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Limites et Continuité – Résumé Complet

Fiche de synthèse pour l'examen national

Ce résumé regroupe l'essentiel du cours sur les limites et la continuité : types de limites, continuité en un point et sur un intervalle, opérations sur les fonctions continues, image d'un intervalle, théorème des valeurs intermédiaires et fonction réciproque.

1. Les quatre types de limites

Type 1 : lim_x→a f(x) = b (limite finie en un point)
Type 2 : lim_x→a f(x) = ±∞ (limite infinie en un point)
Type 3 : lim_x→±∞ f(x) = b (limite finie à l'infini)
Type 4 : lim_x→±∞ f(x) = ±∞ (limite infinie à l'infini)

Les types 1 et 2 concernent l'étude en un point (continuité ou branches infinies). Les types 3 et 4 concernent l'étude à l'infini (asymptotes ou branches paraboliques).

2. Continuité en un point

Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert contenant x₀, et ℓ un réel. On dit que f est continue en x₀ si :

lim_x→x₀ f(x) = f(x₀) = ℓ

À gauche : fonction continue en x₀. À droite : fonction discontinue en x₀ (trou dans la courbe).

3. Continuité sur un intervalle

Soit f une fonction définie sur un intervalle [a, b].

f est continue sur ]a, b[ si elle est continue en tout point de ]a, b[.
f est continue sur [a, b] si elle est continue sur ]a, b[, continue à droite en a et continue à gauche en b.

4. Opérations sur les fonctions continues

Soient f et g deux fonctions continues sur un intervalle I, et k un réel.

f + g et f × g sont continues sur I.
k·f est continue sur I.
Si g ne s'annule pas sur I, alors 1/g et f/g sont continues sur I.

Fonctions usuelles continues

Toute fonction polynomiale est continue sur ℝ.
Toute fonction rationnelle est continue sur son ensemble de définition.
La fonction ln(x) est continue sur ]0, +∞[.
La fonction eˣ est continue sur ℝ.

5. Image d'un intervalle par une fonction continue

Si f est continue et strictement monotone sur un intervalle I, alors f(I) est un intervalle obtenu en calculant les limites de f aux bornes de I.

Intervalle I	f croissante	f décroissante
[a, b]	[f(a), f(b)]	[f(b), f(a)]
[a, b[	[f(a), lim_b⁻ f[	]lim_b⁻ f, f(a)]
]a, b]	]lim_a⁺ f, f(b)]	[f(b), lim_a⁺ f[
[a, +∞[	[f(a), lim_+∞ f[	]lim_+∞ f, f(a)]
]−∞, b]	]lim_−∞ f, f(b)]	[f(b), lim_−∞ f[
ℝ	]lim_−∞ f, lim_+∞ f[

Image d'un intervalle par une fonction continue et strictement croissante.

6. Théorème des valeurs intermédiaires (TVI)

Si f est continue sur [a, b] et si k est compris entre f(a) et f(b), alors il existe au moins un réel c ∈ [a, b] tel que f(c) = k.

Conditions pour montrer que f(x) = 0 a une solution unique

f est continue sur I.
f est strictement monotone sur I.
0 ∈ f(I).
On vérifie que f(a) × f(b) < 0 si on cherche dans [a, b].

Interprétation :

Graphiquement : la courbe (C) coupe l'axe des abscisses en un unique point d'abscisse α.

Algébriquement : f(α) = 0.

Le TVI : la courbe coupe l'axe des abscisses en un unique point α.

7. Fonction réciproque

Si f est continue et strictement monotone sur un intervalle I, alors f admet une fonction réciproque f⁻¹ définie sur J = f(I).

Détermination de la fonction réciproque

f⁻¹(x) = y ⟺ f(y) = x

Les courbes de f et f⁻¹ sont symétriques par rapport à la droite y = x.

Propriétés de la fonction réciproque

f⁻¹ est continue sur J = f(I).
f⁻¹ a le même sens de variation que f.
Les courbes de f et f⁻¹ sont symétriques par rapport à la première bissectrice (y = x).

Dérivée de la fonction réciproque

Si f est continue, strictement monotone et dérivable sur I, avec f'(x) ≠ 0 sur I, alors f⁻¹ est dérivable sur J et :

(f⁻¹)'(x) = 1 / f'(f⁻¹(x))

Exercices corrigés

💡 Cliquez sur « Afficher la réponse » pour révéler la solution.

Exercice 1 : Continuité en un point

Soit f(x) = (x² − 1)/(x − 1) pour x ≠ 1 et f(1) = 2. Montrer que f est continue en 1.

Exercice 2 : Image d'un intervalle

Soit f(x) = x² sur [1, 3]. Déterminer f([1, 3]).

Exercice 3 : TVI – Existence et unicité

Montrer que l'équation x³ + x − 1 = 0 admet une unique solution dans [0, 1].

Exercice 4 : Fonction réciproque

Soit f(x) = x² sur [0, +∞[. Déterminer sa fonction réciproque.

Exercice 5 : Dérivée de la fonction réciproque

Soit f(x) = x² sur [0, +∞[. Calculer (f⁻¹)'(4).

QCM – Testez vos connaissances

💡 Cliquez sur « Vérifier la réponse » pour voir la bonne réponse.

Question 1 : f est continue en x₀ si et seulement si :

☐ A. f est définie en x₀

☐ B. lim_x→x₀ f(x) = f(x₀)

☐ C. f est dérivable en x₀

☐ D. f(x₀) = 0

Question 2 : Si f continue sur [a, b] et f(a) × f(b) < 0, alors :

☐ A. f n'a pas de solution

☐ B. Il existe au moins un c tel que f(c) = 0

☐ C. f est croissante

☐ D. f(a) = f(b)

Question 3 : Si f est continue et strictement croissante sur [a, b], alors f([a, b]) est :

☐ A. [f(b), f(a)]

☐ B. [f(a), f(b)]

☐ C. ]f(a), f(b)[

☐ D. ℝ

Question 4 : La courbe de f⁻¹ est symétrique à celle de f par rapport à :

☐ A. L'axe des abscisses

☐ B. L'axe des ordonnées

☐ C. La droite y = x

☐ D. L'origine

Question 5 : Si f est continue et strictement monotone sur I, alors f⁻¹ :

☐ A. Est discontinue

☐ B. A le même sens de variation que f

☐ C. A un sens de variation opposé à f

☐ D. N'existe pas toujours

Tableau récapitulatif

Notion	Résultat / Condition
Continuité en x₀	lim_x→x₀ f(x) = f(x₀)
Continuité sur ]a, b[	Continue en tout point de ]a, b[
Continuité sur [a, b]	Continue sur ]a, b[, à droite en a, à gauche en b
Opérations	Somme, produit, quotient de fonctions continues
Image de [a, b] (f ↗)	f([a, b]) = [f(a), f(b)]
Image de [a, b] (f ↘)	f([a, b]) = [f(b), f(a)]
TVI	f continue + k entre f(a) et f(b) ⟹ ∃ c : f(c) = k
Unicité de solution	f continue + strictement monotone + f(a)·f(b) < 0
Fonction réciproque	y = f(x) ⟺ x = f⁻¹(y)
Dérivée de f⁻¹	(f⁻¹)'(x) = 1 / f'(f⁻¹(x))

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