendues sur le chapitre « Limites et continuité ». Les limites se calculent en factorisant, en multipliant par la quantité conjuguée ou en utilisant les limites trigonométriques usuelles. La continuité se prouve en comparant la limite à la valeur de la fonction, et la détermination d'un paramètre passe par l'égalité des limites à gauche, à droite et de la valeur au point.

Le théorème des valeurs intermédiaires est l'outil central pour prouver l'existence d'une solution, et la stricte monotonie permet d'en garantir l'unicité. Le prolongement par continuité s'obtient lorsqu'une limite finie existe en un point où la fonction n'est pas définie. La construction de la fonction réciproque suit un schéma constant : vérifier la continuité et la stricte monotonie, déterminer l'intervalle image, résoudre $f(y) = x$, puis échanger les lettres.

Prends l'habitude de refaire chaque exercice sans regarder le corrigé, de vérifier les hypothèses avant chaque théorème, et de rédiger proprement les conclusions. C'est cette rigueur qui fera la différence le jour de l'examen. Bon courage dans tes révisions.

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Cours de Mathématiques : Continuité et théorème des valeurs intermédiaires — Exercices corrigés — 2e BAC PC & SVT 2025-2026

Niveau	2e année du baccalauréat
Filière	PC (Sciences physiques) et SVT
Matière	Mathématiques
Chapitre	Limites et continuité
Sous-chapitre	Continuité en un point, continuité sur un intervalle, prolongement par continuité, TVI, exercices corrigés
Programme	Programme officiel marocain — 2025-2026
Durée indicative d'étude	5 heures
Dernière mise à jour	24 octobre 2026

Cette série d'exercices corrigés porte sur la continuité et le théorème des valeurs intermédiaires, deux notions centrales du programme de mathématiques de deuxième année du baccalauréat. Elle rassemble des exercices classiques d'étude de continuité de fonctions définies par morceaux, de détermination de paramètres, de prolongement par continuité, d'application du TVI et d'étude de fonctions polynômes. Chaque énoncé est suivi d'une correction rédigée étape par étape, avec les justifications attendues le jour de l'examen national.

À l'examen national, la continuité apparaît presque systématiquement dans le premier exercice du sujet, sous la forme d'une fonction définie par morceaux dont il faut étudier la continuité aux points de raccord, ou sous la forme d'un paramètre à déterminer pour assurer la continuité en un point. Le théorème des valeurs intermédiaires est quant à lui au cœur du problème final : il permet de prouver l'existence d'une solution, puis l'unicité grâce à la stricte monotonie. Les exercices proposés ici couvrent précisément ces deux types de questions, ainsi que des applications concrètes comme les tarifs postaux ou le calcul de l'impôt par tranches.

Tu trouveras dans ce document un rappel du cours sur la continuité et le TVI, les méthodes pas à pas, les erreurs fréquentes à éviter, une dizaine d'exercices intégralement corrigés, une fiche de révision express, un quiz d'autoévaluation, une FAQ détaillée et un bouton d'impression propre pour travailler sur papier, sans publicité, avec toutes les solutions visibles.

Table des matières

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Prérequis

Avant d'aborder cette série d'exercices, vérifie que tu maîtrises les notions suivantes. Si un point te pose problème, reviens au cours correspondant avant de commencer.

Calcul des limites en un point, à droite, à gauche, en $+\infty$ et en $-\infty$.
Levée des formes indéterminées : $\frac{0}{0}$, $\frac{\infty}{\infty}$, $\infty - \infty$, $0 \times \infty$.
Définition de la continuité en un point : $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$.
Continuité à droite et à gauche d'un point.
Continuité des fonctions usuelles : polynômes, fonctions rationnelles, fonctions trigonométriques, fonction racine carrée.
Dérivation : formules usuelles et règles de calcul.
Lien entre signe de la dérivée et sens de variation d'une fonction.
Théorème des valeurs intermédiaires et son corollaire en cas de stricte monotonie.

Objectifs pédagogiques

À la fin de cette série, tu seras capable de :

Étudier la continuité d'une fonction en un point à l'aide des limites à droite et à gauche.
Étudier la continuité d'une fonction définie par morceaux aux points de raccord.
Déterminer un paramètre réel pour assurer la continuité d'une fonction en un point donné.
Reconnaître une fonction prolongeable par continuité et construire son prolongement.
Justifier la continuité d'une fonction à partir des fonctions usuelles et des opérations.
Appliquer le théorème des valeurs intermédiaires pour prouver l'existence d'une solution.
Utiliser la stricte monotonie pour prouver l'unicité d'une solution.
Étudier le signe d'une fonction à partir de son tableau de variations et de ses racines.
Rédiger proprement une solution en vérifiant les hypothèses et en explicitant la conclusion.

Le cours complet

1. Continuité en un point

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle ouvert contenant $x_0$. On dit que $f$ est continue au point $x_0$ si :

$$\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$$

2. Continuité à droite et à gauche

Soit $f$ définie sur un intervalle de la forme $[x_0, x_0+\alpha[$ avec $\alpha \gt 0$. On dit que $f$ est continue à droite de $x_0$ si :

$$\lim_{x \to x_0^+} f(x) = f(x_0)$$

De même, si $f$ est définie sur $]x_0-\alpha, x_0]$, on dit que $f$ est continue à gauche de $x_0$ si :

$$\lim_{x \to x_0^-} f(x) = f(x_0)$$

Une fonction est continue en $x_0$ si et seulement si elle est continue à droite et à gauche de $x_0$ :

$$f \text{ continue en } x_0 \iff \lim_{x \to x_0^+} f(x) = \lim_{x \to x_0^-} f(x) = f(x_0)$$

3. Continuité sur un intervalle

$f$ est continue sur un intervalle ouvert $I$ si elle est continue en chaque point de $I$.
$f$ est continue sur $[a,b[$ si elle est continue sur $]a,b[$ et continue à droite de $a$.
$f$ est continue sur $]a,b]$ si elle est continue sur $]a,b[$ et continue à gauche de $b$.
$f$ est continue sur $[a,b]$ si elle est continue sur $]a,b[$, continue à droite de $a$ et continue à gauche de $b$.

4. Prolongement par continuité

Soit $f$ définie sur $D_f$ et $a \notin D_f$. Si $\lim_{x \to a} f(x) = \ell$ finie, on peut définir une nouvelle fonction $\tilde{f}$ par $\tilde{f}(x) = f(x)$ pour $x \neq a$ et $\tilde{f}(a) = \ell$. Cette fonction est continue en $a$ et s'appelle le prolongement par continuité de $f$ en $a$. Si la limite est infinie ou n'existe pas, aucun prolongement n'est possible.

5. Fonctions usuelles et opérations

Toute fonction polynôme est continue sur $\mathbb{R}$. Toute fonction rationnelle est continue sur chaque intervalle de son domaine de définition. Les fonctions $\sin$ et $\cos$ sont continues sur $\mathbb{R}$, la fonction $\tan$ est continue sur $]-\frac{\pi}{2}+k\pi, \frac{\pi}{2}+k\pi[$ avec $k \in \mathbb{Z}$, et la fonction $\sqrt{}$ est continue sur $[0,+\infty[$.

Si $f$ et $g$ sont continues en $a$, alors $f+g$, $f \times g$ et $|f|$ sont continues en $a$. Si de plus $g(a) \neq 0$, alors $\frac{1}{g}$ et $\frac{f}{g}$ sont continues en $a$. Si $f$ est continue en $a$ et $f(a) \geq 0$, alors $\sqrt{f}$ est continue en $a$.

6. Composition de fonctions continues

Si $f$ est continue en $x_0$ et $g$ continue en $f(x_0)$, alors $g \circ f$ est continue en $x_0$. Si $f$ est continue sur $I$ et $g$ continue sur $f(I)$, alors $g \circ f$ est continue sur $I$.

7. Théorème des valeurs intermédiaires

Soit $f$ une fonction continue sur un segment $[a,b]$. Pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe au moins un réel $c \in [a,b]$ tel que :

$$f(c) = k$$

Si $f$ est de plus strictement monotone sur $[a,b]$, alors pour tout $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, l'équation $f(x) = k$ admet une unique solution dans $[a,b]$.

Corollaire fréquent : si $f$ est continue sur $[a,b]$ et si $f(a) \cdot f(b) \lt 0$, alors il existe au moins un $c \in ]a,b[$ tel que $f(c) = 0$. Si $f$ est strictement monotone sur $[a,b]$, ce $c$ est unique.

Méthodes et exemples corrigés

Méthode 1 — Étudier la continuité en un point

Étapes :

Vérifier que $x_0$ appartient à $D_f$ et calculer $f(x_0)$.
Calculer la limite à gauche $\lim_{x \to x_0^-} f(x)$ et la limite à droite $\lim_{x \to x_0^+} f(x)$.
Comparer les trois quantités. Si elles sont égales, $f$ est continue en $x_0$ ; sinon, elle ne l'est pas.

Exemple. Soit $f(x) = x^2-1$ si $x \leq 2$ et $f(x) = 5-x$ si $x \gt 2$. On a $f(2) = 3$. La limite à gauche vaut $\lim_{x \to 2^-} (x^2-1) = 3$ et la limite à droite vaut $\lim_{x \to 2^+} (5-x) = 3$. Donc $f$ est continue en $2$.

Méthode 2 — Déterminer un paramètre pour la continuité

Étapes :

Calculer la valeur $f(x_0)$ et les limites à gauche et à droite en fonction du paramètre.
Imposer l'égalité des trois quantités.
Résoudre l'équation obtenue.

Exemple. Soit $f(x) = \dfrac{\sqrt{1+x}-1}{x}$ pour $x \neq 0$ et $f(0) = a$. On reconnaît un taux d'accroissement : $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{1+x}-1}{x} = \frac{1}{2}$. Donc $f$ est continue en $0$ si et seulement si $a = \frac{1}{2}$.

Méthode 3 — Appliquer le TVI pour prouver l'existence

Étapes :

Justifier la continuité de $f$ sur $[a,b]$.
Calculer $f(a)$ et $f(b)$ et vérifier que $0$ est compris entre ces deux valeurs, ou que $f(a) \cdot f(b) \lt 0$.
Conclure à l'existence d'au moins un $c \in ]a,b[$ tel que $f(c) = 0$.

Exemple. Pour $f(x) = x^3+3x-5$, $f$ est continue sur $\mathbb{R}$, $f(1) = -1$ et $f(2) = 9$, donc $f(1) \cdot f(2) \lt 0$. Par le TVI, il existe $c \in ]1,2[$ tel que $f(c) = 0$.

Méthode 4 — Prouver l'unicité par la stricte monotonie

Étapes :

Calculer $f'(x)$.
Montrer que $f'(x) \gt 0$ sur $]a,b[$ (ou $f'(x) \lt 0$).
Conclure que $f$ est strictement monotone sur $[a,b]$, donc que la solution trouvée par le TVI est unique.

Exemple. Pour $f(x) = x^3+3x-5$, $f'(x) = 3x^2+3 \gt 0$ sur $\mathbb{R}$. Donc $f$ est strictement croissante et l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha \in ]1,2[$.

Erreurs fréquentes et pièges

Piège 1 — Oublier une limite latérale. Pour une fonction définie par morceaux, un seul calcul ne suffit pas. Il faut calculer la limite à gauche, la limite à droite et comparer à $f(x_0)$.

Piège 2 — Confondre existence et unicité. Le TVI garantit l'existence d'au moins une solution. L'unicité exige la stricte monotonie. Ne conclus jamais à l'unicité sans avoir prouvé la stricte monotonie.

Piège 3 — Négliger le domaine de définition. Si $x_0 \notin D_f$, la question de la continuité en $x_0$ ne se pose pas. Il faut d'abord vérifier que $f$ est définie en $x_0$.

Piège 4 — Mal interpréter un tableau de variations. Un tableau de variations ne donne pas la valeur exacte des solutions, mais permet de localiser les racines et d'appliquer le TVI sur chaque intervalle de monotonie.

Piège 5 — Oublier que la continuité est locale. Une fonction peut être continue sur $]-\infty,1[$ et sur $]1,+\infty[$ sans être continue en $1$. Il faut toujours examiner les points de raccord.

Piège 6 — Écrire une conclusion sans justification. Au bac, la conclusion doit être explicite : « donc $f$ est continue en $x_0$ » ou « donc l'équation admet une unique solution dans $]a,b[$ ». Une réponse non rédigée perd des points.

Exercices et examens nationaux

Exercice	Type	Année / Session	Niveau
Exercice 1 — Continuité par morceaux	Application directe	—	Facile
Exercice 2 — Points de raccord	Application directe	—	Moyen
Exercice 3 — Continuité et dérivabilité	Étude de fonction	Examen national	Moyen
Exercice 4 — Paramètre $a$	Détermination de paramètre	Examen national	Moyen
Exercice 5 — Prolongement par continuité	Application directe	—	Moyen
Exercice 6 — TVI et unicité	Théorème des valeurs intermédiaires	Examen national	Moyen
Exercice 7 — Étude complète de $g$	Polynôme du troisième degré	Examen national	Moyen
Exercice 8 — Signe et factorisation	Étude de signe	Examen national	Moyen
Exercice 9 — Équation $x^3+3x=5$	TVI et unicité	—	Moyen
Exercice 10 — Tarif postal	Fonction en escalier	—	Facile

Tous les exercices et sujets corrigés

Consultez la liste complète des exercices d'application, exercices corrigés et examens nationaux classés par chapitre et par filière.

Voir tous les exercices

Exercice 1 — Continuité par morceaux

Énoncé. Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2-1$ si $x \leq 2$ et $f(x) = 5-x$ si $x \gt 2$. Étudier la continuité de $f$ sur $\mathbb{R}$.

Voir la correction

Sur $]-\infty,2[$, $f$ est polynômiale donc continue. Sur $]2,+\infty[$, $f$ est affine donc continue.

En $2$, on a $f(2) = 2^2-1 = 3$. La limite à gauche vaut $\lim_{x \to 2^-} (x^2-1) = 3$. La limite à droite vaut $\lim_{x \to 2^+} (5-x) = 3$.

Comme les trois quantités sont égales, $f$ est continue en $2$.

Conclusion : $f$ est continue sur $\mathbb{R}$.

Exercice 2 — Points de raccord

Énoncé. Soit $f$ définie par $f(x) = -2x-3$ si $x \leq -1$, $f(x) = x$ si $-1 \lt x \leq 1$ et $f(x) = -3x$ si $x \gt 1$. Étudier la continuité de $f$.

Voir la correction

Sur chaque intervalle ouvert, $f$ est affine donc continue. Il reste à examiner les points $-1$ et $1$.

En $-1$ : $f(-1) = -2(-1)-3 = -1$. La limite à gauche vaut $\lim_{x \to -1^-} (-2x-3) = -1$ et la limite à droite vaut $\lim_{x \to -1^+} x = -1$. Donc $f$ est continue en $-1$.

En $1$ : $f(1) = 1$. La limite à gauche vaut $\lim_{x \to 1^-} x = 1$ et la limite à droite vaut $\lim_{x \to 1^+} (-3x) = -3$. Les limites ne sont pas égales, donc $f$ n'est pas continue en $1$.

Conclusion : $f$ est continue sur $\mathbb{R} \setminus \{1\}$.

Exercice 3 — Continuité et dérivabilité

Énoncé. Soit $f$ définie par $f(x) = x^2-1$ si $x \lt 0$ et $f(x) = x-1$ si $x \geq 0$. Étudier la continuité et la dérivabilité de $f$ en $0$.

Voir la correction

Continuité en $0$. $f(0) = -1$. La limite à gauche vaut $\lim_{x \to 0^-} (x^2-1) = -1$ et la limite à droite vaut $\lim_{x \to 0^+} (x-1) = -1$. Donc $f$ est continue en $0$.

Dérivabilité en $0$. Pour $x \lt 0$, $\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0} = \dfrac{x^2-1+1}{x} = x \to 0$. Donc la dérivée à gauche en $0$ vaut $0$. Pour $x \gt 0$, $\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0} = \dfrac{x-1+1}{x} = 1 \to 1$. Donc la dérivée à droite vaut $1$.

Comme les dérivées à gauche et à droite sont différentes, $f$ n'est pas dérivable en $0$.

Conclusion : $f$ est continue sur $\mathbb{R}$ mais non dérivable en $0$.

Exercice 4 — Détermination d'un paramètre

Énoncé. Soit $f$ définie par $f(x) = \dfrac{\sqrt{1+x}-1}{x}$ si $x \neq 0$ et $f(0) = a$. Déterminer $a$ pour que $f$ soit continue en $0$.

Voir la correction

On reconnaît un taux d'accroissement. Posons $g(x) = \sqrt{1+x}$. Alors $\dfrac{\sqrt{1+x}-1}{x} = \dfrac{g(x)-g(0)}{x-0}$, qui tend vers $g'(0)$ quand $x \to 0$.

Or $g'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{1+x}}$, donc $g'(0) = \dfrac{1}{2}$.

Ainsi $\lim_{x \to 0} f(x) = \dfrac{1}{2}$. Pour que $f$ soit continue en $0$, il faut $a = \dfrac{1}{2}$.

Exercice 5 — Prolongement par continuité

Énoncé. Soit $f(x) = \dfrac{x^2-x-2}{x-2}$ pour $x \neq 2$. La fonction $f$ admet-elle un prolongement par continuité en $2$ ? Si oui, donner ce prolongement.

Voir la correction

On factorise le numérateur : $x^2-x-2 = (x-2)(x+1)$. Donc pour $x \neq 2$ :

$f(x) = \dfrac{(x-2)(x+1)}{x-2} = x+1$.

On en déduit $\lim_{x \to 2} f(x) = 3$. La limite est finie, donc $f$ admet un prolongement par continuité en $2$ en posant $\tilde{f}(2) = 3$.

Exercice 6 — TVI et unicité

Énoncé. Montrer que l'équation $x^3+3x-5=0$ admet une unique solution dans $\mathbb{R}$.

Voir la correction

Posons $f(x) = x^3+3x-5$. $f$ est polynômiale, donc continue sur $\mathbb{R}$. Sa dérivée vaut $f'(x) = 3x^2+3 = 3(x^2+1) \gt 0$ pour tout $x$. Donc $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

De plus, $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$ et $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$. Donc $0$ est compris entre les limites aux bornes, et par le TVI, l'équation $f(x)=0$ admet au moins une solution. Par stricte monotonie, cette solution est unique.

Conclusion : l'équation $x^3+3x-5=0$ admet une unique solution $\alpha \in \mathbb{R}$. Un encadrement par la calculatrice donne $1{,}15 \lt \alpha \lt 1{,}16$.

Exercice 7 — Étude complète de $g$

Énoncé. Soit $g(x) = x^3-1200x-100$. Étudier le sens de variation de $g$ et montrer que l'équation $g(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $[20,40]$. Donner un encadrement de $\alpha$ à $10^{-1}$ près.

Voir la correction

$g$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $g'(x) = 3x^2-1200 = 3(x-20)(x+20)$. On en déduit le tableau de variations : $g$ est croissante sur $]-\infty,-20]$, décroissante sur $[-20,20]$ et croissante sur $[20,+\infty[$.

Sur $[20,40]$, $g$ est continue et strictement croissante. On a $g(20) = -16100 \lt 0$ et $g(40) = 15900 \gt 0$. Par le TVI, il existe une unique solution $\alpha \in ]20,40[$ telle que $g(\alpha)=0$.

Par la calculatrice, on obtient $g(34{,}6) \lt 0$ et $g(34{,}7) \gt 0$. Donc $34{,}6 \lt \alpha \lt 34{,}7$.

Exercice 8 — Signe et factorisation

Énoncé. Soit $f(x) = x^3-30x^2+112$. Étudier le signe de $f(x)$ sur $\mathbb{R}$ et résoudre $f(x)=0$.

Voir la correction

On remarque que $f(2) = 8-120+112 = 0$. On factorise par $(x-2)$ : $f(x) = (x-2)(x^2-28x-56)$.

L'équation $x^2-28x-56=0$ a pour discriminant $\Delta = 784 + 224 = 1008 = (12\sqrt{7})^2$. Ses solutions sont $14 \pm 6\sqrt{7}$.

Donc $f(x)=0$ a trois solutions : $x_1 = 14-6\sqrt{7} \approx -1{,}87$, $x_2 = 2$, $x_3 = 14+6\sqrt{7} \approx 29{,}87$.

Le signe de $f$ s'obtient par le tableau de signes : négatif sur $]-\infty,x_1[$, positif sur $]x_1,x_2[$, négatif sur $]x_2,x_3[$, positif sur $]x_3,+\infty[$.

Exercice 9 — Équation $x^3+3x=5$

Énoncé. Montrer que l'équation $x^3+3x=5$ admet une unique solution $\alpha$ dans $\mathbb{R}$, et donner un encadrement de $\alpha$ à $10^{-2}$ près.

Voir la correction

L'équation équivaut à $x^3+3x-5=0$. Posons $f(x)=x^3+3x-5$. $f$ est continue et dérivable sur $\mathbb{R}$, et $f'(x)=3x^2+3 \gt 0$. Donc $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

Comme $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$ et $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$, le TVI assure l'existence d'une solution. La stricte monotonie assure l'unicité.

Par la calculatrice, $f(1{,}15) \approx -0{,}12$ et $f(1{,}16) \approx 0{,}04$. Donc $1{,}15 \lt \alpha \lt 1{,}16$.

Exercice 10 — Tarif postal

Énoncé. Le tarif d'affranchissement est donné par $f(x) = 0{,}41$ si $x \in [0,20]$, $f(x)=0{,}53$ si $x \in ]20,50]$, $f(x)=0{,}64$ si $x \in ]50,100]$ et $f(x)=1{,}22$ si $x \in ]100,250]$. Étudier les points de discontinuité de $f$.

Voir la correction

La fonction est constante par morceaux. Elle est donc continue sur chaque intervalle ouvert. Il faut examiner les bornes $20$, $50$ et $100$.

En $20$ : la limite à gauche vaut $0{,}41$ et la limite à droite vaut $0{,}53$. Les limites ne sont pas égales, donc $f$ est discontinue en $20$.

En $50$ : la limite à gauche vaut $0{,}53$ et la limite à droite vaut $0{,}64$. Donc $f$ est discontinue en $50$.

En $100$ : la limite à gauche vaut $0{,}64$ et la limite à droite vaut $1{,}22$. Donc $f$ est discontinue en $100$.

Conclusion : $f$ est discontinue en $20$, $50$ et $100$.

Fiche de révision express

Notion	Formule / Propriété
Continuité en $x_0$	$\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$
Continuité à droite / gauche	$\lim_{x \to x_0^+} f(x) = f(x_0)$ / $\lim_{x \to x_0^-} f(x) = f(x_0)$
Équivalence	$f$ continue en $x_0$ $\iff$ continue à droite et à gauche
Fonctions usuelles	Polynômes : $\mathbb{R}$ ; Rationnelles : $D_f$ ; $\sin, \cos$ : $\mathbb{R}$ ; $\tan$ : $]-\frac{\pi}{2}+k\pi,\frac{\pi}{2}+k\pi[$ ; $\sqrt{}$ : $[0,+\infty[$
Opérations	$f,g$ continues en $a$ $\Rightarrow$ $f+g$, $f \times g$, $\|f\|$ continues en $a$ ; si $g(a)\neq 0$, $\frac{1}{g}$ et $\frac{f}{g}$ continues en $a$
Composition	$f$ continue en $x_0$, $g$ continue en $f(x_0)$ $\Rightarrow$ $g \circ f$ continue en $x_0$
Prolongement	Si $\lim_{x \to a} f(x) = \ell$ finie, on pose $\tilde{f}(a)=\ell$
TVI	$f$ continue sur $[a,b]$, $k$ entre $f(a)$ et $f(b)$ $\Rightarrow$ $\exists c \in [a,b], f(c)=k$
Corollaire TVI	$f$ continue sur $[a,b]$, $f(a)f(b) \lt 0$ $\Rightarrow$ $\exists c \in ]a,b[, f(c)=0$
Unicité	$f$ continue et strictement monotone sur $[a,b]$ $\Rightarrow$ solution unique
Stricte monotonie	$f'(x) \gt 0$ sur $]a,b[$ $\Rightarrow$ $f$ strictement croissante ; $f'(x) \lt 0$ $\Rightarrow$ $f$ strictement décroissante
Signe d'un polynôme	Étudier les racines, factoriser, dresser le tableau de signes

Quiz d'autoévaluation

Question 1 — Que signifie « $f$ est continue en $a$ » ?

Cela signifie que $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$. La limite en $a$ doit exister, être finie et être égale à la valeur de $f$ en $a$.

Question 2 — Le TVI garantit-il l'unicité de la solution ?

Non. Le TVI garantit uniquement l'existence d'au moins une solution. Pour l'unicité, il faut ajouter la stricte monotonie de $f$ sur l'intervalle considéré.

Question 3 — Comment prouver qu'une fonction définie par morceaux est continue en un point de raccord ?

On calcule la valeur de la fonction en ce point, la limite à gauche et la limite à droite. Si les trois quantités sont égales, la fonction est continue en ce point. Sinon, elle ne l'est pas.

Question 4 — Que faut-il vérifier pour prolonger une fonction par continuité en $a$ ?

Il faut que la limite $\lim_{x \to a} f(x)$ existe et soit finie. On pose alors $\tilde{f}(a) = \ell$ pour rendre la fonction continue en $a$. Si la limite est infinie ou n'existe pas, aucun prolongement n'est possible.

Question 5 — Comment étudier le signe d'un polynôme du troisième degré ?

On cherche ses racines (par factorisation ou par lecture graphique), on factorise le polynôme, puis on dresse un tableau de signes en tenant compte du signe de chaque facteur et du signe dominant.

Questions fréquentes

Quelle est la différence entre continuité et dérivabilité ?

Comment justifier la continuité d'une fonction sur un intervalle ?

On justifie la continuité sur l'intervalle ouvert à l'aide des propriétés des fonctions usuelles et des opérations (somme, produit, quotient, composition). Ensuite, on étudie séparément les bornes à l'aide des limites latérales.

Pourquoi le TVI exige-t-il la continuité ?

Sans continuité, une fonction peut sauter d'une valeur à une autre sans jamais prendre les valeurs intermédiaires. La continuité garantit que l'image d'un intervalle est un intervalle, donc que toutes les valeurs entre $f(a)$ et $f(b)$ sont atteintes.

Comment prouver l'unicité d'une solution par le TVI ?

On prouve d'abord l'existence par le TVI (continuité et changement de signe). Ensuite, on calcule $f'(x)$ et on montre que $f'$ garde un signe strictement positif ou strictement négatif sur l'intervalle, ce qui prouve que $f$ est strictement monotone et donc que la solution est unique.

Que faire quand la fonction est définie par morceaux ?

Comment rédiger une réponse complète en examen ?

On commence par rappeler les hypothèses (continuité, monotonie, valeurs aux bornes), on effectue les calculs en les explicitant, puis on énonce clairement le théorème utilisé et la conclusion. Une réponse doit contenir les mots « donc », « par conséquent » ou « ainsi » pour marquer la conclusion.

Résumé final

La continuité est la propriété qui relie la limite d'une fonction en un point à sa valeur en ce point. Elle se vérifie à l'aide des limites à droite et à gauche, et se propage par les opérations usuelles et la composition. Les fonctions polynômes, rationnelles, trigonométriques et la fonction racine carrée sont continues sur leur domaine, ce qui permet de justifier rapidement la continuité des fonctions plus complexes.

Le théorème des valeurs intermédiaires est l'outil central de ce chapitre : il garantit l'existence d'une solution à $f(x)=k$ dès que $f$ est continue et que $k$ est compris entre $f(a)$ et $f(b)$. La stricte monotonie permet d'obtenir l'unicité. Les exercices corrigés montrent que ce théorème s'applique à des situations variées : polynômes du troisième degré, fonctions définies par morceaux, tableaux de variations et fonctions en escalier.

Prends l'habitude de refaire chaque exercice sans regarder la correction, de vérifier les hypothèses avant d'appliquer un théorème et de rédiger proprement les conclusions. C'est cette rigueur qui fera la différence le jour de l'examen. Bon courage dans tes révisions.

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Cours de Mathématiques : Limites et continuité — Série d'exercices intégrale corrigée — 2e BAC PC & SVT 2025-2026

Niveau	2e année du baccalauréat
Filière	PC (Sciences physiques) et SVT
Matière	Mathématiques
Chapitre	Limites et continuité
Sous-chapitre	Série d'exercices intégrale : limites, continuité, TVI, fonctions réciproques, racines n-ièmes
Programme	Programme officiel marocain — 2025-2026
Durée indicative d'étude	6 heures
Dernière mise à jour	24 octobre 2026

Cette série d'exercices intégrale rassemble l'ensemble des exercices classiques du chapitre « Limites et continuité » du programme de deuxième année du baccalauréat (filières PC et SVT). Contrairement à une simple liste d'énoncés, chaque exercice est ici accompagné d'une correction complète et rédigée, avec les justifications attendues le jour de l'examen national. L'objectif est que tu puisses travailler en autonomie, comparer ta rédaction à celle du corrigé et combler précisément les lacunes qui te coûtent des points.

Les exercices proposés couvrent l'ensemble des compétences évaluées à l'examen : calcul de limites avec formes indéterminées, étude de la continuité en un point et aux points de raccord, détermination d'un paramètre pour assurer la continuité, reconnaissance et construction d'un prolongement par continuité, application du théorème des valeurs intermédiaires (existence et unicité), recherche du domaine de définition de fonctions avec racines carrées, résolution d'équations irrationnelles, étude complète de fonctions avec dérivée et tableau de variations, et construction de fonctions réciproques. À l'examen national, ce sont exactement ces types de questions qui reviennent, souvent combinés dans un même problème.

Tu vas trouver dans ce document un rappel du cours, les méthodes pas à pas, les erreurs à éviter, une sélection représentative d'exercices intégralement corrigés, une fiche de révision express, un quiz d'autoévaluation, une FAQ détaillée et un bouton d'impression propre pour réviser sur papier, sans publicité, avec toutes les solutions visibles.

Table des matières

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Prérequis

Avant de commencer cette série, vérifie que tu maîtrises les notions suivantes. Si un point te pose problème, reviens au cours correspondant avant d'attaquer les exercices.

Calcul des limites en un point, à droite, à gauche, en $+\infty$ et en $-\infty$.
Levée des formes indéterminées : $\frac{0}{0}$, $\frac{\infty}{\infty}$, $\infty - \infty$, $0 \times \infty$.
Limites trigonométriques usuelles : $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$, $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$, $\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$.
Définition de la continuité en un point : $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$.
Théorème des valeurs intermédiaires et son corollaire en cas de stricte monotonie.
Définition de la fonction réciproque et conditions d'existence.
Dérivation : formules usuelles et signe de la dérivée.
Règles de calcul sur les racines n-ièmes et les puissances rationnelles.

Objectifs pédagogiques

À la fin de cette série, tu seras capable de :

Calculer une limite avec forme indéterminée en factorisant, en multipliant par la quantité conjuguée ou en utilisant un changement de variable.
Distinguer limite à droite et limite à gauche et en déduire la limite globale.
Étudier la continuité d'une fonction définie par morceaux aux points de raccord.
Déterminer un paramètre réel pour assurer la continuité d'une fonction en un point donné.
Reconnaître une fonction prolongeable par continuité et construire son prolongement.
Déterminer le domaine de définition d'une fonction contenant des racines carrées.
Résoudre une équation irrationnelle en vérifiant les solutions trouvées.
Appliquer le théorème des valeurs intermédiaires pour prouver l'existence d'une solution.
Utiliser la stricte monotonie pour prouver l'unicité d'une solution.
Construire la fonction réciproque d'une fonction continue et strictement monotone et calculer son expression.
Étudier le signe d'une fonction à partir de son tableau de variations et de ses racines.

Le cours complet

1. Rappels sur les limites

Le calcul des limites repose sur un petit nombre de règles et de limites usuelles. Pour $P$ et $Q$ deux polynômes, $x_0 \in \mathbb{R}$ et $a \in \mathbb{R}^*$ :

Trois limites trigonométriques sont à connaître par cœur :

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \quad ; \quad \lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1 \quad ; \quad \lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$$

Pour les limites en $\pm\infty$ d'une fraction rationnelle, on factorise par le terme de plus haut degré au numérateur et au dénominateur. Pour les expressions avec racines carrées, on multiplie par la quantité conjuguée en utilisant $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

2. Continuité en un point

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle ouvert contenant $x_0$. On dit que $f$ est continue au point $x_0$ si :

$$\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$$

3. Prolongement par continuité

4. Opérations sur les fonctions continues

Toute fonction polynôme est continue sur $\mathbb{R}$ ; toute fonction rationnelle est continue sur chaque intervalle de son domaine de définition ; les fonctions $\sin$ et $\cos$ sont continues sur $\mathbb{R}$ ; la fonction $\sqrt{}$ est continue sur $[0,+\infty[$.

5. Domaine de définition des fonctions avec racines carrées

Pour déterminer le domaine de définition d'une fonction contenant une racine carrée $\sqrt{u(x)}$, on impose $u(x) \geq 0$. Pour une fonction contenant un quotient, on impose que le dénominateur soit non nul. Pour une fonction contenant plusieurs expressions, on fait l'intersection de tous les domaines partiels.

6. Théorème des valeurs intermédiaires

Corollaire : si $f$ est continue sur $[a,b]$ et si $f(a) \cdot f(b) \lt 0$, alors il existe au moins un $c \in ]a,b[$ tel que $f(c) = 0$.

7. Fonctions réciproques

Si $f$ est continue et strictement monotone sur un intervalle $I$, alors $f$ réalise une bijection de $I$ sur $J = f(I)$ et admet une fonction réciproque $f^{-1} : J \to I$ telle que :

$$\begin{cases} y = f(x) \\ x \in I \end{cases} \iff \begin{cases} x = f^{-1}(y) \\ y \in J \end{cases}$$

$f^{-1}$ est continue sur $J$, a le même sens de monotonie que $f$, et ses courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_{f^{-1}}$ sont symétriques par rapport à la droite $y = x$.

Méthodes et exemples corrigés

Méthode 1 — Calculer une limite en $\pm\infty$

Étapes :

Identifier la forme indéterminée éventuelle.
Factoriser par le terme de plus haut degré au numérateur et au dénominateur.
Simplifier et calculer la limite.

Exemple. $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{-5x^9-7x^3+10x^2+8}{3x^9+2x}$. On factorise par $x^9$ : la fraction tend vers $\dfrac{-5}{3}$.

Méthode 2 — Calculer une limite avec racine carrée

Étapes :

Identifier la forme indéterminée ($\infty - \infty$ le plus souvent).
Multiplier par la quantité conjuguée.
Utiliser $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$ pour éliminer la racine.
Simplifier et conclure.

Exemple. $\lim_{x \to +\infty} \sqrt{x^2+x} - x = \lim \dfrac{x}{\sqrt{x^2+x}+x} = \dfrac{1}{2}$.

Méthode 3 — Étudier la continuité en un point

Étapes :

Vérifier que $x_0 \in D_f$ et calculer $f(x_0)$.
Calculer $\lim_{x \to x_0^+} f(x)$ et $\lim_{x \to x_0^-} f(x)$ séparément.
Comparer les trois quantités. Égalité : continue. Sinon : discontinue.

Méthode 4 — Déterminer un paramètre pour la continuité

Étapes :

Calculer $f(x_0)$, la limite à gauche et la limite à droite en fonction du paramètre.
Imposer l'égalité des trois quantités.
Résoudre l'équation obtenue.

Méthode 5 — Appliquer le TVI

Étapes :

Justifier la continuité de $f$ sur $[a,b]$.
Calculer $f(a)$ et $f(b)$ et vérifier $f(a) \cdot f(b) \lt 0$.
Conclure à l'existence par le TVI.
Étudier la stricte monotonie via le signe de $f'$ pour l'unicité.

Erreurs fréquentes et pièges

Piège 3 — Mal déterminer un domaine de définition avec racine carrée. L'expression sous la racine doit être positive ou nulle. Attention aux produits et aux quotients : il faut faire l'intersection des conditions, puis exclure les valeurs qui annulent les dénominateurs.

Piège 4 — Oublier de vérifier les solutions d'une équation irrationnelle. Quand on élève au carré ou au cube, des solutions parasites peuvent apparaître. Il faut toujours reporter les solutions dans l'équation initiale pour vérifier qu'elles sont valides.

Piège 5 — Confondre $f^{-1}$ et $1/f$. $f^{-1}$ est la fonction réciproque, $1/f$ est l'inverse arithmétique. Ce sont deux notions complètement différentes.

Piège 6 — Négliger la vérification des hypothèses avant d'appliquer un théorème. Avant d'appliquer le TVI ou le théorème des fonctions réciproques, il faut vérifier la continuité et la stricte monotonie sur l'intervalle considéré.

Exercices et examens nationaux

Exercice	Type	Année / Session	Niveau
Exercice 1 — Calculs de limites	Application directe	—	Facile
Exercice 2 — Limites avec racines	Application directe	—	Moyen
Exercice 3 — Continuité en un point	Étude de continuité	Examen national	Moyen
Exercice 4 — Paramètre et continuité	Détermination de paramètre	Examen national	Moyen
Exercice 5 — Prolongement par continuité	Application directe	—	Moyen
Exercice 6 — Domaine de définition	Application directe	—	Facile
Exercice 7 — Équation irrationnelle	Résolution	—	Moyen
Exercice 8 — TVI existence	Théorème des valeurs intermédiaires	Examen national	Moyen
Exercice 9 — TVI unicité	Théorème des valeurs intermédiaires	Examen national	Moyen
Exercice 10 — Étude complète et fonction réciproque	Étude de fonction	Examen national	Difficile
Exercice 11 — Tableau de variations et TVI	Application directe	—	Moyen
Exercice 12 — Racines n-ièmes	Équations et simplification	—	Facile

Tous les exercices et sujets corrigés

Consultez la liste complète des exercices d'application, exercices corrigés et examens nationaux classés par chapitre et par filière.

Voir tous les exercices

Exercice 1 — Calculs de limites

Énoncé. Calculer les limites suivantes :

$$\lim_{x \to 3} \frac{x^2+4x+1}{2x-1} \quad ; \quad \lim_{x \to +\infty} -5x^9 - 7x^3 + 10x^2 + 8 \quad ; \quad \lim_{x \to +\infty} \frac{3x^4+x+3}{6x^4-3x+4}$$

Voir la correction

Première limite. Pas d'indétermination : $\lim_{x \to 3} (x^2+4x+1) = 9+12+1 = 22$ et $\lim_{x \to 3} (2x-1) = 5$. Donc la limite vaut $\dfrac{22}{5}$.

Deuxième limite. Le terme dominant est $-5x^9$, qui tend vers $-\infty$ quand $x \to +\infty$. Donc la limite vaut $-\infty$.

Troisième limite. On factorise par $x^4$ au numérateur et au dénominateur : le quotient tend vers $\dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$.

Exercice 2 — Limites avec racines carrées

Énoncé. Calculer $\lim_{x \to +\infty} \sqrt{4x^2+1} - x$ et $\lim_{x \to +\infty} \sqrt{16x+1} - 4\sqrt{x}$.

Voir la correction

Première limite. Forme $\infty - \infty$. On multiplie par la quantité conjuguée :

$\sqrt{4x^2+1} - x = \dfrac{(4x^2+1) - x^2}{\sqrt{4x^2+1}+x} = \dfrac{3x^2+1}{\sqrt{4x^2+1}+x} \sim \dfrac{3x^2}{3x} = x \to +\infty$.

Deuxième limite. On écrit $\sqrt{16x+1} - 4\sqrt{x} = \dfrac{(16x+1) - 16x}{\sqrt{16x+1}+4\sqrt{x}} = \dfrac{1}{\sqrt{16x+1}+4\sqrt{x}}$, qui tend vers $0$ quand $x \to +\infty$.

Exercice 3 — Continuité en un point

Énoncé. Soit $f(x) = \dfrac{x^2-2x-15}{x^2-25}$ pour $x \neq \pm 5$ et $f(5) = 8$. Étudier la continuité de $f$ en $5$.

Voir la correction

On factorise numérateur et dénominateur : $x^2-2x-15 = (x-5)(x+3)$ et $x^2-25 = (x-5)(x+5)$. Donc pour $x \neq 5, -5$ :

$f(x) = \dfrac{x+3}{x+5}$.

D'où $\lim_{x \to 5} f(x) = \dfrac{8}{10} = \dfrac{4}{5} = 0{,}8$. Or $f(5) = 8 \neq 0{,}8$.

Conclusion : $f$ n'est pas continue en $5$.

Exercice 4 — Paramètre et continuité

Énoncé. Soit $f$ définie par $f(x) = \dfrac{1}{x+1}$ si $0 \leq x \lt \dfrac{1}{2}$ et $f(x) = 2x+ax^2$ si $\dfrac{1}{2} \leq x \leq 1$. Déterminer $a$ pour que $f$ soit continue en $x_0 = \dfrac{1}{2}$.

Voir la correction

La valeur en $\dfrac{1}{2}$ est donnée par la deuxième expression : $f\left(\dfrac{1}{2}\right) = 1 + \dfrac{a}{4}$.

La limite à gauche vaut $\lim_{x \to \frac{1}{2}^-} \dfrac{1}{x+1} = \dfrac{1}{3/2} = \dfrac{2}{3}$.

La limite à droite vaut $\lim_{x \to \frac{1}{2}^+} (2x+ax^2) = 1 + \dfrac{a}{4}$.

Pour la continuité, il faut $\dfrac{2}{3} = 1 + \dfrac{a}{4}$, d'où $\dfrac{a}{4} = -\dfrac{1}{3}$ et $a = -\dfrac{4}{3}$.

Exercice 5 — Prolongement par continuité

Énoncé. Soit $f(x) = \dfrac{\sqrt{x}-\sqrt{3}}{x-3}$ pour $x \in [0,+\infty[ \setminus \{3\}$ et $f(3) = \dfrac{1}{2\sqrt{3}}$. Étudier la continuité de $f$ en $3$.

Voir la correction

On multiplie par la quantité conjuguée $\sqrt{x}+\sqrt{3}$ :

$f(x) = \dfrac{x-3}{(x-3)(\sqrt{x}+\sqrt{3})} = \dfrac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{3}}$.

Quand $x \to 3$, cette expression tend vers $\dfrac{1}{2\sqrt{3}} = f(3)$.

Conclusion : $f$ est continue en $3$.

Exercice 6 — Domaine de définition

Énoncé. Déterminer le domaine de définition de $f(x) = \sqrt{x^2-9}$ et $g(x) = \sqrt{4-x} - \sqrt{x+1}$.

Voir la correction

Pour $f$. Il faut $x^2-9 \geq 0$, soit $(x-3)(x+3) \geq 0$. Le tableau de signes donne $D_f = ]-\infty,-3] \cup [3,+\infty[$.

Pour $g$. Il faut $4-x \geq 0$ et $x+1 \geq 0$, soit $x \leq 4$ et $x \geq -1$. Donc $D_g = [-1,4]$.

Exercice 7 — Équation irrationnelle

Énoncé. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $\sqrt{x+1} - 2 = 0$.

Voir la correction

L'équation n'a de sens que pour $x+1 \geq 0$, soit $x \geq -1$. On isole la racine : $\sqrt{x+1} = 2$. En élevant au carré (opération licite car les deux membres sont positifs), on obtient $x+1 = 4$, soit $x = 3$.

On vérifie : $\sqrt{3+1} - 2 = 2 - 2 = 0$. La solution est valide.

Conclusion : $S = \{3\}$.

Exercice 8 — TVI existence

Énoncé. Montrer que l'équation $x^6+2x^4-1 = 0$ admet au moins une solution sur $]0,1[$.

Voir la correction

Posons $f(x) = x^6+2x^4-1$. $f$ est polynômiale, donc continue sur $[0,1]$.

On a $f(0) = -1 \lt 0$ et $f(1) = 1+2-1 = 2 \gt 0$, donc $f(0) \cdot f(1) \lt 0$.

Par le TVI, il existe $c \in ]0,1[$ tel que $f(c) = 0$.

Conclusion : l'équation $x^6+2x^4-1 = 0$ admet au moins une solution dans $]0,1[$.

Exercice 9 — TVI unicité

Énoncé. Soit $g(x) = x^3-6x^2+9x+1$. Dresser le tableau de variations de $g$, puis montrer que $g(x) = 0$ admet une unique solution sur $\mathbb{R}$.

Voir la correction

$g$ est polynômiale, dérivable sur $\mathbb{R}$, et $g'(x) = 3x^2-12x+9 = 3(x-1)(x-3)$.

Le tableau de signes de $g'$ donne : $g$ est croissante sur $]-\infty,1]$, décroissante sur $[1,3]$, croissante sur $[3,+\infty[$.

On calcule $g(1) = 1-6+9+1 = 5$ et $g(3) = 27-54+27+1 = 1$. Les deux extrema sont positifs. De plus, $\lim_{x \to -\infty} g(x) = -\infty$ et $\lim_{x \to +\infty} g(x) = +\infty$.

Sur $]-\infty,1]$, $g$ est continue et strictement croissante, et $g$ passe de $-\infty$ à $5$. Par le TVI, il existe une unique solution $\alpha_1 \in ]-\infty,1[$ telle que $g(\alpha_1)=0$.

Sur $[3,+\infty[$, $g$ est continue et strictement croissante, et $g(3)=1 \gt 0$ ; comme $g$ est croissante à partir de $1$, elle ne s'annule pas sur $[3,+\infty[$.

Sur $[1,3]$, $g$ est positive (minimum $g(3)=1$) donc pas de racine.

Conclusion : l'équation $g(x)=0$ admet une unique solution sur $\mathbb{R}$.

Exercice 10 — Étude complète et fonction réciproque

Énoncé. Soit $f(x) = 2\sqrt{x+1} - x$ définie sur $D_f$. Déterminer $D_f$, calculer la limite en $+\infty$, montrer que $f$ est continue sur $D_f$, montrer que $f$ admet une fonction réciproque $g^{-1}$ sur $[0,+\infty[$ où $g$ est la restriction de $f$ à $[0,+\infty[$, puis déterminer $g^{-1}(x)$.

Voir la correction

Domaine de définition. Il faut $x+1 \geq 0$, donc $D_f = [-1,+\infty[$.

Limite en $+\infty$. On factorise par $\sqrt{x}$ : $f(x) = \sqrt{x}\left(2\sqrt{1+\frac{1}{x}} - \sqrt{x}\right)$. Le terme entre parenthèses tend vers $-\infty$, donc $\lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty$.

Continuité. $x \mapsto x+1$ est continue sur $[-1,+\infty[$ et positive, $\sqrt{}$ est continue sur $[0,+\infty[$, donc $\sqrt{x+1}$ est continue sur $[-1,+\infty[$. Par différence avec $x$ (continue), $f$ est continue sur $[-1,+\infty[$.

Fonction réciproque. Sur $[0,+\infty[$, $f'(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x+1}} - 1 = \dfrac{1-\sqrt{x+1}}{\sqrt{x+1}}$. Pour $x \gt 0$, $\sqrt{x+1} \gt 1$, donc $f'(x) \lt 0$ : $g$ est strictement décroissante sur $[0,+\infty[$.

Comme $g(0) = 2$ et $\lim_{x \to +\infty} g(x) = -\infty$, l'image est $J = ]-\infty, 2]$.

Pour déterminer $g^{-1}(x)$, on résout $2\sqrt{y+1} - y = x$, soit $2\sqrt{y+1} = x+y$. En élevant au carré : $4(y+1) = (x+y)^2$, soit $4y+4 = x^2+2xy+y^2$, ce qui donne $y^2+(2x-4)y + (x^2-4) = 0$. Après résolution, on obtient $y = 2 - x - 2\sqrt{1-x}$ (l'autre racine ne convient pas car $y \geq 0$).

Donc $g^{-1}(x) = 2-x-2\sqrt{1-x}$ pour $x \in ]-\infty,2]$.

Exercice 11 — Tableau de variations et TVI

Énoncé. Le tableau de variations d'une fonction $f$ continue sur $[-6,7]$ donne : $f(-6)=17$, $f(-2)=1$, $f(5)=-4$, $f(7)=-10$ (croissante puis décroissante puis croissante). Déterminer le nombre de solutions de $f(x)=0$ et de $f(x)=3$.

Voir la correction

Pour $f(x)=0$. Sur $[-6,-2]$, $f$ est continue et monotone, et passe de $17$ à $1$, donc ne s'annule pas. Sur $[-2,5]$, $f$ passe de $1$ à $-4$, donc s'annule une fois. Sur $[5,7]$, $f$ passe de $-4$ à $-10$, donc ne s'annule pas. Au total, une solution.

Pour $f(x)=3$. Sur $[-6,-2]$, $f$ passe de $17$ à $1$, donc s'annule (atteint $3$) une fois. Sur $[-2,5]$, $f$ passe de $1$ à $-4$, donc ne prend pas la valeur $3$. Sur $[5,7]$, $f$ est négative. Au total, une solution.

Exercice 12 — Racines n-ièmes

Énoncé. Résoudre dans $\mathbb{R}$ : $x^4 = 16$ et $(x+5)^3 = 2$.

Voir la correction

$x^4 = 16$. $n=4$ pair, $16 \gt 0$, donc $x = \pm\sqrt[4]{16} = \pm 2$. $S = \{-2,2\}$.

$(x+5)^3 = 2$. $n=3$ impair, $2 \gt 0$, donc $x+5 = \sqrt[3]{2}$, soit $x = -5+\sqrt[3]{2}$. $S = \{-5+\sqrt[3]{2}\}$.

Fiche de révision express

Notion	Formule / Propriété
Continuité en $x_0$	$\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$
Continuité à droite / gauche	$\lim_{x \to x_0^+} f(x) = f(x_0)$ / $\lim_{x \to x_0^-} f(x) = f(x_0)$
Limites trigo.	$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ ; $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$ ; $\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$
Quantité conjuguée	$a-b = \frac{a^2-b^2}{a+b}$ (racine carrée) ; $a-b = \frac{a^3-b^3}{a^2+ab+b^2}$ (racine cubique)
Prolongement	Si $\lim_{x \to a} f(x) = \ell$ finie, on pose $\tilde{f}(a) = \ell$
Opérations	$f, g$ cont en $a$ $\Rightarrow$ $f+g$, $f \times g$, $\|f\|$ cont en $a$ ; si $g(a) \neq 0$, $1/g$ et $f/g$ cont en $a$
Composition	$f$ cont en $x_0$, $g$ cont en $f(x_0)$ $\Rightarrow$ $g \circ f$ cont en $x_0$
Image d'un segment	$f([a,b]) = [\min f, \max f]$
TVI	$f$ cont sur $[a,b]$, $k$ entre $f(a)$ et $f(b)$ $\Rightarrow$ $\exists c, f(c)=k$
Corollaire TVI	$f$ cont, $f(a)f(b) \lt 0$ $\Rightarrow$ $\exists c, f(c)=0$
Unicité	$f$ cont et strict. monotone $\Rightarrow$ solution unique
Fonction réciproque	$f$ cont et strict. monotone sur $I$ $\Rightarrow$ bijection $I \to f(I)$, $f^{-1}$ cont et même monotonie
Calcul de $f^{-1}$	Résoudre $f(y) = x$ en $y$, puis échanger $x$ et $y$
Racine n-ième	$\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}$ ; $\sqrt[n]{a/b} = \sqrt[n]{a}/\sqrt[n]{b}$

Quiz d'autoévaluation

Question 1 — Que vaut $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{-5x^9+2x^3}{3x^9-7x}$ ?

On factorise par $x^9$ au numérateur et au dénominateur : la fraction tend vers $\dfrac{-5}{3}$.

Question 2 — Quelle est la condition pour prolonger $f$ par continuité en $a$ ?

Il faut que $\lim_{x \to a} f(x)$ existe et soit finie. On pose alors $\tilde{f}(a) = \ell$. Si la limite est infinie ou n'existe pas, aucun prolongement n'est possible.

Question 3 — Que signifie « $g \circ f$ est continue en $x_0$ » ?

Cela signifie que $\lim_{x \to x_0} g(f(x)) = g(f(x_0))$. C'est le cas dès que $f$ est continue en $x_0$ et $g$ est continue en $f(x_0)$.

Question 4 — Quelle est la différence entre existence et unicité dans le TVI ?

L'existence est garantie par la continuité et le changement de signe (ou l'appartenance de $k$ entre $f(a)$ et $f(b)$). L'unicité exige de plus la stricte monotonie de $f$ sur l'intervalle considéré.

Question 5 — Comment déterminer le domaine de définition d'une fonction avec racine carrée ?

On impose que l'expression sous la racine soit positive ou nulle. Si la fonction contient plusieurs racines ou un quotient, on fait l'intersection de toutes les conditions (numérateur ≥ 0, dénominateur ≠ 0, etc.).

Questions fréquentes

Comment lever une forme indéterminée en présence d'une racine carrée ?

On multiplie numérateur et dénominateur par la quantité conjuguée. Par exemple, pour $\sqrt{a}-b$, on multiplie par $\sqrt{a}+b$, ce qui fait apparaître $a-b^2$ au numérateur (identité $a^2-b^2$). Pour une racine cubique, on utilise l'identité $a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$.

Peut-on toujours prolonger une fonction par continuité ?

Comment rédiger une preuve d'unicité par le TVI ?

Comment vérifier les hypothèses du théorème des fonctions réciproques ?

Que faire quand la fonction est définie par morceaux ?

Comment résoudre une équation avec plusieurs racines n-ièmes ?

Résumé final

Cette série d'exercices intégrale couvre l'ensemble des compétences attendues sur le chapitre « Limites et continuité ». Les limites se calculent en factorisant, en multipliant par la quantité conjuguée ou en utilisant les limites trigonométriques usuelles. La continuité se prouve en comparant la limite à la valeur de la fonction, et la détermination d'un paramètre passe par l'égalité des limites à gauche, à droite et de la valeur au point.

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Cours de Mathématiques : Limites et continuité — Exercices non corrigés avec solutions détaillées — 2e BAC PC & SVT 2025-2026

Niveau	2e année du baccalauréat
Filière	PC (Sciences physiques) et SVT
Matière	Mathématiques
Chapitre	Limites et continuité
Sous-chapitre	Exercices non corrigés : simplifications, limites, continuité, TVI, fonctions réciproques
Programme	Programme officiel marocain — 2025-2026
Durée indicative d'étude	6 heures
Dernière mise à jour	24 octobre 2026

Cette série rassemble les exercices non corrigés du chapitre « Limites et continuité » du programme de deuxième année du baccalauréat (filières PC et SVT), accompagnés cette fois de solutions entièrement rédigées. L'objectif est double : te permettre de t'entraîner sur des énoncés proches de ceux de l'examen national, puis de comparer ta rédaction à un corrigé détaillé qui explicite chaque étape, chaque hypothèse et chaque conclusion. C'est en confrontant ta production à une correction exigeante que tu progresses le plus vite.

Les exercices couvrent l'ensemble des compétences évaluées au bac : simplification d'expressions avec racines n-ièmes, calcul de limites avec formes indéterminées (racines carrées et cubiques, limites en $\pm\infty$, limites latérales), étude de la continuité d'une fonction définie par morceaux avec paramètre, application du théorème des valeurs intermédiaires pour prouver l'existence et l'unicité d'une solution, et construction de fonctions réciproques avec détermination de l'intervalle image et calcul de l'expression de $f^{-1}$. Chaque exercice est traité en détail, avec les justifications attendues le jour J.

Tu trouveras dans ce document un rappel du cours, les méthodes pas à pas, les erreurs à éviter, l'ensemble des exercices corrigés, une fiche de révision express, un quiz d'autoévaluation, une FAQ détaillée et un bouton d'impression propre pour travailler sur papier, sans publicité, avec toutes les solutions visibles.

Table des matières

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Prérequis

Avant d'attaquer cette série, vérifie que tu maîtrises les notions suivantes. Si un point te pose problème, reviens au cours correspondant.

Calcul des limites en un point, à droite, à gauche, en $+\infty$ et en $-\infty$.
Levée des formes indéterminées : $\frac{0}{0}$, $\frac{\infty}{\infty}$, $\infty - \infty$, $0 \times \infty$.
Limites trigonométriques usuelles : $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$, $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$, $\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$.
Définition de la continuité en un point : $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$.
Théorème des valeurs intermédiaires et son corollaire en cas de stricte monotonie.
Définition de la fonction réciproque et conditions d'existence.
Dérivation : formules usuelles et signe de la dérivée.
Règles de calcul sur les racines n-ièmes et les puissances rationnelles.

Objectifs pédagogiques

À la fin de cette série, tu seras capable de :

Simplifier une expression contenant plusieurs racines n-ièmes en utilisant les règles de calcul sur les puissances.
Calculer une limite en présence de racines carrées ou cubiques en utilisant la quantité conjuguée ou les identités remarquables adaptées.
Étudier la continuité d'une fonction définie par morceaux aux points de raccord.
Déterminer un paramètre réel pour assurer la continuité d'une fonction en un point donné.
Appliquer le théorème des valeurs intermédiaires pour prouver l'existence d'une solution.
Utiliser la stricte monotonie pour prouver l'unicité d'une solution.
Construire la fonction réciproque d'une fonction continue et strictement monotone et calculer son expression.
Déterminer l'image d'un intervalle par une fonction réciproque.
Rédiger proprement une solution en vérifiant les hypothèses et en explicitant la conclusion.

Le cours complet

1. Rappels sur les limites

Le calcul des limites repose sur un petit nombre de règles et de limites usuelles. Pour $P$ et $Q$ deux polynômes, $x_0 \in \mathbb{R}$ et $a \in \mathbb{R}^*$ :

Trois limites trigonométriques sont à connaître par cœur :

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \quad ; \quad \lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1 \quad ; \quad \lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$$

2. Continuité en un point

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle ouvert contenant $x_0$. On dit que $f$ est continue au point $x_0$ si :

$$\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$$

3. Prolongement par continuité

Si $f$ est définie sur $D_f$ et $a \notin D_f$ avec $\lim_{x \to a} f(x) = \ell$ finie, on peut définir une nouvelle fonction $\tilde{f}$ par $\tilde{f}(x)=f(x)$ pour $x \neq a$ et $\tilde{f}(a)=\ell$. Cette fonction est continue en $a$ et s'appelle le prolongement par continuité de $f$ en $a$. Si la limite est infinie ou n'existe pas, aucun prolongement n'est possible.

4. Opérations sur les fonctions continues

5. Théorème des valeurs intermédiaires

Si $f$ est continue sur $[a,b]$, pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe au moins un $c \in [a,b]$ tel que $f(c)=k$. Si $f$ est de plus strictement monotone sur $[a,b]$, ce $c$ est unique.

Corollaire : si $f$ est continue sur $[a,b]$ et si $f(a) \cdot f(b) \lt 0$, alors il existe au moins un $c \in ]a,b[$ tel que $f(c)=0$.

6. Fonctions réciproques

Si $f$ est continue et strictement monotone sur un intervalle $I$, alors $f$ réalise une bijection de $I$ sur $J=f(I)$ et admet une fonction réciproque $f^{-1} : J \to I$ telle que :

$$\begin{cases} y = f(x) \\ x \in I \end{cases} \iff \begin{cases} x = f^{-1}(y) \\ y \in J \end{cases}$$

$f^{-1}$ est continue sur $J$, a le même sens de monotonie que $f$, et ses courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_{f^{-1}}$ sont symétriques par rapport à la droite $y=x$.

Méthodes et exemples corrigés

Méthode 1 — Simplifier une expression avec racines n-ièmes

Étapes :

Écrire toutes les racines sous la forme de puissances rationnelles : $\sqrt[n]{a^p} = a^{p/n}$.
Utiliser les règles de calcul sur les puissances : $a^r \cdot a^{r'} = a^{r+r'}$ et $(a^r)^{r'} = a^{rr'}$.
Simplifier l'exposant et revenir à l'écriture racine si nécessaire.

Méthode 2 — Lever une indétermination avec une racine cubique

Étapes :

Repérer la forme $\frac{0}{0}$ avec des racines cubiques.
Utiliser l'identité $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$ en posant $a=\sqrt[3]{u(x)}$ et $b=\sqrt[3]{v(x)}$.
Simplifier le facteur commun et conclure.

Méthode 3 — Étudier la continuité en un point de raccord

Étapes :

Calculer $f(x_0)$.
Calculer $\lim_{x \to x_0^-} f(x)$ et $\lim_{x \to x_0^+} f(x)$ séparément.
Comparer les trois quantités. Égalité : continue. Sinon : discontinue.

Méthode 4 — Construire une fonction réciproque

Étapes :

Justifier la continuité et la stricte monotonie sur $I$.
Déterminer $J=f(I)$ à l'aide des bornes et des limites aux bornes.
Résoudre $f(y)=x$ en isolant $y$.
Échanger les lettres pour obtenir $f^{-1}(x)$.

Erreurs fréquentes et pièges

Piège 3 — Mal utiliser l'identité cubique. Pour $\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}$, on multiplie par $a^{2/3}+a^{1/3}b^{1/3}+b^{2/3}$, et non par $a+b$. C'est l'identité $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$.

Piège 4 — Confondre $f^{-1}$ et $1/f$. $f^{-1}$ est la fonction réciproque, $1/f$ est l'inverse arithmétique. Ce sont deux notions totalement différentes.

Piège 5 — Oublier de vérifier que la solution est dans l'intervalle. Lorsque l'on résout une équation avec un changement de variable ou en élevant au carré, il faut toujours revenir à la variable initiale et vérifier la validité de la solution.

Piège 6 — Écrire $\sqrt[n]{a+b}=\sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b}$. Cette égalité est fausse en général. Les seules règles valables sont celles sur le produit et le quotient.

Exercices et examens nationaux

Exercice	Type	Année / Session	Niveau
Exercice 1 — Simplifications et limites	Application directe	—	Moyen
Exercice 2 — Fonction définie par morceaux	Continuité et fonction réciproque	Examen national	Moyen
Exercice 3 — Fonction avec racine cubique	Étude complète et TVI	Examen national	Difficile
Exercice 4 — Fonction cube décalée	Fonction réciproque	—	Facile
Exercice 5 — Fonction rationnelle	Étude complète et TVI	Examen national	Moyen

Tous les exercices et sujets corrigés

Consultez la liste complète des exercices d'application, exercices corrigés et examens nationaux classés par chapitre et par filière.

Voir tous les exercices

Exercice 1 — Simplifications et limites

Énoncé. Simplifier $A = \dfrac{\sqrt[3]{7^2} \times \sqrt[4]{7} \times \sqrt[5]{7^4}}{\left(\sqrt[6]{7^5}\right)^2}$ et $B = \dfrac{\sqrt[4]{4} \times \sqrt{8} \times \sqrt[5]{2}}{\sqrt[4]{2^3} \times \sqrt[12]{2}}$.

Voir la correction

On écrit toutes les racines sous forme de puissances de $7$ : $A = \dfrac{7^{2/3} \cdot 7^{1/4} \cdot 7^{4/5}}{7^{10/6}} = 7^{2/3+1/4+4/5-5/3}$.

Calcul de l'exposant : $2/3 - 5/3 = -1$ ; $1/4+4/5 = 5/20+16/20 = 21/20$. Donc l'exposant vaut $-1+21/20 = 1/20$. Ainsi $A = 7^{1/20} = \sqrt[20]{7}$.

Pour $B$ : $\sqrt[4]{4}=2^{2/4}=2^{1/2}$, $\sqrt{8}=2^{3/2}$, $\sqrt[5]{2}=2^{1/5}$, $\sqrt[4]{2^3}=2^{3/4}$, $\sqrt[12]{2}=2^{1/12}$.

Numérateur : $2^{1/2+3/2+1/5}=2^{2+1/5}=2^{11/5}$. Dénominateur : $2^{3/4+1/12}=2^{9/12+1/12}=2^{10/12}=2^{5/6}$.

Donc $B = 2^{11/5-5/6} = 2^{66/30-25/30} = 2^{41/30}$.

Énoncé (suite). Calculer $\lim_{x \to 1} \dfrac{\sqrt[3]{x}-1}{x-1}$, $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt[3]{x^2+1}-1}{x^2}$, $\lim_{x \to 8} \dfrac{\sqrt[3]{x}-2}{x-8}$.

Voir la correction

Première limite. On pose $x=t^3$ avec $t \to 1$. Alors $\dfrac{t-1}{t^3-1} = \dfrac{t-1}{(t-1)(t^2+t+1)} = \dfrac{1}{t^2+t+1} \to \dfrac{1}{3}$.

Deuxième limite. On pose $u=x^2 \to 0$. Alors $\dfrac{\sqrt[3]{1+u}-1}{u} \to \dfrac{1}{3}$ (dérivée de $\sqrt[3]{}$ en $1$).

Troisième limite. On utilise $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$ avec $a=\sqrt[3]{x}$ et $b=2$. On a $x-8=(\sqrt[3]{x}-2)(\sqrt[3]{x^2}+2\sqrt[3]{x}+4)$, donc $\dfrac{\sqrt[3]{x}-2}{x-8} = \dfrac{1}{\sqrt[3]{x^2}+2\sqrt[3]{x}+4} \to \dfrac{1}{4+4+4} = \dfrac{1}{12}$.

Exercice 2 — Fonction définie par morceaux

Énoncé. Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\sqrt{x-1}+3$ si $x \geq 1$ et $f(x)=\dfrac{x^2+x-2}{x-1}$ si $x \lt 1$.

Déterminer $D_f$, calculer $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ et $\lim_{x \to -\infty} f(x)$.
Étudier la continuité en $x_0=1$.
Étudier la continuité sur $\mathbb{R}$.
Soit $g$ la restriction de $f$ à $[1,+\infty[$. Montrer que $g$ admet une fonction réciproque $g^{-1}$ sur un intervalle $J$ à déterminer, puis calculer $g^{-1}(x)$ et résoudre $g^{-1}(x)=2$.

Voir la correction

1. Pour $x \geq 1$, $x-1 \geq 0$, donc défini. Pour $x \lt 1$, $x-1 \neq 0$ (car $x \lt 1$). Donc $D_f=\mathbb{R}$.

$\lim_{x \to +\infty} f(x)=+\infty$ (la racine domine). $\lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} \dfrac{x^2(1+1/x-2/x^2)}{x(1-1/x)} = \lim x = -\infty$.

2. $f(1)=3$. $\lim_{x \to 1^+} f(x)=3$. $\lim_{x \to 1^-} \dfrac{(x-1)(x+2)}{x-1} = \lim (x+2)=3$. Donc $f$ est continue en $1$.

3. Sur $]-\infty,1[$, $f$ est rationnelle donc continue. Sur $[1,+\infty[$, $f$ est composée de fonctions continues. En $1$, on a vu la continuité. Donc $f$ est continue sur $\mathbb{R}$.

4a. $g(x)=\sqrt{x-1}+3$ sur $[1,+\infty[$. $g$ est continue et strictement croissante. Donc $g$ réalise une bijection de $[1,+\infty[$ sur $J=[g(1),\lim_{x \to +\infty}g(x)[=[3,+\infty[$.

4b. $y=\sqrt{x-1}+3 \Rightarrow \sqrt{x-1}=y-3 \Rightarrow x=(y-3)^2+1$. Donc $g^{-1}(x)=(x-3)^2+1$ pour $x \in [3,+\infty[$.

4c. $g^{-1}(x)=2 \Rightarrow (x-3)^2+1=2 \Rightarrow (x-3)^2=1 \Rightarrow x=4$ ou $x=2$. Comme $x \in [3,+\infty[$, la solution est $x=4$.

Exercice 3 — Fonction avec racine cubique

Énoncé. Soit $f(x)=2-\sqrt[3]{x^2-1}$.

Déterminer $D_f$ et calculer les limites en $\pm\infty$.
Étudier la continuité sur $D_f$.
Étudier les variations de $f$.
Montrer que $f(x)=x$ admet une unique solution $\alpha \in [1,2[$. Montrer que $2-\alpha=\sqrt[3]{\alpha^2-1}$, puis donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $0{,}5$.
Soit $g$ la restriction de $f$ à $[1,+\infty[$. Montrer que $g$ admet une fonction réciproque $g^{-1}$ sur $J$, déterminer $g^{-1}([0,1])$ et calculer $g^{-1}(x)$.

Voir la correction

1. $\sqrt[3]{}$ est définie sur $\mathbb{R}$, donc $D_f=\mathbb{R}$. $\lim_{x \to +\infty} f(x)=\lim_{x \to -\infty} f(x)=-\infty$.

2. $f$ est composée de fonctions continues, donc continue sur $\mathbb{R}$.

3. $f'(x)=-\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{2x}{(x^2-1)^{2/3}}=-\dfrac{2x}{3|x^2-1|^{2/3}}$. Pour $x \gt 0$, $f'(x) \lt 0$ ; pour $x \lt 0$, $f'(x) \gt 0$. Donc $f$ est croissante sur $]-\infty,0[$ et décroissante sur $]0,+\infty[$.

4. Posons $h(x)=f(x)-x=2-\sqrt[3]{x^2-1}-x$. $h(1)=1 \gt 0$ et $h(2)=-\sqrt[3]{3} \lt 0$. $h$ est continue sur $[1,2]$, donc par le TVI il existe $\alpha \in ]1,2[$ tel que $h(\alpha)=0$, i.e. $f(\alpha)=\alpha$.

De $2-\sqrt[3]{\alpha^2-1}=\alpha$, on déduit $2-\alpha=\sqrt[3]{\alpha^2-1}$.

On calcule $h(1{,}5)=2-\sqrt[3]{1{,}25}-1{,}5 \approx -0{,}577 \lt 0$. Donc $\alpha \in ]1,1{,}5[$, encadrement d'amplitude $0{,}5$.

5a. Sur $[1,+\infty[$, $f$ est continue et strictement décroissante. Donc $g$ réalise une bijection de $[1,+\infty[$ sur $J=]\lim_{x \to +\infty}g(x),g(1)]=]-\infty,2]$.

5b. $g^{-1}([0,1])=[g^{-1}(1),g^{-1}(0)]$. $g^{-1}(1)$ : $2-\sqrt[3]{x^2-1}=1 \Rightarrow \sqrt[3]{x^2-1}=1 \Rightarrow x^2=2 \Rightarrow x=\sqrt{2}$. $g^{-1}(0)$ : $2-\sqrt[3]{x^2-1}=0 \Rightarrow \sqrt[3]{x^2-1}=2 \Rightarrow x^2-1=8 \Rightarrow x=3$. Donc $g^{-1}([0,1])=[\sqrt{2},3]$.

5c. $y=2-\sqrt[3]{x^2-1} \Rightarrow \sqrt[3]{x^2-1}=2-y \Rightarrow x^2-1=(2-y)^3 \Rightarrow x=\sqrt{1+(2-y)^3}$ (car $x \geq 1$). Donc $g^{-1}(x)=\sqrt{1+(2-x)^3}$ pour $x \leq 2$.

Exercice 4 — Fonction cube décalée

Énoncé. Soit $g(x)=(x-1)^3+2$.

Étudier la continuité de $g$ sur $\mathbb{R}$.
Étudier ses variations.
Montrer que $g$ admet une fonction réciproque $g^{-1}$ sur un intervalle $J$ à déterminer.
Déterminer $g^{-1}([-6,2])$.
Calculer $g^{-1}(x)$.

Voir la correction

1. $g$ est polynômiale, donc continue sur $\mathbb{R}$.

2. $g'(x)=3(x-1)^2 \geq 0$, donc $g$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

3. $g$ est continue et strictement croissante sur $\mathbb{R}$, avec $\lim_{x \to -\infty}g(x)=-\infty$ et $\lim_{x \to +\infty}g(x)=+\infty$. Donc $g$ réalise une bijection de $\mathbb{R}$ sur $J=\mathbb{R}$.

4. $g^{-1}([-6,2])=[g^{-1}(-6),g^{-1}(2)]$. $g^{-1}(-6)$ : $(x-1)^3+2=-6 \Rightarrow (x-1)^3=-8 \Rightarrow x-1=-2 \Rightarrow x=-1$. $g^{-1}(2)$ : $(x-1)^3=0 \Rightarrow x=1$. Donc $g^{-1}([-6,2])=[-1,1]$.

5. $y=(x-1)^3+2 \Rightarrow (x-1)^3=y-2 \Rightarrow x=1+\sqrt[3]{y-2}$. Donc $g^{-1}(x)=1+\sqrt[3]{x-2}$.

Exercice 5 — Fonction rationnelle

Énoncé. Soit $f(x)=\dfrac{x^2+2}{2x^2+1}$ définie sur $]-\infty,0]$.

Étudier la continuité sur $]-\infty,0]$.
Étudier les variations.
Montrer que $f$ admet une fonction réciproque $f^{-1}$ sur $J$ à déterminer.
Calculer $f^{-1}(x)$.
Montrer que $f(x)=\sqrt{2}$ admet une unique solution $\alpha \in ]-3/2,-1/2[$.

Voir la correction

1. $f$ est rationnelle et le dénominateur $2x^2+1$ ne s'annule jamais, donc $f$ est continue sur $\mathbb{R}$, en particulier sur $]-\infty,0]$.

2. $f'(x)=\dfrac{2x(2x^2+1)-(x^2+2)(4x)}{(2x^2+1)^2}=\dfrac{-6x}{(2x^2+1)^2}$. Pour $x \lt 0$, $f'(x) \gt 0$, donc $f$ est strictement croissante sur $]-\infty,0]$.

3. $f$ est continue et strictement croissante sur $]-\infty,0]$. Donc $f$ réalise une bijection de $]-\infty,0]$ sur $J=]\lim_{x \to -\infty}f(x),f(0)]=]1/2,2]$.

4. $y=\dfrac{x^2+2}{2x^2+1} \Rightarrow y(2x^2+1)=x^2+2 \Rightarrow 2yx^2+y=x^2+2 \Rightarrow x^2(2y-1)=2-y \Rightarrow x^2=\dfrac{2-y}{2y-1}$. Comme $x \leq 0$, $f^{-1}(x)=-\sqrt{\dfrac{2-x}{2x-1}}$ pour $x \in ]1/2,2]$.

5. $f$ est continue et strictement croissante sur $]-\infty,0]$. On a $f(-3/2)=\dfrac{9/4+2}{9/2+1}=\dfrac{17/4}{11/2}=\dfrac{17}{22} \approx 0{,}77 \lt \sqrt{2}$. $f(-1/2)=\dfrac{1/4+2}{1/2+1}=\dfrac{9/4}{3/2}=\dfrac{3}{2}=1{,}5 \gt \sqrt{2}$. Par le TVI, il existe $\alpha \in ]-3/2,-1/2[$ tel que $f(\alpha)=\sqrt{2}$ ; par stricte monotonie, $\alpha$ est unique.

Remarque : de $f(\alpha)=\sqrt{2}$, on déduit $\alpha^2=\dfrac{2-\sqrt{2}}{2\sqrt{2}-1}$, et comme $\alpha^2 \in ]1/4,9/4[$, on obtient un encadrement de $\dfrac{2-\sqrt{2}}{2\sqrt{2}-1}$.

Fiche de révision express

Notion	Formule / Propriété
Continuité en $x_0$	$\lim_{x \to x_0} f(x)=f(x_0)$
Continuité à droite / gauche	$\lim_{x \to x_0^+} f(x)=f(x_0)$ / $\lim_{x \to x_0^-} f(x)=f(x_0)$
Limites trigo.	$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}=1$ ; $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x}=1$ ; $\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}$
Quantité conjuguée	$a-b=\frac{a^2-b^2}{a+b}$ (racine carrée) ; $a-b=\frac{a^3-b^3}{a^2+ab+b^2}$ (racine cubique)
Prolongement	Si $\lim_{x \to a} f(x)=\ell$ finie, on pose $\tilde{f}(a)=\ell$
Composition	$f$ continue en $x_0$, $g$ continue en $f(x_0)$ $\Rightarrow$ $g \circ f$ continue en $x_0$
Image d'un segment	$f([a,b])=[\min f,\max f]$
TVI	$f$ continue sur $[a,b]$, $k$ entre $f(a)$ et $f(b)$ $\Rightarrow$ $\exists c, f(c)=k$
Corollaire TVI	$f$ continue, $f(a)f(b) \lt 0$ $\Rightarrow$ $\exists c, f(c)=0$
Unicité	$f$ continue et strictement monotone $\Rightarrow$ solution unique
Fonction réciproque	$f$ continue et strictement monotone sur $I$ $\Rightarrow$ bijection $I \to f(I)$, $f^{-1}$ continue et même monotonie
Calcul de $f^{-1}$	Résoudre $f(y)=x$ en $y$, puis échanger $x$ et $y$
Racine n-ième	$\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}$ ; $\sqrt[n]{a/b}=\sqrt[n]{a}/\sqrt[n]{b}$

Quiz d'autoévaluation

Question 1 — Que vaut $\lim_{x \to 1} \dfrac{\sqrt[3]{x}-1}{x-1}$ ?

On pose $x=t^3$ avec $t \to 1$. Alors $\dfrac{t-1}{t^3-1}=\dfrac{1}{t^2+t+1} \to \dfrac{1}{3}$.

Question 2 — Comment montrer qu'une fonction admet une fonction réciproque sur un intervalle $I$ ?

Il faut prouver que $f$ est continue et strictement monotone sur $I$. On vérifie généralement la stricte monotonie en calculant $f'(x)$ et en montrant qu'elle garde un signe constant strict.

Question 3 — Quelle est la condition pour appliquer le TVI ?

La fonction doit être continue sur $[a,b]$ et le réel $k$ doit être compris entre $f(a)$ et $f(b)$. L'unicité exige en plus la stricte monotonie.

Question 4 — Que signifie $\sqrt[3]{a^2}=a^{2/3}$ ?

Cela signifie que la racine cubique de $a^2$ s'écrit comme la puissance rationnelle $a^{2/3}$. Cette notation est cohérente avec les règles de calcul sur les puissances : $(a^{2/3})^3=a^2$.

Question 5 — Comment déterminer l'intervalle image $J=f(I)$ pour une fonction réciproque ?

On utilise la continuité et la stricte monotonie : pour $f$ strictement croissante sur $[a,b]$, $f([a,b])=[f(a),f(b)]$ ; sur $[a,b[$, $f([a,b[)=[f(a),\lim_{x \to b^-}f(x)[$. On adapte selon les bornes ouvertes ou infinies.

Questions fréquentes

Comment lever une indétermination avec une racine cubique ?

On utilise l'identité $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$ avec $a=\sqrt[3]{u(x)}$ et $b=\sqrt[3]{v(x)}$. On multiplie numérateur et dénominateur par $a^2+ab+b^2$ pour faire apparaître $u(x)-v(x)$, qui se simplifie avec le dénominateur initial.

Peut-on toujours construire une fonction réciproque ?

Non. Il faut que la fonction soit continue et strictement monotone sur l'intervalle considéré. Sans la stricte monotonie, deux antécédents peuvent avoir la même image, et la réciproque n'est pas définie de façon unique. Sans continuité, l'image d'un intervalle n'est pas nécessairement un intervalle.

Comment rédiger une preuve d'unicité par le TVI ?

Comment vérifier les hypothèses du théorème des fonctions réciproques ?

Que faire quand la fonction est définie par morceaux ?

Comment simplifier une expression avec plusieurs racines n-ièmes ?

On écrit toutes les racines sous la forme de puissances rationnelles : $\sqrt[n]{a^p}=a^{p/n}$. On utilise ensuite les règles de calcul sur les puissances : $a^r \cdot a^{r'}=a^{r+r'}$ et $(a^r)^{r'}=a^{rr'}$. On simplifie l'exposant et on revient éventuellement à l'écriture racine.

Résumé final

Cette série d'exercices non corrigés, accompagnée ici de solutions détaillées, couvre l'ensemble des compétences attendues sur le chapitre « Limites et continuité ». Les simplifications de racines n-ièmes se traitent en passant par les puissances rationnelles. Les limites avec racines carrées ou cubiques se lèvent par la quantité conjuguée ou par les identités remarquables adaptées. La continuité se prouve en comparant la limite à la valeur de la fonction, et la détermination d'un paramètre passe par l'égalité des limites à gauche, à droite et de la valeur au point.

Le théorème des valeurs intermédiaires est l'outil central pour prouver l'existence d'une solution, et la stricte monotonie permet d'en garantir l'unicité. La construction de la fonction réciproque suit un schéma constant : vérifier la continuité et la stricte monotonie, déterminer l'intervalle image à l'aide des bornes et des limites aux bornes, résoudre $f(y)=x$, puis échanger les lettres. Les exercices proposés t'ont permis de voir ces méthodes appliquées à des fonctions polynômes, rationnelles, avec racines carrées et racines cubiques.

Prends l'habitude de refaire chaque exercice sans regarder la correction, de vérifier les hypothèses avant chaque théorème, et de rédiger proprement les conclusions. C'est cette rigueur qui fera la différence le jour de l'examen. Bon courage dans tes révisions.

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Cours de Mathématiques : Les limites et la continuité — 2e BAC SM 2025-2026

Niveau	2e année du baccalauréat
Filière	Sciences Mathématiques (SM)
Matière	Mathématiques
Chapitre	Limites et Continuité
Sous-chapitre	Calcul de limites, continuité, T.V.I., bijection
Programme	Programme officiel marocain — 2025-2026
Durée indicative d'étude	6 heures
Dernière mise à jour	24 octobre 2026

Le chapitre sur les limites et la continuité constitue le socle fondamental de l'analyse mathématique en classe de terminale. Il intervient juste après l'étude des suites et ouvre la voie vers la dérivation, l'étude des fonctions et le calcul intégral. Comprendre ces notions est indispensable pour aborder sereinement les chapitres ultérieurs du programme officiel marocain, notamment les fonctions logarithmiques et exponentielles.

Ce chapitre possède un poids considérable lors de l'examen national. Les limites et la continuité sont systématiquement évaluées, que ce soit de manière directe (calcul de limites, étude de fonctions) ou de manière transversale (théorème des valeurs intermédiaires, bijection, suites récurrentes). La maîtrise des techniques de calcul et des théorèmes fondamentaux est donc non négociable pour viser une mention.

Dans ce cours complet, vous allez trouver l'ensemble des définitions et théorèmes rigoureux, des méthodes de calcul détaillées étape par étape, les erreurs classiques à éviter, ainsi qu'une sélection d'exercices corrigés minutieusement, dont des exercices types de l'examen national. Une fiche de révision et un quiz d'autoévaluation vous permettront de consolider vos acquis. Enfin, une version imprimable propre, sans publicité, est disponible en fin d'article.

Table des matières

Prérequis

Avant d'aborder ce chapitre, il est essentiel de maîtriser les notions suivantes :

Les fonctions de référence : polynômes, fonctions rationnelles, fonction racine carrée.
La trigonométrie : formules d'addition, limites des fonctions trigonométriques usuelles.
La dérivation : calcul de dérivées et lien avec les variations d'une fonction.
Les suites numériques : convergence et calcul de limites.

Objectifs pédagogiques

À l'issue de ce cours, l'élève sera capable de :

Calculer les limites d'une fonction à l'infini et en un point, y compris les formes indéterminées.
Étudier la continuité d'une fonction en un point et sur un intervalle.
Appliquer le théorème des valeurs intermédiaires (T.V.I.) pour prouver l'existence de solutions.
Utiliser la méthode de la dichotomie pour encadrer une solution.
Démontrer qu'une fonction réalise une bijection et déterminer sa fonction réciproque.

Le cours complet

Définitions et propriétés des limites

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle ouvert contenant un réel $a$ (ou sur un voisinage de $a$).

Limite finie en un point

On dit que $f$ admet une limite finie $\ell$ en $a$ si, pour tout réel $\varepsilon > 0$, il existe un réel $\delta > 0$ tel que pour tout $x \in D_f$, si $|x - a| < \delta$ alors $|f(x) - \ell| < \varepsilon$. On note $\lim_{x \to a} f(x) = \ell$.

Limite infinie à l'infini

On dit que $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ si, pour tout réel $M > 0$, il existe un réel $A > 0$ tel que pour tout $x \in D_f$, si $x > A$ alors $f(x) > M$.

Opérations sur les limites

Les limites obéissent à des règles algébriques usuelles (somme, produit, quotient, composée). Toutefois, certaines formes nécessitent une étude approfondie : ce sont les formes indéterminées. Les quatre formes indéterminées à connaître sont :

$$ \infty - \infty \quad ; \quad 0 \times \infty \quad ; \quad \frac{\infty}{\infty} \quad ; \quad \frac{0}{0} $$

Pour lever une indétermination, on factorise par le terme prépondérant, on utilise l'expression conjuguée (pour les racines carrées), ou encore les limites usuelles de la trigonométrie ($\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$).

Continuité d'une fonction

Définition

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $a \in I$. On dit que $f$ est continue en $a$ si :

$$ \lim_{x \to a} f(x) = f(a) $$

Si $f$ est continue en tout point de $I$, on dit que $f$ est continue sur $I$. Graphiquement, cela signifie que la courbe représentative de $f$ peut être tracée sans lever le crayon.

Théorème des valeurs intermédiaires (T.V.I.)

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $[a, b]$. Pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe au moins un réel $c \in [a, b]$ tel que $f(c) = k$.

Un corollaire très important : si $f$ est continue et strictement monotone sur $[a, b]$, alors pour tout $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, l'équation $f(x) = k$ admet une unique solution dans $[a, b]$.

Fonction réciproque et bijection

Soit $f$ une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle $I$. Alors $f$ réalise une bijection de $I$ vers un intervalle $J = f(I)$. La fonction réciproque $f^{-1}$ est définie sur $J$ et pour tout $x \in J$, $y = f^{-1}(x) \iff x = f(y)$.

Méthodes et exemples corrigés

Méthode 1 : Lever une indétermination en $+\infty$ avec des polynômes

Soit à calculer $\lim_{x \to +\infty} \frac{3x^2 - 2x + 1}{x^2 + 5}$.

On factorise par le terme de plus haut degré au numérateur et au dénominateur :

$$ \frac{3x^2 - 2x + 1}{x^2 + 5} = \frac{x^2(3 - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2})}{x^2(1 + \frac{5}{x^2})} = \frac{3 - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2}}{1 + \frac{5}{x^2}} $$

Quand $x \to +\infty$, les termes $\frac{2}{x}$, $\frac{1}{x^2}$ et $\frac{5}{x^2}$ tendent vers 0. La limite est donc $\frac{3}{1} = 3$.

Méthode 2 : Lever une indétermination avec l'expression conjuguée

Soit à calculer $\lim_{x \to +\infty} (\sqrt{x^2 + x + 1} - x)$.

On multiplie et divise par l'expression conjuguée :

$$ \sqrt{x^2 + x + 1} - x = \frac{(\sqrt{x^2 + x + 1} - x)(\sqrt{x^2 + x + 1} + x)}{\sqrt{x^2 + x + 1} + x} $$

$$ = \frac{x^2 + x + 1 - x^2}{\sqrt{x^2 + x + 1} + x} = \frac{x + 1}{\sqrt{x^2 + x + 1} + x} $$

On factorise par $x$ au numérateur et au dénominateur (pour $x > 0$) :

$$ = \frac{x(1 + \frac{1}{x})}{x(\sqrt{1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}} + 1)} = \frac{1 + \frac{1}{x}}{\sqrt{1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}} + 1} $$

La limite en $+\infty$ est donc $\frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}$.

Erreurs fréquentes et pièges

Attention aux formes indéterminées : Ne concluez jamais hâtivement qu'une limite est nulle ou infinie sans avoir vérifié la nature de l'expression. Par exemple, $\frac{0}{0}$ n'est pas égal à 0, c'est une forme indéterminée qu'il faut lever.

Confusion entre continuité et dérivabilité : Une fonction peut être continue en un point sans être dérivable (c'est le cas de la fonction valeur absolue en 0). La continuité est une condition nécessaire mais pas suffisante pour la dérivabilité.

Oubli des conditions du T.V.I. : Le théorème des valeurs intermédiaires exige que la fonction soit continue sur l'intervalle fermé. Vérifiez toujours la continuité avant d'appliquer le théorème. De plus, pour l'unicité, la stricte monotonie est indispensable.

Exercices et examens nationaux

Tous les exercices et sujets corrigés

Consultez la liste complète des exercices d'application, exercices corrigés et examens nationaux classés par chapitre et par filière.

Voir tous les exercices

Exercice	Type	Année / Session	Niveau
Exercice 1 — Calcul de limites	Application directe	—	Facile
Exercice 2 — Limites et trigonométrie	Application directe	—	Moyen
Exercice 3 — Étude de continuité	Application directe	—	Moyen
Exercice 4 — Théorème des valeurs intermédiaires	Démonstration	—	Moyen
Exercice 5 — Méthode de dichotomie	Application	—	Moyen
Exercice 6 — Recherche de paramètres	Synthèse	—	Difficile
Exercice 7 — T.V.I. abstrait	Démonstration	—	Difficile
Exercice 8 — Bijection et réciproque	Synthèse	—	Difficile
Exercice 9 — Étude de fonction et réciproque	Synthèse	—	Difficile

Exercice 1 — Calcul de limites

Énoncé : Calculer les limites suivantes :

1. $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 3x + 2}{x^2 - 9x + 8}$

Correction

On a une forme indéterminée $\frac{0}{0}$. On factorise le numérateur et le dénominateur :

$x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)$ et $x^2 - 9x + 8 = (x - 1)(x - 8)$.

Ainsi, $\frac{x^2 - 3x + 2}{x^2 - 9x + 8} = \frac{(x - 1)(x - 2)}{(x - 1)(x - 8)} = \frac{x - 2}{x - 8}$.

La limite en 1 est donc $\frac{1 - 2}{1 - 8} = \frac{-1}{-7} = \frac{1}{7}$.

2. $\lim_{x \to 5} \frac{x^2 - 7x + 10}{x^2 - x - 20}$

Correction

Forme indéterminée $\frac{0}{0}$. On factorise :

$x^2 - 7x + 10 = (x - 5)(x - 2)$ et $x^2 - x - 20 = (x - 5)(x + 4)$.

La fonction se simplifie en $\frac{x - 2}{x + 4}$. La limite en 5 est $\frac{5 - 2}{5 + 4} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$.

3. $\lim_{x \to -1} \frac{x - 1}{\sqrt{x^2 + 3} - \sqrt{x^4 + x^2 + 2}}$

Correction

Le numérateur tend vers $-2$. Le dénominateur tend vers $\sqrt{4} - \sqrt{4} = 0$. C'est une forme $\frac{-2}{0}$.

Étudions le signe du dénominateur. On utilise l'expression conjuguée :

$\sqrt{x^2 + 3} - \sqrt{x^4 + x^2 + 2} = \frac{x^2 + 3 - (x^4 + x^2 + 2)}{\sqrt{x^2 + 3} + \sqrt{x^4 + x^2 + 2}} = \frac{1 - x^4}{\sqrt{x^2 + 3} + \sqrt{x^4 + x^2 + 2}}$.

Au voisinage de $-1$, $1 - x^4 = (1 - x^2)(1 + x^2) = (1 - x)(1 + x)(1 + x^2)$.

Le dénominateur tend vers $2 + 2 = 4 > 0$. Donc le signe dépend de $1 - x^4$.

Pour $x \to -1^-$, $x < -1 \implies x^4 > 1 \implies 1 - x^4 < 0$, donc le dénominateur est négatif. La limite est $+\infty$.

Pour $x \to -1^+$, $x > -1 \implies x^4 < 1 \implies 1 - x^4 > 0$, le dénominateur est positif. La limite est $-\infty$.

La limite globale n'existe pas.

4. $\lim_{x \to +\infty} \sqrt{x^2 + 1} - x$

Correction

Forme indéterminée $+\infty - \infty$. On multiplie par l'expression conjuguée :

$\sqrt{x^2 + 1} - x = \frac{x^2 + 1 - x^2}{\sqrt{x^2 + 1} + x} = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1} + x}$.

Quand $x \to +\infty$, le dénominateur tend vers $+\infty$, donc la limite est $0$.

5. $\lim_{x \to -\infty} \frac{\sqrt{x^2 - 2x + 3}}{x}$

Correction

On factorise par $x^2$ sous la racine : $\sqrt{x^2(1 - \frac{2}{x} + \frac{3}{x^2})} = |x|\sqrt{1 - \frac{2}{x} + \frac{3}{x^2}}$.

Comme $x \to -\infty$, $x < 0$, donc $|x| = -x$. L'expression devient $\frac{-x\sqrt{1 - \frac{2}{x} + \frac{3}{x^2}}}{x} = -\sqrt{1 - \frac{2}{x} + \frac{3}{x^2}}$.

La limite est donc $-1$.

Exercice 2 — Limites et trigonométrie

Énoncé : Calculer les limites suivantes :

1. $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x \tan x}$

Correction

On utilise les limites usuelles : $1 - \cos x \sim \frac{x^2}{2}$ et $\tan x \sim x$ au voisinage de 0.

Donc $\frac{1 - \cos x}{x \tan x} \sim \frac{x^2/2}{x \cdot x} = \frac{1}{2}$. La limite est $\frac{1}{2}$.

2. $\lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{\cos x - \sin x}{4x - \pi}$

Correction

On pose $x = \frac{\pi}{4} + h$, avec $h \to 0$. Le dénominateur devient $4h$.

Le numérateur : $\cos(\frac{\pi}{4} + h) - \sin(\frac{\pi}{4} + h) = \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos h - \sin h) - \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos h + \sin h) = -\sqrt{2}\sin h$.

Donc la limite est $\lim_{h \to 0} \frac{-\sqrt{2}\sin h}{4h} = -\frac{\sqrt{2}}{4}$.

3. $\lim_{x \to 0^+} \frac{1 - \sqrt{\cos 2x}}{x^2}$

Correction

On multiplie par l'expression conjuguée : $\frac{1 - \cos 2x}{x^2(1 + \sqrt{\cos 2x})}$.

On sait que $1 - \cos 2x \sim \frac{(2x)^2}{2} = 2x^2$ et le dénominateur tend vers $2x^2(1+1) = 4x^2$.

La limite est donc $\frac{2x^2}{4x^2} = \frac{1}{2}$.

Exercice 3 — Étude de continuité

Énoncé : Étudier la continuité de la fonction $f$ au point $x_0$ :

1. $f(x) = \frac{x^3 - x^2 - x - 15}{x - 3}$ pour $x \neq 3$ et $f(3) = 7$.

Correction

On calcule $\lim_{x \to 3} f(x)$. Le numérateur s'annule en 3. On factorise : $x^3 - x^2 - x - 15 = (x - 3)(x^2 + 2x + 5)$.

Donc $f(x) = x^2 + 2x + 5$ pour $x \neq 3$. La limite en 3 est $9 + 6 + 5 = 20$.

Comme $f(3) = 7 \neq 20$, la fonction n'est pas continue en 3.

2. $f(x) = -2x^2 + 3$ pour $x \leq 2$, et $f(x) = x^3 + 2x - 1$ pour $x > 2$.

Correction

On calcule les limites à gauche et à droite en 2 :

$\lim_{x \to 2^-} f(x) = -2(4) + 3 = -5$.

$\lim_{x \to 2^+} f(x) = 8 + 4 - 1 = 11$.

Les limites sont différentes, donc $f$ n'est pas continue en 2.

Exercice 4 — Théorème des valeurs intermédiaires

Énoncé : Montrer que l'équation proposée admet au moins une solution dans l'intervalle $I$ :

a. $x^3 - 2x^2 - 1 = 0$ et $I = [2, 3]$.

Correction

Soit $f(x) = x^3 - 2x^2 - 1$. $f$ est une fonction polynôme donc continue sur $\mathbb{R}$, et donc sur $[2, 3]$.

$f(2) = 8 - 8 - 1 = -1 < 0$.

$f(3) = 27 - 18 - 1 = 8 > 0$.

Puisque $0$ est compris entre $f(2)$ et $f(3)$, d'après le T.V.I., il existe au moins un réel $c \in [2, 3]$ tel que $f(c) = 0$.

b. Montrer que l'équation $x^3 - 3x^2 - 5 = 0$ admet une unique solution dans $I = [2, 4]$.

Correction

Soit $f(x) = x^3 - 3x^2 - 5$. $f$ est continue sur $[2, 4]$.

$f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2)$. Sur $[2, 4]$, $f'(x) \geq 0$, donc $f$ est strictement croissante.

$f(2) = 8 - 12 - 5 = -9 < 0$.

$f(4) = 64 - 48 - 5 = 11 > 0$.

D'après le T.V.I., l'équation admet une unique solution dans $[2, 4]$.

Exercice 5 — Méthode de dichotomie

Énoncé : Soit $f(x) = x^3 + 2x - 4$. Montrer que $f(x) = 0$ admet une unique solution $a$ dans $]1, 2[$, puis donner un encadrement de $a$ d'amplitude $0.25$ par dichotomie.

Correction

$f'(x) = 3x^2 + 2 > 0$. $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

$f(1) = 1 + 2 - 4 = -1 < 0$ et $f(2) = 8 + 4 - 4 = 8 > 0$. Donc l'équation admet une unique solution $a \in ]1, 2[$.

Dichotomie (amplitude $\leq 0.25$) :

$f(1.5) = 3.375 + 3 - 4 = 2.375 > 0$, donc $a \in ]1, 1.5[$.

$f(1.25) = 1.953 + 2.5 - 4 = 0.453 > 0$, donc $a \in ]1, 1.25[$.

$f(1.125) = 1.424 + 2.25 - 4 = -0.326 < 0$, donc $a \in ]1.125, 1.25[$.

L'amplitude est $1.25 - 1.125 = 0.125 < 0.25$. Un encadrement est $1.125 < a < 1.25$.

Exercice 6 — Recherche de paramètres

Énoncé : Soit $f(x) = 2x^2 + 2ax - a - 2$ pour $x < 1$, $f(x) = -2x^2 + bx + 3$ pour $x > 1$ et $f(1) = 2 + c$. Déterminer $a, b, c$ pour que $f$ soit continue en 1.

Correction

Pour que $f$ soit continue en 1, il faut que $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1)$.

$\lim_{x \to 1^-} f(x) = 2 + 2a - a - 2 = a$.

$\lim_{x \to 1^+} f(x) = -2 + b + 3 = b + 1$.

$f(1) = 2 + c$.

On doit donc avoir $a = b + 1 = 2 + c$. Les réels doivent vérifier cette relation.

Exercice 7 — T.V.I. abstrait

Énoncé : Soit $f$ et $g$ deux fonctions continues sur $[0, 1]$ telles que $f(0) = g(1) = 0$ et $f(1) = g(0) = 1$. Montrer qu'il existe $\alpha \in [0, 1]$ tel que $f(\alpha) = 2017g(\alpha)$.

Correction

Soit $h(x) = f(x) - 2017g(x)$. $h$ est continue sur $[0, 1]$ (différence de fonctions continues).

$h(0) = f(0) - 2017g(0) = 0 - 2017 = -2017 < 0$.

$h(1) = f(1) - 2017g(1) = 1 - 0 = 1 > 0$.

D'après le T.V.I., puisqu'il existe un changement de signe entre 0 et 1, il existe $\alpha \in [0, 1]$ tel que $h(\alpha) = 0$, c'est-à-dire $f(\alpha) = 2017g(\alpha)$.

Exercice 8 — Bijection et réciproque

Énoncé : $f(x) = (1 + x^3)^2$ sur $I = [1, +\infty[$. Montrer que $f$ réalise une bijection de $I$ sur un intervalle $J$, et calculer $f^{-1}(x)$.

Correction

$f$ est continue et dérivable sur $I$. $f'(x) = 2(1 + x^3)(3x^2) > 0$ pour $x \geq 1$.

Donc $f$ est strictement croissante sur $[1, +\infty[$.

$f(1) = (1 + 1)^2 = 4$. $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$.

D'après le théorème de la bijection, $f$ réalise une bijection de $I = [1, +\infty[$ sur $J = [4, +\infty[$.

Pour calculer $f^{-1}(x)$, on résout $y = (1 + x^3)^2$ :

$1 + x^3 = \sqrt{y}$ (car $y \geq 4 \implies \sqrt{y} \geq 2$).

$x^3 = \sqrt{y} - 1$.

$x = \sqrt[3]{\sqrt{y} - 1}$.

Donc pour tout $x \in [4, +\infty[$, $f^{-1}(x) = \sqrt[3]{\sqrt{x} - 1}$.

Exercice 9 — Étude de fonction et réciproque

Énoncé : $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 3}$. Soit $g$ la restriction de $f$ à $[0, +\infty[$. Montrer que $g$ admet une réciproque $g^{-1}$ et calculer $g^{-1}(x)$.

Correction

$f'(x) = \frac{2x(x^2 + 3) - (x^2 - 1)(2x)}{(x^2 + 3)^2} = \frac{8x}{(x^2 + 3)^2}$.

Sur $[0, +\infty[$, $f'(x) \geq 0$, donc $g$ est strictement croissante.

$g(0) = -\frac{1}{3} = -1/3$. (Attention, l'énoncé dit $-1$, vérifions : $f(0) = -1/3$. L'énoncé semble avoir une petite erreur, mais on garde le calcul formel).

$\lim_{x \to +\infty} g(x) = 1$.

Donc $g$ réalise une bijection de $[0, +\infty[$ sur $J = [-1/3, 1[$.

On pose $y = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 3}$. Alors $y(x^2 + 3) = x^2 - 1 \implies yx^2 + 3y = x^2 - 1 \implies x^2(y - 1) = -1 - 3y$.

$x^2 = \frac{1 + 3y}{1 - y}$. Comme $x \geq 0$, $x = \sqrt{\frac{1 + 3y}{1 - y}}$.

Donc $g^{-1}(x) = \sqrt{\frac{1 + 3x}{1 - x}}$ pour $x \in [-1/3, 1[$.

Fiche de révision express

Notion	Formule / Propriété
Limite en l'infini	$\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x^n} = 0$
Limite trigonométrique	$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$
Continuité en $a$	$\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$
T.V.I.	Si $f$ continue sur $[a,b]$, alors $f$ prend toutes les valeurs entre $f(a)$ et $f(b)$
Bijection	Si $f$ continue et strictement monotone sur $I$, alors $f$ est une bijection de $I$ sur $f(I)$

Quiz d'autoévaluation

Question 1 : Quelle est la limite de $\frac{\sin x}{x}$ quand $x \to 0$ ?

Réponse : La limite est 1. C'est une limite usuelle fondamentale à connaître.

Question 2 : Une fonction continue sur $[a, b]$ avec $f(a) \cdot f(b) < 0$ admet-elle toujours une solution unique ?

Réponse : Non. Elle admet au moins une solution (T.V.I.). Pour avoir l'unicité, il faut ajouter la stricte monotonie.

Question 3 : La fonction $f(x) = |x|$ est-elle continue en 0 ? Dérivable en 0 ?

Réponse : Oui, elle est continue en 0 car $\lim_{x \to 0} |x| = 0 = f(0)$. Non, elle n'est pas dérivable en 0 car le taux d'accroissement à gauche vaut $-1$ et à droite $1$.

Questions fréquentes

Comment bien rédiger une réponse utilisant le T.V.I. ?

Il faut toujours commencer par justifier la continuité de la fonction sur l'intervalle fermé, puis calculer les images aux bornes, et enfin conclure en citant le théorème. Pour l'unicité, ajoutez l'étude des variations (dérivée) pour prouver la stricte monotonie.

Quelle est la différence entre limite à gauche et limite à droite ?

La limite à gauche considère $x$ tendant vers $a$ avec $x < a$. La limite à droite considère $x > a$. Si les deux limites existent et sont égales, alors la limite globale existe. Pour la continuité en $a$, il faut que limite à gauche = limite à droite = $f(a)$.

Comment calculer une limite avec une racine carrée ?

En cas de forme indéterminée $\infty - \infty$ ou $\frac{0}{0}$, la technique classique est de multiplier le numérateur et le dénominateur par l'expression conjuguée. Cela permet de faire disparaître la racine gênante et de simplifier l'expression.

Que signifie "lever une indétermination" ?

Cela signifie transformer l'écriture de la fonction (factorisation, expression conjuguée, changement de variable) pour arriver à une forme sur laquelle on peut appliquer les règles usuelles des limites et trouver la vraie valeur de la limite.

La continuité implique-t-elle la dérivabilité ?

Non. La continuité est une condition nécessaire pour la dérivabilité, mais pas suffisante. Une fonction peut être continue en un point sans y être dérivable (exemple : $f(x) = |x|$ en 0).

Comment trouver la fonction réciproque ?

On pose $y = f(x)$ et on cherche à exprimer $x$ en fonction de $y$. On isole $x$ en faisant attention au domaine de définition et au signe (par exemple, si on prend la racine carrée, on choisit la branche positive ou négative selon l'intervalle de départ).

Résumé final

Vous voilà arrivé au bout de ce chapitre dense mais passionnant. Les limites et la continuité sont le cœur de l'analyse mathématique. N'oubliez pas de vous entraîner régulièrement sur les exercices, en particulier ceux portant sur les formes indéterminées et les applications du T.V.I. La rigueur dans la rédaction des démonstrations est tout aussi importante que le calcul lui-même. Gardez confiance et continuez à travailler, les efforts finissent toujours par payer.

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Cours de Mathématiques : Les limites et la continuité — 2e BAC SM 2025-2026

Niveau	2e année du baccalauréat
Filière	Sciences Mathématiques (SM)
Matière	Mathématiques
Chapitre	Limites et Continuité
Sous-chapitre	Calcul de limites en un point, continuité
Programme	Programme officiel marocain — 2025-2026
Durée indicative d'étude	5 heures
Dernière mise à jour	24 octobre 2026

Le chapitre sur les limites et la continuité constitue une étape charnière dans l'apprentissage des mathématiques au lycée. Il permet de passer de l'étude algébrique des fonctions à une analyse plus fine de leur comportement, notamment au voisinage d'un point ou à l'infini. La maîtrise de ces concepts est indispensable pour aborder sereinement les chapitres ultérieurs comme la dérivation, l'étude des fonctions ou le calcul intégral.

Ce chapitre revêt une importance capitale pour l'examen national. Les limites sont systématiquement évaluées, que ce soit de manière directe (calcul de limites) ou de manière transversale (étude de fonctions, suites récurrentes). La rigueur dans la rédaction et la capacité à lever les formes indéterminées sont des compétences clés que les correcteurs attendent. La continuité, quant à elle, permet de justifier l'existence de solutions à des équations complexes via le théorème des valeurs intermédiaires.

Dans ce cours complet et détaillé, vous trouverez l'ensemble des définitions et propriétés rigoureuses, des méthodes de calcul expliquées pas à pas, ainsi qu'une sélection d'exercices corrigés minutieusement, dont des exercices types de l'examen national. Une fiche de révision et un quiz d'autoévaluation vous permettront de consolider vos acquis. Enfin, une version imprimable propre, sans publicité, est disponible en fin d'article.

Table des matières

Prérequis

Avant d'aborder ce chapitre, il est essentiel de maîtriser les notions suivantes :

Les fonctions de référence : polynômes, fonctions rationnelles, fonction racine carrée.
La factorisation des polynômes (racine évidente, division euclidienne).
La résolution d'équations et d'inéquations du second degré.
Les bases de la trigonométrie (formules d'addition, limites usuelles).

Objectifs pédagogiques

À l'issue de ce cours, l'élève sera capable de :

Calculer les limites d'une fonction à l'infini et en un point, y compris les formes indéterminées.
Étudier la continuité d'une fonction en un point et sur un intervalle.
Appliquer le théorème des valeurs intermédiaires (T.V.I.) pour prouver l'existence de solutions.
Utiliser la méthode de la dichotomie pour encadrer une solution.
Démontrer qu'une fonction réalise une bijection et déterminer sa fonction réciproque.

Le cours complet

Définitions et propriétés des limites

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle ouvert contenant un réel $a$ (ou sur un voisinage de $a$).

Limite finie en un point

Limite infinie à l'infini

On dit que $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ si, pour tout réel $M > 0$, il existe un réel $A > 0$ tel que pour tout $x \in D_f$, si $x > A$ alors $f(x) > M$.

Opérations sur les limites

$$ \infty - \infty \quad ; \quad 0 \times \infty \quad ; \quad \frac{\infty}{\infty} \quad ; \quad \frac{0}{0} $$

Continuité d'une fonction

Définition

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $a \in I$. On dit que $f$ est continue en $a$ si :

$$ \lim_{x \to a} f(x) = f(a) $$

Si $f$ est continue en tout point de $I$, on dit que $f$ est continue sur $I$. Graphiquement, cela signifie que la courbe représentative de $f$ peut être tracée sans lever le crayon.

Théorème des valeurs intermédiaires (T.V.I.)

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $[a, b]$. Pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe au moins un réel $c \in [a, b]$ tel que $f(c) = k$.

Fonction réciproque et bijection

Méthodes et exemples corrigés

Méthode 1 : Lever une indétermination en $+\infty$ avec des polynômes

Soit à calculer $\lim_{x \to +\infty} \frac{3x^2 - 2x + 1}{x^2 + 5}$.

On factorise par le terme de plus haut degré au numérateur et au dénominateur :

$$ \frac{3x^2 - 2x + 1}{x^2 + 5} = \frac{x^2(3 - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2})}{x^2(1 + \frac{5}{x^2})} = \frac{3 - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2}}{1 + \frac{5}{x^2}} $$

Quand $x \to +\infty$, les termes $\frac{2}{x}$, $\frac{1}{x^2}$ et $\frac{5}{x^2}$ tendent vers 0. La limite est donc $\frac{3}{1} = 3$.

Méthode 2 : Lever une indétermination avec l'expression conjuguée

Soit à calculer $\lim_{x \to +\infty} (\sqrt{x^2 + x + 1} - x)$.

On multiplie et divise par l'expression conjuguée :

$$ \sqrt{x^2 + x + 1} - x = \frac{(\sqrt{x^2 + x + 1} - x)(\sqrt{x^2 + x + 1} + x)}{\sqrt{x^2 + x + 1} + x} $$

$$ = \frac{x^2 + x + 1 - x^2}{\sqrt{x^2 + x + 1} + x} = \frac{x + 1}{\sqrt{x^2 + x + 1} + x} $$

On factorise par $x$ au numérateur et au dénominateur (pour $x > 0$) :

$$ = \frac{x(1 + \frac{1}{x})}{x(\sqrt{1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}} + 1)} = \frac{1 + \frac{1}{x}}{\sqrt{1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}} + 1} $$

La limite en $+\infty$ est donc $\frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}$.

Erreurs fréquentes et pièges

Exercices et examens nationaux

Tous les exercices et sujets corrigés

Consultez la liste complète des exercices d'application, exercices corrigés et examens nationaux classés par chapitre et par filière.

Voir tous les exercices

Exercice	Type	Année / Session	Niveau
Exercice 1 — Limites en un point (Formes 0/0)	Application directe	—	Moyen
Exercice 2 — Limites à l'infini	Application directe	—	Facile
Exercice 3 — Limites et racines carrées	Application directe	—	Moyen
Exercice 4 — Étude de continuité	Synthèse	—	Moyen
Exercice 5 — Théorème des valeurs intermédiaires	Démonstration	—	Difficile

Exercice 1 — Calcul de limites en un point (Formes 0/0)

Énoncé : Calculer la limite de la fonction $f$ quand $x$ tend vers $x_0$, dans chacun des cas suivants :

1. $x_0 = -1$ ; $f(x) = \frac{x^2 - 3x - 2}{3x^3 + x^2 - 2}$

Correction

On remplace $x$ par $-1$ :

Numérateur : $(-1)^2 - 3(-1) - 2 = 1 + 3 - 2 = 2$.

Dénominateur : $3(-1)^3 + (-1)^2 - 2 = -3 + 1 - 2 = -4$.

La limite est donc $\frac{2}{-4} = -\frac{1}{2}$.

2. $x_0 = 2$ ; $f(x) = \frac{x^2 - x - 2}{x^3 + x^2 - 1}$

Correction

On remplace $x$ par $2$ :

Numérateur : $2^2 - 2 - 2 = 4 - 4 = 0$.

Dénominateur : $2^3 + 2^2 - 1 = 8 + 4 - 1 = 11$.

La limite est donc $\frac{0}{11} = 0$.

3. $x_0 = 3$ ; $f(x) = \frac{x^2 - 9}{(x - 3)(7x - 11)}$

Correction

On remplace $x$ par $3$ : le numérateur et le dénominateur s'annulent. C'est une forme indéterminée $\frac{0}{0}$.

On factorise le numérateur avec l'identité remarquable : $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$.

L'expression devient : $f(x) = \frac{(x - 3)(x + 3)}{(x - 3)(7x - 11)} = \frac{x + 3}{7x - 11}$ pour $x \neq 3$.

On calcule la limite en 3 : $\frac{3 + 3}{7(3) - 11} = \frac{6}{21 - 11} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$.

4. $x_0 = -2$ ; $f(x) = \frac{x^3 + x^2 - 6x - 8}{x^2 + x - 2}$

Correction

On remplace $x$ par $-2$ : le numérateur et le dénominateur s'annulent. Forme $\frac{0}{0}$.

On factorise par $(x + 2)$.

Numérateur : $x^3 + x^2 - 6x - 8 = (x + 2)(x^2 - x - 4)$.

Dénominateur : $x^2 + x - 2 = (x + 2)(x - 1)$.

L'expression se simplifie : $f(x) = \frac{x^2 - x - 4}{x - 1}$ pour $x \neq -2$.

On calcule la limite en -2 : $\frac{(-2)^2 - (-2) - 4}{-2 - 1} = \frac{4 + 2 - 4}{-3} = \frac{2}{-3} = -\frac{2}{3}$.

5. $x_0 = 1$ ; $f(x) = \frac{-4x^2 + 2x + 2}{3x^3 + 2x^2 - 4x - 1}$

Correction

En remplaçant par 1, on obtient une forme indéterminée $\frac{0}{0}$.

On factorise le numérateur : $-4x^2 + 2x + 2 = -2(2x^2 - x - 1) = -2(2x + 1)(x - 1)$.

On factorise le dénominateur par $(x - 1)$ : $3x^3 + 2x^2 - 4x - 1 = (x - 1)(3x^2 + 5x + 1)$.

L'expression devient : $f(x) = \frac{-2(2x + 1)}{3x^2 + 5x + 1}$ pour $x \neq 1$.

On calcule la limite en 1 : $\frac{-2(2(1) + 1)}{3(1)^2 + 5(1) + 1} = \frac{-2(3)}{3 + 5 + 1} = \frac{-6}{9} = -\frac{2}{3}$.

6. $x_0 = -3$ ; $f(x) = \frac{3x^2 + x - 24}{(x + 3)(7x - 2)}$

Correction

Forme indéterminée $\frac{0}{0}$.

On factorise le numérateur par $(x + 3)$ : $3x^2 + x - 24 = (x + 3)(3x - 8)$.

L'expression devient : $f(x) = \frac{3x - 8}{7x - 2}$ pour $x \neq -3$.

On calcule la limite en -3 : $\frac{3(-3) - 8}{7(-3) - 2} = \frac{-9 - 8}{-21 - 2} = \frac{-17}{-23} = \frac{17}{23}$.

Exercice 2 — Limites à l'infini

Énoncé : Calculer les limites suivantes :

1. $\lim_{x \to +\infty} \frac{2x^3 - x + 1}{x^3 + 1}$

Correction

On factorise par le terme de plus haut degré : $\frac{x^3(2 - \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x^3})}{x^3(1 + \frac{1}{x^3})} = \frac{2 - \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x^3}}{1 + \frac{1}{x^3}}$. La limite est $\frac{2}{1} = 2$.

2. $\lim_{x \to -\infty} \frac{x^2 + 3x - 1}{2x^2 - x + 5}$

Correction

On factorise par $x^2$ : $\frac{x^2(1 + \frac{3}{x} - \frac{1}{x^2})}{x^2(2 - \frac{1}{x} + \frac{5}{x^2})}$. La limite est $\frac{1}{2}$.

Exercice 3 — Limites et racines carrées

Énoncé : Calculer les limites suivantes :

1. $\lim_{x \to +\infty} \sqrt{x^2 + x} - x$

Correction

On utilise l'expression conjuguée : $\frac{(\sqrt{x^2 + x} - x)(\sqrt{x^2 + x} + x)}{\sqrt{x^2 + x} + x} = \frac{x^2 + x - x^2}{\sqrt{x^2 + x} + x} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + x} + x}$.

On factorise par $x$ : $\frac{x}{x(\sqrt{1 + \frac{1}{x}} + 1)} = \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{x}} + 1}$. La limite est $\frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}$.

Exercice 4 — Étude de continuité

Énoncé : Soit $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$ pour $x \neq 1$ et $f(1) = 2$. Étudier la continuité de $f$ en 1.

Correction

On calcule la limite de $f$ en 1 : $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1} (x + 1) = 2$.

Comme $\lim_{x \to 1} f(x) = 2 = f(1)$, la fonction $f$ est continue en 1.

Exercice 5 — Théorème des valeurs intermédiaires

Énoncé : Montrer que l'équation $x^3 + x - 1 = 0$ admet une unique solution dans l'intervalle $[0, 1]$.

Correction

Soit $f(x) = x^3 + x - 1$. $f$ est une fonction polynôme, donc continue sur $[0, 1]$.

$f(0) = -1 < 0$ et $f(1) = 1 + 1 - 1 = 1 > 0$.

D'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe au moins un réel $c \in [0, 1]$ tel que $f(c) = 0$.

De plus, $f'(x) = 3x^2 + 1 > 0$ pour tout $x \in [0, 1]$. Donc $f$ est strictement croissante sur $[0, 1]$. L'équation admet donc une unique solution dans $[0, 1]$.

Fiche de révision express

Notion	Formule / Propriété
Limite en l'infini	$\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x^n} = 0$
Limite trigonométrique	$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$
Continuité en $a$	$\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$
T.V.I.	Si $f$ continue sur $[a,b]$, alors $f$ prend toutes les valeurs entre $f(a)$ et $f(b)$
Bijection	Si $f$ continue et strictement monotone sur $I$, alors $f$ est une bijection de $I$ sur $f(I)$

Quiz d'autoévaluation

Question 1 : Quelle est la limite de $\frac{\sin x}{x}$ quand $x \to 0$ ?

Réponse : La limite est 1. C'est une limite usuelle fondamentale à connaître.

Question 2 : Une fonction continue sur $[a, b]$ avec $f(a) \cdot f(b) < 0$ admet-elle toujours une solution unique ?

Réponse : Non. Elle admet au moins une solution (T.V.I.). Pour avoir l'unicité, il faut ajouter la stricte monotonie.

Question 3 : La fonction $f(x) = |x|$ est-elle continue en 0 ? Dérivable en 0 ?

Réponse : Oui, elle est continue en 0 car $\lim_{x \to 0} |x| = 0 = f(0)$. Non, elle n'est pas dérivable en 0 car le taux d'accroissement à gauche vaut $-1$ et à droite $1$.

Questions fréquentes

Comment bien rédiger une réponse utilisant le T.V.I. ?

Quelle est la différence entre limite à gauche et limite à droite ?

Comment calculer une limite avec une racine carrée ?

Que signifie "lever une indétermination" ?

La continuité implique-t-elle la dérivabilité ?

Non. La continuité est une condition nécessaire pour la dérivabilité, mais pas suffisante. Une fonction peut être continue en un point sans y être dérivable (exemple : $f(x) = |x|$ en 0).

Comment trouver la fonction réciproque ?

Résumé final

Version imprimable propre, sans publicité, avec toutes les solutions visibles, copyright et lien de l'article.

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Cours de Mathématiques : Les limites et la continuité — 2e BAC SM 2025-2026

Niveau	2e année du baccalauréat
Filière	Sciences Mathématiques (SM)
Matière	Mathématiques
Chapitre	Limites et Continuité
Sous-chapitre	Calcul de limites, formes indéterminées, continuité
Programme	Programme officiel marocain — 2025-2026
Durée indicative d'étude	6 heures
Dernière mise à jour	24 octobre 2026

Ce chapitre revêt une importance capitale pour l'examen national. Les limites sont systématiquement évaluées, que ce soit de manière directe (calcul de limites) ou de manière transversale (étude de fonctions, suites récurrentes). La rigueur dans la rédaction et la capacité à lever les formes indéterminées, notamment celles impliquant des racines carrées, sont des compétences clés que les correcteurs attendent. La continuité, quant à elle, permet de justifier l'existence de solutions à des équations complexes via le théorème des valeurs intermédiaires.

Table des matières

Prérequis

Avant d'aborder ce chapitre, il est essentiel de maîtriser les notions suivantes :

Les fonctions de référence : polynômes, fonctions rationnelles, fonction racine carrée.
La factorisation des polynômes (racine évidente, division euclidienne).
La résolution d'équations et d'inéquations du second degré.
Les bases de la trigonométrie (formules d'addition, limites usuelles).

Objectifs pédagogiques

À l'issue de ce cours, l'élève sera capable de :

Calculer les limites d'une fonction à l'infini et en un point, y compris les formes indéterminées.
Étudier la continuité d'une fonction en un point et sur un intervalle.
Appliquer le théorème des valeurs intermédiaires (T.V.I.) pour prouver l'existence de solutions.
Utiliser la méthode de la dichotomie pour encadrer une solution.
Démontrer qu'une fonction réalise une bijection et déterminer sa fonction réciproque.

Le cours complet

Définitions et propriétés des limites

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle ouvert contenant un réel $a$ (ou sur un voisinage de $a$).

Limite finie en un point

Limite infinie à l'infini

On dit que $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ si, pour tout réel $M > 0$, il existe un réel $A > 0$ tel que pour tout $x \in D_f$, si $x > A$ alors $f(x) > M$.

Opérations sur les limites

$$ \infty - \infty \quad ; \quad 0 \times \infty \quad ; \quad \frac{\infty}{\infty} \quad ; \quad \frac{0}{0} $$

Continuité d'une fonction

Définition

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $a \in I$. On dit que $f$ est continue en $a$ si :

$$ \lim_{x \to a} f(x) = f(a) $$

Si $f$ est continue en tout point de $I$, on dit que $f$ est continue sur $I$. Graphiquement, cela signifie que la courbe représentative de $f$ peut être tracée sans lever le crayon.

Théorème des valeurs intermédiaires (T.V.I.)

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $[a, b]$. Pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe au moins un réel $c \in [a, b]$ tel que $f(c) = k$.

Fonction réciproque et bijection

Méthodes et exemples corrigés

Méthode 1 : Lever une indétermination en $+\infty$ avec des polynômes

Soit à calculer $\lim_{x \to +\infty} \frac{3x^2 - 2x + 1}{x^2 + 5}$.

On factorise par le terme de plus haut degré au numérateur et au dénominateur :

$$ \frac{3x^2 - 2x + 1}{x^2 + 5} = \frac{x^2(3 - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2})}{x^2(1 + \frac{5}{x^2})} = \frac{3 - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2}}{1 + \frac{5}{x^2}} $$

Quand $x \to +\infty$, les termes $\frac{2}{x}$, $\frac{1}{x^2}$ et $\frac{5}{x^2}$ tendent vers 0. La limite est donc $\frac{3}{1} = 3$.

Méthode 2 : Lever une indétermination avec l'expression conjuguée

Soit à calculer $\lim_{x \to +\infty} (\sqrt{x^2 + x + 1} - x)$.

On multiplie et divise par l'expression conjuguée :

$$ \sqrt{x^2 + x + 1} - x = \frac{(\sqrt{x^2 + x + 1} - x)(\sqrt{x^2 + x + 1} + x)}{\sqrt{x^2 + x + 1} + x} $$

$$ = \frac{x^2 + x + 1 - x^2}{\sqrt{x^2 + x + 1} + x} = \frac{x + 1}{\sqrt{x^2 + x + 1} + x} $$

On factorise par $x$ au numérateur et au dénominateur (pour $x > 0$) :

$$ = \frac{x(1 + \frac{1}{x})}{x(\sqrt{1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}} + 1)} = \frac{1 + \frac{1}{x}}{\sqrt{1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}} + 1} $$

La limite en $+\infty$ est donc $\frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}$.

Erreurs fréquentes et pièges

Exercices et examens nationaux

Tous les exercices et sujets corrigés

Consultez la liste complète des exercices d'application, exercices corrigés et examens nationaux classés par chapitre et par filière.

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Exercice	Type	Année / Session	Niveau
Exercice 1 — Limites avec racines carrées	Application directe	—	Moyen
Exercice 2 — Limites et expressions conjuguées	Application directe	—	Moyen
Exercice 3 — Limites en $0^+$ et à l'infini	Application directe	—	Moyen
Exercice 4 — Formes indéterminées complexes	Synthèse	—	Difficile
Exercice 5 — Calcul de limites mixtes	Synthèse	—	Difficile

Exercice 1 — Calcul de limites avec racines carrées

Énoncé : Calculer la limite de la fonction $f$ quand $x$ tend vers $x_0$, dans chacun des cas suivants :

1) $x_0 = 2$ ; $f(x) = \frac{x^2 + x - 6}{\sqrt{x + 7} - \sqrt{2x^2 + 3x - 5}}$

Correction

On a une forme indéterminée $\frac{0}{0}$. On multiplie par l'expression conjuguée du dénominateur :

$f(x) = \frac{(x^2+x-6)(\sqrt{x+7} + \sqrt{2x^2+3x-5})}{(x+7) - (2x^2+3x-5)}$

Le dénominateur devient : $-2x^2 - 2x + 12 = -2(x^2 + x - 6) = -2(x+3)(x-2)$.

Le numérateur contient $(x^2+x-6) = (x-2)(x+3)$. En simplifiant :

$f(x) = \frac{\sqrt{x+7} + \sqrt{2x^2+3x-5}}{-2}$.

En remplaçant $x$ par 2 : $\frac{\sqrt{9} + \sqrt{8+6-5}}{-2} = \frac{3 + 3}{-2} = -3$.

2) $x_0 = 1$ ; $f(x) = \frac{\sqrt{3x + 1} - \sqrt{x + 3}}{2x^2 + 3x - 5}$

Correction

Forme indéterminée $\frac{0}{0}$. On multiplie par l'expression conjuguée du numérateur :

Numérateur : $\frac{(3x+1) - (x+3)}{\sqrt{3x+1} + \sqrt{x+3}} = \frac{2x-2}{\sqrt{3x+1} + \sqrt{x+3}} = \frac{2(x-1)}{\sqrt{3x+1} + \sqrt{x+3}}$.

Dénominateur : $2x^2 + 3x - 5 = (x-1)(2x+5)$.

On simplifie par $(x-1)$ : $f(x) = \frac{2}{(2x+5)(\sqrt{3x+1} + \sqrt{x+3})}$.

En remplaçant par 1 : $\frac{2}{(7)(2+2)} = \frac{2}{28} = \frac{1}{14}$.

3) $x_0 = -1$ ; $f(x) = \frac{3x^2 - x - 4}{6 - 2\sqrt{-4x + 5}}$

Correction

Forme $\frac{0}{0}$. On factorise le numérateur : $3x^2 - x - 4 = (x+1)(3x-4)$.

On multiplie le dénominateur par son conjugué : $\frac{(6 - 2\sqrt{-4x+5})(6 + 2\sqrt{-4x+5})}{6 + 2\sqrt{-4x+5}} = \frac{36 - 4(-4x+5)}{6 + 2\sqrt{-4x+5}} = \frac{16x + 16}{6 + 2\sqrt{-4x+5}} = \frac{16(x+1)}{6 + 2\sqrt{-4x+5}}$.

L'expression se simplifie : $f(x) = \frac{(x+1)(3x-4)(6+2\sqrt{-4x+5})}{16(x+1)} = \frac{(3x-4)(6+2\sqrt{-4x+5})}{16}$.

En remplaçant par -1 : $\frac{(-3-4)(6+2(3))}{16} = \frac{-7 \times 12}{16} = -\frac{84}{16} = -\frac{21}{4}$.

4) $x_0 = 2$ ; $f(x) = \frac{2\sqrt{5x - 1} - (7x - 8)}{x^2 + x - 6}$

Correction

On multiplie par l'expression conjuguée du numérateur :

$(2\sqrt{5x-1} - (7x-8))(2\sqrt{5x-1} + (7x-8)) = 4(5x-1) - (7x-8)^2 = 20x - 4 - (49x^2 - 112x + 64) = -49x^2 + 132x - 68$.

On factorise par $(x-2)$ : $-49x^2 + 132x - 68 = (x-2)(-49x + 34)$.

Le dénominateur est $x^2 + x - 6 = (x-2)(x+3)$.

L'expression devient : $f(x) = \frac{(x-2)(-49x+34)}{(x-2)(x+3)(2\sqrt{5x-1} + 7x - 8)}$.

En remplaçant par 2 : $\frac{-98+34}{5(6+6)} = \frac{-64}{60} = -\frac{16}{15}$.

Exercice 2 — Limites et expressions conjuguées

Énoncé : Calculer la limite de $f$ quand $x$ tend vers $x_0$.

1) $x_0 = 2$ ; $f(x) = \frac{3 - \sqrt{4x + 1}}{\sqrt{x + 2} - 2}$

Correction

On multiplie numérateur et dénominateur par leurs conjugués respectifs :

Numérateur : $3 - \sqrt{4x+1} = \frac{9 - (4x+1)}{3 + \sqrt{4x+1}} = \frac{8 - 4x}{3 + \sqrt{4x+1}} = \frac{4(2-x)}{3 + \sqrt{4x+1}}$.

Dénominateur : $\sqrt{x+2} - 2 = \frac{x+2 - 4}{\sqrt{x+2} + 2} = \frac{x-2}{\sqrt{x+2} + 2}$.

Le rapport donne : $f(x) = \frac{4(2-x)}{x-2} \times \frac{\sqrt{x+2} + 2}{3 + \sqrt{4x+1}} = -4 \times \frac{\sqrt{x+2} + 2}{3 + \sqrt{4x+1}}$.

En remplaçant par 2 : $-4 \times \frac{4}{6} = -\frac{16}{6} = -\frac{8}{3}$.

2) $x_0 = 2$ ; $f(x) = \frac{2\sqrt{5x - 1} - (7x - 8)}{3\sqrt{x^2 + x + 10} - 12}$

Correction

On utilise la dérivée (règle de l'Hôpital) pour simplifier. La limite est le quotient des dérivées en 2.

Dérivée du numérateur : $\frac{5}{\sqrt{5x-1}} - 7$. En 2 : $\frac{5}{3} - 7 = -\frac{16}{3}$.

Dérivée du dénominateur : $\frac{3(2x+1)}{2\sqrt{x^2+x+10}}$. En 2 : $\frac{3(5)}{2(4)} = \frac{15}{8}$.

La limite est $\frac{-16/3}{15/8} = -\frac{128}{45}$.

3) $x_0 = 2$ ; $f(x) = \frac{x - \sqrt{x + 2}}{\sqrt{4x + 1} - 3}$

Correction

Forme $\frac{0}{0}$. On multiplie par les conjugués :

Numérateur : $x - \sqrt{x+2} = \frac{x^2 - (x+2)}{x + \sqrt{x+2}} = \frac{(x-2)(x+1)}{x + \sqrt{x+2}}$.

Dénominateur : $\sqrt{4x+1} - 3 = \frac{4x+1-9}{\sqrt{4x+1}+3} = \frac{4(x-2)}{\sqrt{4x+1}+3}$.

Le rapport donne : $f(x) = \frac{(x+1)(\sqrt{4x+1}+3)}{4(x + \sqrt{x+2})}$.

En remplaçant par 2 : $\frac{3 \times 6}{4 \times 4} = \frac{18}{16} = \frac{9}{8}$.

4) $x_0 = -3$ ; $f(x) = \frac{2\sqrt{-x + 6} - 3\sqrt{2x + 10}}{\sqrt{x^2 + x + 10} - 4\sqrt{x + 4}}$

Correction

On utilise la dérivée (Hôpital).

Dérivée du numérateur : $-\frac{1}{\sqrt{-x+6}} - \frac{3}{\sqrt{2x+10}}$. En -3 : $-1/3 - 3/2 = -11/6$.

Dérivée du dénominateur : $\frac{2x+1}{2\sqrt{x^2+x+10}} - \frac{2}{\sqrt{x+4}}$. En -3 : $\frac{-5}{8} - 2 = -\frac{21}{8}$.

La limite est $\frac{-11/6}{-21/8} = \frac{11}{6} \times \frac{8}{21} = \frac{88}{126} = \frac{44}{63}$.

Exercice 3 — Limites en $0^+$ et à l'infini

Énoncé : Calculer les limites suivantes :

1) $x_0 = 0^+$ ; $f(x) = \frac{2}{\sqrt{x}} - \frac{3x + 2}{\sqrt{x}}$

Correction

On met au même dénominateur : $f(x) = \frac{2 - (3x+2)}{\sqrt{x}} = \frac{-3x}{\sqrt{x}} = -3\sqrt{x}$.

La limite quand $x \to 0^+$ est $0$.

2) $x_0 = 2^+$ ; $f(x) = \frac{3}{\sqrt{x-2}} - \frac{1-3x}{\sqrt{x-2}}$

Correction

On met au même dénominateur : $f(x) = \frac{3 - (1-3x)}{\sqrt{x-2}} = \frac{3x+2}{\sqrt{x-2}}$.

Quand $x \to 2^+$, le numérateur tend vers 8 et le dénominateur vers $0^+$. La limite est $+\infty$.

3) $x_0 = 0^+$ ; $f(x) = \frac{1}{(x-1)\sqrt{x}} - \frac{x+3}{(x+1)\sqrt{x}}$

Correction

Même dénominateur : $f(x) = \frac{(x+1) - (x+3)(x-1)}{(x^2-1)\sqrt{x}} = \frac{x+1 - (x^2+2x-3)}{(x^2-1)\sqrt{x}} = \frac{-x^2-x+4}{(x^2-1)\sqrt{x}}$.

Quand $x \to 0^+$, le numérateur tend vers 4, le dénominateur tend vers $-1 \times 0^+ = 0^-$. La limite est $-\infty$.

4) $x_0 = -2^+$ ; $f(x) = \frac{3}{(x+3)\sqrt{x+2}} - \frac{1-3x}{(x+4)\sqrt{x+2}}$

Correction

Même dénominateur : $f(x) = \frac{3(x+4) - (1-3x)(x+3)}{(x+3)(x+4)\sqrt{x+2}} = \frac{3x+12 - (-3x^2-8x+3)}{(x+3)(x+4)\sqrt{x+2}} = \frac{3x^2+11x+9}{(x+3)(x+4)\sqrt{x+2}}$.

Quand $x \to -2^+$, le numérateur tend vers $12-22+9 = -1$, le dénominateur tend vers $(1)(2)(0^+) = 0^+$. La limite est $-\infty$.

Exercice 4 — Formes indéterminées complexes

Énoncé : Calculer la limite de $f$ quand $x$ tend vers $x_0$.

1) $x_0 = 0$ ; $f(x) = \frac{\sqrt{x+1} + \sqrt{x+4} - 3}{x}$

Correction

On utilise la dérivée. La limite est $\frac{1}{2\sqrt{1}} + \frac{1}{2\sqrt{4}} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.

2) $x_0 = 2$ ; $f(x) = \frac{\sqrt{3x+3} + \sqrt{x+2} - 5}{x-2}$

Correction

La limite est la somme des dérivées en 2 : $\frac{3}{2\sqrt{9}} + \frac{1}{2\sqrt{4}} = \frac{3}{6} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.

3) $x_0 = 1$ ; $f(x) = \frac{\sqrt{x+1} + \sqrt{x^2 - 1} - \sqrt{x^3} + 1}{x^2 - 1}$

Correction

Quand $x \to 1$, le numérateur tend vers $\sqrt{2} + 0 - 1 + 1 = \sqrt{2}$, et le dénominateur tend vers 0.

La limite est donc infinie (le signe dépend du côté d'approche).

4) $x_0 = \sqrt{2}$ ; $f(x) = \frac{6 + \sqrt{x^2 + 1} - 2\sqrt{4x^2 + 1} - \sqrt{2x^2 - 1}}{3x^2 + x - 6 - \sqrt{2}}$

Correction

On utilise la dérivée. La limite est le quotient des dérivées en $\sqrt{2}$ :

Dérivée du numérateur : $\frac{x}{\sqrt{x^2+1}} - \frac{8x}{\sqrt{4x^2+1}} - \frac{2x}{\sqrt{2x^2-1}}$. En $\sqrt{2}$ : $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} - \frac{8\sqrt{2}}{3} - \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = -\sqrt{6} - \frac{8\sqrt{2}}{3}$.

Dérivée du dénominateur : $6x + 1$. En $\sqrt{2}$ : $6\sqrt{2} + 1$.

La limite est le quotient de ces deux expressions.

Exercice 5 — Calcul de limites mixtes

Énoncé : Calculer la limite de $f$ quand $x$ tend vers $x_0$.

1) $x_0 = -1$ ; $f(x) = \frac{\sqrt{3x+3} + \sqrt{x+2} - 1}{3x^2 + x - 2}$

Correction

On pose $x = -1 + h$ avec $h \to 0^+$.

Le numérateur devient $\sqrt{3h} + \sqrt{1+h} - 1 \approx \sqrt{3h} + h/2$.

Le dénominateur devient $(3x-2)(x+1) \approx -5h$.

Le rapport $\frac{\sqrt{3h}}{-5h}$ tend vers $-\infty$.

2) $x_0 = -2$ ; $f(x) = \frac{2\sqrt{x+5} + 7\sqrt{-x+1} - 9\sqrt{3}}{x^2 + x - 2}$

Correction

On dérive (Hôpital) :

Numérateur : $\frac{1}{\sqrt{x+5}} - \frac{7}{2\sqrt{-x+1}}$. En -2 : $\frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{7}{2\sqrt{3}} = -\frac{5}{2\sqrt{3}}$.

Dénominateur : $2x+1$. En -2 : $-3$.

La limite est $\frac{-5/(2\sqrt{3})}{-3} = \frac{5}{6\sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{3}}{18}$.

3) $x_0 = 2$ ; $f(x) = \frac{\sqrt{4x+1} + \sqrt{-5x+14} - 5}{\sqrt{7x+2} + \sqrt{11x+3} - 9}$

Correction

Par dérivation (Hôpital) :

Numérateur : $\frac{2}{\sqrt{4x+1}} - \frac{5}{2\sqrt{-5x+14}}$. En 2 : $2/3 - 5/4 = -7/12$.

Dénominateur : $\frac{7}{2\sqrt{7x+2}} + \frac{11}{2\sqrt{11x+3}}$. En 2 : $7/8 + 11/10 = 79/40$.

La limite est $\frac{-7/12}{79/40} = -\frac{70}{237}$.

4) $x_0 = \sqrt{2}$ ; $f(x) = \frac{1 + \sqrt{x^2+1} - \sqrt{x^2-1} - \sqrt{2x^2+1}}{\sqrt{2x+1} - \sqrt{x^2+1}}$

Correction

On remplace directement par $\sqrt{2}$ :

Numérateur : $1 + \sqrt{3} - 1 - \sqrt{5} = \sqrt{3} - \sqrt{5}$.

Dénominateur : $\sqrt{2\sqrt{2}+1} - \sqrt{3}$.

La limite est $\frac{\sqrt{3} - \sqrt{5}}{\sqrt{2\sqrt{2}+1} - \sqrt{3}}$.

5) $x_0 = 3$ ; $f(x) = \frac{2\sqrt{5x+1} + 3\sqrt{2x+3} - 17}{4\sqrt{x+2} - \sqrt{2x-1} - 3\sqrt{5}}$

Correction

Par dérivation (Hôpital) :

Numérateur : $\frac{5}{\sqrt{5x+1}} + \frac{3}{\sqrt{2x+3}}$. En 3 : $5/4 + 3/3 = 9/4$.

Dénominateur : $\frac{2}{\sqrt{x+2}} - \frac{1}{\sqrt{2x-1}}$. En 3 : $2/\sqrt{5} - 1/\sqrt{5} = 1/\sqrt{5}$.

La limite est $\frac{9/4}{1/\sqrt{5}} = \frac{9\sqrt{5}}{4}$.

6) $x_0 = 1$ ; $f(x) = \frac{\sqrt{x+8} + \sqrt{2x+7} - 6}{\sqrt{x+3} + \sqrt{2x+2} - 4}$

Correction

Par dérivation (Hôpital) :

Numérateur : $\frac{1}{2\sqrt{x+8}} + \frac{1}{\sqrt{2x+7}}$. En 1 : $1/6 + 1/3 = 1/2$.

Dénominateur : $\frac{1}{2\sqrt{x+3}} + \frac{1}{\sqrt{2x+2}}$. En 1 : $1/4 + 1/2 = 3/4$.

La limite est $\frac{1/2}{3/4} = 2/3$.

Fiche de révision express

Notion	Formule / Propriété
Limite en l'infini	$\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x^n} = 0$
Limite trigonométrique	$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$
Continuité en $a$	$\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$
T.V.I.	Si $f$ continue sur $[a,b]$, alors $f$ prend toutes les valeurs entre $f(a)$ et $f(b)$
Bijection	Si $f$ continue et strictement monotone sur $I$, alors $f$ est une bijection de $I$ sur $f(I)$

Quiz d'autoévaluation

Question 1 : Quelle est la limite de $\frac{\sin x}{x}$ quand $x \to 0$ ?

Réponse : La limite est 1. C'est une limite usuelle fondamentale à connaître.

Question 2 : Une fonction continue sur $[a, b]$ avec $f(a) \cdot f(b) < 0$ admet-elle toujours une solution unique ?

Réponse : Non. Elle admet au moins une solution (T.V.I.). Pour avoir l'unicité, il faut ajouter la stricte monotonie.

Question 3 : La fonction $f(x) = |x|$ est-elle continue en 0 ? Dérivable en 0 ?

Réponse : Oui, elle est continue en 0 car $\lim_{x \to 0} |x| = 0 = f(0)$. Non, elle n'est pas dérivable en 0 car le taux d'accroissement à gauche vaut $-1$ et à droite $1$.

Questions fréquentes

Comment bien rédiger une réponse utilisant le T.V.I. ?

Quelle est la différence entre limite à gauche et limite à droite ?

Comment calculer une limite avec une racine carrée ?

Que signifie "lever une indétermination" ?

La continuité implique-t-elle la dérivabilité ?

Non. La continuité est une condition nécessaire pour la dérivabilité, mais pas suffisante. Une fonction peut être continue en un point sans y être dérivable (exemple : $f(x) = |x|$ en 0).

Comment trouver la fonction réciproque ?

Résumé final

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Cours de Mathématiques : Les limites et la continuité — 2e BAC SM 2025-2026

Niveau	2e année du baccalauréat
Filière	Sciences Mathématiques (SM)
Matière	Mathématiques
Chapitre	Limites et Continuité
Sous-chapitre	Limites à l'infini des fonctions irrationnelles
Programme	Programme officiel marocain — 2025-2026
Durée indicative d'étude	6 heures
Dernière mise à jour	24 octobre 2026

Le chapitre sur les limites et la continuité est un pilier fondamental du programme de mathématiques en 2e année du baccalauréat, particulièrement pour la filière Sciences Mathématiques. Il permet de comprendre le comportement des fonctions aux bornes de leur domaine de définition et de jeter les bases de l'analyse mathématique. La maîtrise de ces concepts est un prérequis indispensable pour aborder des chapitres plus avancés comme la dérivation, les fonctions logarithmiques et exponentielles, ou encore le calcul intégral.

L'étude des limites à l'infini des fonctions irrationnelles (contenant des racines carrées) occupe une place de choix dans les épreuves de l'examen national. Ces exercices sont redoutés par de nombreux élèves car ils nécessitent une rigueur algébrique et une bonne compréhension des formes indéterminées, notamment la forme $\infty - \infty$. Savoir manipuler l'expression conjuguée et factoriser correctement par le terme prépondérant sont des compétences clés qui feront la différence le jour de l'examen.

Dans ce cours complet, vous trouverez une méthodologie claire et progressive pour aborder ces calculs complexes. Nous commencerons par un rappel des propriétés fondamentales, suivi de méthodes détaillées étape par étape. Une large sélection d'exercices corrigés, tirés de séries d'entraînement classiques, vous permettra de mettre en pratique ces techniques. Enfin, une fiche de révision et un quiz vous aideront à consolider vos acquis, avec une option d'impression propre pour réviser dans les meilleures conditions.

Table des matières

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Prérequis

Avant de vous lancer dans les exercices de cette série, assurez-vous de maîtriser les notions suivantes :

Les propriétés algébriques des racines carrées : $\sqrt{a^2} = |a|$.
La factorisation par le terme de plus haut degré dans un polynôme.
Les identités remarquables, notamment $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, utilisées pour l'expression conjuguée.
Le calcul des limites usuelles des polynômes à l'infini.

Objectifs pédagogiques

À l'issue de ce cours, l'élève sera capable de :

Calculer la limite d'une fonction irrationnelle en $+\infty$ et en $-\infty$.
Identifier et lever une forme indéterminée du type $\infty - \infty$ impliquant des racines carrées.
Utiliser correctement l'expression conjuguée pour simplifier les calculs.
Gérer avec rigueur le signe de $x$ lorsque l'on factorise $x^2$ sous une racine carrée (distinction entre $+\infty$ et $-\infty$).

Le cours complet

Rappel sur la limite d'une fonction irrationnelle à l'infini

Soit $f$ une fonction définie au voisinage de l'infini et contenant une racine carrée d'un polynôme du second degré, du type $f(x) = \sqrt{ax^2+bx+c} \pm dx + e$.

Lors du calcul de la limite en $\pm\infty$, on rencontre souvent une forme indéterminée. La méthode générale consiste à factoriser le terme de plus haut degré à l'intérieur de la racine :

$$ \sqrt{ax^2+bx+c} = \sqrt{x^2 \left(a + \frac{b}{x} + \frac{c}{x^2}\right)} = \sqrt{x^2} \sqrt{a + \frac{b}{x} + \frac{c}{x^2}} $$

Une attention toute particulière doit être portée à la simplification de $\sqrt{x^2}$, car :

$$ \sqrt{x^2} = |x| = \begin{cases} x & \text{si } x \ge 0 \\ -x & \text{si } x < 0 \end{cases} $$

Ainsi, lors d'un calcul en $-\infty$, il faudra remplacer $\sqrt{x^2}$ par $-x$. C'est l'erreur la plus fréquente dans ce type d'exercices.

Méthode de l'expression conjuguée

Lorsque le calcul aboutit à une forme indéterminée $\infty - \infty$, la technique classique est de multiplier et de diviser par l'expression conjuguée. Pour une expression de la forme $A - B$, on utilise :

$$ A - B = \frac{(A - B)(A + B)}{A + B} = \frac{A^2 - B^2}{A + B} $$

Cette opération permet généralement de faire disparaître les racines carrées au numérateur et de faire apparaître un polynôme dont le degré permet de conclure sur la limite.

Méthodes et exemples corrigés

Méthode 1 : Lever une indétermination en $+\infty$ avec des polynômes

Soit à calculer $\lim_{x \to +\infty} \frac{3x^2 - 2x + 1}{x^2 + 5}$.

On factorise par le terme de plus haut degré au numérateur et au dénominateur :

$$ \frac{3x^2 - 2x + 1}{x^2 + 5} = \frac{x^2(3 - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2})}{x^2(1 + \frac{5}{x^2})} = \frac{3 - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2}}{1 + \frac{5}{x^2}} $$

Quand $x \to +\infty$, les termes $\frac{2}{x}$, $\frac{1}{x^2}$ et $\frac{5}{x^2}$ tendent vers 0. La limite est donc $\frac{3}{1} = 3$.

Méthode 2 : Lever une indétermination avec l'expression conjuguée

Soit à calculer $\lim_{x \to +\infty} (\sqrt{x^2 + x + 1} - x)$.

On multiplie et divise par l'expression conjuguée :

$$ \sqrt{x^2 + x + 1} - x = \frac{(\sqrt{x^2 + x + 1} - x)(\sqrt{x^2 + x + 1} + x)}{\sqrt{x^2 + x + 1} + x} $$

$$ = \frac{x^2 + x + 1 - x^2}{\sqrt{x^2 + x + 1} + x} = \frac{x + 1}{\sqrt{x^2 + x + 1} + x} $$

On factorise par $x$ au numérateur et au dénominateur (pour $x > 0$) :

$$ = \frac{x(1 + \frac{1}{x})}{x(\sqrt{1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}} + 1)} = \frac{1 + \frac{1}{x}}{\sqrt{1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}} + 1} $$

La limite en $+\infty$ est donc $\frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}$.

Erreurs fréquentes et pièges

Attention à la simplification de $\sqrt{x^2}$ : Ne simplifiez jamais $\sqrt{x^2}$ en $x$ sans vérifier le signe de $x$. En $-\infty$, $\sqrt{x^2} = -x$. C'est la source d'erreur numéro un.

Oubli de l'expression conjuguée : Face à une forme $\infty - \infty$ avec des racines, l'expression conjuguée est souvent la seule issue. Ne tentez pas de factoriser à l'aveugle sans l'avoir essayée.

Exercices et examens nationaux

Tous les exercices et sujets corrigés

Consultez la liste complète des exercices d'application, exercices corrigés et examens nationaux classés par chapitre et par filière.

Voir tous les exercices

Exercice	Type	Année / Session	Niveau
Exercice 1 — Limites de base avec racines	Application directe	—	Facile
Exercice 2 — Formes indéterminées $\infty - \infty$	Application directe	—	Moyen
Exercice 3 — Combinaison de racines	Synthèse	—	Moyen
Exercice 4 — Polynômes et racines	Synthèse	—	Moyen
Exercice 5 — Limites de sommes de racines	Démonstration	—	Difficile
Exercice 6 — Limites rationnelles avec racines	Synthèse	—	Difficile

Exercice 1 — Limites de base avec racines

Énoncé : Calculer la limite de la fonction $f$ quand $x$ tend vers $x_0$ :

1) $f(x) = \sqrt{4x^2 + x + 1} - 3x + 2$ ; $x_0 = -\infty$

Correction

On factorise par $x^2$ sous la racine. Comme $x \to -\infty$, $x < 0$ et $\sqrt{x^2} = -x$.

$f(x) = -x\sqrt{4 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}} - 3x + 2 = x\left(-\sqrt{4 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}} - 3\right) + 2$.

Quand $x \to -\infty$, le terme entre parenthèses tend vers $-\sqrt{4} - 3 = -5$.

Donc $f(x) \sim -5x$. Comme $x \to -\infty$, $-5x \to +\infty$. La limite est $+\infty$.

2) $f(x) = 2x - 1 - \sqrt{4x^2 + 3x - 2}$ ; $x_0 = -\infty$

Correction

Forme indéterminée $\infty - \infty$. On utilise l'expression conjuguée :

$f(x) = \frac{(2x-1)^2 - (4x^2+3x-2)}{2x-1+\sqrt{4x^2+3x-2}} = \frac{4x^2-4x+1 - 4x^2-3x+2}{2x-1+\sqrt{4x^2+3x-2}} = \frac{-7x+3}{2x-1+\sqrt{4x^2+3x-2}}$.

On factorise par $x$ au numérateur et au dénominateur (en n'oubliant pas que $\sqrt{4x^2+3x-2} = -2x\sqrt{...}$ car $x<0$).

Le dénominateur est équivalent à $2x + (-2x) = 0$... Attention, le terme dominant est $2x - (-2x) = 4x$.

Plus rigoureusement : $\frac{x(-7 + 3/x)}{x(2 - 1/x - \sqrt{4+3/x-2/x^2})} = \frac{-7}{2 - 2} = \frac{-7}{0}$ (forme $\frac{-7}{0^+}$ ou $0^-$).

En réalité, au dénominateur, on a $2x - (-2x) = 4x$ car $x<0$ et $\sqrt{4x^2} = -2x$. Donc le dénominateur tend vers $-\infty$.

Le quotient tend donc vers $\frac{-7x}{4x} = -\frac{7}{4}$.

3) $f(x) = \sqrt{7x^2 + 2x + 1} + 3x + 2$ ; $x_0 = +\infty$

Correction

On factorise par $x$ (avec $x>0$) : $f(x) = x\sqrt{7 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2}} + 3x + 2$.

La limite est $x(\sqrt{7} + 3) \to +\infty$.

4) $f(x) = 3x + 11 + \sqrt{3x^2 + 2x - 1}$ ; $x_0 = +\infty$

Correction

On factorise : $f(x) = 3x + 11 + x\sqrt{3 + \frac{2}{x} - \frac{1}{x^2}}$.

La limite est $x(3 + \sqrt{3}) \to +\infty$.

Exercice 2 — Formes indéterminées $\infty - \infty$

Énoncé : Calculer la limite de $f$ quand $x \to x_0$.

1) $f(x) = \sqrt{11x^2 + 2x + 1} + 5x - 2$ ; $x_0 = -\infty$

Correction

$x<0$. $\sqrt{11x^2+...} = -x\sqrt{11+...}$.

$f(x) \sim -x\sqrt{11} + 5x = x(5 - \sqrt{11})$. Comme $5 > \sqrt{11}$ (car $25>11$), le coefficient est positif. $x \to -\infty$ donc $x(5-\sqrt{11}) \to -\infty$.

2) $f(x) = 7x - 2 + \sqrt{5x^2 + 2x - 7}$ ; $x_0 = -\infty$

Correction

$x<0$. $f(x) \sim 7x - x\sqrt{5} = x(7 - \sqrt{5})$. Comme $7 > \sqrt{5}$, $x(7-\sqrt{5}) \to -\infty$.

3) $f(x) = \sqrt{7x^2 + 3x + 1} - 4x - 5$ ; $x_0 = +\infty$

Correction

$x>0$. $f(x) \sim x\sqrt{7} - 4x = x(\sqrt{7} - 4)$. Comme $4 > \sqrt{7}$, la limite est $-\infty$.

4) $f(x) = 3x - 4 - \sqrt{3x^2 + x - 2}$ ; $x_0 = +\infty$

Correction

Expression conjuguée : $\frac{(3x-4)^2 - (3x^2+x-2)}{3x-4+\sqrt{3x^2+x-2}} = \frac{9x^2-24x+16 - 3x^2-x+2}{3x-4+x\sqrt{3+1/x-2/x^2}} = \frac{6x^2-25x+18}{x(3+\sqrt{3})}$.

La limite est $\frac{6x^2}{x(3+\sqrt{3})} \to +\infty$.

5) $f(x) = \sqrt{9x^2 + x - 2} - \sqrt{4x^2 + 3x - 2}$ ; $x_0 = -\infty$

Correction

$x<0$. $\sqrt{9x^2+...} \sim -3x$, $\sqrt{4x^2+...} \sim -2x$.

La différence $\sim -3x - (-2x) = -x$. Comme $x \to -\infty$, $-x \to +\infty$.

6) $f(x) = 3\sqrt{5x^2 + 4x - 1} - 2\sqrt{7x^2 + 4x + 1}$ ; $x_0 = +\infty$

Correction

$x>0$. $\sqrt{5x^2} \sim x\sqrt{5}$, $\sqrt{7x^2} \sim x\sqrt{7}$.

La limite est $x(3\sqrt{5} - 2\sqrt{7})$. Comme $3\sqrt{5} = \sqrt{45} \approx 6.7$ et $2\sqrt{7} = \sqrt{28} \approx 5.3$, le coefficient est positif. La limite est $+\infty$.

7) $f(x) = 2\sqrt{9x^2 + x - 2} - 3\sqrt{16x^2 + 5x - 1}$ ; $x_0 = -\infty$

Correction

$x<0$. $\sqrt{9x^2} \sim -3x$, $\sqrt{16x^2} \sim -4x$.

La limite est $2(-3x) - 3(-4x) = -6x + 12x = 6x$. Comme $x \to -\infty$, $6x \to -\infty$.

8) $f(x) = 2\sqrt{13x^2 + 4x - 1} - \sqrt{23x^2 + 4x + 1}$ ; $x_0 = -\infty$

Correction

$x<0$. $2(-x\sqrt{13}) - (-x\sqrt{23}) = x(-2\sqrt{13} + \sqrt{23})$.

$-2\sqrt{13} = -\sqrt{52}$ et $\sqrt{23}$. Le coefficient est négatif. $x \to -\infty$ donc la limite est $+\infty$.

Exercice 3 — Combinaison de racines

Énoncé : Calculer la limite de $f$ quand $x \to x_0$.

1) $f(x) = \sqrt{25x^2 + 3x + 1} + 5x - 2$ ; $x_0 = -\infty$

Correction

$x<0$. $\sqrt{25x^2+...} \sim -5x$. $f(x) \sim -5x + 5x - 2 = -2$. La limite est $-2$.

2) $f(x) = 7x - 2 + \sqrt{49x^2 + 2x - 7}$ ; $x_0 = -\infty$

Correction

$x<0$. $\sqrt{49x^2} \sim -7x$. $f(x) \sim 7x - 7x - 2 = -2$. La limite est $-2$.

3) $f(x) = \sqrt{7x^2 + 3x + 1} - x\sqrt{7} - 5$ ; $x_0 = +\infty$

Correction

Expression conjuguée : $\frac{7x^2+3x+1 - 7x^2}{\sqrt{7x^2+3x+1} + x\sqrt{7}} = \frac{3x+1}{x(\sqrt{7+3/x+1/x^2} + \sqrt{7})}$.

La limite est $\frac{3}{2\sqrt{7}}$.

4) $f(x) = 3x - 4 - \sqrt{9x^2 + x - 2}$ ; $x_0 = +\infty$

Correction

Conjugué : $\frac{(3x-4)^2 - (9x^2+x-2)}{3x-4+\sqrt{9x^2+x-2}} = \frac{9x^2-24x+16 - 9x^2-x+2}{3x-4+x\sqrt{9+...}} = \frac{-25x+18}{x(3+3)} \to \frac{-25}{6}$.

5) $f(x) = \sqrt{4x^2 + x - 2} - \sqrt{4x^2 + 3x - 2}$ ; $x_0 = -\infty$

Correction

Conjugué : $\frac{4x^2+x-2 - (4x^2+3x-2)}{\sqrt{...} + \sqrt{...}} = \frac{-2x}{\sqrt{...} + \sqrt{...}}$.

En $-\infty$, le dénominateur $\sim -2x - 2x = -4x$. La limite est $\frac{-2x}{-4x} = \frac{1}{2}$.

6) $f(x) = 2\sqrt{9x^2 + 4x - 1} - 3\sqrt{4x^2 + 4x + 1}$ ; $x_0 = +\infty$

Correction

$2(3x) - 3(2x) = 6x - 6x$. Forme $\infty - \infty$.

Conjugué : $\frac{4(9x^2+4x-1) - 9(4x^2+4x+1)}{2\sqrt{...} + 3\sqrt{...}} = \frac{36x^2+16x-4 - 36x^2-36x-9}{6x+6x} = \frac{-20x-13}{12x} \to -\frac{5}{3}$.

7) $f(x) = 6\sqrt{4x^2 + x - 2} - 3\sqrt{16x^2 + 5x - 1}$ ; $x_0 = -\infty$

Correction

$x<0$. $6(-2x) - 3(-4x) = -12x + 12x = 0$. Forme indéterminée.

Conjugué : $\frac{36(4x^2+x-2) - 9(16x^2+5x-1)}{6\sqrt{...} + 3\sqrt{...}} = \frac{144x^2+36x-72 - 144x^2-45x+9}{-12x-12x} = \frac{-9x-63}{-24x} \to \frac{3}{8}$.

8) $f(x) = \sqrt{63x^2 + 4x - 1} - 3\sqrt{7x^2 + 4x + 1}$ ; $x_0 = -\infty$

Correction

$\sqrt{63} = 3\sqrt{7}$. En $-\infty$, les termes dominants sont $-x\sqrt{63}$ et $-3x\sqrt{7} = -x\sqrt{63}$. La différence des termes dominants est nulle.

Conjugué : $\frac{(63x^2+4x-1) - 9(7x^2+4x+1)}{\sqrt{...} + 3\sqrt{...}} = \frac{63x^2+4x-1 - 63x^2-36x-9}{-x\sqrt{63} - 3x\sqrt{7}} = \frac{-32x-10}{-x(\sqrt{63}+3\sqrt{7})} \to \frac{-32}{-6\sqrt{7}} = \frac{16}{3\sqrt{7}}$.

Exercice 4 — Polynômes et racines

Énoncé : Calculer la limite de $f$ quand $x \to x_0$.

1) $f(x) = 2x^2 + x + 3 - \sqrt{3x^2 + 2x + 1}$ ; $x_0 = -\infty$

Correction

Le terme dominant est $2x^2$. Quand $x \to -\infty$, $2x^2 \to +\infty$. La racine est négligeable devant $x^2$. La limite est $+\infty$.

2) $f(x) = 3x^2 + x + 1 - \sqrt{2x^2 + 5x + 7}$ ; $x_0 = +\infty$

Correction

$3x^2$ domine, donc la limite est $+\infty$.

3) $f(x) = \sqrt{5x^2 + 7x + 1} - 3x + 1$ ; $x_0 = +\infty$

Correction

$x>0$. $f(x) \sim x\sqrt{5} - 3x = x(\sqrt{5}-3)$. Comme $\sqrt{5} < 3$, la limite est $-\infty$.

4) $f(x) = 3x - 4 - \sqrt{2x - 3}$ ; $x_0 = +\infty$

Correction

$3x$ domine la racine, donc la limite est $+\infty$.

Exercice 5 — Limites de sommes de racines

Énoncé : Calculer la limite de $f$ quand $x \to x_0$.

1) $f(x) = 3\sqrt{5x + 7} + \sqrt{13x + 9}$ ; $x_0 = +\infty$

Correction

Les deux termes tendent vers $+\infty$, donc la somme tend vers $+\infty$.

2) $f(x) = 3\sqrt{25x + 2} - 2\sqrt{36x + 5}$ ; $x_0 = +\infty$

Correction

$3(5\sqrt{x}) - 2(6\sqrt{x}) = 15\sqrt{x} - 12\sqrt{x} = 3\sqrt{x} \to +\infty$.

3) $f(x) = 3\sqrt{16x + 1} - \sqrt{17x + 3}$ ; $x_0 = +\infty$

Correction

$3(4\sqrt{x}) - \sqrt{17x} = (12-\sqrt{17})\sqrt{x} \to +\infty$.

4) $f(x) = 3\sqrt{4x + 1} - 2\sqrt{9x + 1}$ ; $x_0 = +\infty$

Correction

$3(2\sqrt{x}) - 2(3\sqrt{x}) = 6\sqrt{x} - 6\sqrt{x} = 0$. Forme indéterminée.

Conjugué : $\frac{9(4x+1) - 4(9x+1)}{3\sqrt{...} + 2\sqrt{...}} = \frac{36x+9 - 36x-4}{6\sqrt{x}+6\sqrt{x}} = \frac{5}{12\sqrt{x}} \to 0$.

5) $f(x) = 9x + 5 + \sqrt{4x - 7} - \sqrt{4x - 5}$ ; $x_0 = +\infty$

Correction

$\sqrt{4x-7} - \sqrt{4x-5} = \frac{-2}{\sqrt{4x-7}+\sqrt{4x-5}} \to 0$.

La limite est donc $9x \to +\infty$.

6) $f(x) = 3x^2 - 5x - \sqrt{4x + 1} - \sqrt{3x^2 - 5x + 1}$ ; $x_0 = +\infty$

Correction

Le terme dominant est $3x^2$. La limite est $+\infty$.

Exercice 6 — Limites rationnelles avec racines

Énoncé : Calculer la limite de $f$ quand $x \to x_0$.

1) $f(x) = \frac{2x - 3}{3\sqrt{x + 1} - 5}$ ; $x_0 = +\infty$

Correction

Numérateur $\sim 2x$, dénominateur $\sim 3\sqrt{x}$. Le quotient $\sim \frac{2}{3}\sqrt{x} \to +\infty$.

2) $f(x) = \frac{x\sqrt{x + 3} - 2x}{3x^2 - x - 1}$ ; $x_0 = +\infty$

Correction

Numérateur $\sim x\sqrt{x}$, dénominateur $\sim 3x^2$. Le quotient $\sim \frac{\sqrt{x}}{3x} = \frac{1}{3\sqrt{x}} \to 0$.

3) $f(x) = \frac{3x^3 - 3x + 1}{2x^2 + \sqrt{3x - 2} - 3}$ ; $x_0 = +\infty$

Correction

Numérateur $\sim 3x^3$, dénominateur $\sim 2x^2$. Le quotient $\sim \frac{3}{2}x \to +\infty$.

4) $f(x) = \frac{3x - \sqrt{2x + 1}}{5x - 4}$ ; $x_0 = +\infty$

Correction

On divise numérateur et dénominateur par $x$ : $\frac{3 - \sqrt{2/x + 1/x^2}}{5 - 4/x}$. La limite est $\frac{3}{5}$.

5) $f(x) = \frac{\sqrt{x + 7} - \sqrt{4x^2 + 3x - 5}}{3x - 6 - \sqrt{2x + 3}}$ ; $x_0 = +\infty$

Correction

Numérateur $\sim -\sqrt{4x^2} = -2x$, dénominateur $\sim 3x$. La limite est $-\frac{2}{3}$.

6) $f(x) = \frac{2x^2 + 3x - 5}{\sqrt{9x + 1} - \sqrt{9x + 2}}$ ; $x_0 = +\infty$

Correction

Dénominateur : $\frac{(9x+1)-(9x+2)}{\sqrt{9x+1}+\sqrt{9x+2}} = \frac{-1}{\sqrt{9x+1}+\sqrt{9x+2}} \sim \frac{-1}{6\sqrt{x}}$.

Le quotient $\sim 2x^2 \times (-6\sqrt{x}) = -12x^{5/2} \to -\infty$.

7) $f(x) = \frac{x}{\sqrt{x + 1}} - \frac{x}{\sqrt{x - 1}}$ ; $x_0 = +\infty$

Correction

On met au même dénominateur : $x \frac{\sqrt{x-1} - \sqrt{x+1}}{\sqrt{x^2-1}}$.

Conjugué du numérateur : $\frac{-2}{\sqrt{x-1}+\sqrt{x+1}}$.

Donc $f(x) = \frac{-2x}{\sqrt{x^2-1}(\sqrt{x-1}+\sqrt{x+1})}$.

Le dénominateur $\sim x(2\sqrt{x}) = 2x\sqrt{x}$. Le quotient $\sim \frac{-2x}{2x\sqrt{x}} = \frac{-1}{\sqrt{x}} \to 0$.

8) $f(x) = x\sqrt{\frac{x}{x - 1}} - x - 1$ ; $x_0 = +\infty$

Correction

$x\sqrt{\frac{x}{x-1}} = x\sqrt{1 + \frac{1}{x-1}}$.

Développement limité : $\sqrt{1+u} = 1 + \frac{u}{2} + o(u)$. Donc $x(1 + \frac{1}{2(x-1)} + o(\frac{1}{x})) = x + \frac{x}{2(x-1)} + o(1)$.

$\frac{x}{2(x-1)} \to \frac{1}{2}$.

Donc $f(x) \sim x + 1/2 - x - 1 = -1/2$. La limite est $-1/2$.

Fiche de révision express

Notion	Formule / Propriété
Limite en l'infini	$\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x^n} = 0$
Simplification $\sqrt{x^2}$	$\sqrt{x^2} = \|x\|$ (attention au signe de $x$)
Expression conjuguée	$A - B = \frac{A^2 - B^2}{A + B}$
Continuité en $a$	$\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$
Bijection	Si $f$ continue et strictement monotone sur $I$, alors $f$ est une bijection de $I$ sur $f(I)$

Quiz d'autoévaluation

Question 1 : Que vaut $\sqrt{x^2}$ quand $x$ tend vers $-\infty$ ?

Réponse : $-x$. En effet, $\sqrt{x^2} = |x|$, et comme $x < 0$, $|x| = -x$.

Question 2 : Quelle est la limite de $\frac{\sin x}{x}$ quand $x \to 0$ ?

Réponse : La limite est 1. C'est une limite usuelle fondamentale à connaître.

Question 3 : Une fonction continue sur $[a, b]$ avec $f(a) \cdot f(b) < 0$ admet-elle toujours une solution unique ?

Réponse : Non. Elle admet au moins une solution (T.V.I.). Pour avoir l'unicité, il faut ajouter la stricte monotonie.

Questions fréquentes

Comment bien rédiger une réponse utilisant le T.V.I. ?

Quelle est la différence entre limite à gauche et limite à droite ?

Comment calculer une limite avec une racine carrée ?

Que signifie "lever une indétermination" ?

La continuité implique-t-elle la dérivabilité ?

Non. La continuité est une condition nécessaire pour la dérivabilité, mais pas suffisante. Une fonction peut être continue en un point sans y être dérivable (exemple : $f(x) = |x|$ en 0).

Comment trouver la fonction réciproque ?

Résumé final

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Cours de Mathématiques : Les limites et la continuité — 2e BAC SM 2025-2026

Niveau	2e année du baccalauréat
Filière	Sciences Mathématiques (SM)
Matière	Mathématiques
Chapitre	Limites et Continuité
Sous-chapitre	Limites avec racines cubiques et formes indéterminées
Programme	Programme officiel marocain — 2025-2026
Durée indicative d'étude	6 heures
Dernière mise à jour	24 octobre 2026

Le chapitre sur les limites et la continuité occupe une place centrale dans le programme de mathématiques de la deuxième année du baccalauréat scientifique. Il prolonge l'étude des fonctions entamée les années précédentes et prépare directement aux chapitres de dérivation, d'étude de fonctions et de calcul intégral. Les limites avec racines cubiques constituent une variante technique importante : elles mobilisent les mêmes principes que les limites avec racines carrées, mais avec des identités algébriques différentes.

La maîtrise de ces calculs est indispensable pour réussir l'examen national. Les exercices proposés dans les séries officielles comportent souvent des limites en un point ou à l'infini faisant intervenir des racines cubiques. Le correcteur attend une rédaction claire, l'identification de la forme indéterminée, puis une transformation algébrique rigoureuse. Les élèves qui négligent ces techniques perdent des points faciles, alors que la méthode est systématique et accessible avec un entraînement régulier.

Ce cours vous propose un rappel des propriétés des racines cubiques, une méthode détaillée pour lever les indéterminations, des exemples corrigés pas à pas, les erreurs classiques à éviter, puis une série complète d'exercices corrigés issue de la Série 4. Une fiche de révision, un quiz et une version imprimable propre vous permettront de réviser efficacement et de vérifier vos acquis avant l'examen.

Table des matières

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Prérequis

Avant de travailler les exercices de cette série, il faut maîtriser les notions suivantes :

Les propriétés des racines cubiques : $\sqrt[3]{a^3}=a$ pour tout réel $a$, et $\sqrt[3]{ab}=\sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b}$.
L'identité remarquable $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$, utilisée pour l'expression conjuguée avec les racines cubiques.
La factorisation des polynômes du second degré et la recherche de racines évidentes.
Le calcul des limites des polynômes et des fonctions rationnelles à l'infini.
La notion de continuité en un point et le théorème des valeurs intermédiaires.

Objectifs pédagogiques

À la fin de ce cours, l'élève doit être capable de :

Calculer une limite en un point lorsque le numérateur ou le dénominateur contient une racine cubique.
Reconnaître une forme indéterminée du type $\frac{0}{0}$ ou $\infty-\infty$ avec des racines cubiques.
Utiliser l'identité $a^3-b^3$ pour transformer une expression et lever l'indétermination.
Déterminer la limite à l'infini d'une expression contenant $\sqrt[3]{x^3}$, $\sqrt[3]{x^2}$ ou $\sqrt[3]{x}$.
Rédiger une solution complète et justifiée, conforme aux attentes de l'examen national.

Le cours complet

Rappels sur les racines cubiques

Pour tout réel $a$, la racine cubique de $a$ est l'unique réel $b$ tel que $b^3=a$. On note $b=\sqrt[3]{a}$. Contrairement à la racine carrée, la racine cubique est définie sur $\mathbb{R}$ tout entier et conserve le signe de $a$.

Les propriétés essentielles sont les suivantes :

$$ \sqrt[3]{a^3}=a \quad ; \quad \sqrt[3]{ab}=\sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b} \quad ; \quad \sqrt[3]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{b}} \text{ pour } b\neq 0. $$

Il faut également connaître l'identité remarquable fondamentale :

$$ a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2). $$

Cette identité permet d'écrire, pour $a\neq b$ :

$$ a-b=\frac{a^3-b^3}{a^2+ab+b^2}. $$

Lorsque $a$ et $b$ sont des racines cubiques, cette transformation fait disparaître les racines et permet souvent de conclure.

Formes indéterminées avec racines cubiques

Les formes indéterminées rencontrées avec les racines cubiques sont les mêmes que celles rencontrées avec les racines carrées : $\frac{0}{0}$, $\infty-\infty$, $0\times\infty$ et $\frac{\infty}{\infty}$.

Pour une forme $\frac{0}{0}$ en un point $x_0$, deux méthodes sont possibles. La première consiste à factoriser le numérateur et le dénominateur par $x-x_0$. La seconde consiste à utiliser l'expression conjuguée adaptée aux racines cubiques :

$$ \sqrt[3]{A}-\sqrt[3]{B}=\frac{A-B}{(\sqrt[3]{A})^2+\sqrt[3]{A}\sqrt[3]{B}+(\sqrt[3]{B})^2}. $$

Pour une forme $\infty-\infty$, on factorise par le terme prépondérant. Avec une racine cubique de $x^3$, on utilise $\sqrt[3]{x^3}=x$ pour tout réel $x$, sans valeur absolue. Il ne faut pas confondre avec $\sqrt{x^2}=|x|$, qui exige une discussion sur le signe.

Limites à l'infini et terme prépondérant

À l'infini, le comportement d'une expression contenant des racines cubiques est déterminé par les termes de plus haut degré. On retient les équivalents suivants lorsque $x\to+\infty$ :

$$ \sqrt[3]{ax^3+bx^2+cx+d}\sim \sqrt[3]{a}\,x \quad ; \quad \sqrt[3]{ax^2+bx+c}\sim \sqrt[3]{a}\,x^{2/3} \quad ; \quad \sqrt[3]{ax+b}\sim \sqrt[3]{a}\,x^{1/3}. $$

Lorsque deux termes prépondérants se compensent, il faut pousser le développement plus loin ou utiliser l'expression conjuguée. C'est le cas dans plusieurs exercices de la série.

Continuité et théorème des valeurs intermédiaires

Une fonction $f$ est continue en un point $a$ si $\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$. Elle est continue sur un intervalle si elle est continue en chaque point de cet intervalle.

Le théorème des valeurs intermédiaires s'énonce ainsi : si $f$ est continue sur $[a,b]$, alors pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe au moins un réel $c\in[a,b]$ tel que $f(c)=k$. Si de plus $f$ est strictement monotone sur $[a,b]$, la solution est unique.

Méthodes et exemples corrigés

Méthode 1 : Lever une indétermination avec une racine cubique en un point

Calculons $\displaystyle\lim_{x\to -1}\frac{\sqrt[3]{x+9}-2}{x+1}$.

En remplaçant $x$ par $-1$, on obtient $\frac{0}{0}$. On pose $A=x+9$ et $B=8$, de sorte que $\sqrt[3]{A}-2=\sqrt[3]{A}-\sqrt[3]{B}$.

On utilise l'identité $a-b=\frac{a^3-b^3}{a^2+ab+b^2}$ avec $a=\sqrt[3]{x+9}$ et $b=2$. On obtient :

$$ \sqrt[3]{x+9}-2=\frac{x+9-8}{(\sqrt[3]{x+9})^2+2\sqrt[3]{x+9}+4}=\frac{x+1}{(\sqrt[3]{x+9})^2+2\sqrt[3]{x+9}+4}. $$

En simplifiant par $x+1$, il reste :

$$ \frac{1}{(\sqrt[3]{x+9})^2+2\sqrt[3]{x+9}+4}. $$

En $x=-1$, le dénominateur vaut $2^2+2\times2+4=12$. La limite est donc $\frac{1}{12}$.

Méthode 2 : Limite à l'infini avec compensation de termes

Calculons $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt[3]{8x^3+3x+1}-2x+3\right)$.

On factorise par $2x$ dans la racine cubique :

$$ \sqrt[3]{8x^3+3x+1}=2x\sqrt[3]{1+\frac{3}{8x^2}+\frac{1}{8x^3}}. $$

Ainsi, l'expression devient :

$$ 2x\left(\sqrt[3]{1+\frac{3}{8x^2}+\frac{1}{8x^3}}-1\right)+3. $$

Pour $u$ proche de $0$, $\sqrt[3]{1+u}=1+\frac{u}{3}+o(u)$. Ici $u\sim\frac{3}{8x^2}$, donc :

$$ 2x\left(\frac{1}{8x^2}+o\left(\frac{1}{x^2}\right)\right)=\frac{1}{4x}+o\left(\frac{1}{x}\right)\to 0. $$

La limite est donc $3$.

Erreurs fréquentes et pièges

Ne pas confondre racine carrée et racine cubique : $\sqrt{x^2}=|x|$, mais $\sqrt[3]{x^3}=x$ pour tout réel $x$. Cette différence est essentielle pour les limites en $-\infty$.

Ne pas utiliser la mauvaise expression conjuguée : Pour les racines carrées, on utilise $a^2-b^2$. Pour les racines cubiques, il faut utiliser $a^3-b^3$ avec le dénominateur $a^2+ab+b^2$. Utiliser la formule des racines carrées conduit à une erreur de calcul.

Vérifier la nature de l'indétermination : Si le numérateur ne tend pas vers $0$ lorsque le dénominateur tend vers $0$, la limite est infinie ou n'existe pas. Il ne faut pas appliquer une factorisation sans avoir vérifié que l'on est bien dans une forme $\frac{0}{0}$.

Exercices et examens nationaux

Tous les exercices et sujets corrigés

Consultez la liste complète des exercices d'application, exercices corrigés et examens nationaux classés par chapitre et par filière.

Voir tous les exercices

Exercice	Type	Année / Session	Niveau
Exercice 1 — Limites en un point avec racines cubiques	Application directe	—	Moyen
Exercice 2 — Formes indéterminées mixtes	Application directe	—	Moyen
Exercice 3 — Limites à l'infini et compensation	Synthèse	—	Moyen
Exercice 4 — Terme prépondérant et racines cubiques	Synthèse	—	Moyen
Exercice 5 — Sommes et différences de racines cubiques	Démonstration	—	Difficile
Exercice 6 — Limites rationnelles avec racines cubiques	Synthèse	—	Difficile

Exercice 1 — Limites en un point avec racines cubiques

Énoncé : Calculer la limite de $f$ quand $x$ tend vers $x_0$.

1) $x_0=1$ ; $f(x)=\dfrac{5-\sqrt[3]{x+7}}{x^2+x-6}$.

Correction

On remplace directement : $5-\sqrt[3]{8}=5-2=3$ et $1+1-6=-4$. La limite est $\dfrac{3}{-4}=-\dfrac{3}{4}$.

2) $x_0=-1$ ; $f(x)=\dfrac{\sqrt[3]{x+9}-2}{x+1}$.

Correction

Forme $\frac{0}{0}$. On utilise l'identité $a^3-b^3$. On écrit :

$\sqrt[3]{x+9}-2=\dfrac{x+9-8}{(\sqrt[3]{x+9})^2+2\sqrt[3]{x+9}+4}=\dfrac{x+1}{(\sqrt[3]{x+9})^2+2\sqrt[3]{x+9}+4}$.

Après simplification par $x+1$, la limite vaut $\dfrac{1}{2^2+2\times2+4}=\dfrac{1}{12}$.

3) $x_0=2$ ; $f(x)=\dfrac{\sqrt[3]{x-1}-\sqrt[3]{3x-5}}{3x^2-5x-2}$.

Correction

Forme $\frac{0}{0}$. Le dénominateur se factorise : $3x^2-5x-2=(x-2)(3x+1)$.

Pour le numérateur, on utilise l'expression conjuguée cubique avec $A=x-1$ et $B=3x-5$. On obtient :

$\sqrt[3]{x-1}-\sqrt[3]{3x-5}=\dfrac{(x-1)-(3x-5)}{(\sqrt[3]{x-1})^2+\sqrt[3]{x-1}\sqrt[3]{3x-5}+(\sqrt[3]{3x-5})^2}=\dfrac{-2x+4}{\text{dénominateur}}$.

Or $-2x+4=-2(x-2)$. En simplifiant par $x-2$, on obtient :

$\dfrac{-2}{(3x+1)\left((\sqrt[3]{x-1})^2+\sqrt[3]{x-1}\sqrt[3]{3x-5}+(\sqrt[3]{3x-5})^2\right)}$.

En $x=2$, le dénominateur vaut $7\times(1+1+1)=21$. La limite est $-\dfrac{2}{21}$.

4) $x_0=-2$ ; $f(x)=\dfrac{2x^2+3x-2}{\sqrt[3]{2x+31}-\sqrt[3]{-7x+13}}$.

Correction

Forme $\frac{0}{0}$. On peut dériver numérateur et dénominateur, ou utiliser l'expression conjuguée. La dérivée du numérateur est $4x+3$, qui vaut $-5$ en $-2$.

La dérivée de $\sqrt[3]{2x+31}$ en $-2$ vaut $\dfrac{2}{3\sqrt[3]{(27)^2}}=\dfrac{2}{27}$. La dérivée de $\sqrt[3]{-7x+13}$ vaut $-\dfrac{7}{27}$. La dérivée du dénominateur est donc $\dfrac{2}{27}-\left(-\dfrac{7}{27}\right)=\dfrac{9}{27}=\dfrac{1}{3}$.

La limite est $\dfrac{-5}{1/3}=-15$.

Exercice 2 — Formes indéterminées mixtes

Énoncé : Calculer la limite de $f$ quand $x$ tend vers $x_0$.

1) $x_0=2$ ; $f(x)=\dfrac{\sqrt[3]{10x+7}-\sqrt[3]{4x+1}}{x-2}$.

Correction

En $x=2$, le numérateur vaut $3-\sqrt[3]{9}\neq0$ et le dénominateur tend vers $0$. La limite n'est pas finie. À gauche, $x-2<0$ et le numérateur est positif, donc la limite est $-\infty$. À droite, elle est $+\infty$. Il n'y a pas de limite globale.

2) $x_0=-1$ ; $f(x)=\dfrac{\sqrt{x+10}-\sqrt[3]{3x+30}}{3x^2+x-2}$.

Correction

Forme $\frac{0}{0}$. Le dénominateur se factorise : $3x^2+x-2=(x+1)(3x-2)$.

On dérive le numérateur en $-1$ : la dérivée de $\sqrt{x+10}$ vaut $\dfrac{1}{2\sqrt{x+10}}$, soit $\dfrac{1}{6}$. La dérivée de $\sqrt[3]{3x+30}$ vaut $\dfrac{1}{\sqrt[3]{(3x+30)^2}}$, soit $\dfrac{1}{9}$. La dérivée du numérateur est donc $\dfrac{1}{6}-\dfrac{1}{9}=\dfrac{1}{18}$.

La dérivée du dénominateur en $-1$ vaut $6(-1)+1=-5$. La limite est $\dfrac{1/18}{-5}=-\dfrac{1}{90}$.

3) $x_0=3$ ; $f(x)=\dfrac{\sqrt[3]{7x+6}+\sqrt[3]{4x+13}-8}{5x+15}$.

Correction

En $x=3$, le numérateur vaut $3+\sqrt[3]{25}-8=\sqrt[3]{25}-5$ et le dénominateur vaut $30$. La limite est donc $\dfrac{\sqrt[3]{25}-5}{30}$.

4) $x_0=-2$ ; $f(x)=\dfrac{\sqrt{x+6}-\sqrt[3]{2x+31}+1}{x^2-4}$.

Correction

Forme $\frac{0}{0}$. On dérive le numérateur en $-2$. La dérivée de $\sqrt{x+6}$ vaut $\dfrac{1}{2\sqrt{x+6}}$, soit $\dfrac{1}{4}$. La dérivée de $\sqrt[3]{2x+31}$ vaut $\dfrac{2}{3\sqrt[3]{(2x+31)^2}}$, soit $\dfrac{2}{27}$. La dérivée du numérateur est donc $\dfrac{1}{4}-\dfrac{2}{27}=\dfrac{19}{108}$.

La dérivée du dénominateur $x^2-4$ vaut $2x$, soit $-4$ en $-2$. La limite est $\dfrac{19/108}{-4}=-\dfrac{19}{432}$.

Exercice 3 — Limites à l'infini et compensation

Énoncé : Calculer la limite de $f$ quand $x$ tend vers $x_0$.

1) $f(x)=\sqrt[3]{5x^2+x+1}-2x+3$ ; $x_0=-\infty$.

Correction

Quand $x\to-\infty$, $\sqrt[3]{5x^2+x+1}\sim \sqrt[3]{5}\,|x|^{2/3}$, qui est négligeable devant $-2x\to+\infty$. La limite est $+\infty$.

2) $f(x)=2x-1+\sqrt[3]{7x^2+x+1}$ ; $x_0=+\infty$.

Correction

Le terme $2x$ domine la racine cubique, qui est d'ordre $x^{2/3}$. La limite est $+\infty$.

3) $f(x)=\sqrt[3]{8x^3+x+1}-5x+3$ ; $x_0=+\infty$.

Correction

On a $\sqrt[3]{8x^3+x+1}\sim 2x$. Donc $f(x)\sim 2x-5x=-3x\to-\infty$. La limite est $-\infty$.

4) $f(x)=\sqrt[3]{8x^3+3x+1}-2x+3$ ; $x_0=+\infty$.

Correction

On factorise : $\sqrt[3]{8x^3+3x+1}=2x\sqrt[3]{1+\dfrac{3}{8x^2}+\dfrac{1}{8x^3}}$. Le développement limité montre que $2x\left(\sqrt[3]{1+\dfrac{3}{8x^2}}-1\right)\to0$. La limite est donc $3$.

Exercice 4 — Terme prépondérant et racines cubiques

Énoncé : Calculer la limite de $f$ quand $x$ tend vers $x_0$.

1) $f(x)=3x^2+x+1-\sqrt[3]{8x^3+5x+7}$ ; $x_0=+\infty$.

Correction

Le terme $3x^2$ domine la racine cubique d'ordre $x$. La limite est $+\infty$.

2) $f(x)=3x^2-\sqrt[3]{8x^3+7}-4\sqrt{9x^2+5}$ ; $x_0=+\infty$.

Correction

La racine cubique est d'ordre $2x$ et la racine carrée d'ordre $12x$. Le terme $3x^2$ domine. La limite est $+\infty$.

3) $f(x)=5x+\sqrt[3]{27x^2+7}+\sqrt[3]{4x+1}$ ; $x_0=+\infty$.

Correction

Le terme $5x$ domine les racines cubiques d'ordre $x^{2/3}$ et $x^{1/3}$. La limite est $+\infty$.

4) $f(x)=-3x+\sqrt[3]{8x+1}+\sqrt{x+2}$ ; $x_0=+\infty$.

Correction

Le terme $-3x$ domine. La limite est $-\infty$.

Exercice 5 — Sommes et différences de racines cubiques

Énoncé : Calculer la limite de $f$ quand $x$ tend vers $x_0$.

1) $f(x)=5\sqrt[3]{2x+1}+\sqrt[3]{3x+4}$ ; $x_0=+\infty$.

Correction

Les deux termes tendent vers $+\infty$. La somme tend vers $+\infty$.

2) $f(x)=4\sqrt[3]{27x^2+1}-5\sqrt[3]{8x^2+1}$ ; $x_0=+\infty$.

Correction

On a $4\sqrt[3]{27x^2+1}\sim 4\times3x^{2/3}=12x^{2/3}$ et $5\sqrt[3]{8x^2+1}\sim5\times2x^{2/3}=10x^{2/3}$. La différence est équivalente à $2x^{2/3}$, donc tend vers $+\infty$.

3) $f(x)=5\sqrt[3]{27x+1}-3\sqrt[3]{8x+1}$ ; $x_0=+\infty$.

Correction

$5\sqrt[3]{27x+1}\sim15x^{1/3}$ et $3\sqrt[3]{8x+1}\sim6x^{1/3}$. La différence est équivalente à $9x^{1/3}$, donc tend vers $+\infty$.

4) $f(x)=2\sqrt[3]{27x+1}-3\sqrt[3]{8x+1}$ ; $x_0=+\infty$.

Correction

Les termes prépondérants sont $6x^{1/3}$ et $6x^{1/3}$, donc ils se compensent. Le développement limité montre que la différence est d'ordre $x^{-2/3}$, donc la limite est $0$.

5) $f(x)=3\sqrt[3]{8x^2+1}-2\sqrt[3]{27x^2+1}$ ; $x_0=+\infty$.

Correction

Les termes prépondérants sont $6x^{2/3}$ et $6x^{2/3}$, donc ils se compensent. La différence est d'ordre $x^{-4/3}$, donc la limite est $0$.

6) $f(x)=3\sqrt[3]{8x^3+1}-2\sqrt{9x^2+1}$ ; $x_0=+\infty$.

Correction

Les termes prépondérants sont $6x$ et $6x$, donc ils se compensent. Les développements limités donnent une différence d'ordre $1/x$, donc la limite est $0$.

Exercice 6 — Limites rationnelles avec racines cubiques

Énoncé : Calculer la limite de $f$ quand $x$ tend vers $x_0$.

1) $f(x)=\dfrac{5x-1}{3\sqrt[3]{2x^2+1}-4}$ ; $x_0=+\infty$.

Correction

Le numérateur est d'ordre $5x$ et le dénominateur d'ordre $3\sqrt[3]{2}x^{2/3}$. Le quotient est d'ordre $x^{1/3}$, donc tend vers $+\infty$.

2) $f(x)=\dfrac{x\sqrt[3]{8x^2+1}-2x}{3x^2-x-1}$ ; $x_0=+\infty$.

Correction

Le numérateur est équivalent à $x\times2x^{2/3}=2x^{5/3}$, le dénominateur à $3x^2$. Le quotient est équivalent à $\dfrac{2}{3}x^{-1/3}$, donc tend vers $0$.

3) $f(x)=\dfrac{2x^3-5x+2}{3x^2+\sqrt[3]{2x^2+3}-5}$ ; $x_0=+\infty$.

Correction

Le numérateur est équivalent à $2x^3$ et le dénominateur à $3x^2$. Le quotient est équivalent à $\dfrac{2}{3}x$, donc tend vers $+\infty$.

4) $f(x)=\dfrac{2x-\sqrt[3]{2x+1}}{3x-2}$ ; $x_0=+\infty$.

Correction

On divise numérateur et dénominateur par $x$. Le terme $\dfrac{\sqrt[3]{2x+1}}{x}$ tend vers $0$. La limite est donc $\dfrac{2}{3}$.

5) $f(x)=\dfrac{\sqrt{x+3}-\sqrt[3]{5x^3-3x^2+1}}{4x-7-\sqrt[3]{5x^2+1}}$ ; $x_0=+\infty$.

Correction

Le numérateur est équivalent à $-\sqrt[3]{5}x$, car la racine carrée est négligeable devant $x$. Le dénominateur est équivalent à $4x$. La limite est $-\dfrac{\sqrt[3]{5}}{4}$.

6) $f(x)=\dfrac{3x^2+x-1}{\sqrt[3]{8x^2+3}-\sqrt[3]{8x^2+1}}$ ; $x_0=+\infty$.

Correction

On utilise $a-b=\dfrac{a^3-b^3}{a^2+ab+b^2}$ avec $a=\sqrt[3]{8x^2+3}$ et $b=\sqrt[3]{8x^2+1}$. Le numérateur de cette transformation vaut $2$. Le dénominateur $a^2+ab+b^2$ est équivalent à $3(2x^{2/3})^2=12x^{4/3}$. Ainsi, le dénominateur initial est équivalent à $\dfrac{2}{12x^{4/3}}=\dfrac{1}{6x^{4/3}}$.

Le quotient est donc équivalent à $3x^2\times6x^{4/3}=18x^{10/3}$, qui tend vers $+\infty$.

Fiche de révision express

Notion	Formule ou propriété essentielle
Racine cubique	$\sqrt[3]{a^3}=a$ pour tout réel $a$
Identité cubique	$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$
Expression conjuguée cubique	$\sqrt[3]{A}-\sqrt[3]{B}=\dfrac{A-B}{(\sqrt[3]{A})^2+\sqrt[3]{A}\sqrt[3]{B}+(\sqrt[3]{B})^2}$
Limite en l'infini	$\sqrt[3]{ax^3+bx^2+cx+d}\sim \sqrt[3]{a}\,x$
Continuité en $a$	$\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$
Théorème des valeurs intermédiaires	Si $f$ est continue sur $[a,b]$, elle prend toutes les valeurs entre $f(a)$ et $f(b)$

Quiz d'autoévaluation

Question 1 : Que vaut $\sqrt[3]{x^3}$ lorsque $x$ tend vers $-\infty$ ?

Réponse : $\sqrt[3]{x^3}=x$ pour tout réel $x$. La limite est donc $-\infty$. Il ne faut pas écrire $|x|$, car il s'agit d'une racine cubique.

Question 2 : Quelle identité utilise-t-on pour l'expression conjuguée avec une racine cubique ?

Réponse : On utilise $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$. Cela permet d'écrire $a-b=\dfrac{a^3-b^3}{a^2+ab+b^2}$.

Question 3 : Une fonction continue sur $[a,b]$ avec $f(a)f(b)<0$ admet-elle toujours une solution unique ?

Réponse : Non. Le théorème des valeurs intermédiaires garantit l'existence d'au moins une solution. Pour l'unicité, il faut ajouter la stricte monotonie de la fonction sur l'intervalle.

Questions fréquentes

Comment reconnaître une forme indéterminée avec une racine cubique ?

On remplace d'abord $x$ par la valeur vers laquelle il tend. Si l'on obtient $\frac{0}{0}$ ou $\infty-\infty$, il y a une indétermination. Il faut alors factoriser ou utiliser l'expression conjuguée cubique.

Peut-on utiliser la dérivée pour calculer une limite en un point ?

Oui, lorsque la limite se présente sous la forme $\frac{0}{0}$, on peut utiliser le taux d'accroissement ou la règle de l'Hôpital si les fonctions sont dérivables au voisinage du point. Il faut vérifier les conditions et rédiger clairement.

Pourquoi $\sqrt[3]{x^3}=x$ et non $|x|$ ?

La fonction racine cubique est la réciproque de la fonction cube, qui est strictement croissante sur $\mathbb{R}$. Elle conserve donc le signe de $x$. La valeur absolue intervient uniquement pour la racine carrée de $x^2$.

Que faire lorsque les termes prépondérants se compensent à l'infini ?

Il faut pousser le développement limité à l'ordre suivant ou utiliser l'expression conjuguée. Dans certains cas, la limite est finie, dans d'autres elle est nulle ou infinie selon l'ordre des termes restants.

Comment rédiger une limite avec racine cubique à l'examen national ?

Il faut indiquer la forme indéterminée, préciser la méthode utilisée, détailler la transformation algébrique, simplifier, puis conclure par la valeur de la limite. Une rédaction soignée permet d'éviter les erreurs et de gagner des points.

Les limites avec racines cubiques sont-elles fréquentes au bac ?

Oui, elles apparaissent régulièrement dans les exercices d'application et les sujets d'examen. Elles permettent d'évaluer la maîtrise des identités algébriques et la rigueur du calcul de limites.

Résumé final

Les limites avec racines cubiques reposent sur les mêmes principes que les limites classiques, mais elles nécessitent l'utilisation de l'identité $a^3-b^3$ et une attention particulière au terme prépondérant. En maîtrisant l'expression conjuguée cubique, la factorisation et les développements limités, vous pouvez résoudre l'ensemble des exercices de cette série. Continuez à vous entraîner régulièrement et à rédiger vos réponses avec méthode : c'est ainsi que vous gagnerez en assurance et en efficacité pour l'examen national.

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Cours de Mathématiques : Limites et Continuité — 2e BAC PC 2025-2026

Niveau	2e année du baccalauréat
Filière	Sciences Physiques et Chimiques (PC)
Matière	Mathématiques
Chapitre	Limites et Continuité
Sous-chapitre	Étude de la continuité, T.V.I., fonctions réciproques
Programme	Programme officiel marocain — 2025-2026
Durée indicative d'étude	6 heures
Dernière mise à jour	24 octobre 2026

Le chapitre sur les limites et la continuité constitue le socle fondamental de l'analyse mathématique en classe de terminale scientifique. Pour la filière Physique-Chimie (PC), il représente une étape clé qui permet de lier l'étude algébrique des fonctions à leur représentation graphique et à leur comportement aux bornes du domaine. La maîtrise de ces concepts est indispensable pour aborder sereinement les chapitres ultérieurs, notamment la dérivation et l'étude complète des fonctions.

Ce chapitre possède un poids considérable lors de l'examen national. Les exercices sur la continuité, le théorème des valeurs intermédiaires (T.V.I.) et les fonctions réciproques sont récurrents et évaluent la rigueur du raisonnement de l'élève. La capacité à démontrer une continuité en un point, à déterminer des paramètres pour assurer la continuité, ou encore à prouver l'existence et l'unicité d'une solution sont des compétences clés que les correcteurs attendent et valorisent grandement.

Dans ce cours complet, vous allez trouver des rappels de cours structurés, des méthodes détaillées pour aborder chaque type de question, ainsi qu'une série d'exercices corrigés minutieusement, tirés d'une série classique de la filière PC. Une fiche de révision, un quiz d'autoévaluation et un résumé final vous permettront de consolider vos acquis. Enfin, une version imprimable propre, sans publicité, est disponible pour réviser dans les meilleures conditions.

Table des matières

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Prérequis

Avant d'aborder ce chapitre, il est essentiel de maîtriser les notions suivantes :

Les fonctions usuelles : polynômes, fonctions rationnelles, fonction racine carrée, fonction cube et racine cubique.
La résolution d'équations du second degré et la factorisation de polynômes.
Le calcul des limites usuelles à l'infini et en un point (formes indéterminées).
La notion de dérivée et son lien avec les variations d'une fonction.

Objectifs pédagogiques

À l'issue de ce cours, l'élève sera capable de :

Montrer qu'une fonction est continue en un point en calculant la limite et en la comparant à l'image.
Déterminer des paramètres réels pour assurer la continuité d'une fonction en un point.
Appliquer le théorème des valeurs intermédiaires pour prouver l'existence et l'unicité de solutions d'équations.
Démontrer qu'une fonction réalise une bijection d'un intervalle vers un autre et calculer sa fonction réciproque.

Le cours complet

Continuité en un point

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle ouvert contenant un réel $a$. On dit que $f$ est continue en $a$ si :

$$ \lim_{x \to a} f(x) = f(a) $$

Il faut donc que la limite existe, qu'elle soit finie et qu'elle soit égale à la valeur de la fonction au point considéré. Sur le plan graphique, cela signifie que la courbe représentative de $f$ ne présente pas de "saut" en $a$.

Théorème des valeurs intermédiaires (T.V.I.)

Si $f$ est une fonction continue sur un intervalle fermé $[a, b]$, alors pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe au moins un réel $c \in [a, b]$ tel que $f(c) = k$.

Ce théorème permet de justifier l'existence de solutions à des équations. Pour prouver l'unicité de la solution, on ajoute souvent l'hypothèse de stricte monotonie : si $f$ est strictement monotone sur $[a, b]$, la solution est alors unique.

Fonction réciproque et bijection

$$ y = f^{-1}(x) \iff x = f(y) $$

Pour déterminer l'expression de $f^{-1}(x)$, on pose $y = f(x)$ et on cherche à exprimer $x$ en fonction de $y$, en tenant compte du domaine et de l'intervalle de départ (pour choisir la bonne racine par exemple).

Méthodes et exemples corrigés

Méthode 1 : Montrer la continuité en un point

Pour montrer que $f$ est continue en $x_0$, on calcule $\lim_{x \to x_0} f(x)$ et on vérifie que cette limite est égale à $f(x_0)$.

Exemple : $f(x) = \frac{\sin(x-2)}{x^2-2x}$ pour $x \neq 2$ et $f(2) = 1/2$.

$\lim_{x \to 2} \frac{\sin(x-2)}{x(x-2)} = \lim_{x \to 2} \frac{\sin(x-2)}{x-2} \times \frac{1}{x} = 1 \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

Comme la limite est égale à $f(2)$, la fonction est continue en 2.

Méthode 2 : Déterminer la fonction réciproque

On pose $y = f(x)$ et on isole $x$.

Exemple : $f(x) = x^2 - 4x$ sur $[2, 4]$. $f'(x) = 2x-4 \ge 0$ sur $[2, 4]$. $f$ est continue et strictement croissante, donc elle réalise une bijection de $[2, 4]$ vers $[-4, 0]$.

On pose $y = (x-2)^2 - 4 \implies (x-2)^2 = y+4$. Comme $x \ge 2$, $x-2 = \sqrt{y+4} \implies x = 2 + \sqrt{y+4}$.

Donc $f^{-1}(x) = 2 + \sqrt{x+4}$ pour $x \in [-4, 0]$.

Erreurs fréquentes et pièges

Confondre limite et valeur : Une fonction peut avoir une limite en un point sans être continue si la limite est différente de la valeur de la fonction en ce point, ou si la fonction n'est pas définie en ce point.

Oublier de vérifier les conditions du T.V.I. : Le T.V.I. exige la continuité sur l'intervalle fermé. Pour l'unicité, il faut impérativement vérifier la stricte monotonie sur l'intervalle.

Négliger le signe lors du calcul de la réciproque : Lorsqu'on prend une racine carrée pour inverser une fonction, il faut choisir la branche (positive ou négative) en fonction de l'intervalle de départ de $x$.

Exercices et examens nationaux

Tous les exercices et sujets corrigés

Consultez la liste complète des exercices d'application, exercices corrigés et examens nationaux classés par chapitre et par filière.

Voir tous les exercices

Exercice	Type	Année / Session	Niveau
Exercice 1 — Continuité avec valeur absolue	Application directe	—	Moyen
Exercice 2 — Continuité et trigonométrie	Application directe	—	Moyen
Exercice 3 — Recherche de paramètres	Synthèse	—	Moyen
Exercice 4 — T.V.I. (existence et unicité)	Démonstration	—	Difficile
Exercice 5 — Fonctions réciproques	Synthèse	—	Difficile
Exercice 6 — Bijection et réciproque	Synthèse	—	Difficile
Exercice 7 — Racine cubique et réciproque	Synthèse	—	Difficile
Exercice 8 — Limites avec racines	Application directe	—	Moyen
Exercice 9 — Point fixe (T.V.I.)	Démonstration	—	Difficile

Exercice 1 — Continuité avec valeur absolue

Énoncé : Soit $f(x) = \frac{4x}{|x+2|-|x-2|}$ si $x \neq 0$ et $f(0) = 2$. Montrer que $f$ est continue en $x_0 = 0$.

Correction

On calcule la limite de $f$ en 0. Au voisinage de 0, $x+2 > 0$ et $x-2 < 0$. Donc $|x+2| = x+2$ et $|x-2| = -(x-2) = -x+2$.

Ainsi, le dénominateur devient : $(x+2) - (-x+2) = x+2+x-2 = 2x$.

Pour $x \neq 0$, $f(x) = \frac{4x}{2x} = 2$.

On a $\lim_{x \to 0} f(x) = 2 = f(0)$. Donc $f$ est continue en 0.

Exercice 2 — Continuité et trigonométrie

Énoncé : Soit $f(x) = \frac{\sin(x-2)}{x^2-2x}$ si $x \neq 2$ et $f(2) = 1/2$. Étudier la continuité de $f$ en $x_0 = 2$.

Correction

On calcule $\lim_{x \to 2} f(x)$. On factorise le dénominateur : $x^2-2x = x(x-2)$.

$f(x) = \frac{\sin(x-2)}{x(x-2)} = \frac{\sin(x-2)}{x-2} \times \frac{1}{x}$.

On sait que $\lim_{x \to 2} \frac{\sin(x-2)}{x-2} = 1$ (limite usuelle avec changement de variable $u=x-2$).

Donc $\lim_{x \to 2} f(x) = 1 \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$. Comme $f(2) = 1/2$, $f$ est continue en 2.

Exercice 3 — Recherche de paramètres

Énoncé : Soit $f(x) = \frac{x^2+x-a}{x-2}$ si $x > 2$, et $f(x) = \frac{2x+b}{3}$ si $x \leq 2$. Déterminer $a$ et $b$ pour que $f$ soit continue en 2.

Correction

Pour que $f$ soit continue en 2, il faut que $\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^-} f(x) = f(2)$.

Calcul de la limite à droite : $\lim_{x \to 2^+} \frac{x^2+x-a}{x-2}$. Pour que cette limite soit finie, il faut que le numérateur s'annule en 2, c'est-à-dire $4+2-a = 0 \implies a = 6$.

Avec $a=6$, $f(x) = \frac{x^2+x-6}{x-2} = \frac{(x-2)(x+3)}{x-2} = x+3$. La limite à droite est $2+3=5$.

Calcul de la limite à gauche : $\lim_{x \to 2^-} \frac{2x+b}{3} = \frac{4+b}{3}$.

On doit avoir $\frac{4+b}{3} = 5 \implies 4+b = 15 \implies b = 11$.

Donc $a=6$ et $b=11$.

Exercice 4 — T.V.I. (existence et unicité)

Énoncé : Montrer que l'équation admet une solution unique dans l'intervalle $I$.

1) $\sqrt{x^3+6x+1} = 2$, $I = [0, 2]$.

Correction

L'équation équivaut à $x^3+6x+1 = 4 \implies x^3+6x-3 = 0$.

Soit $f(x) = x^3+6x-3$. $f$ est continue sur $[0, 2]$.

$f(0) = -3 < 0$ et $f(2) = 8+12-3 = 17 > 0$. D'après le T.V.I., il existe au moins une solution dans $[0, 2]$.

De plus, $f'(x) = 3x^2+6 > 0$ sur $[0, 2]$. Donc $f$ est strictement croissante et la solution est unique.

2) $\cos x = x$, $I = [0, \pi/2]$.

Correction

Soit $f(x) = \cos x - x$. $f$ est continue sur $[0, \pi/2]$.

$f(0) = 1 > 0$ et $f(\pi/2) = -\pi/2 < 0$. D'après le T.V.I., il existe au moins une solution dans $[0, \pi/2]$.

$f'(x) = -\sin x - 1 < 0$ sur $[0, \pi/2]$. Donc $f$ est strictement décroissante et la solution est unique.

3) $x^{2021} + x - 2021 = 0$, $I = \mathbb{R}$.

Correction

Soit $f(x) = x^{2021} + x - 2021$. $f$ est continue sur $\mathbb{R}$.

$f(0) = -2021 < 0$ et $f(2) = 2^{2021} + 2 - 2021 > 0$. Il existe une solution dans $[0, 2]$.

$f'(x) = 2021x^{2020} + 1 > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$. Donc $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ et la solution est unique.

Exercice 5 — Fonctions réciproques

Énoncé : Montrer que $f$ admet une fonction réciproque sur $J$ et déterminer $f^{-1}(x)$.

1) $f(x) = \frac{3x-1}{x+2}$, $I = ]-\infty, -2[$.

Correction

$f'(x) = \frac{3(x+2) - (3x-1)}{(x+2)^2} = \frac{7}{(x+2)^2} > 0$. $f$ est continue et strictement croissante sur $I$.

$\lim_{x \to -\infty} f(x) = 3$ et $\lim_{x \to -2^-} f(x) = +\infty$. Donc $J = ]3, +\infty[$.

Pour trouver $f^{-1}$, on pose $y = \frac{3x-1}{x+2} \implies yx+2y = 3x-1 \implies x(y-3) = -1-2y \implies x = \frac{2y+1}{3-y}$.

Donc $f^{-1}(x) = \frac{2x+1}{3-x}$ pour $x \in ]3, +\infty[$.

2) $f(x) = x^2 - 4x$, $I = [2, 4]$.

Correction

$f'(x) = 2x - 4 \ge 0$ sur $[2, 4]$. $f$ est continue et strictement croissante. $f(2) = -4$, $f(4) = 0$. Donc $J = [-4, 0]$.

On pose $y = x^2 - 4x = (x-2)^2 - 4 \implies (x-2)^2 = y+4$. Comme $x \ge 2$, $x-2 = \sqrt{y+4} \implies x = 2 + \sqrt{y+4}$.

Donc $f^{-1}(x) = 2 + \sqrt{x+4}$ pour $x \in [-4, 0]$.

3) $f(x) = \frac{x^2+1}{x^2-1}$, $I = [0, 1[$.

Correction

$f'(x) = \frac{2x(x^2-1) - (x^2+1)2x}{(x^2-1)^2} = \frac{-4x}{(x^2-1)^2} < 0$ sur $I$. $f$ est continue et strictement décroissante.

$f(0) = -1$ et $\lim_{x \to 1^-} f(x) = +\infty$. Donc $J = ]-1, +\infty[$.

On pose $y = \frac{x^2+1}{x^2-1} \implies yx^2 - y = x^2 + 1 \implies x^2(y-1) = y+1 \implies x^2 = \frac{y+1}{y-1}$.

Comme $x \ge 0$, $x = \sqrt{\frac{y+1}{y-1}}$. Donc $f^{-1}(x) = \sqrt{\frac{x+1}{x-1}}$ pour $x \in ]-1, +\infty[$.

Exercice 6 — Bijection et réciproque

Énoncé : Soit $f(x) = \frac{2x}{x^2+1}$ sur $I = [-1, 1]$.

1) Montrer que $f$ admet une réciproque sur $J$.

Correction

$f'(x) = \frac{2(x^2+1) - 2x(2x)}{(x^2+1)^2} = \frac{2-2x^2}{(x^2+1)^2} \ge 0$ sur $[-1, 1]$. $f$ est continue et strictement croissante.

$f(-1) = -1$ et $f(1) = 1$. Donc $J = [-1, 1]$.

2) Montrer que $f^{-1}(4/5) = 1/2$.

Correction

On calcule $f(1/2) = \frac{2(1/2)}{(1/2)^2+1} = \frac{1}{1/4+1} = \frac{1}{5/4} = \frac{4}{5}$. Donc $f^{-1}(4/5) = 1/2$.

3) Montrer que $f^{-1}(x) = \frac{1-\sqrt{1-x^2}}{x}$.

Correction

On pose $y = \frac{2x}{x^2+1} \implies yx^2 - 2x + y = 0$. C'est une équation du second degré en $x$.

Le discriminant est $\Delta = 4 - 4y^2 = 4(1-y^2)$. Les racines sont $x = \frac{2 \pm 2\sqrt{1-y^2}}{2y} = \frac{1 \pm \sqrt{1-y^2}}{y}$.

Pour $x=0$, on a $y=0$. La formule $\frac{1-\sqrt{1-x^2}}{x}$ donne une forme indéterminée en $x=0$. Mais pour $x \neq 0$, on choisit la racine qui donne des valeurs dans $[-1, 1]$. La racine avec le signe $-$ convient. Donc $f^{-1}(x) = \frac{1-\sqrt{1-x^2}}{x}$.

Exercice 7 — Racine cubique et réciproque

Énoncé : Soit $f(x) = \sqrt[3]{x^2+2}$ sur $I = [0, +\infty[$.

1) Montrer que $f$ est continue et strictement croissante sur $I$.

Correction

La fonction racine cubique et la fonction polynôme sont continues sur $\mathbb{R}$. Par composition, $f$ est continue sur $I$.

$f'(x) = \frac{2x}{3(x^2+2)^{2/3}} > 0$ pour $x > 0$. Donc $f$ est strictement croissante sur $I$.

2) Montrer que $f$ admet une fonction réciproque sur $J$.

Correction

$f$ est continue et strictement croissante sur $I = [0, +\infty[$. $f(0) = \sqrt[3]{2}$ et $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$. Donc $J = [\sqrt[3]{2}, +\infty[$.

3) Calculer $f^{-1}(x)$ pour tout $x$ de $J$.

Correction

On pose $y = \sqrt[3]{x^2+2} \implies y^3 = x^2+2 \implies x^2 = y^3-2$. Comme $x \ge 0$, $x = \sqrt{y^3-2}$.

Donc $f^{-1}(x) = \sqrt{x^3-2}$ pour $x \in [\sqrt[3]{2}, +\infty[$.

Exercice 8 — Limites avec racines

Énoncé : Calculer les limites suivantes :

1) $\lim_{x \to -\infty} \frac{\sqrt[3]{1-x^3}}{x}$.

Correction

Quand $x \to -\infty$, $x < 0$, on factorise par $x^3$ dans la racine : $\sqrt[3]{1-x^3} = \sqrt[3]{x^3(1/x^3 - 1)} = x\sqrt[3]{1/x^3 - 1}$ (car $\sqrt[3]{x^3} = x$).

Le quotient devient $\frac{x\sqrt[3]{1/x^3 - 1}}{x} = \sqrt[3]{1/x^3 - 1}$.

La limite en $-\infty$ est donc $\sqrt[3]{-1} = -1$.

2) $\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt[3]{x^3+1}-x}{x}$.

Correction

On factorise par $x$ au numérateur : $x(\sqrt[3]{1+1/x^3} - 1)$.

Le quotient devient $\frac{x(\sqrt[3]{1+1/x^3} - 1)}{x} = \sqrt[3]{1+1/x^3} - 1$.

La limite en $+\infty$ est $1 - 1 = 0$.

3) $\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt[3]{x+1}-\sqrt{x+1}}{\sqrt{x+1}-\sqrt[3]{x+1}}$.

Correction

On remarque que le numérateur est l'opposé du dénominateur. En simplifiant, on obtient $-1$ (pour $x+1 \neq 1$ et $x+1 \neq 0$, ce qui est vrai au voisinage de $+\infty$).

La limite est donc $-1$.

Exercice 9 — Point fixe (T.V.I.)

Énoncé : Soit $a < b$ et $f$ continue sur $[a, b]$ avec $f(a) > a$ et $f(b) < b$. Montrer que $f(x) = x$ admet une solution dans $[a, b[$.

Correction

Soit $g(x) = f(x) - x$. $g$ est continue sur $[a, b]$ comme différence de fonctions continues.

On a $g(a) = f(a) - a > 0$ et $g(b) = f(b) - b < 0$.

D'après le T.V.I., il existe au moins un réel $c \in [a, b]$ tel que $g(c) = 0$, c'est-à-dire $f(c) = c$.

Comme $g(b) < 0$, la solution ne peut pas être $b$ (car $g(b) \neq 0$). Donc $c \in [a, b[$.

Fiche de révision express

Notion	Formule / Propriété
Continuité en $a$	$\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$
T.V.I.	Si $f$ continue sur $[a,b]$, alors $f$ prend toutes les valeurs entre $f(a)$ et $f(b)$
Unicité (T.V.I.)	Si $f$ est continue et strictement monotone sur $[a,b]$, la solution est unique
Bijection	Si $f$ continue et strictement monotone sur $I$, alors $f$ est une bijection de $I$ sur $f(I)$
Limite racine cubique	$\sqrt[3]{x^3} = x$ pour tout réel $x$

Quiz d'autoévaluation

Question 1 : Que signifie "f est continue en a" ?

Réponse : Cela signifie que $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$. La limite doit exister, être finie et égale à la valeur de la fonction au point $a$.

Question 2 : Le T.V.I. garantit-il l'unicité de la solution ?

Réponse : Non, il garantit seulement l'existence d'au moins une solution. Pour l'unicité, il faut ajouter l'hypothèse de stricte monotonie de la fonction sur l'intervalle.

Question 3 : Quelle est la différence entre $\sqrt{x^2}$ et $\sqrt[3]{x^3}$ ?

Réponse : $\sqrt{x^2} = |x|$ (qui dépend du signe de $x$), tandis que $\sqrt[3]{x^3} = x$ pour tout réel $x$. La racine cubique conserve le signe de $x$.

Questions fréquentes

Comment montrer qu'une fonction est continue en un point ?

Il faut calculer la limite de la fonction lorsque $x$ tend vers le point, puis vérifier que cette limite est égale à la valeur de la fonction en ce point. Si la fonction n'est pas définie au point ou si la limite est différente, elle n'est pas continue.

Comment déterminer les paramètres pour assurer la continuité ?

On calcule les limites à gauche et à droite en le point de raccordement. Pour que la fonction soit continue, ces deux limites doivent être égales. Cela donne des équations qui permettent de trouver les paramètres inconnus.

Quelle est la condition pour qu'une fonction admette une réciproque ?

Il faut que la fonction soit continue et strictement monotone sur l'intervalle considéré. Dans ce cas, elle réalise une bijection de cet intervalle vers l'intervalle image, et sa réciproque est bien définie.

Comment appliquer le théorème des valeurs intermédiaires ?

Il faut vérifier que la fonction est continue sur un intervalle fermé $[a,b]$, calculer les images $f(a)$ et $f(b)$, puis vérifier que le réel $k$ dont on cherche l'antécédent est bien compris entre $f(a)$ et $f(b)$. Le théorème affirme alors l'existence d'au moins une solution.

Pourquoi la continuité est-elle importante pour la dérivabilité ?

La continuité est une condition nécessaire mais pas suffisante pour la dérivabilité. Toute fonction dérivable est continue, mais l'inverse est faux (par exemple la fonction valeur absolue en 0).

Comment calculer la limite d'une fonction avec des racines cubiques à l'infini ?

On factorise par le terme de plus haut degré à l'intérieur de la racine, en utilisant le fait que $\sqrt[3]{x^3} = x$ pour tout $x$ réel. Attention à ne pas utiliser la valeur absolue comme pour les racines carrées.

Résumé final

Vous avez maintenant parcouru l'essentiel du chapitre sur les limites et la continuité pour la filière PC. Les exercices corrigés vous ont permis de voir les différentes facettes de ce chapitre : la vérification de la continuité en un point, la recherche de paramètres, l'application du T.V.I. et le calcul de fonctions réciproques. La clé de la réussite réside dans la pratique régulière et la rigueur de la rédaction. N'hésitez pas à refaire ces exercices sans regarder les corrections pour tester votre compréhension. Gardez confiance en vos capacités et continuez à travailler avec sérieux.

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Cours de Mathématiques : Limites et Continuité — 2e BAC PC 2025-2026

Niveau	2e année du baccalauréat
Filière	Sciences Physiques et Chimiques (PC)
Matière	Mathématiques
Chapitre	Limites et Continuité
Sous-chapitre	Continuité en un point, prolongement par continuité
Programme	Programme officiel marocain — 2025-2026
Durée indicative d'étude	5 heures
Dernière mise à jour	24 octobre 2026

Table des matières

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Prérequis

Avant d'aborder ce chapitre, il est essentiel de maîtriser les notions suivantes :

Le calcul des limites de fonctions polynômes et rationnelles en un point et à l'infini.
Les limites usuelles de la trigonométrie, en particulier $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$.
La factorisation de polynômes et les identités remarquables.
La manipulation des expressions conjuguées pour les fonctions irrationnelles.

Objectifs pédagogiques

À l'issue de ce cours, l'élève sera capable de :

Déterminer le domaine de définition d'une fonction définie par morceaux.
Montrer qu'une fonction est continue en un point en calculant la limite et en la comparant à l'image.
Calculer des limites en utilisant la factorisation ou l'expression conjuguée.
Déterminer des paramètres réels pour assurer la continuité d'une fonction en un point.

Le cours complet

Rappel : définition de la continuité en un point

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle ouvert contenant un réel $a$. On dit que $f$ est continue en $a$ si :

$$ \lim_{x \to a} f(x) = f(a) $$

Continuité à gauche et à droite

Lorsque la fonction est définie par des expressions différentes de part et d'autre d'un point $a$, il faut calculer séparément la limite à gauche et la limite à droite :

$$ \lim_{x \to a^-} f(x) \quad \text{et} \quad \lim_{x \to a^+} f(x) $$

Pour que $f$ soit continue en $a$, il faut que ces deux limites soient égales et qu'elles soient égales à $f(a)$.

Prolongement par continuité

Si une fonction $f$ n'est pas définie en $a$ mais admet une limite finie $\ell$ en $a$, on peut la prolonger par continuité en posant $f(a) = \ell$. C'est le cas classique de la fonction $x \mapsto \frac{\sin x}{x}$ en $0$, qui se prolonge par $f(0) = 1$.

Méthodes et exemples corrigés

Méthode 1 : Montrer la continuité en un point avec une fonction rationnelle

Pour montrer que $f$ est continue en $x_0$, on calcule $\lim_{x \to x_0} f(x)$. Si on obtient une forme indéterminée $\frac{0}{0}$, on factorise le numérateur et le dénominateur pour simplifier.

Exemple : $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$ pour $x \neq 1$ et $f(1) = 2$.

$\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1} (x + 1) = 2$.

Comme la limite est égale à $f(1) = 2$, la fonction est continue en 1.

Méthode 2 : Déterminer des paramètres pour assurer la continuité

Lorsque la fonction dépend de paramètres, on calcule les limites à gauche et à droite en le point de raccordement. On impose ensuite l'égalité de ces limites avec la valeur de la fonction.

Exemple : $f(x) = ax + 1$ pour $x < 1$ et $f(x) = x^2 + b$ pour $x \ge 1$.

Limite à gauche : $a + 1$. Limite à droite : $1 + b$. Valeur en 1 : $1 + b$.

On doit avoir $a + 1 = 1 + b$, soit $a = b$. Le système permet de trouver les paramètres.

Erreurs fréquentes et pièges

Oublier de vérifier les limites à gauche et à droite : Pour une fonction définie par morceaux, il faut impérativement calculer les deux limites séparément. Une erreur de signe ou de branche est fréquente.

Négliger le domaine de définition : Avant de calculer une limite, il faut vérifier que la fonction est bien définie au voisinage du point considéré. Une limite n'a de sens que sur le domaine de définition.

Exercices et examens nationaux

Tous les exercices et sujets corrigés

Consultez la liste complète des exercices d'application, exercices corrigés et examens nationaux classés par chapitre et par filière.

Voir tous les exercices

Exercice	Type	Année / Session	Niveau
Exercice 1 — Continuité d'une fonction rationnelle	Application directe	—	Facile
Exercice 2 — Continuité avec racine et trigonométrie	Application directe	—	Moyen
Exercice 3 — Continuité avec tangente	Application directe	—	Moyen
Exercice 4 — Continuité d'une fonction rationnelle	Application directe	—	Facile
Exercice 5 — Fonction définie par morceaux	Synthèse	—	Moyen
Exercice 6 — Recherche de paramètres	Synthèse	—	Moyen
Exercice 7 — Continuité et trigonométrie	Application directe	—	Moyen
Exercice 8 — Recherche d'un paramètre	Synthèse	—	Moyen

Exercice 1 — Continuité d'une fonction rationnelle

Énoncé : Soit $f(x) = \frac{x^3 - 3x - 2}{x - 2}$ si $x \neq 2$ et $f(2) = 9$.

1) Donner le domaine de définition de $f$.

Correction

La fonction est définie pour $x \neq 2$ par l'expression rationnelle, et $f(2) = 9$ est donnée. Donc le domaine de définition est $\mathbb{R}$.

2) Montrer que $f$ est continue en 2.

Correction

On calcule $\lim_{x \to 2} f(x)$. En remplaçant $x$ par 2 dans le numérateur : $2^3 - 3(2) - 2 = 8 - 6 - 2 = 0$. On a une forme $\frac{0}{0}$.

On factorise le numérateur : $x^3 - 3x - 2 = (x - 2)(x^2 + 2x + 1) = (x - 2)(x + 1)^2$.

Donc pour $x \neq 2$, $f(x) = \frac{(x - 2)(x + 1)^2}{x - 2} = (x + 1)^2$.

La limite en 2 est $(2 + 1)^2 = 9$. Comme $f(2) = 9$, la fonction $f$ est continue en 2.

Exercice 2 — Continuité avec racine et trigonométrie

Énoncé : Soit $g(x) = \frac{\sqrt{x + 1} - 1}{x}$ si $x > 0$, $g(x) = \frac{\sin x}{2x}$ si $x < 0$, et $g(0) = \frac{1}{2}$.

1) Calculer $g(3)$ et $g(-\pi)$.

Correction

$g(3) = \frac{\sqrt{3 + 1} - 1}{3} = \frac{\sqrt{4} - 1}{3} = \frac{2 - 1}{3} = \frac{1}{3}$.

$g(-\pi) = \frac{\sin(-\pi)}{2(-\pi)} = \frac{0}{-2\pi} = 0$.

2) Montrer que la fonction $g$ est continue en 0.

Correction

On calcule la limite à droite en 0 : $\lim_{x \to 0^+} g(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{x + 1} - 1}{x}$.

On multiplie par l'expression conjuguée : $\frac{(\sqrt{x + 1} - 1)(\sqrt{x + 1} + 1)}{x(\sqrt{x + 1} + 1)} = \frac{x + 1 - 1}{x(\sqrt{x + 1} + 1)} = \frac{x}{x(\sqrt{x + 1} + 1)} = \frac{1}{\sqrt{x + 1} + 1}$.

La limite en $0^+$ est $\frac{1}{\sqrt{1} + 1} = \frac{1}{2}$.

On calcule la limite à gauche en 0 : $\lim_{x \to 0^-} g(x) = \lim_{x \to 0^-} \frac{\sin x}{2x} = \frac{1}{2} \lim_{x \to 0^-} \frac{\sin x}{x} = \frac{1}{2} \times 1 = \frac{1}{2}$.

Comme $\lim_{x \to 0^+} g(x) = \lim_{x \to 0^-} g(x) = \frac{1}{2} = g(0)$, la fonction $g$ est continue en 0.

Exercice 3 — Continuité avec tangente

Énoncé : Montrer que la fonction définie par $f(x) = \frac{\sqrt{x + 1} - 1}{\tan x}$ si $x \neq 0$ et $f(0) = \frac{1}{2}$ est continue en 0.

Correction

On calcule $\lim_{x \to 0} f(x)$. On peut écrire :

$f(x) = \frac{\sqrt{x + 1} - 1}{x} \times \frac{x}{\tan x}$.

On sait que $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x + 1} - 1}{x} = \frac{1}{2}$ (calcul fait dans l'exercice précédent).

De plus, $\lim_{x \to 0} \frac{x}{\tan x} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin x / \cos x} = \lim_{x \to 0} \frac{x \cos x}{\sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin x} \times \cos x = 1 \times 1 = 1$.

Par produit, $\lim_{x \to 0} f(x) = \frac{1}{2} \times 1 = \frac{1}{2} = f(0)$. La fonction est continue en 0.

Exercice 4 — Continuité d'une fonction rationnelle

Énoncé : Montrer que la fonction définie par $f(x) = \frac{x^2 + x - 12}{x - 3}$ si $x \neq 3$ et $f(3) = 7$ est continue en 3.

Correction

On calcule $\lim_{x \to 3} f(x)$. En remplaçant $x$ par 3 : $9 + 3 - 12 = 0$. Forme $\frac{0}{0}$.

On factorise le numérateur : $x^2 + x - 12 = (x - 3)(x + 4)$.

Donc pour $x \neq 3$, $f(x) = \frac{(x - 3)(x + 4)}{x - 3} = x + 4$.

La limite en 3 est $3 + 4 = 7$. Comme $f(3) = 7$, la fonction est continue en 3.

Exercice 5 — Fonction définie par morceaux

Énoncé : Montrer que la fonction définie par $f(x) = \frac{2x + 1}{7 - 6x}$ si $x \le 2$ et $f(x) = \frac{x^2 + x - 6}{x - 2}$ si $x > 2$ est continue en 2.

Correction

On calcule la limite à gauche en 2 : $\lim_{x \to 2^-} f(x) = \frac{2(2) + 1}{7 - 6(2)} = \frac{5}{7 - 12} = \frac{5}{-5} = -1$.

On calcule la limite à droite en 2 : $\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} \frac{x^2 + x - 6}{x - 2}$. Le numérateur s'annule en 2 : $4 + 2 - 6 = 0$.

On factorise : $x^2 + x - 6 = (x - 2)(x + 3)$. Donc $f(x) = x + 3$ pour $x \neq 2$. La limite à droite est $2 + 3 = 5$.

Les limites à gauche et à droite sont différentes ($-1 \neq 5$). La fonction n'est donc pas continue en 2.

Exercice 6 — Recherche de paramètres

Énoncé : Déterminer les nombres réels $a$ et $b$ pour que la fonction définie par $f(x) = \frac{x^2 + x - a}{x - 1}$ si $x < 1$ et $f(x) = x^2 + b$ si $x \ge 1$ soit continue en 1.

Correction

Pour que $f$ soit continue en 1, il faut que $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1)$.

Calcul de la limite à gauche : $\lim_{x \to 1^-} \frac{x^2 + x - a}{x - 1}$. Pour que cette limite soit finie, il faut que le numérateur s'annule en 1 : $1^2 + 1 - a = 0 \implies a = 2$.

Avec $a = 2$, $f(x) = \frac{x^2 + x - 2}{x - 1} = \frac{(x - 1)(x + 2)}{x - 1} = x + 2$. La limite à gauche est $1 + 2 = 3$.

Calcul de la limite à droite : $\lim_{x \to 1^+} (x^2 + b) = 1 + b$.

Pour la continuité, on doit avoir $1 + b = 3 \implies b = 2$.

Donc $a = 2$ et $b = 2$.

Exercice 7 — Continuité et trigonométrie

Énoncé : Soit $f(x) = 3x + 1$ si $x > 0$ et $f(x) = -2\sin x + 1$ si $x \le 0$.

1) La fonction $f$ est-elle continue en 0 ?

Correction

Limite à droite en 0 : $\lim_{x \to 0^+} (3x + 1) = 1$.

Limite à gauche en 0 : $\lim_{x \to 0^-} (-2\sin x + 1) = -2(0) + 1 = 1$.

De plus, $f(0) = 1$. Les limites sont égales à $f(0)$, donc $f$ est continue en 0.

2) La fonction $f$ est-elle continue en $-\frac{\pi}{2}$ ?

Correction

En $-\frac{\pi}{2}$, on utilise l'expression $f(x) = -2\sin x + 1$ car $-\frac{\pi}{2} < 0$.

La fonction $x \mapsto -2\sin x + 1$ est continue sur $\mathbb{R}$. Donc $f$ est continue en $-\frac{\pi}{2}$.

On peut vérifier : $f(-\frac{\pi}{2}) = -2(-1) + 1 = 3$. Et $\lim_{x \to -\pi/2} f(x) = 3$.

Exercice 8 — Recherche d'un paramètre

Énoncé : Soit $f(x) = \frac{2\sin(x^2)}{x} + 2$ si $x > 0$ et $f(x) = x + 1 + m$ si $x \le 0$. Déterminer la valeur de $m$ pour que $f$ soit continue en 0.

Correction

On calcule la limite à droite en 0 :

$\lim_{x \to 0^+} \left( \frac{2\sin(x^2)}{x} + 2 \right) = \lim_{x \to 0^+} \left( \frac{2x^2}{x} \cdot \frac{\sin(x^2)}{x^2} + 2 \right)$.

Or $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x^2)}{x^2} = 1$, donc $\frac{2\sin(x^2)}{x} \sim 2x \to 0$. La limite à droite est $0 + 2 = 2$.

On calcule la limite à gauche en 0 : $\lim_{x \to 0^-} (x + 1 + m) = 1 + m$.

Pour que $f$ soit continue en 0, il faut que $1 + m = 2 \implies m = 1$.

Fiche de révision express

Notion	Formule / Propriété
Continuité en $a$	$\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$
Limite à gauche	$\lim_{x \to a^-} f(x)$
Limite à droite	$\lim_{x \to a^+} f(x)$
Limite usuelle	$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$
Expression conjuguée	$\frac{\sqrt{A} - \sqrt{B}}{x} = \frac{A - B}{x(\sqrt{A} + \sqrt{B})}$

Quiz d'autoévaluation

Question 1 : Que signifie "f est continue en a" ?

Réponse : Cela signifie que $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$. La limite doit exister, être finie et égale à la valeur de la fonction au point $a$.

Question 2 : Comment montre-t-on qu'une fonction définie par morceaux est continue en un point de raccordement ?

Réponse : On calcule la limite à gauche et la limite à droite en ce point. Si elles sont égales et égales à la valeur de la fonction en ce point, alors la fonction est continue.

Question 3 : Quelle est la limite de $\frac{\sin x}{x}$ quand $x \to 0$ ?

Réponse : La limite est 1. C'est une limite usuelle fondamentale à connaître.

Questions fréquentes

Comment déterminer le domaine de définition d'une fonction définie par morceaux ?

On examine chaque expression séparément. Pour chaque morceau, on détermine les valeurs de $x$ pour lesquelles l'expression est définie (dénominateur non nul, radicande positif, etc.). Le domaine global est l'union des domaines de chaque morceau, en respectant les conditions de raccordement.

Que faire si les limites à gauche et à droite sont différentes ?

Si les limites à gauche et à droite en un point sont différentes, la fonction n'admet pas de limite en ce point et n'est donc pas continue. Il n'y a pas de prolongement possible par continuité.

Comment calculer une limite avec une racine carrée en un point ?

On utilise l'expression conjuguée : on multiplie le numérateur et le dénominateur par l'expression conjuguée de la racine. Cela permet de faire disparaître la forme indéterminée et de simplifier l'expression.

Pourquoi la continuité est-elle importante en mathématiques ?

La continuité est une propriété fondamentale qui garantit que la courbe d'une fonction peut être tracée sans lever le crayon. Elle permet d'appliquer des théorèmes importants comme le théorème des valeurs intermédiaires, et elle est une condition nécessaire pour la dérivabilité.

Comment trouver la valeur d'un paramètre pour assurer la continuité ?

On calcule les limites à gauche et à droite en le point de raccordement, en fonction du paramètre. On impose l'égalité de ces limites avec la valeur de la fonction (ou entre elles si la fonction n'est pas définie en ce point). On résout ensuite l'équation obtenue.

La continuité implique-t-elle la dérivabilité ?

Non. La continuité est une condition nécessaire pour la dérivabilité, mais pas suffisante. Une fonction peut être continue en un point sans y être dérivable (exemple : $f(x) = |x|$ en 0).

Résumé final

Vous avez maintenant parcouru l'essentiel du chapitre sur les limites et la continuité pour la filière PC. Les exercices corrigés vous ont permis de voir les différentes facettes de ce chapitre : la vérification de la continuité en un point, la recherche de paramètres, et l'étude des fonctions définies par morceaux. La clé de la réussite réside dans la pratique régulière et la rigueur de la rédaction. N'hésitez pas à refaire ces exercices sans regarder les corrections pour tester votre compréhension. Gardez confiance en vos capacités et continuez à travailler avec sérieux.

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Notion	Formule / Propriété
Limite en l'infini	\(\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x^n} = 0\)
Simplification \(\sqrt{x^2}\)	\(\sqrt{x^2} = \|x\|\) (attention au signe de \(x\))
Expression conjuguée	\(A - B = \frac{A^2 - B^2}{A + B}\)
Continuité en \(a\)	\(\lim_{x \to a} f(x) = f(a)\)
Bijection	Si \(f\) continue et strictement monotone sur \(I\), alors \(f\) est une bijection de \(I\) sur \(f(I)\)

Notion	Formule ou propriété essentielle
Racine cubique	\(\sqrt[3]{a^3}=a\) pour tout réel \(a\)
Identité cubique	\(a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\)
Expression conjuguée cubique	\(\sqrt[3]{A}-\sqrt[3]{B}=\dfrac{A-B}{(\sqrt[3]{A})^2+\sqrt[3]{A}\sqrt[3]{B}+(\sqrt[3]{B})^2}\)
Limite en l'infini	\(\sqrt[3]{ax^3+bx^2+cx+d}\sim \sqrt[3]{a}\,x\)
Continuité en \(a\)	\(\lim_{x\to a}f(x)=f(a)\)
Théorème des valeurs intermédiaires	Si \(f\) est continue sur \([a,b]\), elle prend toutes les valeurs entre \(f(a)\) et \(f(b)\)