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Limites et Continuité – Séance 1

Continuité en un point – Prolongement par continuité

Dans cette première séance, nous allons étudier la continuité d'une fonction numérique en un point. Vous allez apprendre à définir la continuité, à étudier la continuité à droite et à gauche, et à prolonger une fonction par continuité. Cette notion est fondamentale pour l'étude des fonctions et la préparation à l'examen national.

1. Continuité en un point

Définition

Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert I contenant x0. On dit que f est continue en x0 si et seulement si la limite de f en x0 existe et est égale à f(x0).

f continue en x0 ⟺ lim f(x) = f(x0) quand x → x0

Interprétation graphique

Graphiquement, une fonction est continue en un point si sa courbe ne présente pas de « coupure » ou de « trou » en ce point. On peut tracer la courbe sans lever le crayon.

À gauche : fonction continue en x0. À droite : fonction discontinue en x0 (trou dans la courbe).

2. Continuité à droite et à gauche

Définitions

Continuité à droite : f est continue à droite en x0 si lim f(x) = f(x0) quand x → x0⁺.
Continuité à gauche : f est continue à gauche en x0 si lim f(x) = f(x0) quand x → x0⁻.

Propriété

Une fonction f est continue en x0 si et seulement si elle est continue à droite et à gauche en x0.

f continue en x0 ⟺ lim à droite = lim à gauche = f(x0)

3. Prolongement par continuité

Définition

Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert contenant x0, sauf peut-être en x0. Si la limite de f en x0 existe et vaut L (un réel fini), alors il existe une unique fonction g définie et continue en x0 telle que g(x) = f(x) pour tout x ≠ x0. On pose alors g(x0) = L.

La fonction g est appelée le prolongement par continuité de f en x0.

Exemple

Soit f(x) = (x² − 1)/(x − 1) pour x ≠ 1. Cette fonction n'est pas définie en 1.

Calcul de la limite :

lim (x² − 1)/(x − 1) = lim (x−1)(x+1)/(x−1) = lim (x+1) = 2 quand x → 1

La limite existe et vaut 2. On peut donc prolonger f en 1 par continuité en posant g(1) = 2. La fonction g est alors continue sur ℝ tout entier.

Prolongement par continuité : f(x) = (x²−1)/(x−1) n'est pas définie en 1, mais sa limite vaut 2.

4. Continuité sur un intervalle

Sur ]a, b[ : f est continue sur ]a, b[ si elle est continue en tout point de ]a, b[.
Sur [a, b] : f est continue sur [a, b] si elle est continue sur ]a, b[, continue à droite en a, et continue à gauche en b.
Sur [a, +∞[ : f est continue sur [a, +∞[ si elle est continue sur ]a, +∞[ et continue à droite en a.

5. Opérations sur les fonctions continues

Si f et g sont continues sur I, alors f + g et f × g sont continues sur I.
Si f et g sont continues sur I et si g ne s'annule pas sur I, alors f/g est continue sur I.
Si f est continue sur I et positive sur I, alors √f est continue sur I.
Si f et g sont continues et si f(I) ⊂ J, alors g∘f est continue sur I.

6. Continuité des fonctions usuelles

Toute fonction polynomiale est continue sur ℝ.
Toute fonction rationnelle est continue sur son ensemble de définition.
Les fonctions sinus et cosinus sont continues sur ℝ.
La fonction tangente est continue sur ℝ \ {π/2 + kπ, k ∈ ℤ}.
La fonction racine carrée est continue sur [0, +∞[.
La fonction valeur absolue est continue sur ℝ.

7. Composition de fonctions continues

Soient f et g deux fonctions. Si f est continue en x0 et si g est continue en f(x0), alors la fonction g∘f est continue en x0.

lim g(f(x)) = g(lim f(x)) = g(f(x0)) quand x → x0

Exercices corrigés

💡 Cliquez sur « Afficher la réponse » pour révéler la solution.

Exercice 1 : Étudier la continuité en un point

Soit f la fonction définie par f(x) = (x² − 4)/(x − 2) pour x ≠ 2. Étudier la continuité de f en x0 = 2.

Exercice 2 : Prolongement par continuité

Soit f(x) = (√(x+1) − 1)/x pour x ≠ 0. Montrer que f admet un prolongement par continuité en 0.

Exercice 3 : Continuité à droite et à gauche

Soit f définie par : f(x) = x² + 1 pour x ≥ 0 et f(x) = 2x + 3 pour x < 0. Étudier la continuité en 0.

Exercice 4 : Continuité des fonctions usuelles

Étudier la continuité de f(x) = (3x + 2)/(x² − 4).

QCM – Testez vos connaissances

💡 Cliquez sur « Vérifier la réponse » pour voir la bonne réponse.

Question 1 : Une fonction f est continue en x0 si et seulement si :

☐ A. f est définie en x0

☐ B. lim f(x) = f(x0) quand x → x0

☐ C. f est dérivable en x0

☐ D. f(x0) = 0

Question 2 : La fonction f(x) = (x²−1)/(x−1) admet un prolongement par continuité en 1 avec :

☐ A. f(1) = 0

☐ B. f(1) = 1

☐ C. f(1) = 2

☐ D. Pas de prolongement possible

Question 3 : Si f est continue à droite en x0 et continue à gauche en x0, alors :

☐ A. f est discontinue en x0

☐ B. f est continue en x0

☐ C. f n'est pas définie en x0

☐ D. f(x0) = 0

Question 4 : La fonction f(x) = √x est continue sur :

☐ A. ℝ

☐ B. [0, +∞[

☐ C. ]0, +∞[

☐ D. ℝ*

Question 5 : Si f et g sont continues sur I, alors f + g est continue sur :

☐ A. ℝ

☐ B. I

☐ C. I \ {0}

☐ D. Aucune de ces réponses

Tableau récapitulatif

Notion	Condition	Exemple
Continuité en x0	lim f(x) = f(x0)	f(x) = x² en 1
Continuité à droite	lim f(x) = f(x0) en x0⁺	√x en 0
Continuité à gauche	lim f(x) = f(x0) en x0⁻	−√(−x) en 0
Prolongement	lim f(x) = L finie	(x²−1)/(x−1) en 1
Continuité sur [a, b]	Continue sur ]a, b[ + à droite en a + à gauche en b	x² sur [0, 1]

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